10 Figuras planas. Semejanza

Transcripción

1 Figurs plns. Semejnz Qué tienes que ser? QUÉ tienes que ser? Atividdes Finles Ten en uent Teorem de Pitágors. En un triángulo retángulo, el udrdo de l hipotenus es igul l sum de los udrdos de los tetos. Ten en uent Teorem de Tles. Si dos rets sentes son ortds por vris rets prlels, los segmentos orrespondientes determindos sore ls rets sentes son proporionles. A O A B B OA OA = AB A B Ten en uent Dos triángulos son semejntes si tienen los ángulos igules los ldos son proporionles. Criterios de semejnz Dos triángulos son semejntes si umplen uno de estos riterios: Tienen los tres ldos proporionles. Tienen dos ángulos igules. Tienen dos ldos proporionles, el ángulo que formn oinide. = + Clul l longitud del segmento. C Teorem de Tles 1 m B C B r A s A Como ls rets r s son sentes, plimos el teorem de Tles otenemos que: AB = BC A B B C AB A B = BC B C 3 = = = 0,75 m Triángulos semejntes. Criterios de semejnz Epli por qué si los siguientes triángulos son semejntes. 0º 5 m 1, Teorem de Pitágors Un plz retngulr mide m de lrgo m de nho. Cuánto mide su digonl? Aplimos el teorem de Pitágors l triángulo formdo por l digonl el lrgo d el nho del retángulo. m d = + d = m d = 676 d = 676 = 6 L digonl mide 6 m. 0º 60º Tienen dos ldos proporionles: 3 1, 8 = 5 3 El ángulo que formn los ldos proporionles mide, igul en los dos triángulos. Tienen dos ángulos igules: 60º 0º Tienen los tres ldos proporionles: 8 6 = 7 5,5 = 3 60º 7 m 5,5 m Polígonos figurs irulres 73 Determin el áre de ls siguientes figurs m 1 m 15 m 3, Clul el áre de estos setores irulres. 65º 1 m Hll l longitud de los siguientes ros. 30º 7 m 00º Teorem de Pitágors. Apliiones 76 Identifi el vlor de l hipotenus de los tetos de los siguientes triángulos retángulos. 11 m 61 m 60 m d) 3,3 km z,5 km,8 km 77 Hll l medid del ldo que flt en los triángulos retángulos propuestos. 8,5 m,6 dm 8,, dm 78 9 dm 1 dm d) d km,1 km Clul el áre del udrdo que flt en d so. Cuánto miden los ldos de d triángulo? 5 u² 1 u²? 9 u²? 169 u² 79 Qué distni reorre Antonio proimdmente l deslizrse por un toogán que mide 3,6 m de ltur siendo que l distni entre l se del toogán el punto donde to el suelo es de 1,5 m? 80 Un GPS indi que, pr ir desde un punto otro, h que desplzrse 18 km hi el norte 9 km hi el oeste. Si Crmen quiere ir de punto punto en líne ret, uántos kilómetros tendrá que reorrer proimdmente? 81 Ismel neesit superr on un rrito un eslón de 1 de ltur on un tlón de 3 de lrgo. A qué distni del eslón tiene que olor el tlón? Un empres de pintores estlee omo medid de seguridd que h que olor l esler 0,75 m de l pred por d metro de ltur que lne en ell. Cuál es l longitud de un esler que se h situdo 3 m de l pred? Sugerenis didátis En est seión se destn los proedimientos más importntes que los lumnos deen her prendido trs estudir est unidd. En este momento, los lumnos deen ser pes de: Aplir el teorem de Pitágors pr resolver prolems. Otener l longitud de segmentos proporionles utilizndo el teorem de Tles. Reonoer triángulos semejntes plindo los riterios de semejnz. Atividdes finles Soluiones de ls tividdes 73 Determin el áre de ls siguientes figurs. 1 m 15 m r 3,1 3 A = A Retángulo + A Semiírulo = h + = = 7 + 1,13 = 86,1 A = A Triángulo + A Semiírulo = h r + = ,1 + = ,1 = 85,1 m A = A Heágono + 6 A Semiírulo = P p r 6 1, 73 3, = + 6 =,38 + 9, = 19, m 3, 30 Mtemátis.º ESO

2 Figurs plns. Semejnz 7 Clul el áre de estos setores irulres. 65º 1 m nº r 65 3,1 1 A = = = 81,6 360º 360 nº r 00 3,1 8 A = = = 111,6 360º Hll l longitud de los siguientes ros. 30º 7 m 00º nº r 30 3,1 7 L = = = 8,09 m 360º 360 nº r 50 3,1 6 L = = = 5, 360º Identifi el vlor de l hipotenus de los tetos de los siguientes triángulos retángulos. 11 m d) 61 m 60 m 3,3 km z,5 km,8 km Ctetos: 11 m 60 m; hipotenus: 61 m Ctetos: ; hipotenus: Ctetos: e ; hipotenus: z d) Ctetos: 3,3 km,8 km; hipotenus:,5 km 77 Hll l medid del ldo que flt en los triángulos retángulos propuestos. 9 dm 8,5 m,6 dm 8,, dm 1 dm + 8, = 8,5 = 8,5 8, = 7,5 70,56 = 1,69 = 1, 69 = 1, 1 + = 9 = 9 1 = 81 1 = 00 = 00 = 0 dm +, =,6 =,6, = 6,76 5,76 = 1 = 1 = 1 dm d) d + =,1 d =,1 = 16,81 16 = 0,81 d = 0,81 = 0,9 km d) d km,1 km 31 Mtemátis.º ESO

3 Figurs plns. Semejnz 78 Clul el áre del udrdo que flt en d so. Cuánto miden los ldos de d triángulo? 5 u² 1 u²?? 9 u² 169 u² A + 9 = 5 A = 5 9 = 16 u Los tetos miden 16 = u 9 = 3 u, l hipotenus 5 = 5 u. A + 1 = 169 A = = 5 u Los tetos miden 5 = 5 u 1 = 1 u, l hipotenus 169 = 13 u. 79 Qué distni reorre Antonio proimdmente l deslizrse por un toogán que mide 3,6 m de ltur siendo que l distni entre l se del toogán el punto donde to el suelo es de 1,5 m? Clulmos l hipotenus del triángulo plindo el teorem de Pitágors. d = 3,6 + 1,5 = 1,96 +,5 = 15,1 d = 15,1 = 3,9 Antonio reorre 3,9 m proimdmente. 80 Un GPS indi que, pr ir desde un punto otro, h que desplzrse 18 km hi el norte 9 km hi el oeste. Si Crmen quiere ir de punto punto en líne ret, uántos kilómetros tendrá que reorrer proimdmente? Aplimos el teorem de Pitágors pr lulr l distni. d = = = 05 d = 05 = 0,1 Tendrá que reorrer 0 km proimdmente. 81 Ismel neesit superr on un rrito un eslón de 1 de ltur on un tlón de 3 de lrgo. A qué distni del eslón tiene que olor el tlón? 3 1 Aplimos el teorem de Pitágors pr lulr l distni. d + 16 = 3 d = 3 16 = = 900 d = 900 = 30 Tiene que olor el tlón 30 m de distni. 8 Un empres de pintores estlee omo medid de seguridd que h que olor l esler 0,75 m de l pred por d metro de ltur que lne en ell. Cuál es l longitud de un esler que se h situdo 3 m de l pred? Si se h olodo 3 m de l pred es porque l esler lnz un ltur de 30,75 = m. Aplimos el teorem de Pitágors pr lulr l longitud de l esler. l = 3 + = = 5 I = 5 = 5 L longitud de l esler es 5 m. 3 Mtemátis.º ESO

4 Figurs plns. Semejnz Figurs plns. Semejnz Atividdes Finles 83 Mrio Lur están volndo un omet. Lur sostiene l omet h soltdo m de uerd. Mrio está prdo 8 m de Lur, justmente en l vertil de l omet. A qué distni del suelo se enuentr l omet? Ten en uent que Lur sostiene l omet 1 m por enim del suelo. Figurs semejntes 89 Utiliz instrumentos de medid omprue si los siguientes udriláteros son semejntes. Teorem de Tles. Apliiones 9 Averigu los dtos que fltn en los siguientes diujos., m, m 3, m,5 m Triángulos semejntes. Apliiones 99 Averigu los dtos que fltn en estos triángulos semejntes l rzón de semejnz entre d pr de triángulos. 1,75 m 1, 8 Clul el áre de los siguientes polígonos. 1 m 1 1 m 1 d) 15 m Estos dos udriláteros son semejntes on rzón de semejnz 3. Complet ls medids de los ldos los ángulos que fltn.,5 m 6, Ests figurs son semejntes. Averigu uánto miden los ldos los ángulos indidos. 16º º 5,75 m m Aˆ Bˆ 95 Si ls rets r s son prlels, se puede firmr que tmién lo es l ret t? r s m t 5 m 7,5 m 96 Un señl de tráfio de m de ltur proet un somr de 1, m. A es mism hor, un árol proet un somr de m. Qué ltur tiene el árol? m 0 Apli los riterios de semejnz pr enontrr prejs de triángulos semejntes. m 30º 3 1 0º 7,5 m 30º 5 m m 7 m 1,5 m m 0º,5 m m 30 m Clul el áre de un heágono regulr de de ldo. Hll el áre de un pentágono regulr de de ldo 5,5 mm de rdio. Ests son ls medids, en entímetros, de los tres ldos de un triángulo. Clsifílos según sus ángulos. 8, 15 17, , 1 15 d) 0, 1 9 Jime e Iván están onstruendo un er quieren segurse de que el poste que hn olodo form un ángulo de 90º on el suelo. Iván sostiene un uerd de 130 m en un punto del poste que está 50 m del suelo. Jime estir l uerd olo el otro etremo en un punto del suelo que está 1, m de l se del poste. Está el poste formndo relmente un ángulo de 90º? Esls 9 Averigu l distni entre los tres puelos. 93 Fíjte en los puntos responde, teniendo en uent que l distni del punto A l punto B represent 5 m en l relidd. A Cuál es l esl l que está representd l distni entre los dos puntos? Qué distni deerín tener dos puntos que en l relidd distn 60 km? B 97 Lol oserv un árol de,5 m de ltur l prte superior de un esttu en l mism visul, tl omo muestr el diujo. Cuánto mide de lto l esttu? 98 Mrin está viendo l prte más lt de un edifiio reflejd en el hro omo muestr el diujo. Cuál es l ltur del edifiio? 1 De dos triángulos retángulos semos los siguientes dtos: Triángulo ABC: un ángulo mide 37º, los tetos miden 5, m 6,9 m, respetivmente. Triángulo DEF: un ángulo mide 53º, l hipotenus mide 17,. Averigu si son semejntes, en so de que lo sen, lul los ángulos ldos desonoidos. Apli l semejnz pr enontrr ls medids que fltn en l siguiente figur. m,5 m 1,5 m Mrio Lur están volndo un omet. Lur sostiene l omet h soltdo m de uerd. Mrio está prdo 8 m de Lur, justmente en l vertil de l omet. A qué distni del suelo se enuentr l omet? Ten en uent que Lur sostiene l omet 1 m por enim del suelo. Aplimos el teorem de Pitágors. h + 8 = h = 8 =0 6 = 36 h = 36 = 6 m A est ltur h que sumrle el metro de ltur l que Lur sostiene l omet. Entones l omet se enuentr 7 m de ltur. 8 Clul el áre de los siguientes polígonos. 1 m d) m 3 30 m 1 m 17 m 33 Mtemátis.º ESO

5 Figurs plns. Semejnz (B + h (3+ 18) 1 A = = = Clulmos l mitd de l digonl mor plindo el teorem de Pitágors. d + 8 = 17 d = 17 8 = 89 6 = 5 d = A = D d = = 0 m 5 = 15 m Clulmos l ltur del retángulo plindo el teorem de Pitágors. h + 1 = 15 h = 15 1 = 5 1 = 81 h = A = h = 19 = 81 = 9 m d) Clulmos l ltur del triángulo plindo el teorem de Pitágors. h + 30 = 3 h = 3 30 = = 56 h = A = h = = 0 m 85 Clul el áre de un heágono regulr de de ldo. Clulmos l potem del heágono. p + 3 = 6 p = 6 3 = 36 9 = 7 p = 7 = 5, m A = P p 6 6 5, = = 93, 56 = 1 86 Hll el áre de un pentágono regulr de de ldo 5,5 mm de rdio. Clulmos l potem del pentágono. p + 1,5 =,55 p =,55 1,5 = 6,5,5 =,5 p =,5 =,1 m A = P p 5 3,1 = = 15,75 m 87 Ests son ls medids, en entímetros, de los tres ldos de un triángulo. Clsifílos según sus ángulos. 8, , 1 15, 1 15 d) 0, = 89 = Triángulo retángulo 15 = = Triángulo otusángulo 15 = 5 = + 1 Triángulo utángulo d) 9 = 81 = Triángulo retángulo 88 Jime e Iván están onstruendo un er quieren segurse de que el poste que hn olodo form un ángulo de 90º on el suelo. Iván sostiene un uerd de 130 m en un punto del poste que está 50 m del suelo. Jime estir l uerd olo el otro etremo en un punto del suelo que está 1, m de l se del poste. Está el poste formndo relmente un ángulo de 90º? L uerd, el poste el suelo formn un triángulo. Por un ldo 130 = 16900, por otro, 50 + = Como los resultdos son igules, el triángulo es retángulo el poste form un ángulo de 90º on el suelo. 89 Utiliz instrumentos de medid omprue si los siguientes udriláteros son semejntes. Ls medids del udrilátero de l izquierd son,5 m, m, 3,9 m,1 m. Ls medids de los ldos orrespondientes del udrilátero de l dereh son 1,, 1,, 3,1 m 1,6. 1, 8,5 = 1, 6 = 3,1 1, 68 = 3,9,1 = 0,8 Son proporionles on rzón de semejnz 0,8. 3 Mtemátis.º ESO

6 Figurs plns. Semejnz 90 Estos dos udriláteros son semejntes on rzón de semejnz 3. Complet ls medids de los ldos los ángulos que fltn.,5 m Cudrilátero de l izquierd: 6,,5 3 = ; 6 3 = Cudrilátero de l dereh: 3 = ; 6, 3 =, Todos los ángulos del primer udrilátero son igules los ángulos del segundo udrilátero. 91 Ests figurs son semejntes. Averigu uánto miden los ldos los ángulos indidos. 16º º 5,75 m m Aˆ 9 Averigu l distni entre los tres puelos. Bˆ A = º; B = 16º 5,75 = 5,75 = =,875 m L distni entre A B en el plno es de 1 m que son 5 km en l relidd. L distni entre A C en el plno es de 1,5 m que son 7,5 km en l relidd. L distni entre B C en el plno es de m que son km en l relidd. 93 Fíjte en los puntos responde, teniendo en uent que l distni del punto A l punto B represent 5 m en l relidd. A B Cuál es l esl l que está representd l distni entre los dos puntos? Qué distni deerín tener dos puntos que en l relidd distn 60 km? L distni entre los puntos A B es de. Se tiene que son 500 m. 60 km = m 5003 = = 000 Luego l esl es 1: Averigu los dtos que fltn en los siguientes diujos., m,5 m Aplimos el teorem de Tles.,5 =,,,5 = = 3,5 m 3 3, =, = 3, 3, = 1, Deerín tener un distni de 000 m., m 3, m 35 Mtemátis.º ESO

7 Figurs plns. Semejnz 95 Si ls rets r s son prlels, se puede firmr que tmién lo es l ret t? r s Sí, porque los segmentos son proporionles. m t 3 5 m = 7,5 5 = 1, 5 7,5 m 96 Un señl de tráfio de m de ltur proet un somr de 1, m. A es mism hor, un árol proet un somr de m. Qué ltur tiene el árol? El ángulo on el que iniden los ros del sol l suelo es el mismo, luego los triángulos que se formn son semejntes. 1, = h h = 1, = 3,3 El árol mide 3,3 m. 97 Lol oserv un árol de,5 m de ltur l prte superior de un esttu en l mism visul, tl omo muestr el diujo. Cuánto mide de lto l esttu? Los triángulos que se formn son semejntes porque están en posiión de Tles.,5 1, 7 = + 6 h 0,8 = 8 0,8 8 h = = 3, h Summos l ltur de Lol: 3, + 1,7 =,9 L esttu mide,9 m. 98 Mrin está viendo l prte más lt de un edifiio reflejd en el hro omo muestr el diujo. Cuál es l ltur del edifiio? Los dos triángulos son semejntes porque tienen dos ángulos igules. 1, 65 1, 5 = h 1, 65 h = =, 1, 5 El edifiio mide, m. 99 Averigu los dtos que fltn en estos triángulos semejntes l rzón de semejnz entre d pr de triángulos. 1,75 m Como los triángulos 1 3 son semejntes se tiene que: 1 1, 75, 1, 75 = 7 = = 1, 75 7 = = 3,065 m 7 1, 75 7 m = 1, 75 = =,375 m 3 m Como tmién los triángulos 3 son semejntes se tiene que:, 7 = =, 7 =, = = 1,37 m 7, 7 =, = = 3, 7 Rzón de semejnz entre 1 3: 1, 75 = 0, L rzón de semejnz entre 3:, 1, 75 = 0,3 L rzón de semejnz entre 1 : = 1, 8 7 1, Mtemátis.º ESO

8 Figurs plns. Semejnz 0 Apli los riterios de semejnz pr enontrr prejs de triángulos semejntes. m 30º 1 0º 7,5 m 30º 5 m m 1,5 m 5 6 0º 3,5 m m Los triángulos 1 3 son semejntes porque tienen dos ángulos igules. Los triángulos 5 son semejntes porque tiene un ángulo igul los ldos que lo formn son proporionles: 5 = 3 7,5 = 0, Los triángulos 6 son semejntes porque tienen los ldos proporionles.,5 = 8 = 6 1, 5 = 1 De dos triángulos retángulos semos los siguientes dtos: Triángulo ABC: un ángulo mide 37º, los tetos miden 5, m 6,9 m, respetivmente. Triángulo DEF: un ángulo mide 53º, l hipotenus mide 17,. Averigu si son semejntes, en so de que lo sen, lul los ángulos ldos desonoidos. Los dos triángulos tienen los ángulos igules que si uno mide 37º el otro tiene que medir 90º 37º = 53º. Luego los triángulos son semejntes. Clulmos l hipotenus del triángulo ABC: h = 5, + 6,9 h = 7,0 + 7,61 = 7,65 h = 8,6 Por ser semejntes, se tiene que los tetos del triángulo DEF miden: 17,8 8,6 = 17,8 5, = =, 5, 8,6 17,8 8,6 = 17,8 6,9 = = 13, 6,9 8,6 Apli l semejnz pr enontrr ls medids que fltn en l siguiente figur. m 1,5 m,5 m Aplimos l semejnz de triángulos. 5 =,5 1, 5 = 1, =,5 5,5 = = 6,5 m 5 = 1, 5 1, 5 5 1, 5 + = 1, 5 + = 3,75 =,5 m 1, Mtemátis.º ESO