Cuya energía potencial almacenada en la masa Mp está dada por: Una energía cinética del carrito dada por: I. INTRODUCCION

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1 Modelos de Péndulo Invertido Olivero, Carlos (Coautor) Jimenez, Néstor (Coautor) Área de Ingeniería Instituto Tecnológico de Santo Domingo, INTEC Santo Domingo, DN. Rep. Dominicana. Resumen En el siguiente documento se presentan las simulaciones de un péndulo invertido no lineal (Lagrange) y tres péndulos empotrados bajo distintos análisis matemáticos. Además, modela el movimiento del péndulo, este último tiene la capacidad de desplazarse de izquierda o derecha, mediante deflexión o traslación(lagrange). Términos Clave Entrada del sistema, Modelado Cinemático, Traslacional, Velocidad Angular, Bloques, Marco de referencia, Simscape, simmechanics, Reaccion, empotramiento, Laplace. I. INTRODUCCION Un modelado no solo debe tener un sentido matemático, sino que también debe arrojar resultados conformes a la realidad física. Analizar, revisar y probar el modelo asegura que no se obtengan errores durante la simulación y que el resultado obtenido sea lógico y real. Todo esto aplicado y explicado con el fin de llevar a cabo un modelado y simulación de un Péndulo invertido, tanto libre como empotrado. II..Modelo de LaGrange DESCRIPCION DE LA METODOLOGIA y p = lp cos α(t) Cuya energía potencial almacenada en la masa Mp está dada por: U = Mp g lp cosα(t) Una energía cinética del carrito dada por: K = Mc x (t) La energía cinética total del péndulo es descrita a en base a su velocidad: Vp = lp α (t) Vp = V x + V y V x = lp α(t) senα(t) V y = lp α(t) cosα(t) Dando así la suma de energía cinética total del sistema: T = Mp(V x + V y ) + Mc x (t) =.... = Mp(x (t) lp α (t)senα(t)) + Mp( lp α (t)cosα(t)) + Mc x (t) =.... = (Mp + Mc) x (t) + Mp( x (t)lpα (t)senα(t) + lp α (t) + {sen α(t) + cos α(t)}) La energía total del sistema es representada por la ecuación: Figura. Esquemático y variables del modelo de Lagrange. Dadas las ecuaciones de posición de la masa Mp del sistema: L=T-U = (Mp + Mc) x (t) + Mp( x (t)lpα (t)senα(t) + lp α (t) ) Mp g lp cosα(t) Basado en la elegante mecánica Lagrangiana, desarrollamos esta ecuación diferencial: x p = x(t) l p senα(t)

2 Q i = es una fuerza no conservativa dl dq i = es un momento en la direccion q i dl dq i = es una fuerza conservativa Según nuestras q s son: q = x (t), q = x(t) (Mp + Mc)x (t) Mp lp α (t)senα(t) + Mp lp α (t) cosα(t) = F q = α (t), q = α(t) Mp x (t)senα(t) + Mp x (t) α (t)cosα(t) + Mp lp α (t) Mp x (t) lp α (t)cosα(t) + Mp g lp senα(t) = ε.modelo Oscilador Armónico Amortiguado λ, = τ ± τ 4Δ Donde tenemos 3 casos posibles ) τ 4Δ > 0 ) τ 4Δ = 0 3) τ 4Δ < 0 Con una solución general: x(t) = ce λt V + ce λt V Cuyos vectores tienen la forma: a λ b V = [ ] ; V c = [ d λ ] Si nuestro caso corresponde a 3), el sistema se desenvuelve como sigue: Dado τ 4Δ < 0 las constantes c y c serían complejos, al igual que los vectores propios V y V también serían complejos, dado que los λ s tambien lo son, por lo tanto: e (α±ω)t = cosωt + isenωt Dados estos, el sistema decae en magnitud exponencialmente si α = Re(λ) < 0 y oscilaciones en crecimiento si α>0. Ahora dada la función que describe un sistema lineal que oscila y es débilmente amortiguado: Partiendo de la ecuación generalizada: mx + bx + kx = 0 Dónde: b>0 Haciendo V = x mv + bv + kx = 0 v = b m v k m x Haciendo V = x ; x + εx + x = 0 V = εv x α = ε ; β = A=[ α β 0 ] det(λi A) = 0 Condiciones iniciales v(0)=0 y x(0)=0 Hacemos α = b y β = k m m estados como: A=[ α β 0 ] y construimos el modelo de v = [ α β x 0 ] [v x ] Teniendo A la forma: [ a b ] y ecuación característica: c d det(λi A) = 0 se desarrolla de la forma siguiente: a λ det ([ b c d λ ]) = 0 λ + τλ + Δ = 0 τ = a + d Δ = ad bc λ + (ε)λ + = 0 λ, = ε ± (ε) 4() x(t, ε) = ( ε ) e εt sen[( ε ) t] 3. Modelo teoría de perturbaciones. Haremos el modelo como la solución en una serie de potencias alrededor de ε, la cual tiene la forma: x(t, ε) = x 0 + εx + ε x + + ε n x n Con x + εx + x = 0; tenemos: d dt (x 0 + εx + ε x.. ) + ε d dt (x 0 + εx +.. ) + (x 0 + εx +.. ) = 0

3 3 Agrupando términos con ε: [x 0 + x 0 ] + ε[x + x 0 + x 0 ] + O(ε ) = 0 Ignorando el termino O(ε ) tomando los términos de coeficiente y coeficiente ε: O() = x 0 + x 0 O(ε) = x + x 0 + x 0 Cuyas condiciones iniciales del sistema nos fueron dadas en un principio como x(0)=0 y x (0)=, esto se traduce al modelo de perturbación como x 0 = 0 y x =. Dando las soluciones: O() x 0 (t) = sent O(ε) x + x = cost Termino de resonancia forzada Seguimos adelante tomando condiciones iniciales de la resonancia como x (0) = 0, x (0) = 0 x (t) = tsent Ahora se agrupa y se encuentra que la respuesta total a la perturbación es: x(t, ε) = sent εtsent + O(ε ) 4. Modelo de Newton Péndulo Empotrado Partimos del siguiente diagrama de cuerpo libre para analizar el fenómeno ocurrido sobre una de las barras en la estructura. E = Módulo de Young I = Segundo momento de área L = Longitud del Eje sobre el que se aplica el cortante EL Momento de área, debido a que la figura de la barra se puede aproximar a un círculo macizo, el cual es el siguiente: I y = ( π 4 ) r4 Luego planteamos la resistencia al viento de una forma simplificada siguiendo la expresión. Notar que, aunque la mostremos con signo positivo, siempre se aplicará en sentido contrario a la dirección de la velocidad: F aire = b v b = Constante de fricción del medio v = velocidad del sistema Para determinar la constante de fricción del aire nos auxiliamos de la siguiente expresión: b = C C= Coeficiente de arrastre del cuerpo Para el coeficiente de arrastre nos auxiliamos de la siguiente tabla: Figura. Ilustración del sistema. k= Rigidez frente a esfuerzos cortantes b = Resistencia del aire F = Fuerza total del sistema P = Reacción del sistema ante F La rigidez frente a un esfuerzo cortante la describiremos por la siguiente relación matemática: Figura 3. Tabla de coeficientes K cort,y = V y = EI y δ y L 3 K cort,z = V z = EI z δ z L 3

4 4 Interpretando que la barra es una esfera tiene C = 0.47, al realizar una sumatoria de fuerzas en el eje x obtenemos: P + dx dt b + kx = m d x dt P = F.Modelo Teoría de Perturbaciones F + dx dt b + kx = m d x dt El término de la igualdad implica una Fuerza: m d x dt + dx b + kx = F dt Aplicamos la transformada de Laplace tenemos: (S )mx(s) + bsx(s) + kx(s) = F(s) Aplicando factor común: Figura 5. Comparación entre respuesta del péndulo y la perturbación o fuerza conservativa(ε=0.0). X(s)(S m + Sb + k) = F(s) F(s) X(s) = ms + bs + k m = Masa del péndulo b = Coef. Resistencia aire 0.5 pca k = Rigidez del esf. Cortante E( 4 )r4 L 3 Figura 6. Representación a 300 segundos(ε=0.). III. SIMULACION. Modelo de Lagrange IV. CONCLUSIONES Figura 7. Se muestra como el sistema alcanza la estabilidad a una escala de 00 segundos(ε=0.). Figura 4. Comportamiento del sistema Lagrangiano. Figura 8. Ilustración del detalle de la evolución inicial del sistema.

5 5. Modelo de Newton péndulo empotrado Figura. Ilustración del modelo de bloques usado. Figura 9. Ilustración del diagrama de bloques. Figura. Resultados de la simulación. Figura 0. Comportamiento del péndulo(arriba) ante una entrada pulsante(abajo). IV. SIMULACION MEDIANTE SIMMECHANICS Simmechanics es una herramienta de simscape muy útil para hacer modelos y simulación de elementos físicos que poseen muchas propiedades de carácter matricial (posición en el espacio, movimiento rotacional + traslacional, Fuerzas, Reacciones, Deformaciones...etc.) que dependen de un conjunto de variables propias del mismo sistema, que vienen dadas de ante mano por la composición de los cuerpos, densidades, dimensiones, masas, módulos..etc. Es muy útil para realizar la simulación lo más cercano posible al ambiente físico y observar su comportamiento. Figura 3. Forma final del sistema a simulado. V. V. BIBLIOGRAFIA [] Orellana, M (03). Funciones Singulares. Universidad Tecnológica de Pereyra. [Online]. Disponible en: [] Strogatz, Steven (009). Non-Lineal Dynamics and Chaos. Westview Press.Second Edition. [3] The Physical Pendulum [Online] Disponible en: html