COLDSTART: ASIGNACIÓN DE FLOTAS DE LA AEROLINEA DELTA

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1 AUTORES: Radhika Subramanian COLDSTART: ASIGNACIÓN DE FLOTAS DE LA AEROLINEA DELTA Delta Air Lines, Inc Delta Boulevard Richard P. Scheff, Jr. Delta Air Lines, Inc. John D. Quillinan Delta Air Lines, Inc. D. Steve Wiper Delta Air Lines, Inc. Roy E. Marsten Georgia Institute of Technology Atlanta, Georgia TRADUCCIÓN LIBRE: Lourdes Ximena Arcila Moncaleano Claudia Constanza Suárez Diana Marcela Maje Meneses La aerolínea Delta realiza alrededor de 2500 vuelos internos cada día, usando cerca de 450 aeronaves de 10 flotas diferentes. El problema de asignación de flotas es hacer pares con la tripulación de vuelo para que los asientos se llenen con pasajeros que pagan. Recientes avances en programación de algoritmos matemáticos y hardware de computadores hacen posible solucionar y optimizar los problemas de este ámbito por primera vez. Delta es la primera aerolínea que ha solucionado uno de las mas grandes y difíciles problemas en esta industria. Con el uso del modelo Coldstart, la aerolínea Delta espera con este ahorrar mas de $300 millones en los próximos tres años. La aerolínea Delta realiza 2500 salidas de vuelos internos cada día, esto incluye vuelos a Canadá y México pero excluye otras rutas internacionales. Delta posee cerca de 450 aeronaves para realizar estos vuelos. Las aeronaves son divididas por tipos de aeronaves en flotas o grupos, de los cuales Delta tiene 10. El complejo modelo que las aeronaves utilizan a lo largo del sistema de rutas de vuelos es llamado el horario. El horario es clave para una aerolínea. Se dice que un asiento en una aerolínea es comodidad perecedera En el mundo. Cada ves que una aerolínea queda con un asiento vacío, la oportunidad de ingresos se pierde por siempre. Por esto el Horario debe ser diseñado para capturar tantos asientos como sea posible, maximizando los ingresos con los menores costos directos operacionales posibles. Una aerolínea combina lo peor de ambos mundos. El capital de calidad intensivo de un medio manufacturero es combinado con el medio de bajas utilidades de las ventas al detal. Aerolíneas son capital, combustible y trabajo intensivo. La supervivencia y el éxito dependen de la habilidad de la operación de vuelos a lo largo del horario tan eficientemente como sea posible. la curva de ganancias y perdidas en los negocios de aerolíneas han sido históricamente se han ubicado en la cima y en lo mas bajo de la economía general. En este medio dinámico, donde las utilidades han sido históricamente bajas y los costos históricamente altos, como bien una aerolínea planea e implementa este horario puede determinar un muy buen futuro. Un pequeño ajuste en el horario puede significar millones de dólares en perdidas. En horarios planeados, los mejoramientos continuos no son un lujo, estos son requerimientos. Tanto el tamaño de las flotas como el numero de aeronaves de diferentes tipos tienen un impacto exponencial en los horarios programados. flotas de diferentes tipos de aeronaves preparan la flota Delta total. Nosotros usamos la frase floteando el horario para expresar la asignación a un particular de una flota a una nave y a un mercado en particular. El proyecto Coldstart direccionó el problema del floteando el horario. El trueque básico es que si una aerolínea usa aviones muy pequeños, estos dejaran pasajeros potenciales atrás, mientras que si estos usan aviones grandes, estos sufrirán grandes gastos del avión grande por transportar asientos vacíos. El objetivo es tener el avión indicado en el lugar indicado y en el momento indicado, pero la cantidad de limitaciones sobre la manera en que los aviones puedan en realidad hace esto difícil de lograr. El modelo de Coldstart es un programa lineal es un entero mezclado a gran escala que asigna tipos de flotas de segmentos de vuelos minimizando la combinación de operación y pasajeros derramar costos, sujetos a la variedad de limitaciones operacionales, el mas importante de estos es el numero de aeronaves disponibles en cada flota. El modelo se reparte en un solo día, el cual forma parte del ciclo repetitivo del horario. En practica estas son excepciones en el horario diario, particularmente en los fines de semana. En el presente, quienes hacen los horarios manejan estas excepciones manualmente. Nosotros estamos actualmente construyendo una extensión del modelo Coldstart para manejar las excepciones. Nuestro modelo asignado al tipo de flotas, no al números individuales de aeronaves en espera, para los segmentos de vuelos. Aeronaves reales están en ruta, después de que el modelo fue solucionado para asegurar que la solución es operacional. porque de la naturaleza del núcleo operación y gran tamaño de flotas, esto siempre es posible para obtener una rotación factible desde el asignamiento recomendado por el modelo. El nombre Coldstart fue inspirado por la primera herramienta de planeación de horarios, conocida informalmente como Warmstart, que fue usada por la aerolínea Delta. Warmstart tomo un horario de flota que había sido producida por el planeador y trato de incrementar el uso local de canjes heurísticas. Sin embargo este no podría moverse a demasiado lejos a gran velocidad desde el punto de partida, y de esto salió los horarios con mayor cargo aumentando con una buena

2 asignación manual. La desventaja mas seria del sistema de warmstart fue que estos mejoramientos fueron locales con un horario de poco ingreso podría resultar en un pobre egreso. Coldstart, empezó un modelo de optimización, este no requiere un flotamiento inicial. Hasta hace poco, la asignación de flotas optimizadas para una aerolínea tan grande como delta no habría sido posible. Hoy, sin embargo el mejoramiento en programación de algoritmos matemáticos y hardware de computadores hace posible el resolver los problemas de optimización de este ámbito por primera vez. Delta es la primera aerolínea en tomar ventaja de esta oportunidad. Modelando la asignación de flotas La estructura matemática fundamental sobre el cual el modelo de asignación de las flotas es construido en la red de espacio-tiempo. Esta red tiene una línea de tiempo para cada flota de aeronaves en cada ciudad. Esta línea de tiempo es circular y representa un periodo de repetición de 24 horas. A lo largo de la línea de tiempo, por ejemplo, la una para el 757 en Boston, un nudo representa cada punto en tiempo sin que el menor evento ocurra. Un evento es la llegada o salida de un vuelo. Segmentos de la línea de tiempo que conectan esos nodos son referidos como arcos de tierra. Un segmento de vuelos es un simple salto, es un despegue y un aterrizaje. Un segmento de vuelo es representado en la red por una parte de arcos en el cielo, una por cada flota que podría ser asignada por el segmento del vuelo. Por ejemplo, asignando al 757 en el segmento del vuelo que sale a Atlanta a las 6:21 AM y llega a Boston a las 8:45 AM es representado por un arco en el cielo empezando el nodo sobre la línea de tiempo a las 6:21 AM (757, ATL)y finalizando el nodo a las 8.45 AM sobre la línea de tiempo de (757 BOS). figura 1: la red de línea de tiempo para una aerolínea simple con solo una flota (767) que sirve solo a dos ciudades, Atlanta (ATL) y San Juan (SJU). Cada llegada y salida es registrada con un tiempo (24 horas). Por lo tanto la línea de tiempo que dan a una flota en diferentes ciudades son conectadas por arcos en el cielo; sin embargo, la línea de tiempo para las diferentes flotas no son conectadas. La figura 1 muestra una ilustración simple de cómo la línea de tiempo para la flota hacia Atlanta (767,ATL) y San Juan (767, SJU) son conectadas. Estas líneas de tiempo (flotas, ciudad) nos permiten expresar conservación de correr las ecuaciones para las aeronaves. Para cada arco en el cielo nosotros designamos una variable binaria que toma el valor de uno si esta flota es asignada y de lo contrario cero para los segmento no asignados. Para cada arco en la tierra, nosotros definimos una variable de enteros que cuenta el numero de aviones de cada tipo sobre la tierra o la ciudad durante ciertos intervalos de tiempo. En cada nodo, esta es una ecuación de conservación. Por ejemplo, para el nodo de la línea de tiempo de las 6:21(757 ATL)la ecuación dice: (el numero de 757 sobre el terreno de ATL justo antes de las 6:21 AM ) (el numero de 757 que llegan a ATL a las 6:21 AM) = (el numero de 757 sobre el terreno de ATL justo después de las 6:21 AM). La ecuación es presentada en detalle en la apéndice. Para el desarrollo de un modelo similar, ver Berge y Hopperstad (1993) y Hane et al.(1993). Las ecuaciones de conservación fabrican el tamaño limitado del modelo. Esta es una limitación para cada flota en cada nodo, donde cada vuelo resulta en dos nodos. Hence, si estos son 10 flotas y 2500 vuelos por día, y si cada flota puede volar cada segmento (el cual si no es verdadero debido a las limitaciones operacionales), y si todos los tiempos de salida y de llegada asignados a las flotas y a las ciudades son únicas ( tampoco es verdadero), entonces nosotros podríamos tener 2500 * 2 * 10 = ecuaciones de conservación. El numero actual de modelos que diariamente maneja Delta es cercano a en el modelo Coldstart, nota cuando un avión va llegando a la ciudad puede tener una salida tarde. Esta formulación es muy poderosa y realista que la del modelo de asignación de flotas de Abara, cada vuelta factible y cada combinación de aeronaves representa una decisión variable. Limitar el tamaño de su modelo, cada llegada podría ser al mismo tiempo con mas de las próximas cinco salidas. La formulación de Abara es el limite mas lejano y este no permite el uso de del modelo para ser extendida otra aplicación de programación relacionada como plantación de flotas y desarrollo de rutas. Esta habilidad de igualar la llegada con ninguna salida tarde es muy importante en los núcleos, donde estos pueden ser tantos y complejas como 65 llegada y 65 salidas. ( un complejo es un conjunto de llegadas y salidas que conectan a cada otro, es una factibilidad típica del núcleo de operación).

3 Para cada segmento de vuelos es representada por mas de 10 variables binarias designadas a cada segmento de 10 diferentes flotas. Estas asignaciones son mutuamente exclusivas, entonces esta es una elección múltiple de asignaciones que dice que la suma de las variables cero / uno deben ser exactamente una. Este es un tipo de limitaciones para cada uno de los 2500 segmentos de vuelo. Estas limitaciones son expresadas como ordenes especiales, tipo 3. (Druckerman, Silverman y Viaropulos 1991) los cuales redujeron considerablemente el tiempo para la solución del programa mezcla integral. Ciertos pares de segmentos de vuelos debe ser asignados a la misma flota que provee una parada a través del servicio. Por ejemplo, el avión que vuela a la 1:41 PM, vuela desde Atlanta hasta Boston, llegando alas 4:10 PM, debe también volar a las 5:25 PM desde Boston hasta Montreal. Así mismo estos dos segmentos deben ser asignados a la misma flota. Esto es fácilmente de modelar por una ecuación de la forma X1 X2 = 0 para cada flota. Este típico modelo envuelve diariamente cerca de 250 conexiones requeridas, incrementando cerca de 1500 limitaciones. El numero de aviones en cada flota, el cual es un recurso escaso en los problemas de limitaciones, es obviamente limitado. Los asientos en una aerolínea es la comodidad mas perecedera en el mundo. Capturar esto en un modelo, puede construir un tope para cada flota. El tope para los 757 incluye cada 757 que esta en el aire a media noche hora de Atlanta y también cuenta el 757 en tierra a media noche hora de Atlanta. Para prevenir la obtención de la solución no factible, nosotros seguimos el modelo de uso de aviones extras, pero esto significa un mayor costo. Para esto es preferible obtener una infactibilidad que puede ser duro de diagnosticar. Las aeronaves necesitan mantenimiento en intervalos de periodos. Cortos mantenimientos pueden ser hechos mientras los aviones están en tierra durante el día, un mantenimiento mas largo puede ser ejecutado durante la noche. En parte, la implementación del modelo Coldtart es una lista de mantenimientos requeridos en la noche. Por ejemplo, un 757 debe tener un mantenimiento de 12 horas cada noche. Para cada requerimiento hay una lista de bases de mantenimiento donde el chequeo puede ser hecho. El modelo debe entonces asegurar que un 757 con esas bases de mantenimiento esta disponible por 12 horas. Para este modelo, nosotros introducimos una nueva parte de arcos de mantenimiento. Un arco de mantenimiento representa una oportunidad de mantenimiento. Este empieza en el nodo de llegada en la noche en la ciudad de mantenimiento y termina en el nodo de salida de la mañana 12 horas después (para un chequeo de 12 horas). Estas son muchas oportunidades para cada requerimiento, quizás en muchas ciudades alternativas. Esto es entonces una limitación de múltiple elección sobre las oportunidades que corresponden a cada requerimiento. un modelo típico tiene cerca de 30 requerimientos de mantenimiento. Un modelo de extensión importante para un mayor requerimiento de mantenimiento es que el modelo puede seleccionar la mejor ciudad en la cual se ejecute este tipo de mantenimiento. Esta característica es muy útil en el análisis de la programación y en el modo de planeación. Las flotas individuales son agrupadas dentro de pilotos agregados que pueden ser volados por el mismo piloto, por ejemplo, las flotas de Boeing 757, y pueden todas ser voladas por el mismo piloto. Para cada piloto agregado existe un limite en el numero de horas de vuelo por día que pueden ser asignados para cada grupo de pilotos. Cada asignación variable debe aparecer en las horas de vuelo limitadas para cada piloto agregado al que este corresponde, con un coeficiente igual al numero de horas de cada segmento. Estas limitaciones, tienen el efecto del acoplamiento de la flotas juntas. Estas son otras consideraciones de la tripulación relacionada que debe ser construida dentro del modelo. Así como los aviones necesitan mantenimiento, los pilotos necesitan descanso. Una asignación de flotas es bueno desde el punto de vista de la programación de las aeronaves, pero es muy mala desde el punto de vista de la programación de la tripulación. Por ejemplo, se supone que solo hay un vuelo 757 fuera de un Bois cada día y no hay vuelos por medio de otra flota con el mismo piloto agregado. Si este vuelo llega a las 11:00 PM y sale a las 7:00 AM y si llegando la tripulación debe descansar por lo menos 10 horas y media, esta tripulación tendrá que permanecer en Boise hasta las 7:00 AM del siguiente día después de 32 horas de su llegada, esto es muy costoso con respecto a al costo de tripulación. Lo que esto significa para la asignación de flotas es que no es bueno tener pocos vuelos por un piloto agregado dentro de cada ciudad, o equivalentemente tener demasiados pilotos agregados diferentes sirviendo en una ciudad. En particular, las llegadas tardes deben coincidir con las salidas a medio día para que la tripulación pueda salir de la ciudad pronto después de su descanso. Para este modelo, nosotros adicionamos limitaciones que resulta en una multa de función objetiva si el numero de salidas a medio día por un piloto agregado es menor que el numero de llegadas en la noche por el mismo piloto agregado. Nosotros también tratamos de encontrar las oportunidades de las 10:30 (10 horas y media que son los requerimientos legales de descanso de la tripulación), una oportunidad de 10:30 es juntando la llegada tarde en la noche de algún piloto agregado y una salida por el mismo piloto al menos 10 horas y 30 mas tarde, de lo cual este seria un avión menos en tierra para la mayoría de los periodos de 10 horas y media. Nosotros encontramos esa oportunidad legal de descanso de la tripulación para construir líneas de tiempo de tripulación (Johnson 1992) para flotas agregadas a ciertas ciudades congestionadas. Una tripulación que va llegando a el aeropuerto puede salir desde un Coterminal después de una Infracción Legal. Por ejemplo, la guardia John F. Kennedy y aeropuertos Newark forman el área Coterminal de Nueva York Las limitaciones de la tripulación negocian con el Coterminal de una serie de ciudades. Las restricciones operacionales están codificadas en el ingreso de datos por Coldstart. Algunos tipos de naves aéreas son limitadas operacionalmente de servicio específico en segmentos o etapas de vuelos en el horario delta. Estas restricciones son debido a limitaciones de funcionamiento de las naves aéreas tanto para despegues como aterrizajes, el peso limita en aeropuertos específicos o en la capacidad de alcance de la nave. La capacidad de alcance de la nave está determinado por

4 su capacidad de combustible, las altitudes de los aeropuertos son útiles junto con la distancia entre 2 aeropuertos. No todas las naves están equipadas con equipo de navegación sobre el agua, balsas salvavidas y cosas así. El requerimiento de los segmentos como equipo debe ser cubierto por un tipo de flota específico con este equipo. Otras restricciones codificarán en las bases de datos incluyendo restricciones del aeropuerto como etapa 3 restricciones de ruido y en general llegadas y salidas. Las naves son certificadas por encontrarse con varios estándares de ruido como en la etapa 2 o 3 en concordancia con las reglas de aviación federal y estándares de la organización de aviación civil interna. Los certificados de los estándares de ruido son complejos, estos incluyen un esquema de evaluación de 3 puntos (incluye niveles de ruido medidos en el despegue, vuelo y aproximación) computación de un efectivo nivel de ruido percibido y los límites de ruido basados en el peso máximo del despegue. Una nave certificada en etapa 3 es generalmente más tranquila que una nave aérea certificada en etapa 2 del mismo peso. Los aeropuertos como Seattle Washington y San Francisco restringen salidas y llegadas entre 11:00 de la noche y las 6:00 de la mañana para naves aéreas que se encuentran en los requerimientos de etapa 3 de ruido. El Condado Orange, California y Washington DCs aeropuerto Nal, son aeropuertos que permiten solo ciertos tipos de naves aéreas. El Condado Orange, California permite solo ciertos tipos de naves entre los cuales se incluyen y 557 para llegar o partir durante las operaciones del aeropuerto Nacional Washington DC s permite solo 75% salidas y MD88 llegadas entre 10:00 de la noche y 6:49 en la mañana. Mientras algunas restricciones de ruido son tenidas en cuenta por la base de datos y las restricciones de ruido que son impuestas como un porcentaje de aterrizajes y despegues que pueden estar en la etapa 2 las naves son modeladas por unas limitaciones entremezcladas. En San Diego, California por ejemplo casi el 25% de las salidas o despegues puede estar en las naves de etapa o nivel 2. Una dificultad muy seria de modelo que nosotros encontramos debe ser con el tiempo de llegada de cada vuelo usando el tiempo de la labor para balancear el flujo de la nave es descargue un avión que llegue a las 10:50 am, por ejemplo puede tener alguna salida más tarde. Esto implica que por el tiempo de llegada no podemos decir el tiempo cuando el avión aterrizó sobre la pista, o incluso el tiempo en que él se detiene en la puerta, lo que realmente queremos decir es el tiempo cuando está listo para salir otra vez. El espacio de tiempo de trabajo debe ser construido con tiempos reales más que con el horario de llegada. El tiempo que una nave toma para estar listo para el próximo despegue depende de sí este continúa con el mismo número de vuelo o si es cambiado. Para un vuelo continuo asumimos que la nave necesita menos tiempo para estar listo para el próximo vuelo. La diferencia en estos casos es solo cerca de 10 minutos, pero desde el horario es tan estrecha esta diferencia que tiene un gran impacto sobre el total del embarque. Los aviadores en su discreción algunas veces permitirán una nave, lista Salir por debajo de este tiempo si esto le representa una buena conexión de tiempo adicional en el horario permitirá conexiones por altas utilidades este es una característica muy importante del modelo nosotros hemos diseñado esto por adición de arcos de vuelo para conexiones faltantes con un costo proporcional al tiempo reducido del tiempo normal. Las variables correspondientes a estos arcos van en el límite cubierto por una etapa de vuelo. Otro problema relacionado que afecta el tiempo de llegada por unos pocos minutos es el hecho que flotas diferentes vuelen a diferentes velocidades. Nosotros hemos agrupado las flotas en clases de velocidades (diferente del agrupamiento de pilotos). El tiempo de vuelo es más complejo que solo la distancia dividida por la velocidad. Por ejemplo esto depende de la dirección, la estación y el tipo de flota. Otro factor que afecta el tiempo de la llegada es el tiempo del taxi, el cual varía por el tipo de flota y aeropuerto. Para estructurar estos efectos, construimos los arcos del cielo diferentes entre sí dependiendo de la velocidad nominal de la nave y haciendo pequeños ajustes al horario de llegada y partida para evitar infracción en llegadas y partidas de los bancos complejos en el centro de las ciudades. El modelo generador retoma los vuelos para evitar conexiones no factibles y hacer factibles correcciones basadas en varias velocidades de naves. Por lo tanto el resultado asignado es factible desde un punto de vista operacional. LA FUNCIÓN OBJETIVO F.O. Hemos usado 3 funciones objetivo en Coldstart así mismo otras. El objetivo primario ha sido minimización de costos. En el objetivo de minimización de costos; lo más importante es minimizar la suma del costo de operaciones, costo de sobrecupo y algunas multas aplicables. El costo de operación por flota es extraído de la cuenta del libro mayor por cada uno. El costo de

5 operación consiste en muchos componentes que pueden variar por tipo de flota e incluye costo de tripulación (piloto y asistente de vuelo y asistente de vuelo) costo de combustible, horarios de aterrizaje y mantenimiento de carga. Costo De sobrecupo es estimado y depende sobretodo de la demanda por una etapa, la capacidad de la nave aérea, tasa de recaptación y el ingreso de la pérdida de pasajeros. Porque problemas en el modelo no son fuertes y rápidos pero sí mas suaves, nosotros incorporamos una serie de bonos y multas en la función objetivo para ayudar a buscar soluciones operacionalmente factibles. Por ejemplo: existe una multa para vuelos con una flota ancha en una ciudad que no es servida actualmente por cuerpos abiertos y existen bonos para vuelos con flotas en una ciudad con una tripulación base para su piloto agregado. Sobrecupo es el número de pasajeros que no son llevados porque la capacidad de la nave es insuficiente, esto es una pérdida por la ilimitada demanda debido a la insuficiente capacidad de la nave en una etapa o tramo (Swam 1983, 1992 A 1922 B). Sobrecupo es causado por la truncación de la demanda más alta de la capacidad de la nave. La figura muestra una demanda de pasajeros distribuida normalmente esto quiere decir de 125 pasajeros y una desviación estándar de 45. El área bajo la curva de la demanda a la derecha de una línea vertical en la capacidad de una nave representa vuelos completos con demanda insatisfecha. Sobre cupo para un Boeing 727 con una capacidad de 148 y sobrecupo para un Boeing 727 con una capacidad de 182 están representados por las áreas a la derecha de las líneas verticales en 148 y 182 respectivamente. La variación en la demanda diaria de pasajeros puede ser atribuido a diferencias en la demanda de día de la semana, la estacionalidad en efectos cíclicos y variaciones al azar. La gran variabilidad puede resultar en gran sobrecupo de pasajeros. Luego de encontrar el significado del # ilimitado y la desviación estándar uno puede calcular el sobrecupo esperado por algún tamaño de plan. Los pasajeros de más son o retomados sobre vuelos delta o perdidos por competidores. Los pasajeros de aerolínea, cuando estos pasajeros son perdidos por causa de competidores u otros medios de transporte usando un modelo del mercado de acciones, estimamos el porcentaje de los pasajeros de más que son recapturados en vuelos delta sobre una etapa por etapa base. Este porcentaje de sobrecupo de pasajeros, es llamado tasa de recaptación, la tasa de pérdidas por sobrecupo es simplemente una menos la tasa de recaptación. El producto del sobrecupo esperado y la tasa de pérdidas de el número de pasajeros de más pérdidas. Convertimos esto en dólares multiplicándolo por un promedio de ingresos estimado por 1 pasajero de más en una etapa. El resultado de la pérdida de ingresos por sobrecupo es el costo de sobrecupo.

6 SUBRAMANIAN ET AL El costo del sobrecupo y alguna multa y bonos (los cuales son multas negativas) son agregadas a los costos de operación para estimar el costo local de operación de un tipo de flota particular en un a etapa. Además para aumentar costos tenemos la flexibilidad para pasar del modelo para otras funciones adjetivas, para minimizar el numero de aviones usados para volar según el horario introducimos una tercera función objetivo para propuestas de desarrollo de la ruta. Si nosotros cambiamos la función objetivo de minimización de costos para la maximización de ganancias, nosotros podremos modificar el límite cubierto para determinar cuando agregar nuevos servicios o bajar los vuelo existentes. SOLUCION TECNICA El tamaño típico del modelo diario de Coldstart es cerca de limitantes y variables, hay accidentalidad variables binarias (asignación de flotas para etapas y mantenimiento variables) y variables enteras generales. Por lo tanto nosotros tenemos un gran problema de programa de números mezclados por resolver. Nuestra solución estratégica esperamos usar la FO1 código punto interior Lusting and Masterd and Shanno para solucionar el problema con un 1992 para solucionar el problema con un programa lineal. Fijar alguno o todas las variables binarias que están en 1.0 en LP solución y usar estas variables fijas para reducir la talla del problema y resolver el problema más pequeño el resultado del número mezclado con el OSL código de programación de números mezclados. DRUCKERMAN, Silverman y variopulus 1991). Antes de tratar de resolver el programa lineal, FO1 usa técnicas generales de reducción algebráica para reducir talla o tamaño primero esto usa el Lonely Plus / lonely minus reducción (Lusting y mastern 1993). Lovely plus trabaja como seguidor. Se supone que nosotros tenemos una ecuación con solo un coeficiente positivo, algunos coeficientes negativos y no negativos en el lado correcto. Supuestamente más lejanos que todos los demás de las variables deben ser no negativas. Entonces la variable con Lonely plus nunca puede ser negativa y podemos usar esta ecuación para sustituirla fuera del modelo. Así mismo el modelo es reducido por una ecuación y una variable. Las reducciones obtenidas en esta forma incluyen algunos nudos o protuberancias agregados que pueden ser dados en la etapa matriz de generación. Supone que en una flota, ciudad) el tiempo en línea encontramos una secuencia de nudos que representan solo llegadas seguidas por una secuencia de protuberancia que representan solo partidas. Entonces alguna de estas llegadas puede conectar a alguna de estas partidas, y todos estos nudos pueden ser agregados en un solo nudo. La figura 3 ilustra el concepto de agregación de nudos Esto elimina muchos nudos y por lo tanto algunas ecuaciones de balance y algunas variables enteras para la intervención de arcos. Agregación de nudo en el tiempo de trabajo muestra un trabajo equivalente matemáticamente, un avión que llega a 0800 a 0815 puede ser cuando del 0846 partidas. La lonely plus / lonely minus reducción también encuentra y elimina los límites de enganche requeridos los cuales son de la forma X1 X2 = 0. Esto tiene un efecto de combinación de 2 variables separadas en una sola variable. Otras reducciones que son encontradas no tienen una interpretación simple en términos de labor. El segundo modelo de reducción usado por F01 es para eliminar líneas dependientes usando el método de punto interior. Nosotros no introducimos variables artificiales para problemas de igualdad.

7 Esto significa que puede haber líneas dependientes y de hecho hay un poco de tranquilidad entre la conservación de límite de flujos. Detectamos esto por la ejecución de una reducción gausiana en el coeficiente matriz. Finalmente FO1 usa una clase de estándar del modelo de reducción descrito por BreaRLEY, mitra y Williams 1975, para ser resuelto el modelo termina estando cerca de líneas y variables. (Por ejemplo el horario de Dic resultó en un modelo con líneas y variables y fue reducido a líneas y variables). Experimentos de cómputo descritos en Hane et al (1993) muestra convencidamente que el método de punto interior domina el método de punto interior domina el método simplex por esta clase de problemas. Por ejemplo FO1 usa el método interior de punto para solucionar el horario de 1992 en 45 interacciones tomando 43 minutos en un IBM RS 6000 (Modelo 530) estación de trabajo. El Código 0SL simples prima resuelve el mismo modelo en 356, 854 interacciones tomando 19 horas sobre la misma estación de trabajo. ED1 usa predictor corrector versión del método de punto interior primal dual (Lusting MARSTEN AND Shanno 1992). El predictor corrector OSL, primal dual código de barras (Druckerman, Silveman y Variopolos 1991) es muy similar a FO1 pero no ejecuta así las asignaciones de flota porque el procesador OSL no remueve líneas dependientes y no hace el Lonely Plus, Lonely minus Reducción si la variable está siendo sustituida y tiene mas de 1 coeficiente no cero. La solución LP del modelo típica / asigna diariamente una flota única para cerca del 80% de las etapas del vuelo o cerca de 2000 de las 2500 etapas. Esto cerca 500 etapas con 2 o más flotas asignadas en un fraccional. Si todas las variables binarias que están en una en la solución LP están fijadas, entonces el mismo tipo de reducciones de modelo algebraico discutido arriba reducirán el problema de abajo acerca de 4000 líneas y 6000 variables cerca de soluciones óptimas para modelos de esta talla pueden ser encontrados dentro de 1 hora o 2 de la división y el límite investigados por el código OSL MIP (Druckerman, Silverman y variapolus 1991) por cerca del optimo es decir dentro 0.1 por ciento del por supuesto, el problema reducido puede ser no factible porque de las variables fijas hemos desarrollado heurística para fijar algo pero no todo de la variable X que están en una solución LP tanto como para evitar no factibilidad. Afortunadamente no factibilidad es raramente un problema cuando están solucionando el gran modelo de flotas. Tan raro que nosotros no lo hemos encontrado. La no factibilidad ocurre más seguidamente cuando las variables son fijas para 2 o 3 modelos de flota y mayoría del problema de rayarse sin ayuda de F01. IMPACTO OPERACIONAL E IMPLEMENTACIÓN Desarrollamos Coldstart para aprovechar el análisis económico que había estado dado por un sistema temprano que hace pequeños cambios de flotas para mejorar beneficios. El sistema temprano Warmstart, fue esencialmente un canje local y podría buscar pistas o rutas intercambiables de 2 a 4 luces que podrían ser pérdidas para mejorar la utilidad o beneficio. El siguiente ejemplo ilustra el tipo de canje que el sistema produjo (todos los tiempos están en el tiempo Eastern Standard). Atlanta a Bermigham Birmingham Dallas / Ft Worth fleet 725 Atlanta Jackson Jackson Dallas / Ft Worth Fleet 757 Claramente estas dos pistas podrán ser intercambiadas si el resultado fuera deseable porque la situación anterior y después el canje es idéntico. El resto del horario puede ser ignorado tan lejos como este canje es implicado. Mientras la amplitud de los cambios que puede ser hecha con este procedimiento es mucho más pequeño y la aplicabilidad es limitada, el análisis económico es esencialmente el mismo. La cuestión del costo de un tipo particular de nave en un segmento particular debe ser identificado y usado para mejorar el horario. Delta uso el Warmstar sobre un año para decisiones de flota y así mismo las suposiciones económicas y pronósticos. Una vez se ha decidido usar este análisis para decisiones de embarque, para aceptar as recomendaciones de Coldstart fue la más pequeña.

8 Una vez Delta comenzó a usar el canje local su defecto llegó a ser aparente estas debilidades produjeron el esfuerzo para generar una más global y más elevado sistema de flota. Delta formó el equipo de investigación de operaciones inicialmente para trabajar en el modelo Coldstart. Una vez Coldstart fue operacional, la decisión para usarlo fue muy fácil. El horario de los pasajeros inventó la diferencia entre su horario inicial y las flotas recomendadas por Coldstart. Ellos sintieron que las soluciones producidas por Coldstart fueron superiores, los pasajeros ahora pueden determinar analíticamente que vuelo necesita para ascender en categoría cual para bajar de categoría será costoso y ellos avaluaran el horario una vez se ha hecho el vuelo. El principal problema para Coldstart fue hacer deseable vuelos operacionalmente factibles. El análisis económico necesario para pasar la optimización de la flota se hace estimando los beneficios Fairly simples el costo del vuelo está determinado por la suma de los costos del segmento para flotas asignadas. El costo entre medios pueden ser comparados en el resultado tiempo el departamento de operaciones provee sobre otros costos no modulados que pueden ser afectados por cambios incluyendo la tripulación, mantenimiento y costos de estación. Delta tiene 2 grupos de horario los cuales trabajan cada 6 a 8 período de horario en 1 año. Uno de los grupos, el grupo de planeación trabaja en un horario que tenía 8 a 9 meses antes de comenzar y provee intentos de horario para el departamento de operaciones de 7 meses en adelante de tiempo. Este horario es usado para una series de niveles de personal en las bases del punto y para proveer mejores soluciones de inicio para el equipo de horarios actualmente. El otro grupo de horario comienza a trabajar en la versión final del horario cerca de 4 meses usando la versión de vuelos del departamento de un punto de partida. Mientras el grupo pueda hacer cambios, ellos no pueden exceder los niveles del personal de piloto en ninguna de las bases de la tripulación que fueron establecidas como un resultado del planeamiento organizado. Desde que ellos trabajan varios meses mas cerca de el horario real. El grupo actual puede aprovechar los cambios competitivos, creciendo o declinando mercados, o otros cambios en los segmentos reales del horario entre el tiempo que el grupo de planeación distribuye un horario y lo que hace el grupo actual. La cuenta de la flota disponible puede también cambiar. Tanto el grupo de planeación, como el de organización actual usan el modelo Coldstar extensivamente, aunque generalmente el grupo de planeación tiene mas oportunidad de hacer grandes cambios. El grupo actual, adicionalmente mantiene dentro de las limitaciones de la tripulación base, este debe organizar toda las cancelaciones de fin de semana y otras excepciones al asumir el ciclo de repetición de 24 horas. Debido al reducido tiempo de producción, el grupo actual generalmente tendrá una mayor demanda de pronósticos exactos; esto requerirá algunas flotas del horario inicial del planeado. Ambos grupos tienden a usar el modelo Coldstar en una forma similar. Inicialmente ellos incluyen todas las flotas en un periodo para obtener una buena solución inicial. Invariablemente, hay asignaciones que son indeseadas por un número de razones que no pueden ser fácilmente capturadas en el modelo. Este primer periodo toma de 1 a 3 horas ya que incluye todas las 10 flotas y 2500 segmentos de vuelo. Desde esta solución, los organizadores pueden identificar los problemas y solucionarlos individualmente o en grupos. Ellos generalmente resuelven estos problemas rápidamente como sub problemas que involucran de 2 a 5 flotas, frecuentemente 5 minutos o menos. Esta ubicación de la solución inicia continuara generalmente hasta el limite del horario. Coldstart ha cambiado la tarea básica de un organizador de Delta. Mientras el modelo realiza todos los cambios de horario, y muy rápido, la tarea del organizador involucra el análisis de estos cambios. Los organizadores gastan mucho mas esfuerzo analizando los diferentes costos que son usados para implementar el modelo. Con esta herramienta, ellos pueden probar varios escenarios en una corta cantidad de tiempo y escoger el mejor. Como resultado, e horario de vuelo en Delta ha cambiado considerablemente desde que le modelo comenzó a efectuarse. Debido a que los viejos métodos ya no son utilizados, los parámetros ya no están disponibles. Mientras la pregunta cuan mejor es el modelo Coldstart que lo que habríamos logrado manualmente fue importante inicialmente; ahora una mejor pregunta es cuánto puede mejorar una solución de Coldstart siempre estaremos cambiando el modelo, y podemos usar un numero infinito de parámetros de ajustes; esta es la clave para un futuro mejoramiento. Coldstart permite al usuario producir 2 diferentes horarios usando diferentes limitaciones o parámetros y le permite contestar estos tipos de pregunta con el mismo procedimiento comparativo. Los organizadores pueden usar Coldstart en un numero de formas. Inicialmente ellos pueden usarlo para obtener una flota que esta cerca de la deseada.

9 Ellos llevan a cabo esto haciendo uno o mas pedidos usando todas la flotas. Una vez que se ha llevado a cabo, ellos trabajan en segmentos que necesitan ser flotas debido a los factores que no pueden ser modelados. Coldstart puede ser usado para resolver sus problemas más pequeños -usualmente la mejor y más rápida forma de direccionar problemas individuales. Por ejemplo: un organizador puede desear mejorar un vuelo desde Atlanta a Dallas/ Fort Worth desde un 76S con 254 asientos a un L10 con 203 asientos. El organizador puede sacar las flotas 76S y L10 como si fueran una aerolínea aparte, apuntar al mejoramiento deseado y ver que la flotas sean necesarias para llevar acabo el cambio. Esto puede ser hecho frecuentemente en solo 1 minuto, dependiendo del tamaño del subproblema. Una solución deseable para un vuelo dirigido puede ser aceptado y puesto en el horario base si es deseado. Debido a que el sistema es muy flexible puede ser usada para resolver pequeños y rápidos subproblemas y así llevar a cabo cualquier numero de metas deseadas. El departamento de horarios envía propuestas de horario a los departamentos de operación y luego obtiene respuestas especificando problemas y requiriendo cambios. Este toma respuestas y revisa el mejor horario para una mejor dirección del problema y de las necesidades de los departamentos de operación. El subproblema localizado se acerca con cambios mínimos y se soluciona en las últimas entapas del proceso de desarrollo del horario. Una vez el departamento de horarios ha expedido propuestas de horarios, este debe mantener un número de cambios antes de que el horario sea finalizado al mínimo. Este mantiene pequeño el número de flotas mientras se llevan a cabo los cambios necesarios. Extensiones El modelo Coldstart ha crecido en 3 diferentes direcciones mas aya de su propósito original. Estos son planeación de flota, desarrollo de rutas y planeación de transición. Era fácil implementar estas extensiones debido a la forma en que el modelo inicial fue construido. La planeación de flota es una extensión natural de la asignación de flota. En lugar de tratar los tamaños de la flota como fijos, es fácil modela las posibilidades de adquirir aeronaves adicionales o retirar las existentes. Adicionalmente al costo de operación, alguna medida del costo de propiedad debe ser incluida en el modelo. El éxito del modelo como herramienta de planeación de flota, depende principalmente del costo objetivo. En Delta hemos gastado una cantidad inmensa de esfuerzo para mejorar y aclarar la sincronización de datos para estos periodos. Si el objetivo del modelo es cambiado de la minimización de costos a la maximización de ganancias, entonces el optimizador puede escoger cual segmento volar, en vez de que se le pida volar todos los segmentos. Esto significa que el modelo puede ser utilizado para desarrollar rutas considerando a la adición de nuevos segmentos o la eliminación de segmentos existentes. Un problema de transición aumenta cuando un cambio de horario ocurre, mayor o menor. Por ejemplo: los horarios son cambiados el sábado 4 de abril de 1993, cuando comenzó el día. En la noche del 3 de abril, los aviones estaban todos en la posición correcta para continuar el horario de invierno. Pero estas no eran las posiciones correctas para comenzar el horario de primavera! Una solución podría ser transbordar los aviones, vacíos, al final de la noche, a sus posiciones correctas. En cambio, Delta altera la asignación de las flotas a segmentos durante el último día del antiguo horario y el primer día del nuevo, a veces teniendo que cancelar algunos vuelos. Este es un trabajo de planeación manual que consume mucho tiempo. Nosotros hemos desarrollado e implementado una versión separada del modelo Coldstart para resolver este problema. La función objetivo intenta minimizar el número de cambios requeridos de flota, con preferencias dadas a cambios que involucran el mismo piloto agregado a capacidad de asientos. El modelo ha sido construido para que el usuario pueda seleccionar cualquier grupo de limitaciones que son aplicables para su periodo. Nosotros nos hemos esforzado enormemente en para asegurar que para un periodo dado el modelo siempre sea viable. Esto incluye no viabilidad debido al tamaño de la flota, turnos, requisitos de mantenimiento, limitaciones de ruido y horas de bloqueo del piloto. Impacto Financiero Del Proyecto Coldstart Cuando comenzamos el proyecto Coldstart, en septiembre de 1991, no estábamos seguros de que podríamos modelar y resolver tal sistema tan largo y complicado. Los siguientes factores fuero esenciales para el éxito de este proyecto. Primero, teníamos alguien con experiencia en el departamento de organizaciones de flotas de Delta trabajando tiempo completo como parte del equipo de desarrollo. El estaba seguro, que el modelo produjo soluciones operacionalmente viables. Segundo fue el esfuerzo dedicado a modelar los detalles del sistema, incluyendo todas las complicaciones envolviendo casi conexiones perdidas y velocidad de aviones. Tercero fue el estado de algoritmo de art y software. OB1 y OSL ambos son códigos y OB1 fue ignorado por el desafío computarizado propuesto por estos modelos. Finalmente la disponibilidad de poderosas y económicas estaciones de trabajo equivalentes a 3 estructuras completamente dedicadas a nuestra disposición para prueba y desarrollo. Desde el horario del 11 de septiembre de 1992, el cual fue el primero que Coldstart utilizó extensivamente, el modelo ha sido utilizado para todos los horarios Delta. Las Refleetings del horario del 11 de septiembre ahorraron un estimado de $55000,

10 por día sobre el horario que había sido usado. El grupo de planeación primero usó Coldstart, para el horario de diciembre 15 de 1992, obtuvo unos ahorros estimados en de más de $ por día. todos los otros horarios han sido trabajados exclusivamente por Coldstart, el cual elimina la comparación de parámetros al horario como si hubiera sido desarrollado bajo la metodología previa. Sin embargo con experiencia y confianza adicional, Delta ha usado el modelo de manera mas fuerte en el desarrollo de horarios consecuentes. Lo ahorros entre el 1 de junio de 1993 y el 31 de agosto del mismo año han sido estimados en $ por día. Los ahorros del modelo han aumentado de horario en horario mientras que los organizadores ganan más confianza y aceptan más y más recomendaciones del modelo. El éxito de este proceso se ha debido principalmente a la disponibilidad en Delta de entender e implementar el modelo, incluso cambiando algunas veces la forma en que las operaciones se han hecho tradicionalmente en Delta. Un porcentaje sustancial del costo de ahorros resulta del costo de operaciones directa reducido. es un proceso sencillo para estimar el costo de operación de 2 flotas sobre el mismo grupo de segmento. Incluso aquí, hay algunos peligros. Por ejemplo, una flota que le permite ahorrar costos de piloto y reducir la cuenta del piloto principal por 100 realmente no ahorrará ese dinero en el corto plazo a menos que despidas a los pilotos, lo cual Delta no ha hecho. En el largo periodo, los ahorros se notaran al ocurrir reducción o mientras Delta sea capaz de aumentar su nivel de servicio sin añadir pilotos. Aún cuando un horario ha sido completado, es muy difícil estimar cuantos más o menos ingresos han sido generado con una flota diferente. No hay registro de rebasar o recapturar incluso después de que ha ocurrido. Estimar esta parte de la función objetivo de 4 a 8 meses es difícil. Adicionalmente a la estimación de la demanda ilimitada uno debe estimar la varianza ilimitada para cada vuelo. Desde que la mayoría de los vuelos han sido en los datos históricos, el análisis estadístico debe ser usado para estimar estos parámetros. Hemos usado las técnicas desarrolladas por Delta para estimar estos valores claves. A este punto, Delta ha estado complacida tanto con lo ahorros de costo como con la generación de ingresos del modelo. Coldstart es la primer a aplicación de investigación de operaciones de esta magnitud que ha sido desarrollada e implementada dentro de Delta Airlines. Su éxito asegura que Delta será un usuario ansioso de técnicas de investigación de operaciones en el futuro. APÉNDICE Presentamos aquí una formulación algebraica del modelo básico, el cual no incluye mantenimiento, entrenamiento del piloto, horas del piloto, recesos de la tripulación, descanso de 10:30 de la tripulación, limitaciones de ruido. El Modelo Básico de Asignación de la Flota Convenciones CIUDAD - un grupo de ciudades, indicadas por i FLOTA - un grupo de tipos de aviones, identificado con k SEGMENTO -un grupo de segmentos de vuelo, identificado con l y TIEMPO - un grupo de tiempos [ 0000, , 2359, identificado con t. Parámetros: Costos (k,l) = costo de si un avión ó flota k vuela un segmento l (œ si ela flota k no puede volar el segmento l) Turno (k,l) = turno para flota k en la ciudad l, el mínimo de tiempo requerido entre la llegada y la subsecuente partida de el mismo avión. Tamaño (k) = Número de aeronaves disponibles en flota K. Origen (l) = origen de la ciudad de segmento l, un elemento de ciudad. Destino (l) = ciudad destino de segmento l, un elemento de ciudad. Partida (l) = tiempo de partida de segmento l, un elemento de tiempo. Llegada (l) = tiempo de llegada de segmento l, un elemento de tiempo. Grupos Derivados: NUDOS (k, i) = {t Є Tiempo t = partida (l) para algún l Є segmento tal que origen (l) = i, o t = llegada (l) + el cambio (k, i) por algún l Є etapa de vuelo tal como destino(l) = i { NUDOS (k, i) es el grupo de tiempos cuando una llegada o partida de un avión puede pasar en la ciudad i. Por cualquier tiempo t Є. NUDOS (k, i) nosotros usamos t + para denotar el siguiente tiempo, y t - para denotar el tiempo previo, con el supuesto circular que = 0000 y = 2359.

11 EN (k, i, t ) = [ l Є etapa destino ( l ) = i, llegada ( l ) + cambio (k, i ) = [ ν k Є flota, i Є CIUDAD, y t Є NUDOS (k, i) FUERA DE (k, i, t ) = { l Є segmento І origen ( l ) = i, partida( l ) = t{, ν k Є flota, i Є ciudad, y t Є nudos (k, i ). Cuenta - aire ( k) = { (k, l ) / costo (k, l) < œ y llegada (l) + cambio (k, destino ( l)) < partida ( l ){ Cuenta - Tierra (k ) = { (k, i, t ) / t Є NUDOS (k, i ) y t + < t } Cuenta - aire (k ) captura el grupo de segmentos donde un avión de flota puede estar in el aire en media noche. Cuenta - Tierra ( k) captura el grupo de ciudades donde un avión de flota k puede estar situado en la tierra media noche. Gancho segmento *segmento Significa que destino(l ) = origen ( l ) y que la misma flota puede ser escogida por ambos L1 y L2 Variables X k,l = 1 si la flota k es asignada a la etapa l; = 0 ν k Єa la flota y l Є al etapa Y k,l = numero de aviones de flota k en la tierra de una ciudad i de tiempo t a tiempo t+ ν k Є flota, i Єciudad y t Є nudos (k, i) Zk = número de aviones de flota k que son usados. LIMITACIONES BALACE (k, i, t ) Σ X k,i - Σ X k,i Є dentro(k, i,t ) Є fuera de (k, i, t ) + Y k,i,t - Y/ k, i, t = 0 ν k Є flota, i Є ciudad y t Є nudos (k, i) cubrir ( l) Σ X k,i = 1, ν k Є etapa {(k, I) I costo (k, l)< α Tamaño(k ) Σ X k,i - Σ X k,i (k,l ) Є cuenta- aire( k ) (k,i, t ) Є cuenta tierra ( k ) ν k Є flota 0 Z k tamaño( k) Sistema de conexión (l1, l2, k) Σ X k,i - Σ X k,i = 0 ν k Є flota (l1, L2 ) Є sistema FUNCIÓN OBJETIVO Minimizar costos = Σ costos(k,l ) * X k,i K Є flota / Є etapa Limitaciones adicionales pueden ser añadidas por requerimientos de mantenimiento, consideraciones, de tripulación, horas de piloto, entrenamiento de piloto, restricciones de ruido y otras.