Objetivos. 1. Variable Aleatoria y Función de Distribución. PROBABILIDAD Tema 2.2: Variables aleatorias discretas Denición de Variable aleatoria

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1 PROBABILIDAD Tema 2.2: Variables aleatorias discretas Objetivos Dominar el uso de las funciones asociadas a una variable aleatoria discreta para calcular probabilidades. Conocer el signicado y saber calcular la esperanza y la varianza de una variable aleatoria discreta. Reconocer y aplicar modelos de probabilidad discretos 1. Variable Aleatoria y Función de Distribución Lo que pretendemos en este tema es transformar un espacio de probabilidad general (Ω, S, P ) en un espacio de probabilidad sobre R, de forma que vamos a simplicar el proceso de asignación de probabilidades mediante el uso de funciones reales de variable real, en vez de funciones de conjunto, como son las funciones de probabilidad Denición de Variable aleatoria Una función X : Ω R es una variable aleatoria si para todo subconjunto B R se tiene X 1 (B) S, es decir, si X 1 (B) es un suceso, sea cual sea el conjunto B R. El conjunto X(Ω) = X se le llamará espacio muestral de la variable aleatoria X y es el conjunto de todos los valores posibles de X. Diremos que una variable aleatoria es discreta si su espacio muestral es un conjunto discreto, es decir, un conjunto nito o bien un conjunto innito pero numerable. Si el espacio muestral de la variable es innito no numerable, como el conjunto de puntos de un intervalo real, diremos que la variable aleatoria es continua. En este tema trataremos con variables aleatorias discretas. Ejemplo 1.1 Si lanzamos una moneda al aire dos veces y X es el número de caras obtenidas X transforma el espacio muestral original Ω = {(c, c), (x, c), (c, x), (x, x)} en X = {0, 1, 2}. Página: 1

2 1.2. Función de Distribución de una variable aleatoria discreta Denimos la Función de Distribución de una variable aleatoria X como la función real de variable real F : R [0, 1] x R F (x) := P (X 1 (, x]) = P ({e Ω : X(e) x}) = P (X x) Ejemplo 1.2 (Continuación) La función de distribución del ejemplo anterior es 0, si x < 0; 1, si 0 x < 1; F (x) = 4 3, si 1 x < 2; 4 1, si x Propiedades de la Función de Distribución de una variable aleatoria discreta Las más importantes son: 1. Es siempre no decreciente. 2. Tiene dos asíntotas horizontales: lím x F (x) = 0 y lím x F (x) = Es siempre continua por la derecha, sin embargo F (x) es discontinua por la izquierda en aquellos puntos x en donde P (X = x) > 0, es decir, es discontinua en los puntos muestrales de X. En dichos puntos la función F (x) pega un salto de amplitud P (X = x) y F (x) es escalonada. 4. P (a < X b) = F (b) F (a), a, b R. Ejemplo 1.3 [Continuación] En el ejemplo anterior la función F (x) es escalonada y su gráca es la de la gura siguiente. Página: 2

3 1.4. Actividades 1. Comprobar que, siendo F (x) la función de distribución de una variable aleatoria X, cualesquiera que sean los números reales a y b, se verica: a) P (a < X b) = F (b) F (a) b) P (a < X < b) = F (b) F (a) P (X = b) c) P (a X < b) = F (b) F (a) P (X = b) + P (X = a) 2. Estudiar si las siguientes funciones pueden ser funciones de distribución, y representarlas grácamente: a) F (x) = 0 si x < 0 y F (x) = 1 si x 0 b) F (x) = 0 si x < 0, F (x) = 1 3 si x [0, 1), F (x) = 2 5 si x 2 si x [1, 2) y F (x) = 1 2. Función Puntual de Probabilidad La Función de distribución de una variable aleatoria discreta X es una herramienta absolutamente suciente para la asignación de probabilidades a cualquier suceso relacionado con X. Sin embargo vamos a introducir otra función, denominada función puntual de probabilidad que va a asignar probabilidad a cada punto del espacio muestral de X. Si X es una variable aleatoria discreta, la Función Puntual de Probabilidad o simplemente la Función de Probabilidad es la función p : R [0, 1] que asigna probabilidades a cada uno de los puntos muestrales de X. Es decir, { F (x) F (x 1) = P (X = x), si x X ; p(x) = 0, si x / X. es decir F (x) = y x,y X y de las propiedades de la función de distribución se derivan las siguientes propiedades de la función de probabilidad: 1. x X p(x) = 1 2. Si I R, P (X I) = x I,x X p(x) Ejemplo 2.1 Si X =número de caras al tirar dos veces una moneda, su función de probabilidad es p(y) 1/4, si x = {0, 2}; p(x) = 1/2, si x = 1; 0, si x / {0, 1, 2}. Página: 3

4 2.1. Actividades Estudiar si las funciones siguientes pueden ser funciones puntuales de probabilidad, y en su caso, calcular sus funciones de distribución: 1. p(x) = 1 5 si x = 0, 1, 2, 3, 4 y p(x) = 0 en el resto 2. p(x) = k si x = 10, 9,..., 9, 10 y p(x) = 0 en el resto 3. p(x) = 2x si x = 1, 2, 3, 4 y p(x) = 0 en el resto 4. (*) p(x) = 1 si x = 1, 2, 3,... y p(x) = 0 en el resto 2x 3. Esperanza y Varianza de una variable aleatoria discreta Con estos parámetros, que denimos a continuación, pretendemos describir una variable aleatoria respecto a sus características de centralización y dispersión Esperanza Matemática o Media Teórica La Esperanza o Media Teórica de una v.a. E(X) indica un valor teórico al que tendería el valor medio de n realizaciones de X, cuando n tiende a innito. Para aclarar esto supongamos que X es nuestra ganancia cuando jugamos a un juego de lotería en el que podemos ganar un millón de euros con cierta probabilidad o perder lo invertido en el billete. En una realización concreta ganaremos o perderemos y la esperanza de X sería el valor al que tendería el valor medio de mi ganancia cuando juego un número grande de veces. Se dene mediante la siguiente expresión: E(X) = x X xp(x) Ejemplo 3.1 Supongamos que en un juego ganamos 10 euros si al tirar un dado sacamos un cinco o un seis, ganamos 5 si sale un 2 o un 3 o un 4 y perdemos 25 si sale un 1. Si llamamos X a la ganancia obtenida en una jugada, la función de probabilidad de X es 2, si x = 10; 6 3, si x = 5; p(x) = 6 1, si x = 25; 6 0, si x / {10, 5, 25}. cuya esperanza vale: E(X) = = 10 6 que sería el valor medio de nuestras ganancias a largo plazo (en un gran número de jugadas). Página: 4

5 Ejemplo 3.2 La esperanza de la variable del ejemplo (1.3) vale E(X) = = 1 esto signica que en un gran número de experiencias, el valor medio del número de caras tendería a 1. Propiedades de la Esperanza Matemática 1. Si C es una constante E(C) = C 2. E(CX) = CE(X) 3. Si C y D son constantes y X e Y son v.a. E(CX + DY ) = CE(X) + DE(Y ) 4. Si X e Y son independientes se tiene E(X.Y ) = E(X)E(Y ) Varianza y Desviación Típica La varianza de una variable aleatoria X, que representaremos por V (X), y la Desviación Típica, D(X), indicarán el grado de dispersión de los valores de la variable respecto a la esperanza matemática. La Desviación Típica será la raíz cuadrada positiva de la varianza, D(X) = V (X) y tiene la ventaja que se expresa en la misma unidad que la propia variable. Variables con desviación típica pequeña indicará que hay alta probabilidad de observar valores próximos a la esperanza matemática o media teórica E(X). Si denotamos E(X) mediante µ y V (X) mediante σ 2 Denimos V (X) = σ 2 = E((X µ) 2 ) = E(X 2 ) µ 2 y podemos calcularla mediante la siguiente expresión: V (X) = σ 2 = x X x 2 p(x) µ 2 = x X x 2 p(x) ( x X xp(x)) 2 Ejemplo 3.3 La varianza de la variable del ejemplo (1.3) es σ 2 = = 1 2 y su desviación típica es D(X) = σ = 1 2 Propiedades de la Varianza 1. Si C es una constante V (C) = 0 2. V (CX) = C 2 V (X) 3. Si C y D son constantes y X e Y son v.a. e independientes, V (CX + DY ) = C 2 V (X) + D 2 V (Y ) 4. Si E(X) = µ y D(X) = σ, la variable Z = X µ σ cumple E(Z) = 0 y V (Z) = 1. Página: 5

6 3.3. Actividades 1. Calcular la esperanza y la varianza en los casos en donde sea posible de las actividades de las secciones anteriores. 2. Se dispone de una diana de 10cm de radio, formada por tres círculos concéntricos de radios 1cm, 5cm y 10cm. Un disparo recibe la puntuación según la zona de la diana en la que impacta: cuando acierta en el blanco (dentro del círculo menor) recibe 10 puntos, cuando pega en el anillo intermedio recibe 5 puntos y si cae en el anillo exterior recibe 3 puntos, siendo 0 los puntos cuando no impacta en la diana. Suponiendo que la probabilidad de impactar en la diana es 0.5: a) Calcular la probabilidad de obtener cada una de las puntuaciones en un disparo. b) Hallar la puntuación esperada en un disparo. 4. Modelos de probabilidad discretos 4.1. El modelo de Bernoulli Consideremos un experimento con únicamente dos resultados posibles, o puede suceder A (que llamaremos éxito) o bien A y supongamos que la probabilidad de Éxito es conocida, es decir, P (A) = p (con 0 p 1 ). Cuando realizamos un experimento en las condiciones anteriores diremos que hemos realizado una Prueba de Bernoulli. Si llamamos X=número de éxitos obtenidos en una prueba de Bernoulli su espacio muestral es X = {0, 1} y la función puntual de probabilidad de X tiene la siguiente expresión p, si X = 1; p(x) = P (X = x) = q = (1 p), si X = 0; o lo que es igual p(x) = P (X = x) = { p x (1 p) 1 x, si x X = {0, 1}; Podemos, para este modelo, fácilmente calcular su esperanza y su varianza: que son E(X) = 1p + 0(1 p) = p V (V ) = 1 2 p (1 p) p 2 = p(1 p) Si la variable X tiene una distribución de probabilidad como la del modelo de Bernoulli con P (A) = p, lo indicaremos poniendo X B(p) Página: 6

7 Actividades 1. Obtener y dibujar la función de distribución de X B(p) Modelo Binomial Imaginemos un experimento como el anterior, con dos resultados posibles A y A y P (A) = p conocido, pero que lo repetimos n veces en idénticas condiciones. Sea ahora X=número de éxitos en n pruebas de Bernoulli idénticas e independientes El espacio muestral de la variable es X = {0, 1,..., n} y la función puntual de probabilidad es: { ( n ) p(x) = x p x (1 p) n x, si x X = {0, 1,..., n}; 0, si x / X. En este caso la esperanza y la varianza valen: Además: E(X) = np V (X) = np(1 p) La función puntual de probabilidad de X B(n, p) es simétrica si p = 1 2. Si X B(n, p) e Y B(m, p), entonces Z B(n + m, p). Si la variable X tiene una distribución de probabilidad como la del modelo Binomial de parámetros n =número de pruebas y P (A) = p, lo indicaremos poniendo Actividades X B(n, p) 1. (*) Aporta al menos cinco situaciones experimentales en donde la v.a. X siga una distribución Binomial. 2. Demuestra que la función puntual de probabilidad anteriormente denida cumple los requisitos necesarios. 3. (*) Si X B(n, p) y llamamos p k = P (X = k), (k = 0, 1,..., n), encontrar la relación de recurrencia que existe entre p k+1 y p k. 4. Si lanzamos de veces una moneda equilibrada, acotar la probabilidad de que la frecuencia relativa del número de caras no se desvíe de la probabilidad exacta en más de (Utiliza la desigualdad de Tchebychev). 5. Sea A un suceso con probabilidad p y sea n A el número de veces que ha resultado A en n pruebas de Bernoulli. Acotar la probabilidad de que la frecuencia relativa del suceso A no se desvíe de la probabilidad exacta en más de ε. Página: 7

8 4.3. Modelo Geométrico Vamos a considerar ahora un experimento consistente en la realización de repeticiones independientes de pruebas de Bernoulli, donde cada prueba puede resultar A o A con P (A) = p, hasta que que sucede A. Ahora X=número de pruebas de Bernoulli idénticas e independientes hasta que sucede A el espacio muestral es X = {1, 2,...} es innito numerable y su función puntual de probabilidad es { (1 p) p(x) = x 1 p, si x X = {1, 2,...}; En este caso la esperanza y la varianza valen: E(X) = 1/p V (X) = (1 p)/p 2 Si la variable X tiene una distribución de probabilidad como la del modelo Geométrico con P (A) = p, lo indicaremos poniendo X G(p) De forma alternativa el modelo geométrico se dene como la variable Y=número de fracasos antes de que suceda A por primera vez el espacio muestral es Y = {0, 1,...} es innito numerable y su función puntual de probabilidad es { (1 p) p(y) = y p, si y Y = {0, 1,...}; En este caso, y puesto que Y = X 1, la esperanza y la varianza valen: E(Y ) = E(X) 1 = (1 p)/p V (Y ) = V (X) = (1 p)/p Actividades Demostrar que la función puntual de probabilidad denida anteriormente para X cumple los requisitos necesarios. (*) Calcular la función de distribución de X. Si Y G(p) es el número de fracasos antes del primer éxito, demostrar que si k, t Y, se tiene P (Y k + t Y k) = P (Y t). Si X G(p) es el número de pruebas hasta el primer éxito, demostrar que si k, t X, se tiene P (X > k + t X > k) = P (X > t). Interpretar la propiedad anterior, denominada de carencia de memoria del modelo geométrico. Página: 8

9 4.4. Modelo Binomial Negativo El Modelo Binomial Negativo es una generalización del Modelo Geométrico pues terminamos de hacer pruebas de Bernoulli cuando se han conseguido r éxitos, o r veces el suceso A. En las mismas hipótesis anteriores denimos X=número de pruebas de Bernoulli idénticas e independientes hasta que sucede A r veces el espacio muestral es X = {r, r + 1,...} es innito numerable y su función puntual de probabilidad es { ( x 1 p(x) = r 1) (1 p) x r p r, si x X = {r, r + 1,...}; En este caso la esperanza y la varianza valen: E(X) = r/p V (X) = r(1 p)/p 2 Si la variable X tiene una distribución de probabilidad como la del modelo Binomial Negativo, con r =número exigido de éxitos y con probabilidad de éxito P (A) = p, lo indicaremos poniendo Actividades X BN (r, p) 1. Expresar X BN (r, p) como suma de r variables aleatorias X i G(p). A partir de ello obtener E(X) y V (X). 2. (*)Dene cinco situaciones experimentales que se asocien al modelo binomial negativo, expresando en cada caso cuál es el espacio muestral Modelo Hipergeométrico Supongamos una urna con N bolas de dos tipos, por ejemplo N 1 blancas y N 2 = N N 1 negras, y supongamos que denimos la v.a. X =número de bolas blancas obtenidas en una muestra de tamaño n con reemplazamiento. Puesto que las distintas extracciones son independientes y la probabilidad de obtener bola blanca es igual en cada extracción (P (A) = N 1 ) la variable anterior sigue N una distribución Binomial, es decir X B(n, N 1 N ). Pero vamos a suponer ahora que de dicha población se extraen n bolas sin reemplazamiento. El modelo ya no es binomial puesto que las distintas extracciones ni son independientes ni tienen la misma probabilidad de éxito. Si la población consta de N objetos, con N 1 objetos de la clase A y N 2 objetos de la clase A (N 1 + N 2 = N), denimos ahora la variable X=número de objetos de la clase A en una muestra de tamaño n extraída sin reemplazamiento Página: 9

10 el espacio muestral es X = {máx{0, n (N N 1 )},..., mín{n 1, n}} y su función puntual de probabilidad es p(x) = { ( N 1 x )( N N 1 n x ), si máx{0, n (N N ( N 1 )} x mín{n 1, n}; n) En este caso la esperanza y la varianza valen: E(X) = n N 1 N V (X) = n N 1 (1 N 1 ) N n N N N 1 Si la variable X tiene una distribución de probabilidad como la del modelo hipergeométrico lo indicaremos poniendo X H(N, N 1, n) donde N es tamaño de la población, n es el tamaño de la muestra y N 1 es el número de objetos de la clase A en la población. Además es posible demostrar que si N es muy grande y n es pequeño frente a N, las probabilidades hipergeométricas valen aproximadamente las probabilidades binomiales; haciendo p = N 1 N, es decir H(N, N 1, n) B(n, N 1 N ) si N, p = N 1 N lím N ( N1 x )( N N1 n x ) ( N n) = ( ) n p x (1 p) n x x Lo anterior supone que cuando se dan esas circunstancias en problemas de extracción de muestras (N grande y n pequeño), podemos suponer reemplazamiento porque los resultados van a ser muy parecidos y es más cómodo trabajar en este caso Actividades 1. (*) Dene cinco situaciones experimentales que se asocien al modelo hipergeométrico, expresando en cada caso cuál es el espacio muestral. 2. Si una urna contiene 95 bolas blancas y 5 negras y elegimos al azar 3 sin reemplazamiento, calcula la probabilidad de obtener 2 bolas negras. 3. Calcula una aproximación de la probabilidad anterior, mediante la aproximación de la distribución hipergeométrica a la distribución binomial. Página: 10

11 4.6. Modelo de Poisson Supongamos que conocemos el número medio de veces que ocurre el suceso A en una unidad de soporte continuo (tiempo, espacio, volumen, longitud, supercie,...) y que vamos a denotar mediante λ. Decimos que la variable X =número de veces que ocurre A en un intervalo unidad cuyo espacio muestral es X = {0, 1, 2,...}, sigue una distribución de Poisson (también llamada Ley de los Sucesos Raros) de parámetro λ si su función de probabilidad está dada por: { e λ λ x, si x X = {0, 1, 2,...}; p(x) = x! En este caso: E(X) = λ V (V ) = λ Si X es una variable cuya distribución de probabilidad es como la del modelo de Poisson, lo indicaremos poniendo X P(λ) donde λ = E(X) es el número medio de veces que ocurre A en un intervalo unidad. Además las probabilidades Binomiales cuando n es grande y p es pequeño se aproximan a las probabilidades de Poisson, haciendo λ = np. Es decir, )p x (1 p) n x e ( n x Actividades λ λx, si n, λ = np x! 1. Demostrar que la función de probabilidad anterior cumple los requisitos necesarios. 2. Denir cinco situaciones experimentales que se ajusten a un modelo de Poisson. 3. (*) Demostrar que E(X) = λ 4. (*) Demostrar la convergencia de las probabilidades binomiales a las probabilidades de Poisson. Página: 11

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