CONTROL MODERNO CAPÍTULO 4 CONTROLABILIDAD DE SISTEMAS LINEALES

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1 CONROL MODERNO Sesón n 0 # Obevo: El aluno reconocerá la caracerísca de conrolabldad de sseas dnácos expresados por edo de varables de esado, la uldad de d esa propedad para llevar al ssea desde su esado ncal hasa un esado fnal deseado edane una enrada en un epo fno y cálculo c de la enrada de ína energía a necesara. La conrolabldad se exenderá a la salda y cuando el ssea no sea oalene conrolable separar las varables ables de esado conrolables para forar el subespaco conrolable con el cual se rabaará. Copeenca: Aquí se obendrá el conoceno y la habldad para hacerse copeene para deernar la conrolabldad de los esados y de la salda a a ano con ayuda de una calculadora prograable o con una copuadora ora dgal ulzando Malab y Maple. Adeás s cuando los sseas nos sean oalene conrolables el aluno endrá la copeenca de separar la pare conrolable del ssea para rabaar con ella en los dseños poserores. # Invaranca de la conrolabldad ane cabos de base La conrolabldad de un ssea es ndependene de la represenac acón n de esado que se anee. Para probarlo lo únco que se necesa es consrur la represenacón n de esado realzando los cabos: o x x ( ) = Ax( ) + Bu( ) ( ) = x( ) Con eso se consgue una nueva represenacón n de esado: o x = A x( ) + Bu( ) La arz de conrolabldad de la nueva represenacón n será: n Q = B AB A B A B = [ ] Q Pueso que la arz es no sngular, el rango de - Q concdrá con el de Q, por lo ano, s el ssea es conrolable con Q abén n lo será con Conrol - Q. Moderno INERPREACIÓN N GEOMÉRICA DE LA CONROLABILIDAD El núero n de condcón n del Graano de Conrolabldad es, coo se ha enconado anerorene en ese capíulo, un ndcador de la ansoropía a del espaco de esado en érnos del coso de desplazar el valor del esado dependendo de la dreccón n de dcho desplazaeno. El concepo que subyace se puede explcar, para sseas lneales s e nvaranes, en érnos de respuesa del ssea ane un deernado conuno de señales, coo se explca a connuacón. n. Parendo de la defncón n del Graano de Conrolabldad W ( ) =, 0 Φ(, τ ) BB Φ (, τ ) 0 dτ #3 se puede enender el érno F(-τ) ) = Φ(-τ)B coo una aplcacón n. Así, F() represena la aplcacón n de un conuno de señales vecorales nfluyendo sobre n varables de esado, con lo que cada coluna supondría a el efeco de cada enrada sobre Conrol el conuno Moderno varables. M.C. Manuel Aarane Rodr

2 #4 Por propa defncón, n, el Graano de Conrolabldad es una arz sedefnda posva, con un conuno de valores propos reales y el correspondene conuno de auovecores oronorales V, V,, V n. El Graano de Conrolabldad se puede nerprear en érnos de energía a ransda desde la enrada a las varables de esado en la sguene fora. La negral represena la energía a oal del conuno de señales en el nervalo [ 0, ],, refleando los auovalores y sus correspondenes auovecores la dsrbucón n espacal de esa energía. Consdérese el conuno de posbles enradas al ssea, y sea Ώ la clase de odas las funcones de enrada connuas a rozos en el nervalo [ 0, ],, que sasfacen la resrccón n en su nora: 0 u ( τ ) dτ La Iagen de la convolucón: n: n { x R : x = F( τ ) u( τ ) dτ,, u( τ ) PC [ 0, ] } 0 #5 donde PC [ 0, ] represena el conuno de vecores de enrada de densón n connuos a rozos en el nervalo [ 0, ], es el subespaco generado por los vecores propos, V, correspondenes a los auovalores dsnos de cero. El conuno conendo en ese subespaco: n { x R : x = F( τ ) u( τ ) dτ,, u( ) Ω} S = τ 0 apora nforacón n sobre la esrucura de dcho subespaco. Se puede deosrar que S es una regón n en cuya superfce es una elpsode defnda por los auovalores y auovecores de F() ) en [ 0, ],, coo ya se adelano #6 Sean σ y V, =,..,n las raíces cuadradas de los auovalores del Graano de Conrolabldad y los vecores propos asocados en [ 0, ], y sean : σ 0 L 0 0 σ L 0 Σ = M M O M V = v vlv n 0 0 L σ n Sea el conuno: S = n x R : x = VΣp, p = { } [ ] es decr, un elpsode con seees σ V, =,,, n. Enonces se deuesra que el conuno S se puede caracerzar coo: n S = x R : x = α x con x S y 0 α Es decr, que S es la superfce de S. M.C. Manuel Aarane Rodr

3 #7 El conuno S de esados que resulan de la convolucón de F(-τ) = Φ(-τ)B con una nora de enrada unara concde con la superfce de un elpsode cuyos seees son σ V, =,,, n, sendo σ las raíces cuadradas de los valores propos del Graano de Conrolabldad y V los vecores propos asocados. Ese resulado ndca que al aplcar una enrada con una cera energía, los esados que se pueden alcanzar se encuenran sobre una elpsode cuyas proporcones son las ndcadas por los auovalores y auovecores del Graano de Conrolabldad, coo aparece en la Fgura de la sguene daposva. #8 #9 Deosracón Suponendo σ n > 0 (ssea conrolable), para odo x Sexse un vecor p, p = que sasface que x = VΣp. Por su propa defncón se sabe que: W (, ) = F( τ ) F ( τ ) dτ = VΣ V 0 0 lo que sgnfca que, s se defne q = VΣ - p, que cuple que; lo que supone que la enrada u() = F( -)q conduce al esado x( ) al valor x en el nsane. A parr de esa defncón de enrada se obene que: 0 u ( τ ) u( τ ) dτ = q F( τ ) F ( τ ) qdτ = 0 = p Σ V ( ) ( ) F τ F τ dτ lo que sgnfca que u( ) Ω y que x S. VΣ p = W (, 0 ) p Σ V VΣ V VΣ p =

4 Ese resulado facla la nerpreacón de la nforacón que sunsra el Graano de Conrolabldad para un ssea lneal e nvarane: El Graano y la arz Q esablecen la conrolabldad eórca de un ssea, en érnos de que s es aeácaene posble enconrar una enrada que produzca una deernada ranscón del esado desde un valor ncal a un valor fnal dado. La esrucura de los valores de los vecores propos del Graano de Conrolabldad deerna la facbldad relava con la que se puede recorrer el espaco de esado según la dreccón elegda, sendo ayor el coso enor sea el valor propo asocado a la dreccón elegda. Dado que dcho Graano no es nvarane, ese esudo es concluyene en ano y en cuano se ulce una represenacón del esado en la que sus varables engan un sgnfcado físco claro. En la crcunsanca de ulzar una represenacón con correspondenca físca, la esrucura del Graano de Conrolabldad revela las posbldades práccas de realzar ranscones en el espaco de esado, así coo un coso energéco relavo dependendo de la dreccón elegda para la ranscón. #0 SUBESPACIO CONROLABLE Según se ha deallado en los anerores aparados, en un ssea lneal e nvarane que sea conrolable se va a poder alcanzar un esado deernado, parendo desde cualquer esado ncal, elgendo la enrada adecuada. Sn ebargo, s no es conrolable, no se va a poder alcanzar cualquer esado. No obsane parece neresane, en esos casos, caracerzar aquellos punos que van a ser conrolables, es decr, que se van a poder alcanzar. La descrpcón se va a realzar en dos eapas: prero se deallan los punos que se pueden alcanzar a parr de un esado ncal nulo, para poserorene generalzarlo para cualquer esado ncal. Dado un ssea lneal nvarane: o ( ) = Ax( ) Bu( ) x + el conuno de punos del espaco de esado alcanzables parendo del esado ncal nulo foran un subespaco vecoral, al que se denona subespaco conrolable, Xc, generado por los vecores coluna de Q. # Esos punos foran un espaco vecoral, pues el orgen perenece a él y adeás cuplen la condcón de lnealdad: s parendo de un esado ncal nulo, ane una enrada u, se alcanza el esado x y, ane una enrada u, se alcanza el esado x ; enonces para cualquer cobnacón lneal: α u + βu, α, β R se alcanzara el esado α x + βx. Se puede planear la defncón del subespaco conrolable, Xc, en funcón de la respuesa de las varables de esado del ssea, parendo del esado ncal nulo, a un conuno de señales de prueba presenadas en su enrada. El subespaco conrolable, Xc, es el subespaco de enor densón que conene a la agen de la ransforacón defnda por X (), para odo, [ ] sendo ( ) ( ) ( ) X x x x ( ) = L x ( ) u ( ) defnda coo: donde represena la evolucón del esado ane la enrada de prueba, 0 M u ( ) = u ( ) M 0 #

5 Deosracón S se defne el conuno de enradas de prueba: 0 M u ( ) = δ ( ) M 0 donde δ() represena el pulso de Drac, enonces es: ( ) = Φ(, τ ) Bu ( τ ) dτ = ( )[ b b ] ( ) ( ) Φ, τ L L b u τ dτ = Φ, b x es decr, la respuesa pulsoral del ssea. Dado que se raa de un ssea lneal, las regones del espaco de esado para los que dcha respuesa es cero endrán respuesa nula para cualquer ora enrada, con lo que la agen del apa dado por ecuacón aneror se corresponde con el subespaco conrolable. #3 Base del Subespaco conrolable Capíulo 4 Sesón 0 #4 #4 Según n se deduce de la deosracón n los vecores coluna de Q generan el subespaco conrolable; por lo ano una posble base de ese espaco vecoral son las colunas lnealene ndependenes de la arz Q, sendo la densón n del so su rango r Q. Para el cálculo c de una base del subespaco conrolable basa observar que s en la arz n [ B AB A B A B] Q = L La coluna A b es lnealene dependene de sus anerores colunas: A b = λ b + λ b + L+ λ b + λ Ab + L+ λ Ab + L Lλ A b + + L+ λ, A b #5 enonces A +b, con > 0, abén n será lnealene dependene de sus dos anerores colunas, ya que ulplcando la ecuacón n aneror por la zquerda por A se obene que: + A b = + + L Lλ A b + + L+ 0, + λ A + b + L+ λ A + b + L El éodo consse enonces en r selecconando colunas de Izquerda a derecha y, cuando una de ellas, A b, sea lnealene dependene de las anerores, enonces se descaran ésa y odas las A +b poserores. El proceso erna cuando odas las colunas de un grupo A B sean lnealene dependenes, ya que a parr de enonces los resanes es grupos A +B abén n lo serán.

6 #6 Esados alcanzables La relacón de los esados conrolables, a parr de un esado ncal nulo con los esados alcanzables desde cualquer esado ncal, vene dada por la ecuacón sguene : x ( ) = x( ) + Φ(, ) x( ) 0 0 De esa fora, los punos alcanzables en el espaco de esado esán defndos por una varedad lneal al que: La coponene debdo a la enrada es el subespaco conrolable, Xc, que consuye el subespaco drecor de la varedad. La coponene que depende del ssea y de las condcones ncales represena la evolucón lbre del ssea ane enrada nula. En la fgura de la daposva sguene puede verse un espaco de esado de densón dos en el que se ha represenado: Una reca que represena el subespaco conrolable de densón uno. Una línea dsconnua que represena la evolucón lbre del ssea. #7 Sobre abas curvas se ha resalado los valores del esado para los nsanes 0, y. Coo puede verse, el esado para cada uno de esos nsanes se obene edane la superposcón n de abos valores, coo descrbe la ecuacón n sguene: #8 + A b = + + L Lλ A b + + L+ 0, + λ A + b + L+ λ A + b + L

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