Tema 5: Funciones homogéneas

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1 Tema 5: Funciones homogéneas f se dice homogénea de grado α si se verifica: f(λ x) = λ α f( x), x, λ > 0 Propiedades: 1. Si f y g son homogéneas de grado α, entonces f ± g es también homogénea de grado α. 2. Si f es homgénea de grado α y g es homogénea de grado β, entonces f g es homogénea de grado α + β. 3. En las condiciones anteriores, si además g( x) 0, x, entonces f g es homogénea de grado α β. 4. Toda función homogénea de grado α queda determinada por los valores que toma sobre los puntos con norma uno: ( ) x f( x) = x α f. x 5. Si f es homogénea de grado α y de clase C 1, entonces todas sus derivadas parciales son también homogéneas de grado α 1. Teorema de Euler Sea f homogénea de grado α y f C 1, entonces para cada x = (x 1, x 2,..., x n ) se verifica la siugiente igualdad: x 1 f x 1 ( x) + x 2 f x 2 ( x) x n f x n ( x) = αf( x) Nota: El Teorema de Euler también se aplica a cada una de las parciales de f si ésta fuera de clase C 2 ó más. En tal caso, para una cualquiera de las parciales, digamos f x i se verificará: x 1 2 f 2 f 2 f 2 f ( x) + x 2 ( x) x i ( x) +... x n ( x) = (α 1) f ( x) x 1 x i x 2 x i x n x i x i x 2 i

2 Tema 6: Integración múltiple Consideraremos el caso de f campo escalar en R 2, es decir, f : R 2 R además z = f(x, y) la suponemos continua, positiva y acotada. En notación: f(x, y)dxdy. Geométricamente representa el volumen del cuerpo que tiene como base el dominio y cuya altura en cada punto (x, y) su correspondiente imagen. El cálculo de áreas de superficies puede ser calculado entonces como dxdy (f(x, y) = 1)

3 Propiedades: 1. (f(x, y) ± g(x, y))dxdy = f(x, y)dxdy ± g(x, y)dxdy. k f(x, y)dxdy = k f(x, y)dxdy. f(x, y)dxdy 4. En general, si f(x, y) g(x, y), (x, y), se tiene: f(x, y)dxdy f(x, y) dxdy. g(x, y)dxdy. 5. Si = 1 2 (con 1 2 = ), entonces: f(x, y)dxdy = f(x, y)dxdy + 1 f(x, y)dxdy Teorema de Fubini: En general, afirma que si A B f(x, y) d(x, y) <, es decir, si existe la integral respecto al producto cartesiano de dos intervalos en el espacio A B, entonces puede calcularse como: ( ) ( ) f(x, y) dy dx = f(x, y) dx dy = f(x, y) d(x, y), A B B A A B Observación: Las primeras dos integrales son simples, mientras que la tercera es una integral en el producto de dos intervalos. En particular, si f(x, y) = f 1 (x)f 2 (y), entonces: f 1 (x) dx f 2 (y) dy = A B A B f 1 (x)f 2 (y) d(x, y) Y por lo tanto la integral doble se obtiene como el producto de dos integrales simples.

4 Pasos para el cálculo de integrales dobles Paso 1 eterminar quién es el dominio para determinar los extremos de integración. Paso 2 Calculamos la integral definida de f(x, y) respecto a una de las variables, digamos x. Tomamos como extremos de integración los que describen la variación de x (pueden ser numéricos o expresiones). e aquí se obtiene una expresión dependiente de la otra variable, y. Paso 3 Análogo al anterior pero respecto a la otra variable, y. Concluidos los tres pasos, se obtendrá el valor de la integral doble.

5 Caso I = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] f(x, y)dxdy = b1 ( b2 a 1 a 2 ) b2 ( b1 ) f(x, y)dy dx = f(x, y)dx dy a 2 a 1 Ejercicio: Calcular la integral de 2x + 3y 2 en = [0, 3] [1, 2].

6 Caso II El dominio está limitado por rectas del tipo: x = a x = b (a < b) y dos funciones continuas en [a, b] : γ 1 (x) γ 2 (x). f(x, y)dxdy = b a γ2 (x) f(x, y)dy dx γ 1 (x) } {{ } φ(x) Ejercicio: Calcular la integral de z = x 2 + y 2 entre: x = 0, x = 1, y = x 2, y = 0.

7 Caso II.1 Es el caso en el que γ 1 (x) está definida a trozos, es decir: { α(x), x [a, c] γ 1 (x) = β(x), x [c, b] f(x, y)dxdy = b γ2 (x) f(x, y)dy dx = a γ 1 (x) c γ2 (x) f(x, y)dy dx + a α(x) b γ2 (x) f(x, y)dy dx c β(x) Ejercicio: Calcular la integral de z = 4 x 2 entre: y = 0, y = x, x + y = 4.

8 Caso III El dominio está limitado por las rectas y = c, [c, d] : ψ 1 (y) ψ 2 (y). y = d(c < d) y dos funciones continuas en f(x, y)dxdy = d c ψ2 (y) f(x, y)dx dy ψ 1 (y) } {{ } φ(y) Ejercicio: Calcular la integral de z = 2xy en el dominio determinado por y = x, y = x.

9 Caso III.1 Es el Caso III con ψ 1 (y) definida a trozos: { α(y), y [c, e] ψ 1 (y) = β(y), y [e, d] f(x, y)dxdy = e ψ2 (y) f(x, y)dx dy + c α(y) d ψ2 (y) f(x, y)dx dy e β(y)

10 Cambio de variable Básicamente la idea consiste en sustituir las variables x e y por unas funciones continuas que dependan de nuevas variables u y v de tal forma que la integral a calcular se significativamente más sencilla de obtener, atendiendo al siguiente resultado conocido como fórmula del cambio de variable: Supongamos que x = g(u, v), y = h(u, v) : ( ) (x, y) f(x, y)dxdy = f(g(u, v), h(u, v)) det dudv u v Recordemos que con esta notación anterior se tiene que: det ( ) (x, y) = u v det 1 ( (u,v) x y ) = ( ( )) (u, v) 1 det x y El cambio más usual es el de coordenadas polares: x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, (ρ > 0 y θ (0, 2π)) En tal caso resulta: ρ 2 = x 2 + y 2 ρ = x 2 + y 2 tan θ = y x θ = arctan y x Observación: Si la circunferencia no fuera de centro (0, 0) sino (a, b), entonces ρ 2 = (x a) 2 + (y b) 2. Por tanto, La matriz jacobiana será: x ρ cos θ, x y y sin θ, ρ θ = ρ sin θ θ ρ cos θ ( ) cos θ ρ sin θ J = sin θ ρ cos θ det(j ) = ρ ( cos 2 θ + sin 2 θ ) = ρ.

11 Por tanto, para el cambio de variables mediante coordenadas polares se tiene: f(x, y)dxdy = f(ρ cos θ, ρ sin θ) ρ dρdθ. Ejercicio: Calcular xdxdy con = { (x, y) R 2 /1 x 2 + y 2 4, x, y 0 }

12 Transformación lineal de las variables u = a + bx + cy v = d + ex + fy } = det ( ) (u, v) = det x y ( b c e f ) = bf ce( 0) 1 f(x, y)dxdy = f(x(u, v), y(u, v)) bf ce dudv Ejercicio: Calcular la integral de z = x + y sobre, siendo el conjunto: