XLIX Olimpiada Matemática Española

Transcripción

1 XLIX Olimpiada Matemática Española Fase Local Melilla 1 de eneo de 01 Poblema 1 Escibimos en fila, peo no necesaiamente en oden, los númeos enteos desde el 1 al 01. Calculamos las medias de cada dos númeos consecutivos en dicha fila, después, sumamos todas esas medias. Cuál es el mao esultado que se puede obtene? Y el meno? Poblema Dadas dos cicunfeencias tangentes eteioes de adios difeentes R. Halla el áea del tiángulo que foman sus tes ectas tangentes comunes en función de R. Poblema Poba que si, se cumple que ( + )( + )( + ) 15 Poblema En el segmento AM se toman los puntos K L de modo que AK = LM. Situemos dos puntos B C a un lado del segmento AM un punto D hacia el oto lado, de modo que BK = KM, CM = KL DL = LM, siendo además las ectas BK, CM DL pependiculaes las tes a la ecta AM. Pueba que ABCD es un cuadado. o está pemitido el uso de calculadoas. Cada poblema se puntúa sobe 7 puntos. El tiempo de esta sesión es de,5 hoas.

2 XLIX Olimpiada Matemática Española Fase Local Melilla 1 de eneo de 01 Poblema 5 Cuál es el mao númeo de 01 cifas que suman eactamente 01? Y el meno? Poblema 6 Sean ABCD es un cuadiláteo cualquiea P Q los puntos medios de sus diagonales BD AC, espectivamente. Las paalelas po P Q a la ota diagonal se cotan en O. Si unimos O con los cuato puntos medios X, Y, Z T de los lados del cuadiláteo, se foman cuato cuadiláteos OXBY, OYCZ, OZDT OTAX. Pueba que estos cuato cuadiláteos tienen la misma áea. Poblema 7 Poba que el enome númeo es un múltiplo de 1. Poblema 8 Pueba que las sumas de las pimeas, segundas teceas potencias de las aíces del polinomio valen lo mismo. o está pemitido el uso de calculadoas. Cada poblema se puntúa sobe 7 puntos. El tiempo de esta sesión es de,5 hoas.

3 XLIX Olimpiada Matemática Española Fase Local Melilla 1 de eneo de 01 SOLUCIO ES Solución Poblema 1 Sea la fila fomada po los númeos desde el 1 hasta el 01 en algún oden: a 1, a, a a 01 a 01 Calculamos todas las medias de cada dos númeos consecutivos de esta fila: a1 + a, a + a a a, +, a011 + a01 a01 a01 + Y ahoa, al suma, vemos que todos los númeos de la lista inicial, salvo el pimeo el último, apaecen dos veces semisumados con oto consecutivo, es deci, todos los númeos ha que sumalos una ve salvo el pimeo el último de los que se suma sólo su mitad. Po tanto, si queemos la suma: - Mao: los de los etemos han de se lo más pequeños posibles, esto es, La suma mao seá, pues: + + k = 1,5+ = 07089,5 k= - Meno: los de los etemos han de se lo más gandes posibles, esto es, k La suma meno seá, pues: + + = = 05078,5 k= 1

4 Solución Poblema Dibujemos la situación: O R A D B O' C P A' B' C' Tabajemos en la mitad supeio. Como las tangentes a una cicunfeencia taadas desde un punto eteio genean segmentos de igual longitud: AB = BD= BC= Se pide S = S = ( O'P) BB 'P BDP + Como los tiángulos BDP O CP son semejantes: + CP = O'P Y de aquí: = CP O'P = O'P O'P = O'P+ O'P

5 Solución Poblema Opeando: ( + )( + )( + ) = () Y acotando los distintos sumandos tenemos: El pimeo () = () () 8 () = 6 - Los segundos (po la desigualdad de la MA-MG): Análogamente, los teceos: = () () 8 () = = () () 8 () = 1 - Y el último: = Sumando todo, tenemos lo pedido: ( + )( + )( + ) ( )= 15 Solución Poblema Todos los tiángulos ectángulos coloeados son iguales, luego los lados del cuadiláteo, hipotenusas de estos tiángulos, son iguales. Los ángulos del cuadiláteo son ectos po se la suma de los ángulos agudos de un tiángulo ectángulo. Solución Poblema 5 Como 01 = 9+ 6, el mao seá: Y el meno: veces Una ve 1789 veces Una ve 1788 veces Una ve veces

6 Solución Poblema 6 Dibujamos la situación con detalle: Como OP es paalelo a AC, los tiángulos OXY PXY tienen la misma base altua, po tanto la misma áea. De ahí esulta (añadiendo el tiángulo BXY) que los cuadiláteos OXBY PXBY también tienen la misma áea. Peo el áea del cuadiláteo PXBY es la cuata pate del áea del cuadiláteo inicial ABCD al se semejantes con aón del gande al pequeño. Y análogamente se pueden ve los demás casos. Solución Poblema Sin aplica conguencias: claamente 5 + es suma de dos númeos impaes, po tanto, múltiplo de. Falta sabe si esa suma es también múltiplo de 7. Po ejemplo, sabiendo que = 81= 7+ que 5 = 5= 7+, aplicando el Binomio de Newton se puede ve que sí: = 5 (5 ) = (5+ 9) + ( ) + 7= 1 = = =

7 Solución Poblema 8