MÉTODOS ESTADÍSTICOS DE LA INGENIERÍA SEGUNDA CONVOCATORIA
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- Estefania Benítez Zúñiga
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1 Dertmento de Mtemátic Alicd Escuel Universitri de Ingenierí Técnic Industril Universidd del Pís Vsco Plz de l Csill, 48 Bilbo MÉTODOS ESTADÍSTICOS DE LA INGENIERÍA SEGUNDA CONVOCATORIA - EJERCICIO Tres máquins A, B y C roducen el 4%, 5% y 5%, resectivmente, del totl de iezs roducids en l fábric. Los orcentjes de roducción defectuos de ests máquins son del %, % y %, resectivmente. Sen los sucesos D L iez está defectuos y X L iez está fbricd en l máquin X = A, B, C. (º) Selecciond un iez l zr, hllr l robbilidd de que se defectuos. Usndo el teorem de l robbilidd totl se tiene que: ( D A) ( A) ( D B) ( B) ( D C) ( C) ( D A) ( A) ( D B) ( B) ( D C) ( C) ( D) (º) Aletorimente, se tom un iez y es defectuos. Clculr l robbilidd de hber sido roducid or l máquin A. Alicndo el teorem de Byes l máquin, siendo el suceso defectuos está fbricd en l máquin A : XA L iez X A A DA D D D ( ) ( A) (º) Qué máquin tiene l myor robbilidd de hber roducido dich iez defectuos? Es suficiente con reetir los cálculos del rtdo (º) r ls máquins B y C. Sen, r ello, los sucesos XB L iez defectuos está fbricd en l máquin B XC L iez defectuos está fbricd en l máquin C
2 Dertmento de Mtemátic Alicd Escuel Universitri de Ingenierí Técnic Industril Universidd del Pís Vsco Plz de l Csill, 48 Bilbo Alicdo cd un de dichs máquins el teorem de Byes, se deduce que: X X B C B D DB D DC DC D D D ( ) ( B) ( ) ( C) Se deduce, entonces, que es l máquin C l que tiene l myor robbilidd de hber roducido dich iez defectuos.
3 Dertmento de Mtemátic Alicd Escuel Universitri de Ingenierí Técnic Industril Universidd del Pís Vsco Plz de l Csill, 48 Bilbo EJERCICIO Lnzmos un moned que tiene robbilidd de cr; si sle cr elegimos un número l zr del conjunto {,, }, y si sle cruz un número l zr del conjunto {,, 4}. Se X el número obtenido. Suoniendo que C Scr cr y C Scr cruz. El escio muestrl del exerimento lntedo viene ddo or C,, C,, C,, C,, C,, C,4 que const de n 6 sucesos elementles, que no son equirobbles ddo que ( C) y ( C). Se X l vrible letori del exerimento del enuncido; es decir, X el número elegido. Se ide: (º) L función de distribución de robbilidd de X. L siguiente tbl muestr l distribución de robbilidd y l función de distribución de robbilidd de l vrible letori X. VALOR X = k SUCESO ELEMENTAL CÁLCULOS ( Si ) ( X k) ( X ) S C, S C,, C, S C,, C, ( S ) ( C) () ( S) C, C, C, C, CCC ( ) ( ) S4 C,4 ( S6) ( C) (4) S 4 (º) L esernz mtemátic y l vrinz de X. Vienen definids como E X k X k 4 i
4 Dertmento de Mtemátic Alicd Escuel Universitri de Ingenierí Técnic Industril Universidd del Pís Vsco Plz de l Csill, 48 Bilbo X E X k X k 4 i (º) Si X =, cuál es l robbilidd de que hy slido cr? L robbilidd condicionl que se ide es: CX C, C
5 Dertmento de Mtemátic Alicd Escuel Universitri de Ingenierí Técnic Industril Universidd del Pís Vsco Plz de l Csill, 48 Bilbo EJERCICIO Un fbricnte de mquinri de tio A observ que de máquins de tio A tomds l zr 6 requieren de grndes justes, mientrs que de 4 máquins de tio B 4 máquins hn requerido grndes justes. Se trt de un roblem de roorciones de dos oblciones (se dn dos muestrs) y de muestrs grndes y que se cumle naa 6 4; naqa na A 84 4 n 4 4; n q 86 4 B B B B En consecuenci, se h de licr el modelo norml de robbilidd. Y el estimdor insesgdo de vrinz mínim viene definido or 6 4 A B A B siendo el error robble (desvición tíic de l estimción) A( A) B( B) ( A) B( B) A B n n n n A B A B (º) Con un nivel de confinz del 99%, estblecer un intervlo de confinz r l diferenci de roorciones de mquinri que requier de grndes justes. A rtir de l distribución norml se tiene z z 99 % z 99.5 % y r l estimción confidencil (intervlr) edid se uede clculr con, A B z Oerndo se lleg,.9788,.9978 A. B
6 Dertmento de Mtemátic Alicd Escuel Universitri de Ingenierí Técnic Industril Universidd del Pís Vsco Plz de l Csill, 48 Bilbo (º) Relizr un contrste de hiótesis r determinr si se cet l hiótesis que indic que l mquinri de tio A requiere grndes justes en un orcentje suerior, con un nivel de significción del %. En ls hiótesis de trbjo que se desrende del enuncido, el contrste de hiótesis que se h de lnter es H H : H : : H : A B A B A B A B del tio unilterl (direccionl), de col suerior. L región crític o de rechzo se sitú en l col lterl derech siendo el vlor crítico z = c z z z% z99% Además, se sbe que el estdístico del contrste viene ddo or z A B A B AB AB A B Conclusión: A rtir de ls muestrs del enuncido no hy evidenci estdístic suficiente que indique que l mquinri de tio A requiergrndes justes en un orcentje suerior resecto l mquinri de tio B, con un nivel de significción del %. (º) Hllr el -vlor del rtdo nterior e interretr el resultdo. El -vlor es el tmño de l región critic que justmente comienz hcer que flle l hiótesis nul. En otrs lbrs, es el máximo error de tio I que se uede cometer r este contrste concreto. Es decir: zc z zvlor=+.57 vlor = %
7 Dertmento de Mtemátic Alicd Escuel Universitri de Ingenierí Técnic Industril Universidd del Pís Vsco Plz de l Csill, 48 Bilbo EJERCICIO 4 Un ingeniero, reocudo or el efecto de ls crgs concentrds en forjdos, está interesdo en conocer cuál es l distribución de l distnci X de un crg l oyo más róximo. Suone que l osición de ls crgs es l zr, lo cul imlic que l robbilidd de que un crg esté en un zon determind es roorcionl su áre. Si demás suone que el forjdo está oydo en cutro vigs que formn un cudrdo de ldo se uede encontrr que l función de densidd de robbilidd de l distnci l oyo más róximo viene dd or dfx () x ( x) fx() x ;x dx (º) Dibuj l densidd de robbilidd y comrueb que X efectivmente es un vrible letori. f(x) x L condición que h de drse r que se un vrible letori continu es
8 Dertmento de Mtemátic Alicd Escuel Universitri de Ingenierí Técnic Industril Universidd del Pís Vsco Plz de l Csill, 48 Bilbo x x x x dx dx, (º) Clcul l exresión de l función de distribución de robbilidd. Dibuj su gráfic. Por definición, función de distribución de robbilidd se define como Fh ( ) Xh: h h x hx x x h h F( h) dx dx, h, cuy reresentción gráfic viene dd or f(x) x (º) Clcul l robbilidd de que l distnci l oyo más róximo se encuentr entre 4 y? 5 x x x 4 X Fh Fh 4 dx
9 Dertmento de Mtemátic Alicd Escuel Universitri de Ingenierí Técnic Industril Universidd del Pís Vsco Plz de l Csill, 48 Bilbo (4º) L esernz mtemátic o vlor eserdo de l vrible letori X viene ddo or x x x x X xf ( x) dx x dx x dx, Y l desvición tíic se define como X X X X X 4 x x x x x f( x) dx x dx x dx,
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