Factorizar es escribir o representar una expresión algebraica como producto de sus factores: Factor común:

Transcripción

1 PERIODO I FACTORIZACIÓN Factorizar es escribir o represetar ua expresió algebraica como producto de sus factores: Ejemplo: x 4 = (x + ) (x ) = (x + ) (x + ) (x ) Ua expresió queda completamete factorizada cuado se la represeta como el producto de la mayor catidad posible de factores de "primer grado" o "factores lieales". Se llama factores lieales las que tiee grado. Métodos de factorizació Factor comú: a) Se halla el M.C.D. de los coeficietes de los térmios de la expresió dada. b) Se multiplica dicho M.C.D. por los factores literales comues a todos los térmios, pero co su meor expoete. Este producto se llama factor comú. c) Se multiplica (e forma idicada) el factor comú hallado por el resultado de dividir cada térmio de la expresió dada etre el factor comú hallado. Ejemplo: 4x y m 4 + 6x 4 y m - 8x yz El factor comú de la expresió es 4x y 4x y m 4 + 6x 4 y m - 8x yz = 4x y (6xym 4 + 9x y m - z ) I. FACTORIZA:. m + 4m - 6m m a 5 b - 5a 4 b + 85a bz 4. 7x y z - 8xyz + 9x y z 4 b (x - a) + x (x - a) 5. 7m (x + 8) - (x + 8) 6. m (5x - a) + ab (5x - a) 7. b(a + ) + a + 8. (x - ) (x - ) (x - ) + (x - ) (x - ) - (x - ) + (x - ) (x -) Ejemplo: Agrupació de térmios. ax + by + bx + ay (ax + bx) + (ay + by) x(a + b) + y (a + b) (a + b) (x + y)

2 II. FACTORIZA.. x + x + x +.. a - b + b x - 6ax.. am - a + a - m a + a + a + + x + a x Triomio cuadrado perfecto: Se sigue los pasos:. Ordear el Triomio.. El ro y er térmio debe ser positivos.. Los extremos debe ser cuadrados perfectos. 4. El do térmio debe ser el doble producto de las raíces de los extremos. Recuerde que a + ab + b = (a + b) a ab + b = (a b) III. FACTORIZA. x 4-4x x 4 y + 4x y. x + x 4. 4a + 4ab + b 5. a x + 00y a - 60xa y 6. 4(x + ) + 4(x + ) (x - y) + (x - y ) + 4 (x + y) Ejemplo: x 4 = x = (x + ) (x - ) Diferecia de cuadrados: IV. FACTORIZA. x 4 -. (a + x) - (x + ). a + ab + b - x (Los tres primeros térmios forma u triomio cuadrado perfecto) 4. -a - d + ad

3 5. (5x - 4) - 4 (x + ) 6. 56a - 8b 4 m 8 Ejemplo : x + 5x + 6 = (x + ) (x + ) Triomios de la forma : x + bx + c *. Para colocar los sigos e los parétesis se sigue la siguiete regla: - e el primer parétesis va el sigo de b - e el segudo parétesis va el producto de los digos de b y c. - el mayor de los úmeros va e el primer parétesis. V. FACTORIZA. x + x -. a - a + 8. x 4-5xb - 50b 4. x 6-5x y + 6y 5. x 4 + 8x x 4-0x x 8-0x x + x x + (a + b)x + ab 0. x 5-40x + 44x. x - x - 8 Triomio de la forma ax + bx + c VI. FACTORIZA. 6x 4 + 5x x 6 + 4x -. -xy + 6y + 4x y 6 - y x 8-7x 4 +

4 Si decir POTENCIA DE UN NÚMERO N y a R, etoces a, es igual al producto de veces el úmero real a tomado como factor, es Ejemplos: a a a a a... a veces PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN Producto de potecias de igual base: el producto de potecias de igual base, es otra potecia de la misma base y de expoete igual a la suma de los expoetes de los térmios factores. m m Simbólicamete: a a a Ejemplo: Cociete de potecias de igual base: El cociete de dos potecias de igual base, es otra potecia de la misma base y cuyo expoete es igual a la resta de los expoetes del térmio dividedo meos el del divisor. Simbólicamete: 5 9 Ejemplo: m a m a co a 0 y m> a Potecia de ua potecia: La potecia de ua potecia es otra potecia de la misma base y de expoete igual al producto de los expoetes que haya e la expresió m m Simbólicamete: a a Ejemplo: Potecia de u producto: La potecia de u producto es igual al producto de dichas potecias. Simbólicamete: a b a b Ejemplo: 5 5 Potecia de u cociete: La potecia de u cociete es igual al cociete de dichas potecias. Simbólicamete: Ejemplo: a a b b b 0

5 Expoete cero: toda catidad co expoete cero es igual a Simbólicamete: a 0 a 0 La expresió 0 0 o está defiida Expoetes eteros egativos: si es cualquier etero egativo y a u úmero real diferete de cero se cumple que: a o que a a a E caso que la base sea u úmero racioal se tiee que Ejemplos: a b b a ACTIVIDAD VII. VIII. a. Idica si el sigo del resultado es positivo o egativo: 7 ( 6) b. Expresa como potecia: 4 ( 4) c. ( ) a) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) b) c) ( ) ( ) ( ) IX. Calcula: a. 5 b. 4 4 d. 7 g. 5 X. Aplica propiedades c. 7 5 e. 4 f. 7 6 a. a a = b. x 6 : x 4 = c.a 7 a = d. (b ) 4 = e. 7 5 = f. a 8 a 6 a 0 = g. ((x ) ) 4 = h.a a 6 = i. xy xy 4 7 j. 7 x y z 5 4 k. 5 l. 5x x y z = RADICALES

6 U radical es ua expresió de la forma a, e la que y a ; co tal que cuado a sea egativo, ha de ser impar RAÍZ CUADRADA DE UN NÚMERO Si a R, b R, se cumple que b a, si solo si : a b, dode a es la raíz cuadrada de b Ejemplo: 5 5 porque 5 5 RAÍZ CUBICA DE UN NÚMERO Si a, b R, etoces se cumple que b a, si solo si : a b, dode a es la raíz cúbica de b Ejemplo: 5 5 porque 5 5 RAÍZ ENESIMA DE UN NÚMERO Si a, b R, y N etoces se cumple que b a, si solo si : a b, dode a es la raíz eésima de b 5 Ejemplo: porque EXPONENTES RACIONALES 5 Ua expresió radical puede escribirse como ua potecia de expoete racioal, es decir Ejemplo: 5 5 PROPIEDADES DE LOS RADICALES. m a m a Raíz eésima de u úmero real elevado a la potecia : para cualquier Z, a / a a a se cumple que: Raíz eésima de u producto: la raíz eésima de u producto es igual al producto de ls raíces eésimas de los factores. Para cualquier Z, se cumple que a b a b Raíz eésima de u cociete: la raíz eésima de u cociete es igual al cociete de las raíces eésimas del dividedo y del divisor. Para todo, a, b, Z, se cumple que: a b a b Raíz eésima de ua raíz: la raíz eésima de ua raíz es igual a otra raíz, cuyo ídice es el producto de los ídices. Para todo m,, b, Z, se cumple que: m m b b

7 Propiedad fudametal de los radicales: Se puede multiplicar o dividir el ídice de la raíz y el expoete del radicado por u mismo úmero y el valor de la raíz o cambia, por tato k km b km / k b m / b b, dode k N Se debe teer e cueta que si es par, etoces el radicado debe ser positivo para que exista ua raíz real. XI. Calcula ACTIVIDAD a. 6 b. 5 4 c. 00 d. e. 6 f. 4 6 g. 5 h. 4 8 i = j. 0 = XII. Escribe e forma de radical las siguietes expresioes a. 5 b. 4 c. 7 d. x XIII. Escribe e forma de potecia a. b. 5 c. 4 7 d. XIV. Aplica las propiedades de la radicació y comprueba a b c. d. 4 5 e. 5 5 SUMA Y RESTA DE RADICALES Podemos sumar y restar radicales solamete cuado estos tega el mismo ídice y cotega ua misma base (subradical o radicado). Ejemplo: E muchos casos cuado se os preseta operacioes combiadas de suma y resta co raíces la primera impresió es que o se puede ejecutar. Pero e casi todos los casos es posible darle a esas operacioes ua presetació distita que sí se puede maejar, pero depede de osotros que sepamos hacerlo, para darle la forma correcta al ejercicio. Tomemos u ejemplo: Tal como está, o podemos resolverla, ya que todos los radicales so diferetes, tiee distito ídice y distita base, pero si utilizamos las propiedades de la multiplicació podríamos darle ua cofiguració que os permita hacerlo.

8 Así, podemos expresarla como porque 5 = 5 y 5 x = 50 La secuecia completa es: Qué hicimos? Resolvimos la parte que tiee raíz cuadrada exacta: Aquella parte que o tiee raíz cuadrada exacta la dejamos igual: Lo mismo hacemos para Ahora, reemplazamos los valores obteidos y ejecutamos la operació combiada: = ( + 5 7) = = El úmero "" que pusimos puede estar o o, aquí lo colocamos para mayor compresió. ACTIVIDAD V. Realiza las sumas: a. b. c. d. VI. Halla las sumas: a. b. c. d. PERIODO II

9 . Ecotrar el área de los siguietes rectágulos: Recuerde que A = base altura 4. Ecuetra la solució de los sistemas de ecuacioes lieales utilizado el método gráfico a. 4x + 5y = a. { x y = x y = b. { 8x y = x y = c. { x y = 5 b Ecuetra la solució del sistema de ecuacioes lieales utilizado el método de elimiació. Ecuetre el resultado de: a. 8ab b. a b 5abc 8abc. Racioaliza las siguietes expresioes: x y = a. { x y = 5 8x y = b. { 4x + 5y = x y = 6 c. { x y = 0 a. b. c. d. 6 5ab ab 6. Ecuetra la solució del sistema de ecuacioes lieales utilizado el método de igualació x y = a. { 8x y = 4 x y = b. { x y = 8x y = c. { 4x + 5y =

10 Calidad Humaa y Excelecia Educativa PERIODO III I. Solucioa el siguiete sistema de ecuacioes lieales utilizado el método de SUSTITUCIÓN 0x 7y = 6 4x 6y = 8 a. { c. { x + y = 0 x + 0y = 47 x 5y = 4 b. { x + 8y = 6 x 9y = 7 d. { x + 4y = II. Solucioa el siguiete sistema de ecuacioes lieales utilizado el método de DETERMINANTES 0x 7y = 6 4x 6y = 8 a. { c. { x + y = 0 x + 0y = 47 x 5y = 4 b. { x + 8y = 6 x 9y = 7 d. { x + 4y = SOLUCIONA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS III. La suma de las cifras de las uidades y la cifra de las deceas de u úmero es 6; si al úmero se le resta 8, las cifras se ivierte. Hallar el úmero IV. La suma de las cifras de las uidades y la cifra de las deceas de u úmero es 0; si al úmero se le resta 54, las cifras se ivierte. Hallar el úmero V. La diferecia de dos úmeros es 0. El cociete de estos úmeros es y el residuo de su divisió 48. Cuáles so estos úmeros? VI. La suma de dos úmeros es 4. Añadiedo 6 a cada uo de ellos, uo llegó a ser el triple que el otro. Cuáles so estos dos úmeros? VII. Dos águlos suplemetarios so tales que la medida del primero equivale al doble del segudo aumetado e 0º. Cuál es la medida de cada águlo? VIII. Dos águlos complemetarios so tales que la medida del primero equivale al triple del segudo aumetado e 6º. Cuál es la medida de cada águlo? IX. He comprado papas fritas y gaseosas, ambas suma 0, si la catidad de gaseosas excede al doble de papas fritas e. Cuátas papas fritas y gaseosas compré? X. El doble de la edad de Pedro excede e 6 años a la de Jua y de la edad de Jua es 6 9 años meos que la edad de Pedro. Hallar ambas edades XI. 6 de la edad de Jua es 9 años meos que la edad de Pedro y el doble de la edad de Pedro excede e 6 años a la de Jua. Hallar ambas edades

11 Calidad Humaa y Excelecia Educativa PERIODO IV A CADA UNA DE LAS SIGUIENTES ECUACIONES CUADRATICAS: I. REALIZA LA GRÁFICA CORRESPONDIENTE II. SOLUCIONALA POR FACTORIZACION III. POR FORMULA GENERAL a. x + 0x + = 0 b. x + 0x + 4 = 0 c. 9x x + 60 = 0 d. 4x + 6x + 0 = 0