Física II CF-342 Ingeniería Plan Común.

Transcripción

1 Física II CF-342 Ingeniería Plan Común. Omar Jiménez Henríquez Departamento de Física, Universidad de Antofagasta, Antofagasta, Chile, I semestre Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

2 Contenidos 1 Capacidad y Dieléctrico Capacidad Capacitores en paralelo Capacitores en serie Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

3 Capacitancia Capacitor: Es un dispositivo formado por dos conductores muy próximos uno del otro y con cargas de igual magnitud pero signos diferentes. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

4 Capacitancia Capacitor: Es un dispositivo formado por dos conductores muy próximos uno del otro y con cargas de igual magnitud pero signos diferentes. La capacitancia C, de un capacitor se define como la razón de la magnitud de la carga en cualquiera de los conductores a la diferencia de potencial entre ellos. C = Q V Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

5 Capacitancia donde: Q: es la carga de cualquiera de los conductores, V : es la diferencia de potencial entre los conductores, C: constante de proporcionalidad entre la carga Q y la diferencia de potencial V, llamada Capacitancia del capacitor. En el SI la unidad de Capacitancia es el Faradio (F) Faradio = Coulomb, 1F = 1 C Volt V La capacitancia es siempre una cantidad positiva y depende de la geometría del capacitor y del material que separa a los conductores, llamado dieléctrico. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

6 Capacitor placas paralelas Dos placas paralelas de igual área A están separadas una distancia d, como en la figura. Una placa tiene carga +Q y la otra carga Q. La carga por unidad de área en cada placa es σ = Q/A. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

7 Capacitor placas paralelas Dos placas paralelas de igual área A están separadas una distancia d, como en la figura. Una placa tiene carga +Q y la otra carga Q. La carga por unidad de área en cada placa es σ = Q/A. Para determinar la capacidad C = Q/V debemos calcular la diferencia de potencial entre las placas. Si despreciamos los efectos de los extremos del capacitor, de la ley de Gauss tenemos que el campo eléctrico es distinto de cero sólo entre las placas y tiene un valor de E = σ ɛ 0 Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

8 Capacitor placas paralelas Ahora, la diferencia de potencial entre los puntos A y B es: V B V A = = B A B A E d l = Edx = E B A B A (Eî) (dxî) dx = Ed. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

9 Capacitor placas paralelas Ahora, la diferencia de potencial entre los puntos A y B es: V B V A = = B A B A E d l = Edx = E B A B A (Eî) (dxî) El potencial eléctrico disminuye al pasar del punto A al punto B, es decir V = Ed. Luego, la capacitancia es dx = Ed. C = Q V = Q = ɛ 0Q σd σd = ɛ A 0 d ɛ 0 Vemos que la capacidad del capacitor de placas paralelas A C = ɛ 0 d, depende de la geometría. La cual es proporcional al área de las placas e inversamente proporcional a la separación entre las placas. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

10 Capacitores en paralelo y en serie Al analizar los circuitos eléctricos, a menudo conviene conocer la capacitancia equivalente de dos o más capacitores que están conectados de cierta manera. Por capacitancia equivalente entendemos la de un capacitor individual que puede sustituir a la combinación de capacitores, sin modificar el funcionamiento en el resto del circuito. En los circuitos eléctricos utilizamos la siguiente simbología Condensador Batería Interrumpor Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

11 Capacitores en paralelo Inicialmente tenemos dos condensadores C 1 y C 2 conectados en paralelo con capacitancia C 1 = Q 1 V 1 y C 2 = Q 2 V 2, pero inicialmente descargados. Luego, conectamos una batería en los terminales lo que permite generar una diferencial de potencial V y un flujo de electrones. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

12 Capacitores en paralelo El flujo de carga termina cuando el voltaje a través de los condensadores es igual al de la batería y en este caso los condensadores están completamente cargados, con lo cual C 1 = Q 1 V y C 2 = Q 2 V, el condensador C 1 tiene carga Q 1 y el condensador C 2 tiene carga Q 2. La carga total en los condensadores es Q = Q 1 + Q 2, Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

13 Capacitores en paralelo El condensador equivalente debe tener el mismo efecto que los dos originales. Es decir, almacenar Q unidades de carga y tener una diferencia de potencial en sus extremos igual a V. Dado que Q = Q 1 + Q 2, y C eq = Q V luego C eq V = C 1 V + C 2 V, finalmente C eq = C 1 + C 2. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

14 Capacitores en paralelo En general, si tenemos dos o más condensadores conectados en paralelo, la capacitancia equivalente C eq es la suma de las capacitancias individuales, C eq = C 1 + C C n. La carga total es la suma de las cargas individuales en los condensadores Q = Q 1 + Q Q n, y la diferencia de potencial es la misma entre los condensadores V = V 1 = V 2 =... = V n. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

15 Capacitores en serie Ahora, consideramos dos condensadores en serie con capacitancia C 1 y C 2 inicialmente descargados. C 1 = Q 1 V 1 y C 2 = Q 2 V 2. Luego, conectamos una batería en los terminales lo que permite generar una diferencia de potencial V y un flujo de electrones. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

16 Carga negativa se acumula en la placa derecha de C 2 lo que produce una acumulación de carga positiva en la placa izquierda de C 2. Algo similar ocurre con el condensador C 1. Finalmente, todas las placas derechas ganan carga Q mientras que las placas izquierdas tienen carga +Q. En este caso, tenemos C 1 = Q V 1 y C 2 = Q V 2, y los potenciales se relacionan por medio de V = V 1 + V 2. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

17 Capacitores en serie El condensador equivalente debe tener el mismo efecto que los dos originales. Es decir, almacenar Q unidades de carga y tener una diferencia de potencial en sus extremos igual a V. Dado que V = V 1 + V 2, y C eq = Q V luego finalmente Q C eq = Q C 1 + Q C 2, 1 C eq = 1 C C 2. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

18 Capacitores en serie Si tenemos dos o más condensadores conectados en serie, la capacitancia equivalente C eq es 1 C eq = 1 C C C n. La carga total en los condensadores es y la diferencia de potencial Q = Q 1 = Q 2 =... = Q n, V = V 1 + V V n. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

19 Combinación de Capacitores Problema 1) Determine la capacidad equivalente de la combinación de la figura, con C 1 = 12µF, C 2 = 5.3µF y C 3 = 4.5µF. 2) Una diferencia de potencial V = 12.5V se aplica a las terminales en la figura. Qué carga se tendrá en C 3?. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

20 Energía almacenada en un capacitor Consideramos un capacitor de placas paralelas inicialmente descargado y por lo tanto, la diferencia de potencial inicial entre las placas es cero. Luego, conectamos el capacitor a una batería, con lo cual el capacitor se carga lentamente. Asumimos que q es la carga en el condensador en algún instante de tiempo durante el proceso de carga. En ese mismo instante de tiempo, la diferencia de potencial a través del capacitor es V = q C. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

21 Energía almacenada en un capacitor El trabajo necesario para transferir un incremento de carga dq desde la placa q a la placa +q (la cual se encuentra a un mayor potencial) está dada por dw = Vdq donde V = q C, dw = q C dq, W = 1 C Q 0 qdq W = Q2 2C. Dado que C = Q/V, la energía almacenada por el capacitor se puede expresar como W = Q2 2C = 1 2 CV 2 = 1 2 VQ. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

22 Energía almacenada en un capacitor Finalmente, el capacitor queda con carga Q y con una diferencia de potencial V. La energía almacenada en el capacitor es U = 1 2 CV 2. El trabajo que hemos realizado para cargar el capacitor produce un campo eléctrico en una región del espacio y la existencia de este campo lleva consigo la energía almacenada en el condensador. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

23 Ejemplo En la figura los capacitores C 1 = 1, 16[µF] y C 2 = 3, 22[µF] están cargados con una diferencia de potencial V = 96, 6[V ], pero con polaridad contraria, de manera que los puntos a y c se hallan en las placas positivas respectivas de C 1 y C 2, y que los puntos b y d están en las placas negativas respectivas. Luego, los interruptores S 1 y S 2 se cierran. a) Cuál es la diferencia de potencial entre los puntos e y f?. Sol: V f V e = 45, 4[V ]. b) Cuál es la carga final en C 1 y C 2?. Sol: q 1 = 52, 7[µC] y q 2 = 146, 2[µC]. c) Cuál es la energía almacenada en el campo eléctrico antes y después de cerrar los interruptores?. Sol: U i = 20, 4[mJ] y U f = 4, 5[mJ]. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

24 Dipolo eléctrico Un dipolo consta de una carga positiva +q y una carga negativa q, separada por una distancia fija d. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

25 Dipolo eléctrico Un dipolo consta de una carga positiva +q y una carga negativa q, separada por una distancia fija d. Se define la magnitud del momento dipolar eléctrico p como p = qd. El momento dipolar eléctrico es un vector que apunta de la carga negativa a la carga positiva en la línea que las une. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

26 Dieléctricos en un campo eléctrico Se llama dieléctrico a los materiales que no conducen la electricidad, por lo que se pueden utilizar como aislantes eléctricos. Consideramos un dieléctrico que esta compuesto de momento dipolar eléctrico p, orientado aleatoriamente, como se muestra en la figura. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

27 Dieléctricos en un campo eléctrico Se llama dieléctrico a los materiales que no conducen la electricidad, por lo que se pueden utilizar como aislantes eléctricos. Consideramos un dieléctrico que esta compuesto de momento dipolar eléctrico p, orientado aleatoriamente, como se muestra en la figura. Luego, aplicamos un campo eléctrico uniforme sobre el dieléctrico y analizamos el efecto sobre un dipolo. El campo eléctrico ejerce un par de torsión sobre el dipolo que trata de alinearlo con el campo eléctrico. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

28 Dieléctricos en un campo eléctrico Finalmente, el efecto producido por el campo eléctrico es alinear los dipolos al interior del material dieléctrico. A causa de la rotación de los momentos dipolares, existe una densidad de carga positiva en la superficie derecha y una densidad de carga negativa en la superficie izquierda. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

29 Dieléctricos en un campo eléctrico Estas dos densidades de carga superficial inducidas generan un campo eléctrico E en el dieléctrico que se opone al campo eléctrico aplicado E 0. El efecto de alinear los dipolos en el aislante se conoce como polarización y el campo E se conoce como campo de polarización. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

30 Dieléctricos en un campo eléctrico Estas dos densidades de carga superficial inducidas generan un campo eléctrico E en el dieléctrico que se opone al campo eléctrico aplicado E 0. El efecto de alinear los dipolos en el aislante se conoce como polarización y el campo E se conoce como campo de polarización. El campo neto E dentro del dieléctrico es la suma del campo aplicado E y el campo de polarización E, E = E 0 + E. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

31 Dieléctricos en un campo eléctrico Dado que E 0 y E tienen sentidos opuestos, la magnitud del campo E es E = E 0 E, que es menor al aplicado E 0. Al aumentar el campo aplicado E 0, generalmente aumentará el campo de polarización. En los llamados materiales lineales el campo E crece en proporción directa con el campo aplicado E 0, es decir, E E 0. Si introducimos una constante de proporcionalidad tenemos, E = 1 κ E 0, donde, κ e es la constante dieléctrica del material, la cual es adimensional y mayor o igual a uno. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

32 Vector Polarización Un material dieléctrico sometido a un campo eléctrico externo origina una polarización del [ material. C Llamamos σ p a la densidad m 2 ] superficial de cargas de polarización. Se define el vector polarización [ ] como el momento dipolar por unidad de volumen P C. m 2 Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

33 Vector Polarización Un material dieléctrico sometido a un campo eléctrico externo origina una polarización del [ material. C Llamamos σ p a la densidad m 2 ] superficial de cargas de polarización. Se define el vector polarización [ ] como el momento dipolar por unidad de volumen P C. m 2 En general, los vectores P y E no son paralelos. Sin embargo, en la mayor parte de los materiales la polarización varía linealmente con el campo eléctrico. Con lo cual P = ɛ 0 χ E, Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

34 Vector Polarización P = ɛ 0 χ E, donde, χ es una constante adimensional llamada susceptibilidad eléctrica que depende del material. La polarización P es un campo vectorial que posee propiedades matemáticas similares a las de E. Pero el sentido de P es desde las cargas negativas a las positivas, de modo que P cumple con P da = q p, donde, q p es la carga de polarización. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

35 Dieléctrico en un condensador de placas paralelas Si no existe un dieléctrico entre las placas del capacitor, de la ley de Gauss tenemos E 0 d A = q ɛ 0 E 0 A = q ɛ 0 E 0 = q ɛ 0 A La capacidad del capacitor sin dieléctrico es E 0 = σ ɛ 0 C = q V C = σa E 0 d C = ɛ 0A d. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

36 Dieléctrico en un condensador de placas paralelas Si existe un dieléctrico entre las placas del capacitor, de la ley de Gauss tenemos E d A = 1 ɛ 0 (q q p ), EA = 1 ɛ 0 (q q p ) E = 1 ɛ 0 A (q q p) E = 1 ɛ 0 (σ σ p ). Por lo tanto, disminuye el campo eléctrico al introducir el dieléctrico al interior del capacitor. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

37 Dieléctrico en un condensador de placas paralelas La capacidad con dieléctrico es C = q V C = σa Ed. donde E = 1 ɛ 0 (σ σ p ) σ = ɛ 0 E + σ p. Por otro lado, P d A = q p ɛ 0 χea = q p ɛ 0 χe = q p A = σ p. Como ya hemos considerado el sigano de la carga de polarización, tomamos el valor absoluto de σ p = ɛ 0 χe, luego σ = ɛ 0 E + σ p = ɛ 0 E + ɛ 0 χe = ɛ 0 (1 + χ)e. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

38 Dieléctrico en un condensador de placas paralelas La capacidad con dieléctrico queda C = ɛ(1 + χ) A = (1 + χ)c, d donde, κ = 1 + χ es la constante dieléctrica del material, que depende de la susceptibilidad eléctrica. Luego, C = κc. Como vimos anteriormente el campo eléctrico al interior del material se puede expresar como E = E 0 κ. Luego, la capacidad también se puede escribir como C = σa Ed = σa E 0 κ d = κɛ A 0 d = ɛ A d. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

39 Dieléctrico en un condensador de placas paralelas C = ɛ A d, donde, ɛ es la permitividad del material y finalmente, la constante dieléctrica queda κ = ɛ ɛ 0, donde, hemos supuesto que el dieléctrico llena completamente el espacio entre las placas del condensador. La permitividad del espacio libre es ɛ 0 = C 2 N m 2. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

40 Ejercicio Un capacitor de placas paralelas tiene una capacitancia C 0 en ausencia de dieléctrico. Un material dieléctrico de constante dieléctrica κ y espesor d 2 se introduce entre las placas. Cuál es la nueva capacitancia cuando el dieléctrico esta presente? Solución: C eq = 2ɛ ɛ 0 + ɛ C 0. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

41 Ejercicio Un capacitor de placas paralelas está lleno con dos dieléctricos, como se muestra en la figura. Demuestre que la capacitancia equivalente está dada por C = ɛ 0A d ( ) κ1 + κ 2 2 Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

42 Ejercicio Un capacitor de placas paralelas está construido de tres materiales dieléctricos, como se muestra en la figura. Considere que l >> d. (a) Encuentre una expresión para la capacitancia en términos del área de la Placa, la distancia d y las constantes dieléctricas κ 1, κ 2, yκ 3. (b) Calcule la capacitancia usando los valores A = 1[cm 2 ], d = 2[mm], κ 1 = 4.9, κ 2 = 5.6 y κ 3 = 2.1. Solución: C eq = ɛ 0A d ( κ1 2 + κ ) 2κ 3 κ 2 + κ 3 C eq = 1, [F] = 1, 76[pF ]. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

43 Vector Desplazamiento Eléctrico El vector desplazamiento eléctrico al interior de un dieléctrico se define en términos del campo E al interior del dieléctrico y el vector polarización P como como D = ɛ 0 E + P, P = ɛ 0 χ E, luego D = ɛ 0 κ E = ɛ E, Por otro lado, podemos relacionar el vector desplazamiento eléctrico D con el campo externo aplicado E 0, dado que E = E 0 κ, Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

44 Vector Desplazamiento Eléctrico con lo cual tenemos, D = ɛ 0E0, ahora, aplicamos la ley de Gauss al vector desplazamiento eléctrico D da = ɛ 0 E 0 da = q. El vector D sólo depende de las cargas verdaderas, y odebece al teorema de Gauss pero cuya fuente son sólo las cargas verdaderas. D da = q. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

45 Ejercicio Sean κ 1 y a, κ 2 y b, las constantes dieléctricas y espesores de dos láminas dieléctricas. Determinar la capacidad equivalente del sistema utilizando el vector desplazamiento eléctrico. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

46 Ejercicio Sean κ 1 y a, κ 2 y b, las constantes dieléctricas y espesores de dos láminas dieléctricas. Determinar la capacidad equivalente del sistema utilizando el vector desplazamiento eléctrico. Solución: las líneas de D son continuas entre las dos placas, puesto que tienen su origen sólo en las cargas verdaderas. Aplicando el teorema de Gauss a la superficie de separación entre las dos láminas dieléctricas obtenemos D 1 = D 2. ɛ 1 E 1 = ɛ 2 E 2, κ 1 E 1 = κ 2 E 2. Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF

47 Ejercicio Ahora, la capacidad es C = Q/V, como los capacitores están en serie tenemos que Luego, V = E 1 a + E 2 b. C = Q E 1 a + E 2 b. Para el capacitor de placas paralelas, se tiene que D = σ, luego σ = ɛ 1 E 1 = ɛ 2 E 2. Finalmente, la capacidad equivalente es C = ɛ 0A a κ 1 + b. κ 2 Omar Jiménez. Universidad de Antofagasta. Chile Física II CF