Departamento de Ingenierías Eléctrica y Electrónica Universidad del Norte

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1 Departamento de Ingenierías Eléctrica y Electrónica Universidad del Norte

2 Respuestaenfrecuencia: Hacereferenciaalarespuestadeunsistemaen estadoestacionario td t i a una entradasinusoidal. id La frecuencia de la señal de entrada se varía en un cierto rango, para estudiar la respuesta resultante. Los métodos de respuesta en frecuencia fueron desarrollados en los años 930 y 940 por Nyquist, Bode y Nichols entre otros.

3 Salida en estado estacionario para una entrada sinusoidal Sistema LI Si X(t) es una señal sinusoidal, entonces la salida en estado estacionario será también una señal sinusoidal de la misma frecuencia, pero posiblemente con diferente magnitud y ángulo de fase. Supóngase x( t) = xsint p( s) p( s) G( s) = = q( s) ( s+ s)( s+ s2 )... ( s+ sn ) p ( s ) Y ( s) = G ( s) X ( s) = X ( s) q( s)

4 Después de alcanzar estado estacionario, la respuesta en frecuencia se puede calcular sustituyendo s por j en la función de transferencia. φ G j = Me = M φ ( ) j Si Y(s) tiene únicamente polos distintos (simples). X Y( s) = G( s) X ( s) = G( s) s a a b b2 bn = s + j s j s+ s s+ s s+ s Desplazamiento de fases entre ambas señales Cociente de amplitud de las señales sinusoidales de entrada y salida. 2 n

5 X Ys () = GsXs () () = Gs () s a a b b bn s+ j s j s+ s s+ s s+ s 2 = yt = ae + ae + be + be + + be t jt jt st s2t st n ( )... ( 0) (*) 2 n n Para un sistema estable s, s2... sn tienen parte real negativa. st s2t n Cuando t e, e y e st 0 todos los términos de (*) excepto los dos primeros, se desprecian en estado estacionario. Si Y(s) contiene polos múltiples s j de multiplicidad m j entonces y(t) h st i j contendrátérminos como t e ( hj = 0 0,, 2,..., mj ) hj sjt Para un sistema estable los términos t e 0 cuando t.

6 Independientemente de si el sistema tiene polos distintos o no, la respuesta en estado estacionario es: j t j t yss () t = ae + ae X XG( j) donde a = G () s ( s + j ) = 2 2 s + 2 j s= j X a = G() s ( s j) = 2 2 s + s= j XG ( j ) 2 j j Como G(j) es complejo, entonces G ( j ) = G ( j ) e φ G( j) magnitud φ ángulo ( G j ) ( G j ) Im ( ) φ = G ( j ) = tan Re ( )

7 j Análogamente ( ) = ( ) φ = ( ) G j G j e G j e jφ a = XG j XG j e j e φ j ( j ) ( ) 2 j a = 2 j φ j( t+ φ) j( t+ φ) e e yss () t = X G ( j ) = XG ( j ) sin( t + φ ) 2 j = ysin( t+ φ) Entrada ( ) x t = X sint Salida yt () = Y sin( t+ φ )

8 Para entradas sinusoidales: G ( j ) Y( j) = = Cociente de amplitud entre las señales sinusoidales de salida X ( j ) yde entrada. Y( j) G( j) = X ( j ) = Desplazamiento de fase de la señal sinusoidal de salida con respecto a la de entrada. Y( j) = G( j) Función có de ta transferencia sfee casinusoidal. usoda. X ( j ) Un ángulo de fase positivo se denomina adelanto de fase. Un ángulo de fase negativo se denomina retardo de fase.

9 Ejemplo: K s + K Gs () =, xt () = Xsin t y ss () t =?? s + Sustituyendo s por j, entonces Gs () = K j + como K G j = = G j = + ( ) ; φ ( ) tan ( ) 2 2 y () t = X G( j)sin( t+ φ) ss XK y t = + ss () sin( tan ( )) 2 2

10 s+ / Ejemplo: Gs () = Determine si se trata de una red de adelanto o s + / 2 una de retraso. Para xt () = Xsint j + / 2( + j ) G( j) = = j + / ( + j ) G( j) = ; φ = G( j) = tan tan X + yss () t = ; φ = G( j) = tan tan Si > tan tan > 0 Si > red adelanto Si < red retardo 2

11 La función de transferencia sinusoidal, función compleja de la frecuencia, se caracteriza por su magnitud y ángulo de fase con la frecuenciacomoparámetro. Por lo general, se usan tres representaciones gráficas de las funciones de transferencia sinusoidales:. Diagrama de Bode o diagrama logarítmico. 2. Diagrama de Nyquist o diagrama polar. 3. Diagrama de magnitud logarítmico contra fase (diagrama de Nichols)

12 DIAGRAMAS DE BODE Formado por dos gráficas Gráfica del logaritmo de la magnitud de la función de transferencia sinusoidal. Gráfica del ángulo de fase. Ambas se dibujan contra la frecuencia en escala logarítmica Magnitud logarítmica de G(j) es 20log G(j) db Curvas semilogarítmicas Escala logarítmica para la frecuencia Escala lineal para la magnitud (db) o el ángulo de fase (grados) Ventaja Bode: la multiplicación de magnitudes se convierte en suma.

13 Factores básicos de G(j)H(j). La ganancia K 2. Los factores integrales y derivativos ( j ) m 3. Los factores de primer orden 4. Los factores cuadráticos m ( + j) ( j ) ( j ) + 2 ζ / n + / n 2 m Los diagramas logarítmicos de estos factores básicos es posible utilizarlos con el fin de construir un diagrama logarítmico para cualquier forma de G(j)H(j), ) dibujando d las curvas para cada factor y agregando curvas individuales de forma gráfica ya que agregar los logaritmos de las ganancias corresponde a multiplicarlos entre sí.

14 Factores básicos de G(j)H(j) La ganancia K Número mayor que la unidad valor positivo en decibelios. Número menor que la unidad valor negativo. La curva de magnitud logarítmica para una ganancia K constante t es una recta horizontal cuya magnitud es de 20 log K db El ángulo de fase de la ganancia K es cero. El efecto de variar la ganancia K es que sube o baja la curva de magnitud logarítmicaenlacantidadconstante correspondiente, pero no afecta a la curva de fase. 20 log(0 K) = 20 log K + 20 ( ) 20log 0 n K = 20log K + 20 n 20log ( K ) = 20log K

15 m Factores integrales y derivativos ( j ) 20log 20log db j = Magnitud logarítmica de /j en db El ángulo de fase de /j es constante e igual a 90 En diagramas de Bode, las razones de frecuencia se expresan en términos de octava o décadas. Una octava es una banda de frecuencia de a2 donde es cualquier frecuencia. Una década es una banda de frecuencia de a0, donde es cualquier frecuencia.

16 Si se dibuja la magnitud logarítmica de 20log db con respecto a en una escala logarítmica, se obtiene una recta. La pendiente de la recta es 20dB/década (o 6 db/octava). La magnitud logarítmica de j en db es 20log j = 20log db El ángulo de fase de j es constante e igual a 90º. La curva de magnitud logarítmica es una recta con una pendiente de g g p 20dB/década.

17 db ( ) = G j j db ( ) G j = j φ φ

18 Para (/j) n o (j) n la magnitud logarítmica viene dada por O bien 20 log n 20 log j = 20 n log db n j = ( ) ( ) n 20 log j = n 20 log j = 20n log db Las pendientes de las curvas de magnitud logarítmica para los factores (/j) n y(j) n son 20n db/década y 20n db/década respectivamente. El ángulo de fase de (/j) n es 90º x n durante todo el rango de frecuencia, mientras que el de (j) n es igual a 90º x n en todo el rango de frecuencia.

19 Factores de primer orden ( ) m + j La magnitud logarítmica viene dada por log = 20log + db + j 2 2 Para bajas frecuencias <</ 20log + 20log = 0dB Para altas frecuencias >>/ log 20 log db En = / la magnitud logarítmica es igual a 0dB En = 0/ la magnitud logarítmica es igual a 20dB

20 Entonces el valor de 20log db disminuye en 20dB para todas las décadas de. Para >>/ la curva de magnitud logarítmica es una línea recta con una pendiente de 20dB/década ( 6dB/octava) La representación logarítmica de la curva de respuesta en frecuencia del factor /(+j) se aproxima mediante dos asíntotas (líneas rectas) una de las cuales es una recta de 0dB para el rango de frecuencias 0 < < / y la otra es una recta con una pendiente de 20dB/década (o 6dB/octava) para el rango de frecuencia / < <.

21 db La frecuencia en la cual las dos asíntotas t se encuentran se denomina frecuencia esquina o de corte. φ Para el factor /(+j) la frecuencia = / es la frecuencia esquina. En esta ambas asíntotas tienenelmismo valor.

22 El ángulo de fase exacto φ del factor /(+j) es: φ = tan db φ En frecuencia cero: φ = 0 En frecuencia esquina: φ = tan (/) = tan () = 45º En el infinito: φ = 90º El ángulo de fase tiene una pendiente simétrica con respecto al punto de inflexión en φ = 45º

23 El error de la curva de magnitud es provocado por el uso de las asíntotas. El error máximo ocurre en la frecuencia esquina y es aproximadamente igual a 3dB 20 log log = 0 log 2 = 3.03dB El error en la frecuencia una octava por debajo de la frecuencia esquina = /2 es 5 20 log log = 20 log = 0.97dB 4 2

24 El error en una octava por debajo o por encima de la frecuencia esquina es aproximadamente db. El error en una década por debajo o por encima de la frecuencia esquina es aproximadamente 0.04dB En la práctica, para dibujar una curva de respuesta en frecuencia precisa se introduce una corrección de 3dB en la frecuencia esquina y una corrección de db en los puntos una octava por debajo y por encima de la frecuencia esquina. La función de transferencia /(+ j) tiene la característica de un filtro pasa baja. Para frecuencias por encima de = /, la magnitud p /, g logarítmica disminuye rápidamente hacia.

25 En el filtro pasa baja, la salida sigue fielmente una entrada sinusoidal a bajas frecuencias. Pero, conforme aumenta la frecuencia de entrada, la salida no puede seguir a la entrada debido a que se necesita cierta cantidad de tiempo para que el sistema aumente en magnitud. Para altas frecuencias, la amplitud de la salida tiende aceroyel ángulo de fase de la salida tiene a 90º. En estecaso,si la función de entrada contiene muchos armónicos, las componentes de baja frecuencia se reproducen fielmente en la salida, mientras que las componentes de alta frecuencia se atenúan en amplitud y cambian de fase.

26 Para factores recíprocos, por ejemplo: + j las curvas de magnitud logarítmica y de ángulo de fase sólo necesitan cambiar de signo 20log + j = 20log + j + j = = tan + j La pendiente de la asíntota de alta frecuencia de + j es 20dB/década y el ángulo de fase varía de 0 a 90º a medida que la frecuencia se incrementa de 0 a.

27 db φ 90 o 45 o Para dibujar las curvas con precisión los ángulos de fase son: m45º en = / m 26.6º en = /2 m5.7º en = /0 m63.4º en = 2 / m84.3º en = 0 /

28 Para el caso en el que una función de transferencia determinada contiene mn términos como ( + j ), se hace una construcción asintótica similar. La frecuencia esquina es todavía en = / y las asíntotas son rectas. La asíntota de baja frecuencia es una recta horizontal en 0dB mientras que la asíntota de alta frecuencia tiene una pendiente de 20n db/década. El error implícito en las ecuaciones asintóticas es n veces el que existe para m ( + j ) El ángulo de fase es n veces el de m ( + j ) en cada punto de frecuencia.

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