Dadas las matrices: y. a) Hallar A 10. b) Hallar la matriz inversa de B. c) En el caso particular de k=0, halla B 10. (PAU Septiembre )

Transcripción

1 Dds ls mtrices: ) Hllr A. b) Hllr l mtri invers de B. c) En el cso prticulr de k=, hll B. (PAU Septiembre 4-5) ) A = = A = = = O A 4 = A A= O A = O ; lo mismo A 5, A 6 por tnto A = b) B = = ; Es un mtri tringulr, B = = ; B d = ; (B d ) t = B - = (B d ) t = c) B = = B = = B 4 = = B n = ; B =

2 Dds ls mtrices: A, I, se pide: ) Hllr dos constntes b, tles que bi A A. b) Sin clculr eplícitmente A A 4, utilindo solo l epresión nterior, obtener l mtri A 5. (PAU Junio Generl -) 5 A b b 5 ; b b 5 A = A A = ( A +bi ) A = A + ba = A 4 = A A = ( -A +I ) ( -A +I ) = A - A - A + I = A - 6A + I = A 5 = A A = ( - A + A ) ( -A + I )= A - A - A + A = A - 6A + A =

3 Dd l mtri A= encontrr tods ls mtrices P = tles que AP = PA (PAU Junio 5-6). Se dese que Por tnto debe cumplirse que: => Por tnto,, donde b son numeros culesquier

4 Hllr en función de, el vlor del determinnte A 4 (PAU Septiembre 8-) A 4 Restmos tods ls columns l c 4 4 = Desrrollmos por los elementos de primer fil = A + A + A + 4 A = - 4 El determinnte de un mtri tringulr, en este cso superior es siempre el producto de los elementos de l digonl principl. Con lo que A = - ( - )³

5 Se l mtri A =. Pr cd número rel ƛ definimos B = A I, donde I denot l mtri identidd. ) Hllr los vlores de que hcen que el determinnte de B se nulo b) Resolver el sistem B = pr los distintos vlores de (PAU Modelo -) ) A = B= A I B= - = ǀBǀ = => = - = ; = b) = = = = = Pr todo perteneciente R Eisten infinits soluciones -> Sistem comptible indetermindo. = - Pr todo perteneciente R Eisten infinits soluciones -> Sistem comptible indetermindo.

6 Dd l siguiente mtri de orden n A Se pide: ) Clculr el determinnte de l mtri A. b) Clculr el vlor del determinnte de l mtri A. c) Clculr el vlor del determinnte de l mtri 5 A. (PAU Junio 7-8) ) A b) 8 A c) 4 A

7 Clculr el rngo de l mtri A según los diferentes vlores del prámetro rel : (PAU Junio -) El rngo l menos es, pues el menor = 5. Vemos qué debe psr pr que se. Pr ello estudimos los menores de orden, prtir del menor de orden El menor = = El menor En consecuenci:..

8 Estudir el rngo de l mtri según los vlores del prámetro m (PAU Junio 6-7). = = Discusión: m = menor principl orden en A menor principl orden en A rg A= m = menor principl orden en A = = - menor principl orden en A rg A = menor principl orden en A => rg A =

9 Dd l mtri: ) Determinr el rngo de M según los vlores del prmetro b) Determinr pr que vlores de eiste l mtri invers de M. Clculr dich mtri invers de = (PAU Junio 5-6) + ) = => b)

10 Se A un mtri que verific A +A=I, donde I denot l mtri identidd. ) Demostrr que A no es singulr (det(a) epresr A - en función de A e I. b) Clculr dos números p q tles que A = p I + q A en función de A e I c) Si A = cumple l relción de prtid, clculr el vlor de k. (PAU Modelo -) ) A es no singulr A A + A = I si => => + => A A + A = I => (A + I) A = I => b) => p = 5 q = - c) A = ; + = =>

11 Dd l mtri: Se pide: ) Estudir el rngo de l mtri A según los vlores del prámetro. b) Obtener l mtri invers de A pr. (PAU Junio 8-) ) b)

12 Sen ls mtrices: A =. Hllr un mtri X tl que X A = B H que eliminr l multiplicndo por X por l derech de los términos. => Hllr l mtri X tl que: iendo (PAU Junio 4-5) ; => Clculmos el menor complementrio de A, = su trspuest ) t Como ; X =

13 Considerr el sistem de ecuciones ( ) ( ) ) Discutirlo según los vlores del prámetro λ. b) Resolverlo pr λ=. c) Resolverlo pr λ=. (PAU Septiembre -) ) ( ) ( ) C ( ) + (λ - ) (λ - ) - [ - (λ - )] = ( ) = + λ - λ λ + - ( λ + ) = λ - λ C λ (λ - ) = λ =,, C menor principl orden en C rg C = Si rg C = rg A = nº de incógnits SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO Solución únic Pr λ= C No eiste menor principl orden en C rg C < C menor principl orden en C rg C= ti A No eiste menor principl de orden en A rg A = Si rg C = rg A = < nº de incógnits Sist. Comptible Indetermindo: soluciones. Pr λ = C No eiste menor principl orden en C rgc < C menor principl orden en C rg C=

14 ti A No eiste menor principl orden en A rg A = Si rg A = rg C = < nº de incógnits Sist. Comptible Indetermindo: soluciones. b) Pr λ = L ª ecución desprece por tener rg C = c) Pr λ = ti : Crmer Método 6 6 C ti ti 6 C 6 4 C

15 4 Se el siguiente sistem de ecuciones lineles: ) ( punto) Discutir el sistem según los vlores del prámetro. b) ( punto) Resolver el sistem pr =. c) ( punto) Resolver el sistem pr =. (PAU Septiembre -) 4 C 4 ( )( ) C, C menor principl orden en C rg C== rg A= nº incógnits Sistem comptible determindo solución únic C menor principl orden en C rg C < C rgc rgc rga nº incógnits Sst comp. indetermindo soluciones A C=C rga= C menor principl orden en C rg C < C rgc rgc rga Sistem incomptible solucion A 8 rga 4

16 4 4 5 A A A Por ser un sistem comptible indetermindo se elimin un ecución, por ejemplo l 4 4 R

17 Discutir según los vlores del prámetro, resolver en los csos que se posible el sistem: (PAU modelo 4-5) = = = - +8 = ; = = Pr = 8/ = = m.p. orden en C rg C = A = = / rg A = Si rg C = rg A = Sistem incomptible solución. Pr = = = m.p. orden en C rg C = A = = = rg A = Si rg C = rg A = Sistem incomptible solución. 8/ rg C = = rg A = nº incógnits. => Sistem comptible determindo Solución únic. Pr = = + -4 = + = -/4 = - + /4 = - ¾ => = -/8 ; = /8 => = /8

18 Se consider el sistem de ecuciones. ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) Comprobr que es comptible pr todo vlor de b) Describir en términos geométricos el conjunto de soluciones pr = pr = - c) Resolverlo pr = - (PAU Junio -) ) Pr que se comptible, el rga = rgc, llmndo A l mtri mplid, C l mtri de coeficientes. C C = Ruffini ( - ) ( ) 4()( ) C ( )( )( ) Pr =, - => sistem el rgc = rga = < nº de incognits. Por ser un homogéneo, es comptible indetermindo =>, el rgc = rga = = nº de incógnits El sistem será comptible determindo con un únic solución. b) Pr = me qued solo un ecución Su solución es un plno Pr = - l ser el rg C = elimino un de ls tres ecuciones Como rg A = rg C su solución es un rect.

19 c) como el rg = eliminmos un ecución. => R

20 Ddo el sistem homogéneo de ecuciones: Se pide: ) Determinr pr qué vlores del prámetro k el sistem tiene soluciones distints de = = =. b) Resolver pr el cso k = (PAU Junio Generl -) Por ser un sistem homogéneo, pr tener solución distint de l trivil, es necesrio que rg C = Pr k = k = -5/ rg C < so- rg C = = rg A < nº de incógnits Sistem comptible indetermindo luciones. b) = = = = = =

21 Se consider el siguiente sistem linel de ecuciones, dependiente del prámetro rel : Se pide: ) Discutir el sistem según los diferentes vlores del prámetro. b) Resolver el sistem pr =. c) Resolver el sistem pr =. (PAU Junio -) = =

22 b) Resolvemos pr = c) Resolvemos pr = por el método de Crmer

23 Ddo el sistem: Se pide: ) Discutir el sistem según los vlores del prámetro. b) Resolver el sistem pr. (PAU Junio 8-) ; que determindo Eiste solución únic. Pr Sistem comptible Sistem incomptible Pr Sistem incomptible

24 Pr Sistem incomptible b) Resolver pr

25 Discutir según los vlores del prámetro rel l posición reltiv de los plnos: (PAU Septiembre 4-5) λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ ; = ; = -8/ menor principl de orden en C, rg C = = rg A= nº de incógnits, el sistem serí comptible determindo; solución únic. menor principl de orden en C; rg C < C =, (usndo l º ª fil l ª Y ª column); menor principl de orden en C, rg C= A = menor principl de orden en A, rg A = rg C; el sistem es incomptible, no h soluciones reles. menor principl de orden en C; rg C< C = (usndo l º ª fil l ª Y ª column); menor principl de orden en C, rg C= A = menor principl de orden en A, rg A = rg C; el sistem es incomptible, no h soluciones reles.

26 Discutir según los vlores del prámetro rel l posición reltiv de los plnos: λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ = = menor principl de orden en C, rg C = = rg A nº de incógnits, el sistem serí comptible determindo; solución únic. menor principl de orden en C; rg C < C =,(usndo l º ª fil l ª Y ª column); menor principl de orden en C, rg C= A = menor principl de orden en A, rg A = rg C; el sistem es incomptible, no h soluciones reles. menor principl de orden en C; rg C < C = (usndo l º ª fil l ª Y ª column); menor principl de orden en C, rg C= A = menor principl de orden en A, rg A = rg C; el sistem es incomptible, no h soluciones reles.

27 Ddo el sistem de ecuciones: ) Discutirlo según los distintos vlores de m. b) Resolverlo cundo se comptible indetermindo. (PAU Junio 4-5) ) El sistem será comptible cundo el rngo de l mtri de coeficientes (C) se igul l rngo de l mtri mplid (A). L primer rí m = - se encuentr por Rufini (entre los divisores de 8); ls otrs dos resolviendo l ecución resultnte de º grdo pr drnos m = m = 4 Por tnto: m -, 4, el rg(c) = rg(a) = = nº de incógnits el sistem será comptible determindo => solución únic Pr m = -, Pr m = -,

28 Pr m = 4, s b) Si m = 4, el sistem es: =>

29 Ddo el sistem de ecuciones lineles: ) Discutir si el sistem según los vlores del prámetro. Resolverlo cun- do l solución se únic. b) Determinr pr qué vlor o vlores de el sistem tiene un solución en l que =. (PAU. Junio 7-8). ) C C ; C menor principl de orden en C rg C = El rga = que no eisten menores de orden Si rgc = rga = = nº de incógnits => Sistem comptible determindo, eiste solución únic = C = menor principl orden en C rg C = A no eiste menor principl orden en A rg A = Si rg C = rg A = nº incógnits. Sistem comptibles indetermindo eisten soluciones = - C menor principl orden en C rg C = A eiste menor principl orden en A rg A = Si rgc rga Sistem incomptible, no eiste solución Pr resolverlo pr solución únic C C

30 b) Si = ; ; / ;