Soluciones a los ejercicios propuestos del Tema 5

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1 Soluciones a los ejercicios propuestos del Tema 5 1 Soluciones a los ejercicios propuestos del Tema 5 51 Vamos a aplicar el test de independencia de la χ 2 a las variables color de ojos y mioía Para ello usamos la siguiente tabla: Color de ojos Miopía Azul Verde Castaño f i No 75 / / / Sí 36 / / / f j n=550 El valor del estadístico D es d = ( )2 + = < χ 2, = 599, luego no se puede decir que haya relación entre las dos variables Nota: hay que hacer los cálculos con todos los decimales que se pueda para evitar la propagación de errores al hacer los cuadrados y sumar 52 Aplicar el test de independencia de la χ 2 a las variables sexo y facultad de gustar Para ello usamos la siguiente tabla: Sexo Facultad de gustar Niño Niña Suma Sí a=60 b=40 N x1 = 100 No c=40 d=10 N x2 = 50 Suma N y1 = 100 N y2 = 50 n=150 El valor del estadístico D (con la corrección de Yates de continuidad) es d = 150 ( ) 2 = > χ 2,1 095 = 384

2 2 Probabilidad y Estadística para ciencias e ingenierías Luego sí podemos decir que hay relación Las niñas gustan mejor la sustancia, pues el porcentaje de niñas que la detectan es mayor que el de niños (son, respectivamente, un 80 y un 60 %) 53(a) % de tratados con A de entre los de talla mediana: = 6296 %, 540 % de talla grande de entre los tratados con A: = 3571 % (b) Usamos el test de independencia de la χ 2 para las variables talla y tratamiento, para lo que necesitamos la siguiente tabla (en ella redondeamos al quinto decimal, pero en realidad hemos de trabajar con todos los decimales que podamos para calcular el valor del estadístico, ya que si no los errores se propagan) Talla del perro Trat Pequeña Mediana Grande f i A 110 / / / B 25 / / / C 5 / / / f j n=1055 El valor del estadístico D es ( )2 d = + = > χ 2,4 099 = 1328, luego con α = 001 sí se puede decir que hay relación entre las dos variables, aunque un poco ajustado Con α = 005 también porque 005 > 001 (el test es más arriesgado), y de hecho con más holgura, ya que χ 2,4 095 = Como Q = 013/023 = > Q 095 (6) = 0560, con α = 005 sí podemos decir que 207 es un outlier Como Q 099 (6) = 0698 > 0560, con α = 001 no podemos decirlo 55 Como Q = 02/029 = > Q 095 (5) = 0642,

3 Soluciones a los ejercicios propuestos del Tema 5 3 con α = 005 sí podemos decir que el valor 1227 es un outlier Con α = 001, no podemos decirlo, puesto que Q 099 (5) = 0780 > Q 56 Como Q = 099/102 = > Q 099 (5) = 0780, sí que podemos decir que 1314 es un outlier 57 Pareja sospechosa : 0421 y 0423 Para 0423: calculamos el valor del estadístico Q = 0020/0026 = > Q 099(8) = 0710 Entonces se puede decir que 0423 es un outlier con α = 001, luego también con α = 005 Para 0421, eliminando 0423, se obtiene: Q = 0018/0024 = 075 > Q 099 (7) = 0637; por tanto se puede decir que es un outlier con α = 001, luego también con α = 005 Así que podemos decir que ambos lo son 58 Vamos a hacer el test de normalidad de Shapiro-Wilk con α = 005 y n = 11 para ver si podemos decir que los datos no provienen de una normal: i u (i) u (n i+1) u (n i+1) u (i) a n i+1 a n i+1 ( u(n i+1) u (i) ) La suma de la última columna es , y 11 (u i ū) 2 = Entonces, el valor del estadístico es W = (700113)2 = menor que valor tabulado W = 0850 Por tanto, sí se puede decir que no provienen de una normal i=1

4 4 Probabilidad y Estadística para ciencias e ingenierías 59 Vamos a hacer el test de Kolmogorov-Smirnov para ver si podemos decir que los datos no provienen de una normal: i u (i) u (i) 80 6 F 0 (u (i) ) F 0 (u (i) ) i n F 0(u (i) ) i 1 n El valor del estadístico es K = , que es menor que valor tabulado , que está entre 0210 y 0230 Por tanto, no se puede decir que las observaciones no provienen de la normal 510 Hacemos el test de bondad de ajuste (de la χ 2 ) a que las proporciones de homicidios en las 4 estaciones son iguales a 1/4 Categoría O i E i (O i E i ) 2 Primavera Verano Otoño Invierno Total d = Entonces el valor del estadístico es d = < χ 2,3 095 = 781, luego no tenemos suficiente evidencia como para poder decir que haya relación entre la estación del año y la incidencia de homicidios E i

5 Soluciones a los ejercicios propuestos del Tema Haremos el test de bondad de ajuste (de la χ 2 ) a que las proporciones son las dadas por la teoría, usando la tabla: Categoría O i E i (O i E i ) 2 Rojas Amarillas Blancas Total d = E i El estadístico es d = < χ 2,2 095 = 599 No se puede decir que los datos contradigan la teoría 512 Hacemos el test de bondad de ajuste (de la χ 2 ) a una Poisson, tomando como estimación del parámetro ˆλ = x = 101/48, y teniendo en cuenta que las ˆλ ˆλ i frecuencias esperadas se obtienen así: E i = e, ayudándonos con la tabla: i! Categoría O i E i (O i E i ) Total d = E i El estadístico del test es d = < χ 2,3 095 = 781 No hay evidencia como para poder decir que los datos no provienen de una Poisson, así que no podemos decir que no provienen de una Poisson 513 Hacemos el test de homogeneidad (de la χ 2 ), para s = 5 poblaciones, usando la siguiente tabla:

6 6 Probabilidad y Estadística para ciencias e ingenierías Variedad de gramínea Germinadas No germinadas Total n 1 = 40 n 2 = 88 n 3 = 136 n 4 = 32 n 5 = 100 Tenemos que ˆp 1 = 30 40, ˆp 2 = 55 88, ˆp 3 = , ˆp 4 = 12 32, ˆp 5 = y también ˆp = n 1 ˆp 1 + +n 5 ˆp 5 n 1 + +n 5 = = El estadístico es: d = 1 ˆp (1 ˆp) 5 n j (ˆp j ˆp) 2 = j= ( ) = y es > χ 2,4 095 = 949 Entonces, con una probabilidad de equivocarnos de un 5 % podemos decir que no hay diferencias, en cuanto a la germinación se refiere, entre las 5 variedades de gramínea