Prof. Daniel Valerio Martínez Teoría de conjuntos.
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- Juan Antonio Espejo Olivera
- hace 6 años
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1 Prof. Daniel Valerio Martínez Teoría de conjuntos. Propósito de la sesión. El alumno reconocerá la importancia de la teoría de conjuntos como una herramienta importante en la solución de problemas de probabilidad aplicados a problemas relacionados con su área. El alumno reconocerá el lenguaje de las matemáticas tan importante para resolver problemas de la vida diaria. 1
2 Qué es un conjunto? Un conjunto es una colección o agrupación de objetos bien definido o que poseen una característica en común y a la cual se le considera como un todo. Los objetos de un conjunto son llamados elementos o miembros del conjunto. Esto significa que los elementos cumplen con las características que se les pide para estar en ese conjunto. Los elementos de un conjunto pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, ciudades, animales, etc. Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas: A, B, C, etc., y sus elementos por letras minúsculas: a, b, c, etc. Un conjunto no posee elementos repetidos, es decir, con escribirlo una sola vez es suficiente. 2
3 Conjunto universal o universo. Es aquel conjunto donde se encuentran todos los elementos y donde podemos seleccionar para formar otros conjuntos más pequeños llamados subconjuntos. El conjunto universo se denota con los siguientes símbolos: Ω o U. Conjunto vacío. Es aquel conjunto que no contiene elementos (ninguno). Se representa por la letra φ. 3
4 Formas de expresar un conjunto Para indicar un conjunto se utilizan llaves { } y dentro de el los elementos que la componen. Un conjunto se puede expresar o describir por: extensión o por comprensión. En el primer caso se enumeran todos los elementos que la componen. Ejemplo: A = {a, e, i, o, u} Lo anterior se lee de la siguiente manera: A es el conjunto que contiene los elementos a, e, i, o y u. 4
5 En el segundo caso se enuncia a través de una propiedad o atributo que caracteriza al conjunto. Ejemplo: A = { x x es una vocal } Se lee de la siguiente forma: A es el conjunto de las x s tales que x es una vocal Otro ejemplo, primero por comprensión y luego por extensión. B = {x x es un múltiplo de 5 y menor que 21} B = {5, 10, 15, 20} 5
6 Relación de pertenencia El siguiente símbolo, que se escribe como significa pertenece, es decir, cumple con las características del conjunto. Ejemplo: Si A = {a, e, i,o, u}entonces decimos a A (a pertenece a A). En este caso decimos que la afirmación (a A) es verdadera. b A (b no pertenece a A). En este caso decimos que la afirmación es falsa, pues b no está en A. Ejemplo A ={2, 3, 4, 5, 8, 9, a, d, f} {3, 4, a} A {7, e, g} A 6
7 Cardinalidad de un conjunto La cardinalidad de un conjunto se refiere a la cantidad de elementos que contiene un conjunto y se denota por el símbolo #. Ejemplo: A = { x x es una vocal }. #A = 5 B = { x x es un día de febrero}. #B = 28 C = grupo 609, #C = 49 (49 alumnos inscritos) Un conjunto puede contener infinitos elementos, y por tanto, su cardinalidad también es infinita. 7
8 Igualdad de conjuntos Dos conjuntos son iguales si ambos tienen los mismos elementos o si ambos son vacíos. Dados los conjuntos A = { a, b, c, d, e, f} B = { x x pertenece a las primeras 6 letras del alfabeto español} C = { x x pertenece a las primeras letras del alfabeto español} Qué conjuntos son iguales? R = A y B, en el caso de C no nos dice de manera explícita cuantos son. 8
9 Subconjuntos de un conjunto Si A y B son conjuntos tales que todo elemento de B es también elemento de A, diremos que B es un subconjunto de A B es una parte de A B está incluido en A. Esto se simboliza como B A B A 9
10 Subconjuntos de conjuntos 10
11 Operaciones de conjuntos Existen varias formas de obtener nuevos conjuntos a partir de otros existentes, esto es a través de ciertas operaciones como son las siguientes. Unión Intersección Diferencia Complemento 11
12 Operaciones de Conjuntos. Unión. La unión de un conjunto A con un conjunto B, representado por A U B, es el conjunto que agrupa o contiene todos los elementos que pertenecen a A o a B. Es decir, consiste en juntar los elementos de A con los elementos de B. Si existen elementos comunes entre los conjuntos originales, éstos no se repiten en el conjunto unión, es decir, con escribirlos una sola vez, es suficiente. Matemáticamente se expresa de la siguiente forma: A B = {x x A o x B } 12
13 Intersección 13
14 Diferencia Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. La diferencia de B menos A, denotada por B A, es el conjunto de elementos que pertenecen a B pero no a A. Matemáticamente se expresa de la siguiente forma: B A = {x x B y x A } De manera análoga podemos definir A B de la siguiente forma: A B = {x x A y x B } 14
15 Complemento 15
16 Diagramas de Venn Al trabajar con conjuntos se tiene una herramienta que ayuda a representarlos o dibujarlos a través de figuras geométricas como rectángulos, círculos, cuadrados o elipses. En el interior de estas figuras se encuentran todos aquellos elementos que cumplen con la condición o la operación que se pide o requiere, y para ello se sombrea o raya la región que va a representar dicha operación. A estas figuras se les llama diagramas de Venn. 16
17 Diagramas de Venn. Unión Juntamos los elementos de A y de B, por eso rayamos todo lo que está adentro de A y de B. 17
18 Intersección Solamente rayamos o sombreamos aquello que aparece tanto en A como en B, es decir, aquello que se repite. 18
19 Intersección vacía o conjuntos mutuamente excluyentes entre sí. En el primer caso A y B no comparten nada, por eso decimos que A y B son mutuamente excluyentes entre si. Del mismo modo ocurre en el segundo caso, decimos que A, B y C son (tres conjuntos) mutuamente excluyentes entre sí. 19
20 En el primer caso decimos que A y C, B y C son mutuamente excluyentes entre sí, es decir, A y C no comparten nada del mismo modo que B y C tampoco. Pero A y B si comparten por eso pintamos esa región. 20
21 Trata de explicar que pasa en este caso. 21
22 Diferencia B - A Recuerda como hacer esta operación. Primero pon, dibuja, escribe, pinta, raya todos los elementos de B y luego borra, tacha, elimina si alguno de estos elementos aparece en A. 22
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24 Ejemplos Sea U ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A= {1, 3, 5, 7, 9} B ={2, 4, 6, 8} C = {1,2,5,6} Con los conjuntos anteriores determina las siguientes operaciones 24
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26 + Ejemplos Sea U = {Jimena, Selene, Mariana, Lesly, Jesús, Hugo, Kaory, Edgar, Ethan, Pablo, Ariel, Yael} alumnos que van a presentar exámenes de admisión a la universidad. Sean A = {Jimena, Mariana, Lesly, Ethan, Pablo, Ariel, Yael} quienes van a presentar examen de admisión a la UNAM. B = {Jimena, Selene, Jesús, Hugo, Kaory, Yael} quienes van a presentar examen de admisión al IPN C = {Jimena, Mariana, Hugo, Edgar, Pablo, Ariel} quienes van a presentar examen de admisión a la UAM Con base en esta información determina las siguientes operaciones entre conjuntos. 26
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28 Universidad La Salle Nezahualcóyotl Preparatoria Prof. Daniel Valerio Martínez Probabilidad y estadística A4
29 Propósito: Identifica el diagrama de árbol así como la tabla de contingencia para futuros problemas que involucren el concepto de probabilidad. En nuestra vida cotidiana desde que nos levantamos nos enfrentamos a una serie de situaciones, muchas de las cuales no son previsibles con exactitud y más bien dependen del azar, es decir son cosas aleatorias. Si bien nuestra vida no es completamente impredecible, es conveniente contar con una herramienta que nos ayude a enfrentar mejor la incertidumbre. Esta herramienta fundamental es lo que llamaremos probabilidad.
30 Para abordar el concepto de probabilidad será necesario profundizar un poco más en la teoría de conjuntos así como también en la parte del álgebra, en particular en la forma de contar. Contar es una de las primeras actividades que realizamos cuando iniciamos nuestra formación academica. Sin embargo, contar puede ser algo tan sencillo o puede volverse complejo. En algunas ocasiones será necesario utilizar los llamados diagramas de árbol.
31 Diagrama de árbol Muchos problemas de contar se pueden llevar de la forma: De un conjunto A se pueden elegir n objetos y de un conjunto B se pueden elegir m objetos, Cuántas parejas ordenadas diferentes se pueden elegir de modo que la primera componente sea del conjunto A y la segunda del conjunto B.? Una técnica para resolverlos es mediante un diagrama de árbol. Este diagrama muestra todas las posibles combinaciones o elecciones que podemos llevar a cabo, como lo muestra el siguiente ejemplo.
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36 Mis padres quieren mandarme al curso para el examen de admisión a la universidad. Tengo dos opciones: La Salle y el CONAMA. Si quiero ir a tomar el curso a la Salle tengo dos planteles (Neza y CDMX) pero si deseo ir al CONAMA tengo cuatro planteles distintos (López, Cuarta, Villada y Pantitlán). En cada uno de los planteles anteriores tengo tres horarios disponibles para tomar el curso, de cuántas maneras o formas distintas puedo tomar el curso? Sugerencia : utiliza un diagrama de árbol
37 Tabla de contingencia Existe otra forma o técnica de contabilizar todas las posibles combinaciones o elecciones que se puedan hacer con diferentes objetos llamada tabla de contingencia. Esta es una tabla la cual resume información de una serie de cantidades que pueden leerse de forma vertical u horizontal para responder una serie de preguntas acerca de dicha tabla, como se observa en los siguientes ejemplos.
38 Tabla de contingencia Cuántos sujetos hay en total? cuántos corresponden a hombres, sin importar si fuman o no? Cuántas son mujeres y fuman? Cuántos son hombres y no fuman? Cuántos fuman? Cuántas mujeres no fuman?
39 Cuántos chicos o chicas no usan gafas? Cuántos chicos o chicas si usan gafas? Cuántos usan gafas y son chicas? Cuántos jóvenes se entrevistaron en total? Cuántos de estos jóvenes son chicos? Cuántos de estos jóvenes son chicas?
40 Cómo resolver problemas utilizando diagramas de Venn? Una escuela tiene 120 alumnos, de los cuales 85 estudian inglés y 60 fránces 30 estudian ambos idiomas. Dibuja un diagrama de Venn para representar esta situación. Primer paso. Dibuja un rectángulo y dos círculos, uno de los círculos representará los que estudian inglés y el otro círculo representará los que estudian fránces.
41 La parte que queda en medio representará a aquellos alumnos que estudian ambos idiomas, es decir, tanto inglés como fránces.
42 Si tú haces a continuación lo que observas en el dibujo de la derecha, te darás cuenta que habrá un error, la suma de las tres cantidades dará 175 pero solamente tenemos 120 alumnos. Cómo se resuelve entonces el problema? Es lo que veras a continuación
43 Primero, coloca la cantidad de 30 alumnos en la parte de en medio de los círculos, estos alumnos son los que estudian ambos idiomas. Después a 85 restale 30, esto dará 55. Este número colocalo en la parte del círculo de la izquierda. Ahora a 60 restale 30, esto dará 30. Este número colocalo en la parte del círculo de la derecha. Observa la figura de la derecha. Al sumar las cantidades que están dentro de los círculos nos dará 115, lo que significa que faltan 5 estudiantes, estos estudiantes estarán fuera de los círculos y significa que no estudian ninguno de estos idiomas.
44 Con base en el último diagrama de Venn puedes responder las siguientes preguntas. 1. Cuántos alumnos no estudian ninguno de los dos idiomas? R = 5 2 Cuántos no estudian inglés? R = = Cuántos no estudian fránces? R = = Cuántos estudian solamente uno de los dos idiomas? R = = Cuántos estudian inglés pero no fránces? R = = Cuántos estudian fránces pero no inglés? R = = 30
45 Universidad La Salle Nezahualcóyotl Preparatoria Prof. Daniel Valerio Martínez Probabilidad y estadística A4 Humanidades
46 Repaso del periodo Unión Intersección Complemento Pertenece Conjunto universo Subconjunto Vacío No pertenece Cardinalidad Tal que Símbolo
47 Observa el siguiente diagrama de Venn Responde las siguientes preguntas acerca de las diferentes operaciones que se pueden realizar entre dos conjuntos. 1. Qué tipo de operación representa lo que esta pintado solamente de azul? 2. Lo que esta pintado de rojo + azul + morado? 3. Lo que esta pintado solamente de rojo? 4. Lo que esta pintado solamente de morado? 5. Lo que esta pintado de rosa?
48 Utiliza la siguiente tabla para responder las preguntas anteriores Color Tipo de operación de manera textual Tipo de operación utilizando símbolos Definición Solo (solamente) azul Rojo + azul + morado Solo (solamente) rojo sin la parte azul Solo morado sin la parte azul Solo (solamente) rosa Todos los colores excepto (rojo + azul) Todos los colores excepto (morado + azul)
49 Responde las siguientes preguntas con base en el siguiente diagrama de Venn 1. A B 2. A C 3. (A B) C 4. C c B A 5. C (A c B)
50 Dada la siguiente tabla de contingencia responde las siguientes preguntas.
51 1. Cuántas llanteras existen en la zona? 2. Cuántas llanteras su servicio es garantizado? 3. Cuántas llanteras su servicio es deficiente? 4. Cuántas llanteras su servicio es deficiente y además la mercancía que ofrece no es de marca reconocida? 5. Cuántas llanteras su servicio esta garantizado y la mercancía que ofrece es de marcas reconocidas?
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