Apellidos: Nombre: 2º Grupo: _D _ Día: 22-XI-2011 CURSO

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1 MATEMATICAS CC SS 1ª EVALUACIÓN Apellidos: Nombre: º Grupo: _D _ Día: -XI-011 CURSO OPCIÓN A 0 3 (a) (1, puntos) Dadas las matrices M y N t 3 0, razone cuales de las siguientes operaciones tienen sentido 1 0 y efectúe las que puedan realizarse: M + N t, M t.n, M.N. (b) (1, puntos) Un industrial cafetero produce dos tipos de café, natural y descafeinado, en tres modalidades cada uno, A, B y C. Se han anotado en la matriz P los pesos, en kg, del café que el industrial produce de cada una de las modalidades de cada tipo, y en la matriz Q los precios a los que vende el kg de cada producto final. P: natural Q: natural '0 '7 '0 descafein descafein. 3'0 3'90 3'60 Efectúe el producto P.Q t y explique el significado económico de cada uno de los elementos de la diagonal principal de la matriz resultante. a) ( puntos) Sabemos que el precio del kilo de tomates es la mitad que el del kilo de carne. Además, el precio del kilo de gambas es el doble que el de carne. Si pagamos 18 euros por 3 kilos de tomates, 1 kilo de carne y 0 gramos de gambas, cuánto pagaríamos por kilos de carne, 1 kilo de tomates y 00 gramos de gambas? b) ( puntos) Clasifica y resuelve el sistema de ecuaciones lineales x y z x + 3y z. 4x + y 3z EJERCICIO 3 (3 puntos) Un supermercado se abastece de gambas y langostinos a través de dos mayoristas, A y B, que le envían contenedores con cajas completas de ambos productos. El mayorista A envía en cada contenedor cajas de gambas y 3 de langostinos, al precio de 30 euros el contenedor, mientras que el mayorista B envía en cada uno 1 caja de gambas y de langostinos, al precio de 0 euros el contenedor. El supermercado necesita, como mínimo, 0 cajas de gambas y 180 de langostinos pudiendo almacenar, como máximo, 0 contenedores. Cuántos contenedores debería pedir el supermercado a cada mayorista para satisfacer sus necesidades con el menor coste posible? Indique cuál sería ese coste mínimo. OPCIÓN B Sean las matrices A 3, B y C a) (1, puntos) Calcule A B.C t b) (1, puntos) Resuelva la ecuación matricial A.X + B.C a) ( puntos) Plantea y resuelve, el sistema de ecuaciones asociado al siguiente problema: Un monedero contiene 1 euro en monedas de, y 10 céntimos; en total hay monedas. Sabiendo que el número de monedas de y 10 céntimos juntas excede en unidades al número de monedas de céntimos, obtenga el número de monedas de cada tipo que hay en el monedero. b) ( puntos) Resuelve el sistema formado por las ecuaciones x + y + z 6 x y + z 3 3x + y 3z 3 EJERCICIO 3 Sea el recinto determinado por las siguientes inecuaciones: x + y 0, 3x + y 70, x 0, y 0. a) (0. puntos) Razone si el punto de coordenadas (4 1,11 7) pertenece al recinto. b) (1, puntos) Represente dicho recinto y calcule sus vértices. c) (1 punto) Dónde alcanzará la función F(x, y) 0 6x + y sus valores extremos y cuáles serán éstos? 1

2 OPCIÓN A 0 3 (a) (1, puntos) Dadas las matrices M y N t 3 0, razone cuales de las siguientes operaciones 1 0 tienen sentido y efectúe las que puedan realizarse: M + N t, M t.n, M.N. (b) (1, puntos) Un industrial cafetero produce dos tipos de café, natural y descafeinado, en tres modalidades cada uno, A, B y C. Se han anotado en la matriz P los pesos, en kg, del café que el industrial produce de cada una de las modalidades de cada tipo, y en la matriz Q los precios a los que vende el kg de cada producto final. P: natural descafein Efectúe el producto P.Q t la matriz resultante. 40 Q: natural '0 '7 '0 100 descafein. 3'0 3'90 3'60 y explique el significado económico de cada uno de los elementos de la diagonal principal de a) Para poder sumar dos matrices han de coincidir las dimensiones de ambas. Como coinciden (x3) se puede efectuar la suma M + N t obteniendo una matriz x3: M + N t Para poder multiplicar dos matrices el número de columnas de la primera matriz tiene que coincidir con el número de filas de la segunda. Como M es de dimensión x3, su transpuesta, M t es de dimensión 3x, es decir tiene columnas. Como N t es de dimensión x3 N es de dimensión 3x, es decir que tiene filas, NO es posible realizar el producto de ambas. A partir del razonamiento del párrafo anterior M es de dimensión x3 y N 3x, es posible realizar el producto de ambas obteniendo: 0 3 M.N b) El producto P.Q t será: nat. desc. P.Q t A '0 3' natural B'7 3'90 descafein C '0 3'60 El significado económico de cada uno de los elementos de la diagonal principal de la matriz resultante es el siguiente. El elemento a es la suma de los productos de los kilos de cada tipo de café natural por su precio respectivo, por lo tanto son lo euros totales que ha obtenido por el café natural producido. El elemento a 197 es la suma de los productos de los kilos de cada tipo de café descafeinado por su precio respectivo, por lo tanto son lo euros totales que ha obtenido por el café descafeinado producido. a) ( puntos) Sabemos que el precio del kilo de tomates es la mitad que el del kilo de carne. Además, el precio del kilo de gambas es el doble que el de carne. Si pagamos 18 euros por 3 kilos de tomates, 1 kilo de carne y 0 gramos de gambas, cuánto pagaríamos por kilos de carne, 1 kilo de tomates y 00 gramos de gambas? b) ( puntos) Clasifica y resuelve el sistema de ecuaciones lineales x y z x + 3y z. 4x + y 3z a) Llamamos: x al precio del kilo de tomates y al precio del kilo de carne z al precio del kilo de gambas

3 De las condiciones del problema obtenemos el sistema de ecuaciones lineales siguiente: y x x y z y z y z 3x + y x + 4y + z 7 4 Sustituyendo los valores de x y z en función de y en la tercera ecuación obtenemos: 7 6y+4y+y 7 1y 7 y 6 1 x 6 3 z.6 1 El precio del kilo de tomates es de 3 El precio del kilo de carne es de 6 El precio del kilo de gambas es de 1 Por kilos de carne, 1 kilo de tomates y 00 gramos de gambas pagaríamos: y+x+0,z.6+3+0,.1 1 b) Clasificamos y resolvemos el sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss. Para ello utilizamos la siguiente matriz ampliada Restamos a la ª fila de la matriz la primera multiplicada por y a la 3ª fila la primera multiplicada por 4: Restamos a la 3ª fila de la matriz la segunda: Al ser una matriz triangular superior cuya tercera fila es ( 0 0 0) indeterminado. 3 0 el sistema es compatible Resolvemos el sistema formado por las primeras ecuaciones (ya que la tercera es linealmente dependiente de ellas) y parametrizamos tomando z λ: x y + λ y 6 λ Despejando en la ª ecuación: 6 λ y 6 λ λ x y-+λ + λ Es decir que las infinitas soluciones son de la forma: λ 6 λ,, λ EJERCICIO 3 (3 puntos) Un supermercado se abastece de gambas y langostinos a través de dos mayoristas, A y B, que le envían contenedores con cajas completas de ambos productos. El mayorista A envía en cada contenedor cajas de gambas y 3

4 de langostinos, al precio de 30 euros el contenedor, mientras que el mayorista B envía en cada uno 1 caja de gambas y de langostinos, al precio de 0 euros el contenedor. El supermercado necesita, como mínimo, 0 cajas de gambas y 180 de langostinos pudiendo almacenar, como máximo, 0 contenedores. Cuántos contenedores debería pedir el supermercado a cada mayorista para satisfacer sus necesidades con el menor coste posible? Indique cuál sería ese coste mínimo. a) Llamamos: x al número de contenedores pedidos al mayorista A y al número de contenedores pedidos al mayorista B por lo cual las condiciones del problema las podemos resumir en la siguiente tabla: Gambas Langostinos A x x 3x B y y y De la cual obtenemos las condiciones: x+y 0 3x+y 180 x+y 0 aparte de las restricciones comunes x 0 e y 0. Es decir, es un problema de programación lineal donde pretendemos optimizar la función F(x, y) 30x+0y Sujeta a las restricciones: x+y 0, 3x+y 180, x+y 0, x 0, y 0 Para representar el recinto debemos representar las rectas borde de las desigualdades: x+y 0 con puntos (x0, y 0) y (x, y 0) 3x +y 180 con puntos (x0, y 36) y (x60, y 0) x+y 0 con puntos (x0, y 0) y (x0, y 0) y 0 (eje de abscisas) x 0 (eje de ordenadas) Representamos gráficamente las rectas que verifican estas igualdades y calculamos los vértices del recinto resolviendo las ecuaciones de las rectas dos a dos. De y0 y x0, obtenemos el punto O(0,0) x + y 0 7x 70 x 10, A (10, 30) 3x + y 180 3x + y 70 y 30 y 1, B (3, 1) x + y 0 x + y 0 y 0, C (0, 0) x 0 El recinto es el de la figura: 4

5 La función F alcanza el máximo y mínimo absolutos en el recinto acotado, estando situado dichos máximo y mínimo en algún o algunos de los vértices del recinto. Por lo tanto calculamos F en: F(10, 30) F(3, 1) F(0, 0) El coste mínimo de la función F es y se alcanza en el punto A (10, 30) OPCIÓN B Sean las matrices A 3, B y C a) (1, puntos) Calcule A B.C t b) (1, puntos) Resuelva la ecuación matricial A.X + B.C a) Calculamos A B.C t efectuando las potencias, productos y diferencias indicadas: -1 A B.C t b) Para resolver la ecuación matricial A.X + B.C despejamos X en el primer miembro: A.X.C - B. Suponiendo que A tenga inversa multiplicaremos por la izquierda por la matriz A -1 y nos quedará: A -1.A.X A -1 (.C - B) X A -1 (.C B) [1]. A sí tiene inversa ya que su determinante A Para calcular la matriz inversa, A -1 Hallamos la matriz transpuesta: A t 1 3 Hallamos la matriz de adjuntos de la transpuesta: A t 3 Dividimos por el determinante: A -1 Adj(A 1 3 ) A 3 A continuación efectuamos las operaciones indicadas en [1]: X A (.C B) a) ( puntos) Plantea y resuelve, el sistema de ecuaciones asociado al siguiente problema: Un monedero contiene 1 euro en monedas de, y 10 céntimos; en total hay monedas. Sabiendo que el número de monedas de y 10 céntimos juntas excede en unidades al número de monedas de céntimos, obtenga el número de monedas de cada tipo que hay en el monedero. b) ( puntos) Resuelve el sistema formado por las ecuaciones x + y + z 6 x y + z 3 3x + y 3z 3 a) Llamamos: x al número de monedas de céntimo

6 y al número de monedas de céntimos z al número de monedas de 10 céntimos De las condiciones del problema obtenemos el sistema de ecuaciones lineales siguiente: 0,0x + 0,0y + 0,10 z 1 x + y + 10z 100 x + y + z x + y + z y + z x + x y z Sumando la ª y 3ª ecuaciones obtenemos: x 0 x 10 Valor que sustituimos en la 1ª y ª ecuaciones, obteniendo el nuevo sistema: y + z 16 y + z 1 Restando a la 1ª ecuación la ª: z 4 y sustituyendo en la ª: y 1 z 8 por lo tanto en el monedero hay: 10 monedas de céntimo 8 monedas de céntimos 4 monedas de 10 céntimos b) Resolvemos el sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss. Para ello utilizamos la siguiente matriz ampliada Restamos a la ª fila de la matriz la primera multiplicada por y a la 3ª fila la primera multiplicada por 3: Restamos a la 3ª fila multiplicada por 3 de la matriz la segunda: Obtenemos el sistema triangular: x + y + z 6 3y z 36 Por lo tanto: 36 z 18 9 y 3 3 x 6-y-z Es decir la solución es: x 1, y 3, z 6

7 EJERCICIO 3 Sea el recinto determinado por las siguientes inecuaciones: x + y 0, 3x + y 70, x 0, y 0. a) (0. puntos) Razone si el punto de coordenadas (4 1,11 7) pertenece al recinto. b) (1, puntos) Represente dicho recinto y calcule sus vértices. c) (1 punto) Dónde alcanzará la función F(x, y) 0 6x + y sus valores extremos y cuáles serán éstos? a) Para determinar si el punto de coordenadas (4 1,11 7) pertenece al recinto tenemos que averiguar si verifica todas las inecuaciones que determinan éste. x 0 la verifica, ya que es positivo. 0 la verifica, ya que es positivo. x + y 0, la verifica ya que es cierto. 3x + y 70, no la verifica ya que 3(4 1) + ((11 7) es falso. Por lo tanto el punto (4 1,11 7) no pertenece al recinto. b) Para representar el recinto debemos representar las rectas borde de las desigualdades: x+y 0 con puntos (x0, y 0) y (x0, y 0) 3x +y 70 con puntos (x0, y 14) y (x70/3, y 0) y 0 (eje de abscisas) x 0 (eje de ordenadas) Representamos gráficamente las rectas que verifican estas igualdades y calculamos los vértices del recinto resolviendo las ecuaciones de las rectas dos a dos. De y0 y x0, obtenemos el punto O(0,0) y 0 0-x 0 x 0, A(0,0) y 0 - x 3x + y 70 y 0 - x 3x + y 70 x 0 El recinto es el de la figura: 70-3x 0 x 100-x 70-3x x 30 x 1, B(1,) y 70 y 14, C(0,14) c) La función F alcanza el máximo y mínimo absolutos en el recinto acotado, estando situado dichos máximo y mínimo en algún o algunos de los vértices del recinto. Por lo tanto calculamos F en: O(0,0) F(0,0) A(0,0) F(0,0) B(1,) F(1,) C(0,14) F(0,14) Por lo tanto: El máximo absoluto de la función F es 14 y se alcanza en el segmento que une los puntos B y C. El mínimo es 0 y se alcanza en el punto (0,0). 7