TALLER 3 GEOMETRÍA VECTORIAL Y ANALÍTICA FACULTAD DE INGENIERÍA UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA

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1 TALLER GEOMETRÍA VECTORIAL Y ANALÍTICA FACULTAD DE INGENIERÍA UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA Profesor: Jaime Andres Jaramillo González Parte del material ha sido tomado de documentos de los profesores Alberto Jaramillo, Grimaldo Oleas y Luís Hernando Gómez Valencia.. En cada enunciado indique con V si lo considera verdadero ó con F si lo considera falso. Para los que considere falsos de una breve justificación o muestre un contraejemplo. a. ( ) Si u v v u y u y v son no nulos, entonces ( u v) y v tienen la misma dirección. b. ( ) Cualquier vector, en el espacio, puede expresarse como combinación lineal de tres vectores linealmente independientes en el espacio. c. ( ) Dado que la magnitud de un vector nunca puede ser negativa, puede afirmarse que al sumar dos vectores, da como resultado un nuevo vector que necesariamente tiene una magnitud mayor que cualquiera de los dos originales. d. ( ) En el espacio, si se tienen tres vectores, de los cuales al tomar dos cualquiera de ellos, se observa que no son paralelos, puede afirmarse que estos tres vectores son linealmente independientes. e. ( ) En todo triángulo, la mediana es mayor que uno de los lados que parten de su vértice y menor que el otro. f. ( ) Si u v v u y u y v son no nulos, entonces u y v son paralelos y v u 2. Demuestre que en todo triángulo, el segmento que une los puntos medios de dos lados, es paralelo al tercer lado y su longitud es la mitad de la longitud de este.. Demuestre que si en un triángulo cualquiera se traza, desde el punto medio de uno de sus lados, una paralela a otro de ellos, ésta pasa por el punto medio del tercer lado. 4. Sea ABCD un trapecio con base mayor AB y base menor CD y sean P y Q los puntos medios de las diagonales. Probar que es paralelo a las bases del trapecio y que la longitud del segmento es de 5

2 5. Demuestre que si una recta corta a dos lados de un triángulo, dicha recta divide a los dos lados en forma proporcional si y sólo si ella es paralela al tercer lado. 6. Dados 4 puntos A, B, C, D en el espacio que forman un cuadrilátero (no plano generalmente). Si E, F, G y H son los puntos medios de los cuatro lados del cuadrilátero, entonces EFGH es un paralelogramo. 7. Demuestre que un cuadrilátero es un paralelogramo si y solo si sus diagonales se bisecan 8. Demuestre que en un cuadrilátero cualquiera los segmentos que unen los puntos medios de lados opuestos se bisecan. 9. Demuestre que en todo trapecio, los puntos medios de las bases y el punto de intersección de las rectas que contienen los lados opuestos no paralelos, son colineales. 0. Sean V, V 2, V,,V n, los vértices de un polígono convexo de n lados, (n natural ). Demuestre que : V V V V... V nv. En un triángulo ABC sean D, E, F los puntos medios de los lados,. Probar que AE BF CD Demuestre que en todo triángulo, la suma de los vectores con punto inicial en los vértices y extremo final en el baricentro, es el vector nulo.. Demuestre que en un pentágono regular, la suma de los vectores trazados desde el centro a los vértices es el vector nulo. 4. Si A, B, C son los vértices de un triángulo cualquiera y L, M, N los puntos medios de sus lados, probar que, para todo punto O se cumple que OA OB OC OL OM ON. Es posible generalizar para cualquier polígono convexo? 5. Demostrar que las medianas de un triángulo se cruzan en un punto que está a una distancia del vértice correspondiente, en cada una de ellas, de 2/ de su longitud 6. Demuestre que en un triángulo cualquiera, los segmentos trazados desde dos de sus vértices a los respectivos lados opuestos, no pueden bisecarse. 7. Sea ABCD un cuadrilátero cualquiera; P el punto medio del segmento que une los puntos medios de las diagonales. Demuestre que si O es un punto de referencia cualquiera, entonces OP (OA OB OC OD) 4 2 de 5

3 8. Sea CAB un triángulo cualquiera; D un punto que divide al lado CB en la relación 2:, es decir: CD 2 DB. Sea P el punto medio del segmento AD. Demuestre que si O es un punto cualquiera en el espacio, entonces OP OA OB OC Sea ABCD un paralelogramo. Sean M y N los puntos medios de los lados AB y CD, respectivamente, demuestre que los segmentos BN y DM trisecan la diagonal AC. 20. Sea ABCD un paralelogramo, demuestre que los segmentos trazados desde A a los puntos medios de los lados no concurrentes en A, trisecan la diagonal BD. 2. Sea ABCD un paralelogramo. Sea E el punto que divide a BC en la relación :n (nbe EC, n natural). Demuestre que el segmento AE divide a la diagonal BD en la relación :n+ 22. Sea G el baricentro de un triángulo ABC. Demuestre que si O es un punto cualquiera en el espacio, entonces OG (OA OB OC). 2. Demuestre que en todo triángulo isósceles los segmentos trazados desde los puntos medios de los lados congruentes al punto medio del tercer lado, son congruentes. 24. Demuestre que si M. N Y R son puntos que dividen los lados de un triángulo equilátero en la misma razón, entonces el triángulo MNR es equilátero. 25. Sea ABCDEF un hexágono regular. Demuestre que AB AC AD AE AF AD. 26. Sea ABC un triángulo; E un punto interior de BC que divide a este en la relación 2:, es decir BE 2EC. Sea D el punto medio de AB. Demuestre que el segmento AE biseca al segmento CD. 27. En el triángulo MNP, Q divide al lado MN en la relación : y R divide al lado NP en la relación 2:. Demuestre que MR divide a PQ en la relación 2:. 28. En el paralelogramo MNPQ, R es el punto medio de NP y S divide a NP en la relación 2: (N-R- S-P colineales). Demuestre que QR divide a MS en la relación 6:. 29. Sea ABCD un paralelogramo; H el punto medio de CD. F y G trisecan al lado CB, es decir CF FG GB. EL punto E divide al lado AB en la relación :, o sea AE EB. Sea P el punto de corte entre EF y HG. Calcule EP. PF de 5

4 0. Dado el tetraedro regular ABCD con M y N baricentros de las caras ABD y BCD respectivamente. Hallar MN como combinación lineal de los vectores DA, DB y DC.. A y B son dos puntos del espacio cuyas coordenadas se conocen: A (x, y, z ) Y B (x 2, y 2, z 2 ). Use métodos vectoriales para encontrar: Las coordenadas del punto C tal que OC OA OB Las coordenadas del punto medio M del segmento AB. Distancia de A a B. Aplique para A (2, -4, ) y B (-, 2, 0). 2. Considere, en el espacio, el triángulo ABC: A(, -, ), B(2,, -) y C(0, -, ). Use métodos vectoriales para encontrar: Las coordenadas del baricentro G del triángulo. La distancia del baricentro al origen del sistema de coordenadas. La longitud de cada mediana. El perímetro del triángulo.. En el plano, A(6, ) y B (2, 4). Use métodos vectoriales para encontrar las coordenadas del punto C de modo que el cuadrilátero OABC sea un paralelogramo. 4. M, N y P son los puntos medios del triángulo ABC en el espacio: M ( 2, 2, ), N (,, -) y P (0, 0, 0). Encuentre las coordenadas cartesianas de los vértices del triángulo ABC. 5. Encuentre las ecuaciones paramétricas para cada una de las siguientes rectas: r: X-5Y=6; r2: 7X+6Y=2 X 6. Dado el plano π: 2X-Y+Z=5; y la recta r : Y 2 Z Halle si existe, el punto de intersección de r con π. 7. El plano π tiene ecuación: X+2Y-4Z=2; la recta r tiene ecuaciones paramétricas: X=+2λ Y=λ Z=+λ Pruebe que r es paralela a π. está r contenida en π? 8. Tres planos tienen las siguientes ecuaciones cartesianas: 4 de 5

5 π : 2X-Y+2Z=; π 2 : X+Y-Z= π : -6X+Y-6Z=7. Encuentre: a. π π 2 b. π 2 π c. π π 2 π 9. La recta r tiene ecuaciones paramétricas: X=+λ Y=4-2λ Z=-+λ Encuentre la ecuación cartesiana del plano que contiene a r y a C(2,0.). 40. La recta r tiene ecuaciones simétricas: X Y 5 Z Determine si r está contenida en el plano π: X-2Y-Z=8. 4. Lar rectas r y r 2 tienen ecuaciones simétricas así: r Y Z 2 : X 4 2 X r 2 : Y 2 7 Z Encuentre la ecuación del plano paralelo a r y r 2 que contiene al punto A(2,4,-) 5 de 5