2. Estimar el área debajo de la gráfica de f(x) = cosx desde x = 0 hasta x = π/2, usando cuatro rectángulos

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1 1. Estimr el áre debjo de l gráfic de f(x) = cosx desde x = hst x = π/2, usndo cutro rectángulos de proximción y como puntos muestr, los extremos derechos de los intervlos. Dibuje l curv y los rectángulos de proximción. Su estimción es un subestimción o un sobrestimción? 2. Estimr el áre debjo de l gráfic de f(x) = cosx desde x = hst x = π/2, usndo cutro rectángulos de proximción y como puntos muestr, los extremos izquierdos de los intervlos. Dibuje l curv y los rectángulos de proximción. Su estimción es un subestimción o un sobrestimción? 3. Determinr un región cuy áre se igul lim n 4. Determinr un región cuy áre se igul lim n n i=1 n i=1 2 n (5+2i/n)1. π iπ tn 4n 4n. 5. Evlur l integrl siguiente interpretndo en términos de áre: 2 4 x 2 dx 6. Escribir l sum de Riemnn pr l función f(x) = x 3 en [,1], considerndo un prtición regulr en cutro subintervlos y tomndo como punto muestr el extremo izquierdo. 7. Escribir un expresión de un sum de Riemnn pr un función f de un vrible en [,b] y dr un ejemplo. Definir Integrl Definid pr un función continu en un intervlo cerrdo. 8. Probr por el método de exhución que 1 x2 dx = 1/3. 9. Definir áre de l región que se encuentr debjo de un función continu positiv. 1. Puede un función no continu ser integrble en un intervlo cerrdo? 11. Dr un ejemplo de un función no integrble en un intervlo cerrdo. 12. Tods ls funciones son integrbles en un intervlo cerrdo? Si es verddero, justifique y si es flso, dr un ejemplo. 13. Evlur l integrl siguiente interpretndo en términos de áre: 1 1 x 2 dx 14. Escribir cutro propieddes de l integrl definid y demostrr un de ells. 15. Escribir ls propieddes de comprción de l integrl definid, demostrr un de ells, relizr su interpretción geométric y dr un ejemplo. 16. Probr que si f es continu en [,b], entonces 17. Probr: 2π 24 π/4 π/6 cosxdx 3π 24. f(x)dx f(x) dx 18. Enuncir y demostrr el Teorem Fundmentl del Cálculo Prte 1. Ejemplificr. 19. Enuncir y demostrr el Teorem Fundmentl del Cálculo Prte 2. ( 1 1/n+ ) 2. Clculr lim n n 2/n+...+ n/n. 21. Clculr lim n n i=1 i4 n Derivr l función: h(x) = x 3 x costdt. 23. Si F(x) = x 1 f(t)dt y f(t) = t 2 1+u 4 1 u du, clculr F (x). 24. Probr x 3 dx 2.

2 25. Si se fug ceite de un tnque con un rpidez r(t) glones por minuto, qué represent 12 r(t)dt? 26. Demostrr que si f es continu en [,] y f es impr, entonces f(x)dx =. 27. Deduce un form de clculr el volumen de un sólido de revolución. 28. Enuncir el Teorem del Vlor Medio pr Integrles. Interpretr geométricmente. Demostrr el teorem plicndo el terorem del vlor medio pr derivds P(x) = x f(t)dt. 29. Describir un sólido cuyo volumen se π 1 (y4 y 8 )dy 3. Si f es continu en [1,3] y 3 1 f(x)dx = 8, probr que f tom el vlor 4 por lo menos un vez en el intervlo [1,3]. 31. Deduzc l fórmul pr el cálculo del áre de un región cuyo límite está ddo por un curv en ecución polr. 32. Probr que en el cso de que lim u(t) y lim v(t) existn, lim [ u(t)+ v(t)] = lim 33. Probr que en el cso de que lim u(t) y lim v(t) existn, lim [ u(t) v(t)] = lim (notmos con u(t) v(t) l producto esclr entre u(t) y v(t)) u(t)+ lim v(t). u(t) lim v(t). 34. Definir derivd de un función vectoril r(t) =< f(t), g(t), h(t) >. Interpretr geométricmente. Probr que si f, g y h son derivbles en t, entonces r (t) =< f (t),g (t),h (t) >. 35. Si u y v son funciones vectoriles derivbles, probr l fórmul de derivción pr d [ v(t) u(t)]. ( u(t) v(t) dt es el producto esclr entre u(t) y v(t)) 36. Deducir l fórmul de l longitud de rco pr un curv regulr del plno. Interpretr geométricmente. 37. Definir función longitud de rco. Dr un prmetrizción culquier de un curv y prmetrizrl según l longitud de rco. 38. Probr que l curvtur de un circunferenci es constnte. 39. Probr que: κ(t) = T (t) / r (t). 4. Deducir ls componentes tngencil y norml de l celerción. 41. Probr que: d T/ds = κ(t) N. 42. Definir: función de dos vribles, gráfic de un función de dos vribles y curv de nivel. 43. Si T(x,y,z) es un cmpo esclr que represent l tempertur en cd punto del espcio qué significn ls superficies de nivel en este cso? En qué dirección debe moverse un person que desee dirigirse lo más rápido posible un lugr más frío? Justificr. 44. Definir límite de un función de dos vribles en un punto. Explicr l relción entre el límite en un punto y el límite lo lrgo de un tryectori. 45. Definir función continu en (, b) pr un función de dos vribles. 46. Definir e interpretr f x (,b). 47. Enuncir el Teorem de Clirut. 48. Definir función diferencible. Enuncir un condición suficiente de diferencibilidd. 49. Probr que un función rel de dos vribles diferencible en un punto del plno, es continu en dicho punto.

3 5. Se f el cmpo esclr definido por xy f(x,y) = x 2 +y 2 si (x,y) (,). si (x,y) = (,) () Estudie l continuidd de f en (,). (b) Anlice l existenci de f x (,). (c) Es f diferencible en (, )? Explique su respuest. 51. Enuncir y demostrr l regl de l cden pr l composición entre un función de dos vribles diferencible y dos funciones derivbles. (CASO 1) 52. Enuncir l regl de l cden en su versión más generl. 53. Definir derivd direccionl. Enucir y demostrr el toerem que relcion el vector grdiente con l derivd direccionl. 54. Deducir sobre l direcciones pr obtener el vlor máximo y mínimo de un derivd direccionl. 55. Probr que el vector grdiente pr un función de dos vribles diferencible es norml ls curvs de nivel en cd punto. 56. Definir máximo reltivo pr un función de dos vribles. 57. Enuncir y demostrr el terorem que relcion ls derivds prciles de un función de dos vribles con los extremos reltivos. 58. Explicr sobre l importnci del vector grdiente. 59. Enuncir el teorem conocido en el curso como Prueb de l derivd segund. 6. Enuncir el Teorem del Vlor Extremo pr funciones de dos vribles y explicr, pr el cso en que se cumpln ls hipótesis del teorem, como se clculn los vlores máximo y mínimo bsoluto de un función continu. 61. Grficr tres conjuntos A, B y C de R 2 : A cerrdo y cotdo, B cotdo pero no cerrdo y C cerrdo y no cotdo. 62. Definir plno tngente un superficie de nivel F(x, y, z) =, jsutificndo su definición. Prticulrizr pr el cso z = f(x,y). (PAG 917 y 918) 63. Se f el cmpo esclr definido por x 3 y xy 3 f(x,y) = x 2 +y 2 si (x,y) (,). si (x,y) = (,) () Clculr f x (x,y) si (x,y) (,) (b) Clculr f x (,) 64. Explicr y justificr el Método de los Multiplicdores de Lgrnge con un restricción pr funciones de tres vribles. 65. Explicr y justificr el Método de los Multiplicdores de Lgrnge con dos restricciones pr funciones de tres vribles. 66. Enuncir el Teorem de Fubini sobre un rectángulo y dr un justificción intuitiv usndo el concepto de volumen.

4 67. Escribir ls propieddes de ls integrles dobles. 68. Deducir el cmbio coordends polres en un integrl doble. 69. Decidir si ls siguientes firmciones son verdders o flss, justificndo l respuest. () L expresión 2 (x x3 )dx represent el áre entre ls curvs y = x x 3, y =, x = y x = 2. (b) 1 2 x 4 dx = 3/8 (c) 3 1 x 2 dx = 4/3 (d) 1 x3 dx 1 x2 dx. (e) 2 1 x3 dx 2 1 x2 dx. (f) Si f es continu en R, 9 f(x)dx = 3 xf(x2 )dx = (g) Todos los métodos de integrción numéric usn prticiones en subintervlos de igul medid. (h) Si f es continu en [,b] entonces d dx (i) Si f es continu en [,4], 4 f(2x)dx = 2 4 f(x)dx = f(x). f(x)dx. π f(senx)dx (j) Si f es continu en [,π], π xf(senx)dx = π 2 (k) Si f es derivble en R y f(1) = entonces l gráfic de g(x) = x en x = 1. (l) El vlor promedio de l función h(x) = 3x 2 x 3 4 en el intervlo [2,5] es 294. (m) x 2 +4 x(x 2 4) se puede escribir de l form A x + B x+2 + C x 2 (n) Si F(x) = x 2 e t2 dt, entonces F (x) = e x4, x >. (o) Pr f(x) en [,b] se verific que f(x)dx = f(x)dx (p) El vlor medio de f(x) = senx en el intervlo [,π] es. (q) π 2 π sen2 xdx π (r) x 8 +4 x(x 2 4) se puede escribir de l form A x + B x+2 + C x 2 (s) L derivd de f(x) = 2 x 3 +x e cost dt es f (x) = e cos(x3 +x). (t) Ls curvs polres r = 1 sen(2θ) y r = sen(2θ) 1 tienen l mism gráfic. (u) Se r un función vectoril tl que existe r, entonces d dt [ r(t) r (t)] = r(t) r (t). (v) L curv con ecución vectoril r(t) =< t 3,2t 3,3t 3 > es un rect. (w) Si r(t) = 1 pr todo t entonces r (t) es un constnte () L curv dd por r(t) =< t,2 t 2 > es un curv de nivel de h(x,y) = x 2 +y f(u)du tienen tngente horizontl (b) Ls curvs r 1 (t) = ( 2 t, 1 t,2t2) y r 2 (θ) = (1+θ, 1+senθ,2cosθ) se cortn ortogonlmente. (c) Ls curvs de nivel del cmpo esclr f(x,y) = exp ( ( x 2 +y 2)) representn hipérbols equiláters. ( ) (d) lim (x,y) (,) cos x 3 y 3 =. x 2 +y 2 (e) Si ls derivds prciles de f existen en (,b) entonces f es continu en (,b) (f) Si ls derivds prciles de f existen en (,b) entonces f es diferencible en (,b) (g) Si ls derivds prciles de f existen y son continus en (,b) entonces f es diferencible en (,b) (h) Si ls derivds prciles de f existen y son continus en (, b) entonces f tiene derivd direccionl en culquier dirección en (, b).

5 (i) Si f tiene derivd direccionl en culquier dirección en (, b) entonces f es diferencible en (, b). (j) Existe un función f con derivds prciles continus de segundo orden con f x (x,y) = x + y 2 y f y (x,y) = x y 2. (k) Si f(x,y) L cundo (x,y) (,b) lo lrgo de tod rect que ps por (,b) entonces lim (x,y) (,b) f(x,y) = L. (l) Si f tiene dos máximos reltivos entonces f debe tener un mínimo locl (m) Se f un un función diferencible en R y z = y +f(x 2 y 2 ). Entonces y z x +x z y = x. (n) L función f(x,y) = x+by+c es diferencible en todo punto de R 2 pr culquier vlor de, b, c R. (o) Ls tryectoris curvs de ecuciones r 1 (t) =< 1+t,1+t 2,t 3 > y r 2 (t) =< t,t,t 1 > no tienen ningún punto en común. (p) Si f es diferencible en (,b) entonces f x (,b) y f y (,b) existen. (q) Si f x (,b) y f y (,b) existen, entonces f es diferencible en (,b). (r) Existen f x (,b) y f y (,b) si y sólo si f es diferencible en (,b). (s) Si f(x,y) = senx+seny entonces 2 D u f(x,y) 2. (t) El cmpo esclr z(x,y) = xy +xexp ( y x), con x, stisfce l ecución diferencil xz x (x,y)+yz y (x,y) = xy +z(x,y).

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