Matemáticas aplicadas a las Ciencias sociales 1. Examen de pendientes de cursos anteriores. 2º parcial.

Transcripción

1 Matemáticas aplicadas a las Ciencias sociales 1 Examen de pendientes de cursos anteriores. º parcial. 1. Dibuja la gráfica de la siguiente función indicando claramente los puntos de corte con los ejes y el vértice de la parábola: f x ={ x 5 si x 0 x 6x 5 si x 0. Halla el dominio de las siguientes funciones, estudia su continuidad y calcula la ecuación de sus asíntotas. f x = 4 x x x 6 3. Dadas las funciones f x = a. f g b. g 1 y g x = 3x 1 x halla: 4. Dada la función f x = x x x, calcula el valor de su límite cuando a. x tiende a infinito. (0,75 puntos) b. x tiende a. (0,5 puntos) c. x tiende a 1. (0,75 puntos) 5. El número de habitantes de una determinada ciudad ha evolucionado de acuerdo con los datos reflejados en la siguiente tabla: Año Población (miles de habitantes) a. Estima mediante interpolación cuadrática la población en 003. b. Cúal será la población estimada en 01? 6. Para estudiar la relación entre los gastos de publicidad de seis empresas de productos lácteos y las ventas realizadas durante un periodo de tiempo, disponemos de los siguientes datos: Gastos (miles ) Ventas a. Halla las medias y las desviaciones típicas de las variables X e Y. b. Calcula la covarianza y el coeficiente de correlación. c. Determina la ecuación de la recta de regresión de Y sobre X. d. Estima el valor que se puede esperar para un gasto de 8 mil euros. 7. El tiempo de hospitalización en una determinada zona sanitaria sigue una distribución normal de media 7 días y desviación típica 3 días. a. Cuál es la probabilidad de que un enfermo esté menos de 5 días en el hospital? b. Qué porcentaje de enfermos está hospitalizado menos de 8 días?

2 Resolución x + 5 si x < 0 1. f ( x) = x 6x + 5 si x 0 Es una gráfica en dos trozos. El primero, y = x + 5, es una semirrecta que sale del punto A=(0, 5) (sin llegarlo a tocar) y pasa por B=(-1,3). Corta al eje X si 0 = x + 5 x = -5/ C=(-'5, 0). El segundo trozo, y = x 6x + 5, es una parábola a la que se ha aplicado el valor absoluto, convirtiendo todos sus valores en positivo. Su vértice está en V x = -b/a = 6/ = 3 V=(3, -4) Corta al eje Y si x = 0 A=(0, 5) Corta al eje X si y = 0 0 = x 6x + 5 x=1, x=5 D=(1, 0) E=(5,0). f x = 4 x x x 6 Dominio: No puede ser que el denominador sea 0. x x 6=0 x= 1± 1 4 { x= x= 3 Estudiamos x = -3 4 x x 3 - x x 6 = 4 x x 3 x 3 x = 5 0 = - 4 x x 3 + x x 6 = 4 x x 3 x 3 x = 5 + f 3 no existe Estudiamos x = 0 = Dominio = R { 3, } } { Discontinuidad de salto infinito en x = -3 Asíntota vertical de ecuación x = -3 4 x x - x x 6 = 0 0 = x x x x 3 x = x x x x 6 = 4 } {Discontinuidad evitable en x = 5 + f no existe Estudiamos x x 4 x x x 6 = = x x = 1 Asíntota horizontal de ecuación y = 1 x 3. f x = a. b. g x = 3x 1 x f g= f g x = f 3 x 1 x = 3x 1 x 1 = = 1 x 3 x 1 x 4 x 1 1 x 3 x = y 3 x = y y x 3 x y x= y 3 y x= y 1 x x= y 3 y g 1 x = x 3 x

3 4. Dada la función f x = x x x, calcula el valor de su límite cuando a. f x = x x x = x x = x x 0 = x x x x =0 f x = x x x = x 1 = b. x c. x 1 f x = = = x x x = 0 0 = x x x x x x = x x x = 1 1 =1 x x x x x x = x x x x x 1 x x x = 5. Si suponemos que 1995 es el año en que empezamos a contar, podemos sustituirlo por 0. Así, 001 será el año 6 (= ), y 007 el año 1. De esta forma los cálculos serán más sencillos. Año Población (miles de habitantes) El polinomio interpolador será f (x) = a x + b x + c. f 0 =3 a 0 b 0 c=3 c=3 f 6 =7 a 6 b 6 3=7 36 a 6b=4 f 1 =33 a 1 b 1 3= a 1 b=10 Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (por reducción, por ejemplo): 36 a 6 b=4 { { { 144 a 1b=10 36 a 6b=4 144 a 4 b= 16 7 a 6 b= 5 144a 1b=10 {a= a = 1 1b= 6 b= 1 de donde f x = 1 36 x 1 x 3 a. El año 003 corresponde a x = 8 (= ), de donde f 8 = =8, 7 es decir, 8778 habitantes. b. En 01, x = 17, de donde f 8 = =39,5 7 es decir, habitantes.

4 6. Los datos del problema dan lugar a las siguientes tablas; (f ij = 1 porque no se repiten datos) x i x i y i y i x i y i SUMAS a. σ x = x= x i n = 1 6 =3,5 y= y i n = 89 6 =14,83 x i n x = = 91 6 (3,5) =1,71 σ y y i y = 1341 n 6 (14,83) =1,86 x b. σ xy = i y j x y= 338 n ,83=4,43 r = σ σ x y xy = 1,71 1,86 =0,7 σ xy 4,43 Existe una notable correlación positiva. c. La recta de regresión es y y= σ xy 4,43 (x x) y 14,83= (x 3,5) y=1,51x+9,53 σ x 1,71 d. Si x = 8, entonces y = 1, ,53 = 1,61 Para unos gastos de 8 mil euros en publicidad se esperan unas ventas de 1, X = días de hospitalización es una distribución N(7, 3) a. p(x<5)= p ( Z< ) =p(z< 0,67)=1 p(z<,67)=1 0,7486=0,514 La probabilidad de que la estancia sea menor de 5 días es del 5%. b. p(x<8)=p ( Z< ) = p(z<0,33)=0,693 La probabilidad de que la hospitalización sea menor que 8 días es del 63%.

5 Matemáticas aplicadas a las Ciencias sociales 1 Examen de pendientes de cursos anteriores. º parcial. 1. Dibuja la gráfica de la siguiente función indicando claramente los puntos de corte con los ejes y el vértice de la parábola: f x ={ x x 6 x si x si x ( puntos). Halla el dominio de la siguiente función, estudia su continuidad y calcula la ecuación de sus asíntotas. x 9 f x = x ( puntos) 3. Dadas las funciones f x = x x 1 y g x = x 3 3 x a. f g (1 punto) b. f 1 (1 punto) halla: 4. Dada la función f x = x 5 3, calcula el valor de su límite cuando x a. x tiende a infinito. (0,75 puntos) b. x tiende a. (0,75 puntos) c. x tiende a 1. (0,5 puntos) 5. El número de fotocopias realizadas en una oficina viene dado por los siguientes datos durante los tres primeros meses del año: Mes Enero Febrero Marzo Nº de fotocopias a. Obtén el polinomio interpolador que determina el nº de fotocopias al mes.(0,75 puntos) b. Deduce el nº de fotocopias que se realizarán en abril. (0,5 puntos) c. Sirve el polinomio para calcular el nº de fotocopias de octubre? Razona la respuesta. (0,5 puntos) 6. En una Comunidad Autónoma la evolución del índice de precios al consumo y de la tasa de inflación acumulada en los primeros 6 meses del año es la que se muestra en la tabla: IPC = X 0,6 0,9 1,1 0,8 1, 0,8 TIA = Y 3,6 3,8 4 3,9 4,1 4 a. Halla las medias y las desviaciones típicas de las variables X e Y. (0,5 puntos) b. Calcula la covarianza y el coeficiente de correlación. (0,5 puntos) c. Determina la ecuación de la recta de regresión de Y sobre X. (0,5 puntos) d. Estima el valor de la TIA que se puede esperar para un IPC de 1,5.(0,5 puntos) 7. El contenido teórico de cierto jarabe es de 15 cm 3. Si suponemos que el contenido de los frascos de jarabe sigue una distribución normal de desviación típica 8 cm 3 : a. Cuál es la probabilidad de que un frasco tenga menos de 135 cm 3? (1 punto) b. Qué porcentaje de frascos tiene entre 115 y 135 cm 3? (1 punto)

6 Fórmulas de estadística. Media x= x i N y= y i N = Desviación típica = x i x N x y y i N y Covarianza xy = x i y i N x y Coeficiente de correlación r= x y xy Recta de regresión y y= σ xy σ x (x x) Tabla de la distribución normal N(0,1) Para valores entre 1,0 y 1,59 0 0,01 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 1 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,861 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,879 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1, 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,895 0,8944 0,896 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,903 0,9049 0,9066 0,908 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,916 0,9177 1,4 0,919 0,907 0,9 0,936 0,951 0,965 0,979 0,99 0,9306 0,9319 1,5 0,933 0,9345 0,9357 0,9370 0,938 0,9394 0,9406 0,9418 0,949 0,9441