SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

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1 DIVISIÓN DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS DTO. TERMODINÁMICA Y FENÓMENOS DE TRANSFERENCIA MÉTODOS AROXIMADOS EN ING. QUÍMICA TF-33 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Esta guía fue elaborada por: rof. Aurelo Stammtt Scarpone con la auda de: Br. María M. Camacho A. Queda termnantemente prohbda la reproduccón parcal o total de esta guía sn la aprobacón del rof. Aurelo Stammtt Scarpone.

2 Dpto. Termodnámca Fenómenos de Transferenca Métodos Aproxmados den Ingenería Químca (TF 33) SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES (SED S) Sstemas de Ecuacones Dferencales de er orden (SED S). Se tene el problema: d = f dx dz = f dx d = f dx z ( x,, z, ) ( x,, z, ) ( x,, z, ) Condcones ncales x ( = x) = 0 0 zx ( = x) = z 0 0 ( x= x ) = 0 0 Éste es un Sstema de Ecuacones Dferencales (SED) acoplado, donde x es la varable ndependente;, z son las varables dependentes, las cuales a su vez son dependentes entre sí. Las funcones f, f z f dependen en prncpo de todas las varables. Ahora el problema es encontrar las funcones de, z que satsfagan smultáneamente el SED. Ya se han estudado los métodos explíctos e mplíctos para resolver el VI con una sola ecuacón. Todos los métodos aplcables a los problemas de una sola varable (una ED) tambén pueden aplcarse a los SED S s se reescrben estos últmos de manera apropada. El truco está en reescrbr el SED en forma vectoral. ara una ecuacón se tenía que: = f( x, ) ; x ( 0) = 0 Ahora se defnen los sguentes vectores: Y = z Vector de varables dependentes Y 0 = z Vector de Valores Incales Enero Marzo 008 ág.

3 Métodos Aproxmados de Ing. Químca Y = z Vector de dervadas Se reescrben las funcones de las ecuacones: f ( xz,,, ) f( xy, ) fz( xz,,, ) fz( xy, ) f ( xz,,, ) f( xy, ) Nótese aquí que las ecuacones no han cambado, sólo se cambó la forma de escrbr los argumentos El sguente paso a segur es el verdadero truco, estas funcones por separado se agrupan en un vector. Defnmos el vector de funcones: f ( xy, ) F( x, Y) = fz ( x, Y) f ( xy, ) Vector de las ecuacones dferencales Fnalmente, el SED se puede escrbr de la sguente forma: f( x,, z, ) f( x, Y) z fz( x,, z, ) Y fz( x, Y) Y = = = F( x, Y) fz ( x,, z, ) f ( x, Y) Con esta estructura se pueden aplcar todos los métodos a vstos para una ecuacón. La solucón que se obtendrá ahora es una tabla de valores: x--z-, que representan a las tres funcones. Gráfcamente, se obtenen 3 curvas, que representan a cada varable. Nota:, z, representan dferentes magntudes físcas (temperatura, presón, concentracón, etc.) por ello deben dbujarse en gráfcos en separados para cada tpo de magntud.

4 Dpto. Termodnámca Fenómenos de Transferenca Métodos Aproxmados den Ingenería Químca (TF 33). Métodos de un aso Explíctos Método de Euler (Talor) ara el caso de una ecuacón se tenía que: = + h f( x, ) + + O( h ) con x = x0 + h ; [0,n] Ahora, para el SED se reescrbe así: Y = Y + h F + x, Y + O ( h ) con x = x0 + h ; [0,n] Nótese aquí que h es únco para todas las varables dependentes. Aquí: Y = z ; Y + = z ; Oh Oh = Oh Oh Nótese aquí que el orden del error es el msmo para todas las varables. Las ventajas desventajas son las msmas que para una sola ecuacón, en partcular, debe selecconarse un valor de h todavía más pequeño para asegurar la convergenca de todas las varables dependentes. Métodos de Runge Kutta Ya se vo anterormente que esta es una famla de métodos que usan unas constantes k, k, k 3, k 4, etc. para calcular el punto sguente. A contnuacón se explcan las más comunes: Enero Marzo 008 ág. 3

5 Métodos Aproxmados de Ing. Químca a) Método RK Explícto: En el caso de una sola ecuacón se tenía que: = f( x, ) ; x ( 0) = 0 El método usa dos constantes k k : f( x, ) f( x + h, ) = + k [ ] + Ahora ben, como se tene un SED de la forma: Y = F x, Y ; Y( x0) = Y0 Se tendrán un juego de constantes k por cada una de las varables ndependentes,z, ; es decr, se tendrá: k k k ; k ; k z z ; k Cada una de estas constantes debe evaluarse con la funcón respectva de la ED como sgue: El sstema orgnal es: = f ( x,, z, ) z = f ( x,, z, ) = z f ( xz,,, ) Ahora se defnen los k para cada varable: f ( x,, z, ) f ( x,, z, ) z z f ( x,, z, ) Esto escrbrse de forma vectoral como: F( x, Y) 4

6 Dpto. Termodnámca Fenómenos de Transferenca Métodos Aproxmados den Ingenería Químca (TF 33) A contnuacón se defnen los k, los cuales usan a los k a evaluados. f( x + h; ; z z ; ) kz = h fz( x + h; ; z z ; ) f ( x + h; ; z ; ) z Escrto en forma vectoral queda así: F x + h; Y ( ) Nótese que a cada, z, se le suma el correspondente k, k z, k = + k = Ahora, el punto sguente (+) vene dado por: z = z + [ k ] + z z [ k k ] + Escrbéndolo en forma vectoral queda: Y+ = Y + k Esta formulacón es mu poderosa porque permte evaluar un sstema de n ecuacones, desde mu smples a mu complejas. b) Método RK4 Explícto: Como se sabe, este método hace uso de cuatro (4) constantes k en su formulacón. A contnuacón sólo se presenta la formulacón para Smpson /3 en forma detallada; la de Smpson 3/8 es exactamente gual, sólo camban las fraccones que multplcan a los k. ara el caso de una ecuacón se tenía que: = f( x, ) ; x ( 0) = 0 Y que las constantes así como el punto sguente venían dados por las sguentes ecuacones: Enero Marzo 008 ág. 5

7 Métodos Aproxmados de Ing. Químca f( x, ) h k k = h f x +, h k k3 = h f x + ; f x + h ( ; ) 4 3 = 6 [ ] Igualmente, se tendrá un juego de k, k, k 3 k 4 para cada varable en el SED. Se defnen los k : f ( x,, z, ) f ( x,, z, ) z z f ( x,, z, ) En forma vectoral: F( x, Y) Nótese que a cada, z, se le suma el correspondente k, k z, k Se defnen los k : h k kz k = h f x + ; + ; z + ; h k kz kz = h fz x + ; + ; z + ; h k kz k = h f x + ; + ; z + ; h Ahora se reescrbe en forma vectoral: F x + ; Y Se defnen los k 3 : h k kz k3 = h f x + ; + ; z + ; h k kz k3z = h fz x + ; + ; z + ; h k kz k3 = h f x + ; + ; z + ; 6

8 Dpto. Termodnámca Fenómenos de Transferenca Métodos Aproxmados den Ingenería Químca (TF 33) h Escrbéndolo en forma vectoral queda: k3 = h F x + ; Y con: k Y + = z z Ahora se defnen los k 4 : ( ; ; ; ) ( ; ; ; ) ( ; ; z ; ) f x + h z 4 3 3z 3 f x + h z 4z z 3 3z 3 f x + h z Los cuales se pueden reescrbr como: k4 = h F( x + h; Y 3) con: = 3 3 3z 3 Fnalmente, el nuevo punto (+) se calcula como: + = k + O h z+ = z + [ kz z 3z 4z] + O h 6 + = + [ k 3 4] + O h En forma vectoral queda: Y+ = Y + k + O h Expresado de esta forma general el método es mu poderoso para un número cualquera de ecuacones. Sn embargo, en líneas generales, debe usarse un h bastante pequeño para asegurar la convergenca de todas las varables, z. Enero Marzo 008 ág. 7

9 Métodos Aproxmados de Ing. Químca. Métodos Multpaso Explíctos Son los que utlzan varos puntos prevos: Métodos de Adams Bashford - Moulton Como a se ha estudado, esta famla se cataloga por el número de puntos prevos utlzados tenen dos etapas; una de predccón otra de correccón, por esta razón tambén se les conoce como métodos predctor reductor. redccón: Adams Bashford Se presentan las formas para el sstema de ecuacones: AB: = + h f ( x,, z, ) + + = + z + = + h f x z z z h f ( x,, z, ) (,,, ) En forma vectoral: Y = Y + h + F( x, Y) h + = + 3 (,,, ) (,,, ) f x z f x z h h + = + AB: z+ = z + [ 3 fz( x,, z, ) fz( x,, z, ) ] [ 3 f ( x,, z, ) f ( x,, z, )] h En forma vectoral: Y+ = Y + 3 F( x, Y) F( x, Y ) Se procede se la msma forma para las expresones restantes: h AB3: Y+ = Y + 3 F( x, Y) 6 F( x, Y ) + 5 F( x, Y ) h AB4: Y+ = Y + 55 F( x, Y) 59 F( x, Y ) + 37 F( x, Y ) 9 F( x 3, Y 3) 4 8

10 Dpto. Termodnámca Fenómenos de Transferenca Métodos Aproxmados den Ingenería Químca (TF 33) Correccón: Adams Moulton Aquí se utlzan los valores predchos arrba: AM: (,,, ) (,,, ) (,,, ) = + h f x z C z = z + h f x z C + z = + h f x z C En forma vectoral: C Y = Y + h F x, Y AM: C h + = + 3 f( x,, z, ) f( x,, z, ) C h z+ = z + 3 fz( x,, z, ) fz( x,, z, ) C h + = + 3 f( x, +, z+, + ) f ( x,, z, ) En forma vectoral: C h Y+ = Y + 3 F( x, Y+ ) F( x, Y) Esta es la msma forma de Euler Implícto rocedendo de la msma forma para las fórmulas restantes: C h AM3: Y+ = Y + 3 F( x+, Y+ ) 6 F( x, Y) + 5 F( x, Y ) AM4: C h Y+ = Y + 55 F( x, Y+ ) 59 F( x, Y) + 37 F( x, Y ) 9 F( x, Y ) 4 Aquí se debe recordar que cada método AM debe ser usado con su respectvo AB. El procedmento de arranque es el msmo que para una ecuacón. Tambén se puede combnar gualmente con RK4. Enero Marzo 008 ág. 9