Interacción electrón-electrón: Plasmones, Apantallamiento, función dieléctrica

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1 Interacción electrón-electrón: Plasmones, Apantallamiento, función dieléctrica Rubén Pérez Departamento de Física Teórica de la Materia Condensada, C-05, 6a planta, despacho 601 Universidad Autónoma de Madrid, Spain Física del Estado Sólido II, Curso 010/011

2 Índice.1 Interacción electrón-electrón: excitaciones colectivas (plasmones) y apantallamiento. Plasmones.3 Apantallamiento y función dieléctrica.4 Función dieléctrica y Propiedades Ópticas..5 Teoría del Funcional de la Densidad

3 .1 Interacción electrón-electrón: excitaciones colectivas (plasmones) y apantallamiento

4 Sistema de partículas no interactuante N 3 Estado fundamental 1 Estados excitados: Suma de pares electrón-hueco N 3 N 3 N 3 1 Excitación elemental: Par electrón-hueco 1 1

5 Estados excitados de un sistema interactuante como suma de excitaciones elementales. Interacción (ε) entre las excitaciones elementales es pequeña. Las excitaciones tienen una vida media suficientemente larga Dos tipos: Cuasi-particulas (para distinguirlas del caso no interactuante: quasi-electrones) y excitaciones colectivas

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8 . Excitaciones colectivas: Plasmones

9 Plasmones (argumento electrostático) Todos los e- del sistema tienen un desplazamiento longitudinal que depende de la posición que ocupan: La polarización debida a ese desplazamiento (con respecto a la carga ρ o e que neutraliza) es: El campo eléctrico creado es (no hay cargas externas): La ecuación de movimiento clásica para los e- del gas: tiene como solución oscilaciones de carga longitudinales con frecuencia

10 Plasmones (argumento electrostático) e- Fondo de carga positiva L/3 Fondo de carga positiva

11 Plasmones Oscilaciones longitudinales de larga longitud de onda del gas de electrones Iones y electrones se mueven en oposición de fase:variaciones en densidad de carga ion ( r) 0 (Incluyendo calentamiento por compresion adiabatica) p 4 16 e 0 10 Hz p 10eV m e Los plasmones representan grados de libertad del gas de e- que están congelados (no pueden excitarse térmicamente): la interacción es tan fuerte que podemos olvidarnos de ella

12 Plasmones (1): Perdidas en electrones transmitidos

13 Plasmones () Al Mg

14 Plasmones (3)

15 Plasmones (5): Relación de dispersión

16 .3 Función dieléctrica: aproximaciones de Thomas-Fermi y Lindhard; resultados exactos

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26 Transiciones intra- e inter-banda Metales Semiconductores y Aislantes Bandas parcialmente ocupadas: Respuesta dielectrica determinada fundamentalmente por transiciones intrabanda, con correcciones por las transiciones interbanda. Gas de e - es un modelo razonable para (0,) Bandas llenas: Respuesta dielectrica determinada fundamentalmente por transiciones interbanda. Frecuencias caracteristicas asociadas a las transiciones (excitaciones) a traves del gap

27 Función dielectrica para semiconductores ( q, ) 1 iqr 8 e dk e c, k q v, k q ( ) E E i 3 vc, c, k q v, k (dominada por las transiciones entre la banda de valencia y la de conducción) Modelo sencillo: reemplazamos,, Conduce a la función dielectrica de Lorentz E E c k q v k por una energía de excitación promedio ħ av (0, ) 1 p i av (Clásicamente, asociada a un conjunto de cargas ligadas que pueden oscilar con frecuencia av. Metal corresponde al caso de cargas libres ( av = 0))

28 Función dielectrica Longitudinal en sólidos iqr 8 e dk e n, k q m, k ( q, ) 1 f ( E ) f ( E ) m, k n, k q q ( ) E E i 3 mn, n, k q m, k Sólo transiciones intrabanda (q, ) para el gas de electrones q 0 8 e ( q, ) 1 q (Drude) (0, ) 1 dk ( ) 3 p i f ( E ) f ( E ) m, k n, k q ( k q) k i m m p 4 ( relacionada con parte real de la conductividad), 0 (Lindhard) (Se puede integrar para tener expresiones analíticas) ktf q ( q,0) 1 F( ) q k Sólo transiciones interbanda dominan transiciones banda valencia conducción iqr 8 e dk e c, k q v, k ( q, ) 1 q ( ) E E i 3 vc, c, k q v, k q 0 + excitación promedio av (Lorentz) (cargas ligadas con oscilaciones av ) (0, ) 1 p av F i

29 Las singularidades de (q): E E k q k para q~k F son responsables de las anomalias de Kohn en el espectro vibracional de metales para q~k F : kinks para q correspondiente a diametros extremales de la superficie de Fermi Anomalías de Kohn

30 .4 Función dieléctrica y propiedades ópticas

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32 Metales: Función dieléctrica de Drude (0, ) 1 p i p 1 1 p ( ) ( ) n i 1i 1 n n n ( ) ( ) R Espectros ópticos: Reflectividad y Absorción (1 n) (1 n) (interfase solido-vacio e incidencia normal) c

33 Función dieléctrica y propiedades ópticas Gas de electrones Sólido real: Al (0, ) 1 p i Reflectividad experimental de Al comparada con la de un gas de electrones (con ħ=15. ev y =0 o =3.6 x cm -1 (---))

34 H o Función dielectrica transversal en sólidos P m V ( r ) A( r, t) Potencial Vector electromagnético 1 e H P A r t V r m c (, ) ( ) Gauge de Coulomb A( r, t) 0 Aprox. dipolar: despreciamos A A( r, t) A ee ˆ A ee ˆ i( qr t ) i( tqr ) 0 0 Perturbación transversal e H Ho A( r, t) P mc ê q ( q, ) 1 T iqr e dk e e P n, k q m, k f E f E m, k n, k q 3 mn. ( ) ( ) / n, k q m, k n, k q m, k 8 ˆ ( ) ( ) m E E E E i Las f. dielectricas longitudinal L (q, ) y transversal T (q, ) coinciden en el límite q0 en medios isótropos iq r P q 0 e iq r r iq m E E, 0 H r i m P (0, ) 1 L e dk q P n, k q m, k f E f E m, k n, k q 3 mn. ( ) ( ) / n, k q m, k n, k q m, k 8 ˆ ( ) ( ) m E E E E i

35 Reflectancia en metales Al Fuerte reduccion en reflectividad para 1.5 ev debida a transiciones interbanda cerca de W y K Bandas paralelas: muchas transiciones a la misma energía Transiciones intrabanda en banda 4s (ocupacion ~ ½) Las transiciones interbanda 3d4s dominan debido a la alta densidad de estados asociada a los orbitales 3d

36 El Color de los metales A pesar de que los metales son generalmente buenos espejos, precibimos visualmente que Au tiene un color amarillo, Cu rojizo, mientras que Ag no presenta ningún color. Relacionado con la energia minima para transiciones interbanda ds Cu: 3d 4s E min ~ ev Perdemos las > ev en el espectro reflejado color rojizo (rojo= ev) Ag: 4d 5s E min ~ 4 ev Reflectividad ~ 100 % en todo el rango óptico ( ev).

37 Función dielectrica y espectros para un modelo con excitación promedio av (0, ) 1 p i av ( ) p av 1 1 ( ) av p ( av ) Funcion de perdidas centrada en: 1 p av ( ) (ħ av = 4 ev, ħ= 1 ev, ħ p = 60 ev= ev)

38 Reflectancia y absorción en Si Los picos en absorción (E 1 =3.5 y E =4.3 ev) y en reflectividad están asociados con transiciones en las cercanias de L y X Reflectancia (%) Las transiciones indirectas son menos probables porque es necesaria la emisión/absorción de un fonón para conservar el momento

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