TAREA 8, [ completa: incisos a), b), c), d), e) f) y g) ] CURSO FISICA I Resolver INDIVIDUALMENTE. Entregar el Martes 19 de noviembre, de 9 a 11 hrs

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1 TAREA 8, [ completa: incisos a), b), c), d), e) f) y g) ] CURSO FISICA I Resolver INDIVIDUALMENTE. Entregar el Martes 19 de noviembre, de 9 a 11 hrs 1) EL PÉNDULO BALÍSTICO Se muestra un péndulo balístico, dispositivo que en una época se usó de manera común para medir las rapideces de las balas. El péndulo consiste de un gran bloque de madera de masa m 2 suspendido por alambres delgados. Inicialmente el péndulo está en reposo. La bala de masa m 1, golpea el bloque de manera horizontal y permanece incrustada en él. El impacto de la bala pone el bloque en movimiento, lo que hace que se balancee hacia arriba hasta una altura h, donde se detiene momentáneamente. Como ejemplo considere que se dispara una bala de 9.7 g. Un péndulo balístico de 4.0 kg se balancea hasta una altura de 19 cm. 1 Cuál fue la rapidez de la bala antes del impacto? Vea la siguiente página..

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3 Ahora un reto para Ud: Resuelva a) Un proyectil de masa m P se dispara hacia un gran bloque de madera de masa m B suspendido de unos alambres ligeros. El proyectil se incrusta en el bloque y el sistema proyectil-bloque se balancea hasta un altura y 2 y 1. Cómo se determina la rapidez del proyectil tras el impacto? Cómo se determina la rapidez del proyectil antes del impacto,a partir de la medición del cambio de posición vertical? 3

4 b) COLISIÓN DE AUTOS FÓRMULA 1 El piloto Sebastian Vettel sale de la zona de pits con dirección Este, manejando su auto fórmula 1 de 750 kg, con una rapidez de 2.5 m/s; pero choca contra el Checo Pérez, quien quiere felicitarlo, pero manejaba distraído en dirección Norte, con una rapidez de 2.0 m/s. El modelo TELMEX que manejaba el Checo tiene una masa de 1.25 ton. i) Ilustre la situación ocurrida ii) Encuentre la magnitud y dirección de la velocidad de los formula 1 después del choque. Respuesta: V f = 1.2 m/s = 4.2 km/h = 37 Suponga una colisión perfectamente inelástica. Tras el impacto. 4

5 LEY de CONSERVACIÓN DE ENERGÍA SISTEMA AISLADO Energía mecánica donde K es la energía cinética y U es la energía potencial (gravitacional U g, elástica U s, eléctrica U e ) Pero.. Existen otras formas de energía que se transfieren a un sistema desde los alrededores. 5

6 LEY de CONSERVACIÓN DE ENERGÍA SISTEMA NO AISLADO K + U + E int = W + Q + T OM + T TM + T TE + T RE donde E int : cambio de energía interna W :Trabajo Q : Calor Y las siguientes transferencias de energía T OM por ondas mecánicas T TM de materia T TE transmisión eléctrica T RE por radiación electromagnética 6

7 ENERGÍA POTENCIAL U y ESTABILIDAD DE SISTEMAS Recuerde que para una fuerza conservativa (como la fuerza gravitacional o la fuerza de restitución de un resorte), el trabajo W se puede expresar como una diferencia de energía potencial, W = - U = U i - U f Además, que el trabajo es independiente de la trayectoria y, que el trabajo en una trayectoria cerrada es CERO. Para un desplazamiento infinitesimal, dx, el cálculo nos permite expresar la fuerza conservativa como: De manera general, para una fuerza variable, el trabajo W y por lo tanto la energía potencial U se pueden expresar como la integral de la fuerza Fx con respecto al desplazamiento dx 7

8 El trazo de la energía potencial U con respecto a la posición, nos sirve para visualizar la estabilidad de un sistema: Energía potencial del resorte U s En x = 0 se tiene un equilibrio estable. Las configuraciones de equilibrio estable corresponden a aquellas donde U(x) es un mínimo. Los puntos de retorno son x = x max and x = -x max 8

9 Tipos de puntos de equilibrio. En puntos de equilibrio estable, inestable y neutros, respectivamente, la curva de energía potencial tiene un mínimo, tiene un máximo o es plana El nivel de energía (rojo) coincide con el mínimo de la curva de energía potencial En puntos de equilibrio estable, pequeñas perturbaciones resultan en pequeñas oscilaciones alrededor del punto de equilibrio. En puntos de equilibrio inestable es tiene movimiento acelerado con el que se aleja de tal inestabilidad

10 La curva de energía potencial ya que E = K + U; y entonces K = E U Curva de energía potencial para un átomo en una molécula diatómica. La línea horizontal (roja) es el nivel de energía. Los puntos de retorno están en x = a y x = a

11 Una curva de energía potencial con la que Usted debe familiarizarse (pues le será útil es sus cursos posteriores). es la Energía Potencial de Lennard Jones : Ésta energía se asocia con la fuerza entre dos átomos neutros en una molécula. U( x) 4 x x 12 6 Esta función U(x) muestra la separación más estable de los átomos en una molécula (en el mínimo de energía). x es la separación entre átomos; (metros) y (joule) son constantes que se determinan experimentalmente.

12 Ahora, un reto para Ud. C) La energía potencial de una partícula que se mueve a lo largo del eje x es U(x) = 2x 4 x 2, donde x se mide en metros y la energía en Joules. a) Realice una grafica de energía potencial como función de x (utilice una hoja de cálculo como Excel o papel milimétrico) b) Ubique todos los puntos de equilibrio posibles. c) Si la cantidad de energía del sistema es E = J Cuáles son los puntos de retorno del movimiento? d) Suponga que E = 1.0 J Cuáles son los puntos de retorno del 12 movimiento?

13 Respuesta. El trazo del gráfico (ya sea a mano o con una hoja de cálculo), que se logra dando valores a X entre -1 y 1, y calculando la función U(x), debe ser de la forma: 3 Puntos de equilibrio x = 0 inestable x = 0.5 estables Si E = J Puntos de retorno: x = 0.2 m y x = 0.65 m Si E = 1.0 J Puntos de retorno: x = - 1 y x = +1 13

14 Potencia mecánica. Como recordará, en clase se analizó éste problema donde se emplean dos expresiones matemáticas equivalentes para determinar la potencia: 14

15 Movimiento armónico simple Clase especial del movimiento periódico que se presenta en sistemas mecánicos donde la fuerza que actúa se dirige hacia la posición de equilibrio. Descripción matemática Energía potencial para átomos de una molécula que no se mueven lejos del equilibrio. Posición en función del tiempo Velocidad angular A : amplitud, constante de fase Velocidad y aceleración de un objeto en Mov. armónico simple Período Frecuencia 15

16 MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE De la ecuación de velocidad es posible ver que, dado que las funciones seno y coseno oscilan entre 1, los valores extremos de la velocidad v son A. De manera similar, la ecuación para la aceleración nos dice que los valores extremos para la aceleración a son 2 A. Por lo tanto los valores máximos de las magnitudes de la velocidad y la aceleración son 16

17 MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Representación gráfica del movimiento armónico simple. (a)posición contra tiempo; (b)velocidad contra tiempo; (c)aceleración contra tiempo. 17

18 Movimiento armónico simple: Oscilador amortiguado En muchos sistemas reales, fuerzas no conservativas como la fricción o la viscosidad, retardan el movimiento. Como la energía mecánica del sistema disminuye, se dice que el movimiento está amortiguado. Ejemplo de un oscilador amortiguado: un objeto unido a un resorte y sumergido en un líquido viscoso. Grafica de posición vs. tiempo de un oscilador amortiguado. Note el decremento de la amplitud contra el tiempo. Descripción matemática Siendo R una fuerza retardadora y b un coeficiente de amortiguamiento v es el vector velocidad del objeto. 18

19 OJO: Últimos problemas que forman parte de la Tarea 8 d) Un molino de viento grande produce 10 kw de potencia mecánica. Cuánta energía produce el molino en un día de trabajo de 8 hrs? R = 2.88x10 8 J e) Mientras un automóvil viaja con una rapidez constante de 65 km/h, su motor produce una potencia mecánica de 20 hp. Cuánta energía produce el motor por hora? R = 5.4x10 7 J f) La posición de una partícula se conoce por la expresión x = (4.0 m) cos (3.00 t + ) donde x está en metros y t en segundos. Encuentre: a) la frecuencia y el período del movimiento R 1 = 1.50 Hz R 2 = b) la amplitud del movimiento R = 4.0 m c) la constante de fase y R = d) la posición de la partícula en t = s. R 1 = 2.83 m g) Un automóvil con masa de 1 tonelada se construye de modo que su chasis está sostenido mediante 4 amortiguadores. Cada amortiguador tiene una constante de fuerza de 18x10 3 N/m. El conductor más un pasajero que viaja en el automóvil tienen una masa en conjunto 120 kg. Cuál es la frecuencia de vibración del automóvil, después de que pasa sobre un bache que encuentra en su camino? R = 1.27 Hz Sugerencia: Sume todas las constantes de los amortiguadores y emplee T=2 (m/k total ) 1/2 y f = (1/T)

20 PROBLEMA 1 para clase : En un motor, un pistón oscila con movimiento armónico simple de modo que su posición varía de acuerdo con la expresión x = (5.00 cm) cos (2t + /6) donde x está en cm y t en segundos. En t = 0 encuentre: a) La posición de la partícula, b) Su velocidad y su aceleración c) Encuentre el período y la amplitud del movimiento 20

21 PROBLEMA 2 para clase: Un bloque de 200 g conectado a un resorte ligero tiene una constante de fuerza de 5.00 N/m, y es libre de oscilar sobre una superficie horizontal sin fricción. El bloque se desplaza 5.00 cm desde el equilibrio y se libera del reposo en que se encontraba. a) Hallar el período de su movimiento b) Determinar la rapidez máxima del bloque c) Determinar la aceleración máxima del bloque d) Expresar posición, velocidad y aceleración como funciones del tiempo 21

22 FUERZA NO CONSERVATIVA: Fuerza debida a la resistencia del aire Acróbatas aéreos caen con los paracaídas cerrados. Esta fuerza de resistencia puede tener la forma matemática Donde C = constante aerodinámica = densidad de l aire A = área transversal V = velocidad OBSERVE LA SITUACIÓN QUE SE ILUSTRA. EL PROBLEMA RESUELTO SE MUESTRA EN LA SIGUIENTE LÁMINA: a) Un automóvil desciende por una pendiente con el motor en neutral b) Diagrama de cuerpo libre para el automóvil, incluida la resistencia del aire 22

23 Note que la resistencia del aire es otra fuerza más, opuesta al desplazamiento (como la fuerza de fricción). Así, el análisis requiere de un diagrama de cuerpo libre y de un balance de fuerzas de 2 Ley de Newton. Ejemplo tomado de Física Vol. 1 Ohanian/Markert, 2009 Mc Graw Hill 23