Tema 4: Teorema de la función inversa e impĺıcita

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1 Tema 4: Teorema de la función inversa e impĺıcita Teorema de la función inversa para varias variables Sea A R n un conjunto abierto, f : A R n y ā A Si f es de clase C 1 en A y det(df(ā)) 0, entonces existe un entorno abierto de ā A y uno de b = f(ā) en el que la función f tiene inversa local: f 1 : B A Además Df 1 (ȳ) = (Df) 1, ȳ B con ȳ = f Teorema de la función implícita para varias variables En muchas ocasiones podemos encontrar relaciones funcionales o ecuaciones en las que las variables dependientes no se expresan explícitamente como funciones de las independientes Se trata ahora de estudiar si detrás de cada una de estas relaciones existe una relación funcional implícita que permita definir una o más de sus variables como función del resto de las variables Teorema (caso de una variable) Supongamos una relación implícita del tipo f(x 1, x 2,, x n ) = c Esta ecuación define implícitamente a x k como función de las demás variables, en notación x k = ψ(x 1,, x k 1, x k+1,, x n ), en un entorno de un punto ā = (a 1,, a n ) si y sólo si: (a) f(a 1,, a n ) = c (es decir, el punto verifica la relación implícita) (b) La función f y sus n parciales i son continuas en un entorno de ā (c) (ā) 0 (la parcial respecto a x k no se anula) En caso afirmativo, la derivada parcial de x k respecto a otra variable x i se obtiene mediante: (ā) = i (ā) i (ā)

2 Teorema (caso general) Sea F : D R n+m R m donde D es un conjunto abierto y F = (F 1, F 2,, F m ) Los puntos de R n+m se representarán de la forma = (x 1, x 2,, x n, y 1, y 2,, y m ) Sea D Si se cumplen las condiciones siguientes: 1 F = 0 2 F C 1 (D), es decir F es diferenciable con continuidad en D 3 El rango de la matriz jacobiana de F en es m, es decir existe un menor de orden m no nulo (que determinará el grupo de variables que es función implícita de las restantes) Sea, por ejemplo, det entonces A R n abierto con ā A y B R m abierto con b B tales que: x A,!ȳ B tal que: F = 0 La función implícita así definida, es decir f : A B, con f = ȳ, verifica f C 1 (A) y F ( x, f) = 0 Además, si F C k (D) Además en tal caso, las derivadas parciales pueden calcularse mediante:, 1 m 1 m 1 m = = ( x, x) 1 ( x, ȳb)

3 Función implícita y polinomio de Taylor Tal y como sabemos, el teorema de la función implícita nos informa sobre la posibilidad o no de que una variable (o más) pueda expresarse como función del resto de las variables que vienen realicionadas mediante una o varias ecuaciones Además el teorema nos dice cuánto vale su derivada parcial pero no nos dice nada sobre quién es dicha función implícita La utilización de la fórmula de Taylor puede ayudarnos a encontrar una aproximación de tal función implícita Ejemplo Probar que y es función implícita de (x, z) en un entorno de (1, 1, 0) para la ecuación: y 3 x y 2 + z 2 = 0 Solución En primer lugar vamos a obtener el polinomio de Taylor de grado 2 de una variable y que pueda escribirse como función implícita de (x, z) de forma genérica y a continuación lo calcularemos para el caso concreto que nos ocupa En general, dada una ecuación f(x, y, z) = 0 que defina implícitamente a y como función de (x, z) en un entorno de un punto dado, tendremos: 1 El gradiente de f en el punto: f(x 0 ) = (f 1,, f 3 ) 2 Para que y sea función implícita del resto debe ocurrir que 0 Además de aquí deducimos que las primeras derivadas de y respecto a x y z en el punto dado, valen: y(x 0 ) = ( f 1 /, f 3 / ), que denominaremos: y(x 0 ) = (y 1, y 2) Obviamente, en cada caso f 1, y f 3 valdrán unas cantidades determinadas Tenemos pues las relaciones: + y = 0, (1) y z + y y z = 0 (2) Luego, el polinomio de Taylor de grado 2 que mejor aproxima a y como función de (x, z) en un entorno de un punto x 0 será: y(x 0 ) + y(x 0 )(x x 0 ) (x x 0) Hy(x 0 )(x x 0 ), donde Hy(x 0 ) es la matriz hessiana de y en el punto x 0 Esta matriz estará formada por las parciales de segundo orden de y respecto de las demás variables Denotaremos por h ij a sus elementos Es decir: h 11 = 2 y, h 12 = 2 y z, h 22 = 2 y z 2 También denotaremos por f ij a los elementos de la matriz hessiana de f, en el punto x 0, es decir: f ij = 2 f En nuestro caso, la matriz hessiana de f será una matriz simétrica de orden 3 3 i j Veamos pues cómo se calculan los elementos h ij Para h 11 debemos derivar respecto a x en la ecuación (1) puesto que es donde aparece la expresión de y Además debemos tener en cuenta los árboles de relación

4 implícita puesto que ambos sumandos de la ecuación (1) deben de derivarse siguiendo las ramas del árbol de relaciones implícitas: ( ) + ( y y ) = 0 Por tanto, Despejando ahora 2 y se obtiene: 2 2 y = 2 f + 2 f y y ( 2 + f y + 2 f y + y 2 y = 0 ( ) 1 [ 2 f y + 2 f y y ( 2 + f y + 2 f y ] = h 11 h 11 = f 11 + f 12 y 1 + (f y 1 )y 1 Análogamente se procede con el resto de los elementos y se obtienen las siguientes expresiones: 2 ( ) y 1 [ 2 z = f y z + 2 f y y ( 2 z + f z y + 2 f y ] = h 12 z h 12 = f 13 + f 12 y 2 + (3 + 2 y 2 )y 1 2 ( ) y 1 [ 2 z 2 = f y z f y z y ( 2 z + f z y + 2 f y ] = h 22 z z h 22 = f y 2 + (3 + 2 y 2 )y 2 Este es el desarrollo para cualquier ecuación f(x, y, z) que defina implícitamente a y en función de (x, z) en un entorno de x 0 Para el caso que nos ocupa en el ejemplo propuesto, la función es f(x, y, z) = y 3 x y 2 + z 2, y el punto (1, 1, 0) Debemos definir en Derive la función f y obtener su gradiente y hessiano mediante la instrucción GRAD A continuación sustituiremos las expresiones obtenidas para evaluarlas en el punto (x, y, z) = (1, 1, 0) Se obtienen: f(1, 1, 0) = (1, 1, 1) = (f 1,, f 3 ), y(1, 0) = ( 1, 0) = (y 1, y 2), f 11 f 12 f 13 Hf(1, 1, 0) = = f f 13 3 f 33 Sustituyendo en las expresiones de los h ij obtenidos anteriormente se tiene para nuestro caso: ( ) ( ) h11 h Hy(1, 0) = = h 12 h

5 Podemos ya calcular el polinomio de Taylor de grado 2 para la variable y utilizando su expresión dada anteriormente, para nuestra función f y el punto x 0 = (1, 1, 0) : ( x 1 y(1, 0) + y(1, 0) z ) (x 1, z) Hy(1, 0) ( x 1 z ) = x 2 3x z Ejercicio propuesto Análogo al anterior para la ecuación: en (1, 1, 0), pero para x en función de (y, z) x 3 y x 2 + z 2 = 0,