En el sistema S las fórmulas de aberración relativista y efecto Doppler dan

Transcripción

1 FÍSICA TEÓRICA 1 2do. Cuatrimestre 2015 Fresnel relativista Guía 6, problema 3 Se trata de enontrar las ondas reflejadas y transmitidas en el sistema del laboratorio uando una onda plana inide sobre la interfase de un dielétrio que se mueve on veloidad v paralela a la interfase. El dielétrio tiene índie de refraión n. La situaión no es la más general posible, ya que se onsidera que v y E i están en el plano de inidenia. El dato es la onda inidente en el sistema de laboratorio, aquí llamado S. Es una onda plana de freuenia ω y ángulo de inidenia θ i. La figura anterior adelanta algunos de los resultados: por ejemplo, que los ampos reflejados y transmitidos onservan la misma polarizaión y tipo de inidenia que los originales. El problema es fáil de resolver en el sistema en donde el medio está en reposo, S. La situaión en este sistema es la misma que la que muestra la figura, sólo que son todas antidades primadas y v = 0. Si enontramos en ese sistema las ondas reflejada y refratada, luego podemos transformarlas al sistema de laboratorio. Entones, lo primero es trasladar el problema al sistema en donde el dielétrio está en reposo. La onda inidente se propaga en el vaío, de modo que su uadrivetor k i en S es k i = ω 1, sin θ i, os θ i, 0. 1 En el sistema S las fórmulas de aberraión relativista y efeto Doppler dan ω = γ1 β sin θ i ω, tan θ i 2 = 1 β 1 + β tan θ i 2. 2 En el sistema S todo ourre según las leyes de reflexión y refraión habituales. La onda reflejada en ese sistema tiene uadrivetor número de onda k r = ω 1, sin θ i, os θ i, 0. 3 De regreso al sistema S enontramos que ahí la onda reflejada se propaga según la direión tan θ r 2 = 1 + β 1 β tan θ i 2 = tan θ i

2 Es deir, también en el sistema de laboratorio la onda se refleja on el mismo ángulo on el que inide. Para obtener su freuenia lo más senillo no es, omo pudiera pareer, transformar de S a S, sino de S a S, usando lo que se sabe sobre el ángulo de reflexión en S y la relaión 2 entre las freuenias inidentes en ambos sistemas: ω = γ1 β sin θ i ω r ω r = ω. 5 Esta fue la parte fáil del problema. Hemos mostrado que la onda se refleja on la misma freuenia y que el ángulo de reflexión es igual al de inidenia. Después veremos por qué esto era previsible. Enontrar la onda transmitida en S da algo de trabajo. En S su uadrivetor número de onda es k t = ω 1, n sin θ t, n os θ t, 0. 6 Aquí estamos usando que en el dielétrio la relaión de dispersión es k = nω /. El uadrivetor k t en el sistema S es k t = ω γ1 + βn sin θ t, γn sin θ t + β, n os θ t, 0. 7 La freuenia de la onda transmitida en S resulta Pero en S vale la ley de Snell, de modo que n sin θ t = sin θ i, y entones ω t = ω γ1 + βn sin θ t. 8 ω t = ω γ1 + β sin θ i. 9 Esta relaión es la misma que hay entre las freuenias de las ondas inidentes en ambos sistemas, de modo que ω t = ω i. 10 Después veremos por qué esto debe ser así. Con lo que sabemos hasta ahora, el uadrivetor k t es k t = ω sin θ i + β n os θ t 1,, 1 + β sin θ i γ1 + β sin θ i, 0. De aquí no es tan fáil leer en qué direión se propaga k t, porque las omponentes espaiales no neesariamente forman un versor, omo ourría al transformar ondas que se propagaban en el vaío. Algunas En lase demostramos que ualquier funión que dependa de las oordenadas y el tiempo a través de una variable φ = A r A 0 t, transforma de un sistema a otro omo si las uatro antidades A 0, A fueran las omponentes de un uadrivetor. De modo que la onda plana transmitida, que en S tiene freuenia ω y vetor número de onda k t, tiene asoiado un uadrivetor número de onda k t = ω 1, nˆk t. Este reparo no es oioso. Uno sabe que en el vaío ω y k forman las omponentes de un uadrivetor, pero esto no se traslada inmediatamente a una onda que se propaga en un medio. Por eso en lase nos tomamos el trabajo de demostrarlo. 2

3 osas pueden simplifiarse reemplazando sin θ i en términos del ángulo θ i. Para empezar, lo que figura en la omponente x es exatamente la ley de transformaión de sin θ i a sin θ i, Luego, k t = ω En la omponente y podemos usar que lo que da En definitiva, k t = ω sin θ i + β 1 + β sin θ i = sin θ i. 11 n os θ t 1, sin θ i, γ1 + β sin θ i, 0. sin θ i = sin θ i β 1 β sin θ i, β sin θ i = 1 γ 2 1 β sin θ i. 13 1, sin θ i, γ1 β sin θ i n os θ t, No es asualidad que la omponente x de k t sea exatamente igual a la omponente x de k i o de k r, del mismo modo que no es asualidad que las tres freuenias sean las mismas. El problema en el sistema de laboratorio sigue teniendo la forma de un problema on ondiiones de ontorno a través de una interfase plana. Sea ual sea la relaión onstitutiva que defina k t en el medio en movimiento, las euaiones de ontinuidad a través de la interfase siempre involurarán tres funiones del tipo A i e ik i r ω i t + A r e ikr r ωrt + A t e ikt r ωtt y=0 = El heho de que no sepamos ómo esribir la relaión de dispersión para el medio en movimiento no modifia en nada el aráter de esta euaión respeto al problema habitual del medio en reposo: para que la euaión anterior admita soluiones no triviales para los ampos A, las freuenias tienen que ser las mismas y las proyeiones de los vetores de onda k sobre el plano y = 0 tienen que ser iguales: ω i = ω r = ω t = ω, k i sin θ i = k r sin θ r = k t sin θ t. 16 Además, debido a que las ondas inidentes y reflejadas se propagan en el vaío k i = k r = ω/, y por lo tanto debe ser sin θ i = sin θ r. Menos previsiblemente, también resulta k t sin θ t = ω sin θ i. 17 Esto explia por qué la omponente x del uadrivetor k t en la e. 14 es lo que es. El objetivo sigue siendo determinar k t. Esribamos k = ω 1, κ, 18 3

4 on κ = sin θ i, γ1 β sin θ i n os θ t, Queremos esribir esto omo κ = κ ˆκ. El álulo direto de κ es elemental. Hay que usar que n os θ t = n 2 sin 2 θ i. 20 El resultado es κ 2 = 1 + n 2 1γ 2 1 β sin θ i Hay, sin embargo, una forma muho más senilla de alular κ, que es usando el invariante k k = k k. En S tenemos k = 1, ω n ˆk, 22 y en S k = ω 1, κ ˆκ. 23 Debe ser entones Luego, ω 2 ω 2 1 n 2 = 1 κ ω κ 2 2 = 1 + n ω Pero ω /ω = γ1 β sin θ i. Luego, κ 2 = 1 + n 2 1γ 2 1 β sin θ i 2, que oinide on la expresión 21. Finalmente, para dar la direión de propagaión de la onda transmitida en S basta on dar la omponente x de ˆκ, que es ˆκ ˆx = sin θ t = Para β = 0, resulta la ley de Snell habitual. sin θ i 1 + n2 1γ 2 1 β sin θ i Para enontrar las amplitudes de las ondas reflejada y transmitida en el sistema S hay que enontrar la amplitud de la onda inidente en el sistema S, apliar ahí los resultados de Fresnel y transformar de vuelta al sistema S. Debido a la geometría del problema, lo más senillo es transformar el ampo magnétio de la onda inidente. Como es una onda en vaío esto debe oinidir on la amplitud de su ampo elétrio. Teniendo en uenta que el ampo B i inidente no tiene omponentes paralelas a la veloidad resulta B i = γb i β E i = γb i 1 β sin θ i ẑ. 27 4

5 Entones, En el sistema S la amplitud de la onda reflejada es Al transformar a S queda E r = B r, donde Usando la e. 13, resulta B i = E i = γb i 1 β sin θ i. 28 B r = E r = Rθ ie i = n os θ i os θ t n os θ i + os θ t E i. 29 B r = γb r + βb r sin θ i = γb r1 + β sin θ i. 30 B r = B r γ1 β sin θ i. 31 Reemplazando aquí B r = Rθ ib i, donde B i está dado por 28, y usando la igualdad entre las amplitudes de los ampos E y B en vaío, se enuentra finalmente que E r = Rθ ie i. 32 Esta no es la euaión de Fresnel usual, porque los ángulos que apareen en R son los del sistema S : Mediante la fórmula de aberraión E r = n os θ i os θ t n os θ i + os θ t E i. 33 os θ i = os θ i γ1 β sin θ i, 34 y la e. 26, on un poo de trabajo la amplitud de la onda reflejada en el sistema de laboratorio puede esribirse omo donde E r = n os θ i Aθ i n os θ i + Aθ i, 35 Aθ = 1 n γ2 n 2 11 β sin θ 2 + os 2 θ. 36 Enontrar la amplitud de la onda transmitida queda omo ejeriio. La ondiión para que no haya onda reflejada se esribe en el sistema S mediante la fórmula del ángulo de Brewster usual. Hay varias expresiones equivalentes, por ejemplo: sin θ B n = n2 + 1, tan θ B = n. 37 Para dejar esrito esto en términos de las antidades del sistema S, lo más senillo es usar la fórmula de aberraión para sin θ i, sin θ B = sin θ B + β 1 + β sin θ B 5 = n + β n βn + n