Lógica de Predicados 1

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1 Lógica de Predicados 1 rafael ramirez Ocata 320

2 Porqué Lógica de Predicados La logica proposicional maneja bien afirmaciones compuestas de no, y, o, si entonces En situaciones con un conjunto finito (pequeño) de elementos, esto es suficiente para hablar de existe, todo, para todo. Ejemplo: si tenemos 3 estudiantes A, B y C, tomando p= A tiene ojos cafes, q= B tiene ojos cafes, r= C tiene ojos cafes la afirmacion existe un estudiante con ojos cafes se puede representar por p q r 2

3 Porqué Lógica de Predicados En situaciones con conjuntos infinitos (muy grandes) requríamos formulas infinitas, p.e. cada persona es hombre o mujer se traduciría como: (p0 q0) (p1 q1) (p2 p2) Que pasa si queremos representar el argumento: Todos los hombres son mortales, Socrates es un hombre, Por lo tanto, Socrates es mortal. 3

4 Lógica de Predicados La logica de predicados (tambien llamada logica de primer orden) es una extension de la logica proposicional que usa variables para los objetos. Si usamos x para representar a algun humano, la afirmacion cada persona es hombre o mujer se puede representar como x(h(x) M(x)) donde H(x)= x es hombre, M(x)= x es mujer Estas variables se pueden combinar con símbolos de función para representar objetos nuevos y con símbolos de predicado para describir ralaciones entre objetos. Ejemplo: si s(x) representa el padre de x, y M(x,y) representa x es menor que y, entonces toda persona es menor que su padre se representa por x M(x,s(x)) 4

5 Ejercicio Traduce: 5

6 Ejercicios Ejercicio P4-#3a no todas las aves pueden volar Ejercicio P4-#3b todos los hombres son mortales. Socrates es un hombre. Por lo tanto Socrates es mortal. Ejercicio P4-#3c Existe un hermano de Ana que le gusta a Blanca 6

7 Ejercicios Ejercicio P4-#3a no todas las aves pueden volar ( x (B(x) F(x))) Ejercicio P4-#3b todos los hombres son mortales. Socrates es un hombre. Por lo tanto Socrates es mortal. x (H(x) M(x)), H(s) M(s) Ejercicio P4-#3c Existe un hermano de Ana que le gusta a Blanca x (H(x,a) L(x,b)) 7

8 Correctez y completez Extenderemos los conceptos de interpretacion semántica y de deduccion natural a la logica de predicados. Obtenemos similares teoremas de correctez y completez: A1, A2, An B si y solo si A1, A2, An B 8

9 Alfabeto de la logica de 1er orden Símbolos de puntuación (, ) Variables x, y, z, x1, x2,, u, v Constantes a, b, c, a1, Símbolos de función f, g, f1, Simbolos de predicado p, q, r, p1, Conectivos Los mismos que logica proposicional +, 9

10 Términos y fórmulas atómicas TERMINOS Las variables y constantes son terminos Si f es una función de n argumentos y t1,,tn son terminos, entonces f(t1,,tn) es un término. FORMULAS ATOMICAS Si p es un predicado con n argumentos y t1,,tn son terminos, entonces p(t1,,tn) es una fórmula atómica. 10

11 Términos y fórmulas atómicas FORMULAS DE PRIMER ORDEN Una fórmula atómica es una fórmula (de 1er orden) Si A y B son fórmulas entonces A B, A, A B, A B, xa, xa son fórmulas 11

12 Algunas definiciones El alcance de un cuantificador es la formula a la cual se aplica. Una ocurrencia de una variable esta acotada si esta dentro del alcance de un cuantificador x Si no lo esta entonces la variable esta libre Una formula esta cerrada si no tiene ninguna ocurrencia libre de variables 12

13 Interpretaciones Una interpretación I para una formula A es: Un dominio D (un conjunto no vacío) Una relacion en el dominio D para cada símbolo de predicado en A Una funciones en el dominio D para vada símbolo de funcion en A Un elemento de D para cada constante en A En caso de que la formula sea abierta, un elemento de D para cada variable libre de A Nota que en el caso proposicional solo hay variables (p,q, ) y nuestro dominio D es el conjunto {T,F} 13

14 Modelos Sea A una formula cerrada Definicion: A es verdad en I, o I es una modelo de A, si v(a) = T bajo I. Notacion: I A Si A = x p(a,x) I1: D=N, p=, a=1 I1 A I2: D=N, p=, a=0 No I2 A I3: D=Z, p=, a=0 No I3 A 14

15 Satisfacibilidad Definicion: Una formula A es satisfacible si para alguna interpretación I, I A Definicion: Una formula A es válida (notación A) si para toda interpretación I, I A x p(a,x) satisfacible y es falsifiable Que tal x p(x) p(a)? Que tal x p(x) p(a)? 15

16 Fórmulas válidas (1) 16

17 Fórmulas válidas (2) 17

18 Tableaux semánticos 18

19 Tableaux semánticos Ejercicio: Determinar con un tableau semántico si la siguientes fórmulas son válidas o no x ( p(x) q(x) ) ( x p(x) x q(x) ) x A(x) x A(x) 19

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