Sistemas de ecuaciones lineales

Transcripción

1 Sisems de ecucioes lieles º Bchillero Sisems de ecucioes lieles. Iroducció Primos de que hemos esudido ls mrices deermies. U epresió de l form es u ecució liel co icógis. Los úmeros i se llm coeficiees; se le llm ermio idepediee. L lielidd viee dd por que ls icógis i iee epoee o se muliplic ere sí. Se llm solució de es ecució cd u de ls -upls vlores de los i que hce que se cumpl l ideidd. Decimos que dos ecucioes so equivlees cudo iee ls misms solucioes.. Sisem de ecucioes lieles. Solucioes. sí u sisem de m ecucioes lieles co icógis es u cojuo de igulddes de l form: m m m m m Ls icógis so ; mié uiliremos. Los coeficiees so ls ij que es el coeficiee de l icógi j de l i-ésim ecució. Los érmios idepediees so los i Diremos que u -upl (s s s ) es u solució de u sisem de ecucioes lieles cudo l susiuir ls icógis por los úmeros s i se verific ods cd u de ls igulddes. Resolver u sisem de ecucioes es hllr ods sus solucioes. Poer u ejemplo - / -.G.Odí

2 Sisems de ecucioes lieles º Bchillero - / -.G.Odí. Tipos de sisems de ecucioes lieles. Los sisems de ecucioes puede clsificrse segú dos crierios. ) Segú el vlor de los érmios idepediees será: Homogéeos cudo odos los érmios idepediees se ulos. jemplo: No homogéeos cudo lgú érmio idepediee es o ulo. jemplo: ) Segú el úmero de solucioes que eg. U sisem de ecucioes puede eer u solució úic múliple o o eer solució: SISTM COMPTIBL DTRMINDO S.C.D. si iee u úic solució jemplo: Solució ( ) SISTM COMPTIBL INDTRMINDO S.C.I. si iee ifiis solucioes. jemplo: Solució R (o: = + ) SISTM INCOMPTIBL S.I. si o iee solució. jemplo: o iee solució. (o: = - pr los primeros érmios pero o pr los érmios idepediees). Clsificr u sisem por ese crierio se deomi DISCUTIR el sisem.

3 Sisems de ecucioes lieles º Bchillero. presioes de los sisems de ecucioes lieles. Podemos epresr u sisem de forms diferees: ) Geerl m m m m ) Mricil m m m Mri de coeficiees Mri de icógis simólicmee X=B m Mri de os. idep. * m m m m Mri mplid De form más revid pr su resolució por Guss se suele uilir l mri mplid *. ) Vecoril C C C B - / -.G.Odí

4 Sisems de ecucioes lieles º Bchillero m m m m m m m m C C C sádr Mricil Vecoril B epresioes vlor de los i odos los i = HOMOGÉNOS TORM D ROUCHÉ-FRÖBNIUS U sisem es compile.r()=r(*) eiseci solucioes SISTMS D CUCIONS LINLS resolució clses segú solucioes o si NO HOMOGÉNOS lgú i = INCOMPTIBLS u DTRMINDOS COMPTIBLS INDTRMINDOS ifiis MÉTODO D GUSS MÉTODO MTRICIL RGL D CRMR SCLONR L MTRIZ MPLID RSOLVR L CUCIÓN MTRICIL X=B MDINT X= - B de( C C i de( C C B C C C i ) ) - / -.G.Odí

5 Sisems de ecucioes lieles. Teorem de Rouché-Fröeius. Sisem compiles º Bchillero l eorem de Rouché-Fröeius os d l codició ecesri suficiee pr l eiseci de solucioes de u sisem de ecucioes lieles. Teorem de Rouché-Fröeius: U sisem de m ecucioes lieles co icógis es compile ( iee solució) si sólo si el rgo de l mri de los coeficiees coicide co el rgo de l mri mplid. Demosrció: Sisem compile r r * ) Se S u sisem de m ecucioes lieles co icógis es compile eise l meos u solució s s. s. Tomdo l epresió vecoril del sisem S C C C B si s s. s. es solució de S Cs Cs Cs B B es comició liel de r r * C C C rc C C rc C C B ) Si r r * l úlim colum de l mri mplid es comició liel de ls reses colums que culquier meor pricipl de * lo es su ve de eise úmeros s s. s lque Cs Cs Cs B s s. s. es solució de S. l discusió de u sisem de ecucioes lieles uilimos ls cosecuecis que se deduce de ese eorem siedo =º de icógis: Si r r * eoces el sisem es icompile (S.I.) Si r r * eoces es sisem es compile si demás r = r * = eoces es u sisem compile deermido (S.C.D.) r = r * < eoces es u sisem compile ideermido (S.C.I.) co -r() grdos de lierd. - / -.G.Odí

6 Sisems de ecucioes lieles º Bchillero - / -.G.Odí jemplo: Clsificr: Clculemos el r() r r * SCD jemplo: Discuir: Clculmos el r() r()= Clculmos el r(*) primos del meor de orde o ulo erior lo orlmos co l colum os d el de() que hemos viso es ulo sí que promos co l colum de érmios idepediees: r(*)=. Luego r r * S.C.I. co u grdo de lierd. jemplo: Discuir: Clculmos el r() r()= Clculmos el r(*) primos del meor de orde o ulo erior lo orlmos co l colum os d el de() que hemos viso es ulo sí que promos co l colum de érmios idepediees: r(*)=. Luego r r * S.I.

7 Sisems de ecucioes lieles jercicio : sudir l eiseci de solucioes del sisem siguiee: º Bchillero u u u Solució: r r * S.C.I. co u grdo de lierd. jercicio : Discuir el siguiee sisem e fució del prámero : Solució: r r * S.C.D Si eoces Si = r r * S.C.I. Si =- r r * S.I. jercicio : sudir l eiseci de solucioes del sisem de ecucioes lieles depediees del prámero Solució: Si eoces r r * S.C.D. Si =- eoces r()= r(*)= S.I. Si = eoces r r * S.C.I. jercicio : Discuir el sisem segú los diferees vlores de : Solució: Si r(*)= eoces es S.I. Como * Si eoces r r * Si = como eemos: S.I. r r * S. C. D. eoces - / -.G.Odí

8 Sisems de ecucioes lieles. Méodos de resolució de sisems. º Bchillero Recordemos que pr resolver los sisems podemos rsformrlos e oros equivlees más simples eediedo por sisems equivlees dos sisems que iee ls misms solucioes. Ls rsformcioes que podemos relir pr rsformr u sisem e oro equivlee so: Iercmir de orde de sus ecucioes. Iercmir de orde de sus icógis. Muliplicr los dos miemros de u ecució por u mismo úmero. Susiuir u ecució por u comició liel de ell co ls ors. ise res méodos pr l resolució de sisems de ecucioes:. Méodo de Guss l méodo de Guss es u geerlició del méodo de reducció coocido pr sisems de ó icógis. Y l esregi es l coocid uilid pr mrices. Cosise e priedo del sisem m m m m rsformrlo e oro equivlee de l form: ' ' mm m ' ' m ' ' m (form esclod del sisem) Si uiliásemos l form mricil mplid m m m el proceso es m similr esclor * como lo hemos hecho pr el cálculo de rgos. - / -.G.Odí

9 Sisems de ecucioes lieles º Bchillero - / -.G.Odí Pr discuir u sisem esclodo (ods ls ecucioes so lielmee idepediees) os fijmos e l úlim ecució: Si es resolule el sisem es compile si demás l º de ecucioes = º de icógis es S.C.D. ( i =C) l º de ecucioes º de icógis es S.C.I. co º de icógis - º de ecucioes grdos de lierd ( i =) Si o es resolule (=C) el cso de SCD l solució se oiee por susiucioes sucesivs scedees de l úlim ecució oeemos u icógi que susiuimos e l imedimee superior de dode se oiee or que su ve juo co l primer se susiue el imedimee superior sí sucesivmee hs llegr l primer. jemplo: Resolver: De = De -= = De -+= = Solució del sisem ( ) Mricilmee serí luego l resolució es como rri: jercicio : Solució: ( )

10 Sisems de ecucioes lieles º Bchillero - / -.G.Odí jercicio : Solució: (/ -/ /) Pr resolver e el cso de S.C.I. depediedo de r prámeros psmos r vriles l º miemro resolvemos como e el cso erior. jemplo: Solució:... I S C depediedo de u prámero psmos u vrile l º miemro relimos u cmio =α resolvemos medie susiució scedee: De De Solucioes del sisem : R so ifiis solucioes. jercicio : Discuir resolver: Solució; R jercicio : Discuir resolver: Solució: R jercicio : Discuir resolver: Solució: R R

11 Sisems de ecucioes lieles º Bchillero - / -.G.Odí jemplo: Solució: es S.I. jercicio : Discuir resolver: Solució S.I. jercicios de plemieo.. Méodo de l mri ivers se méodo cosise e epresr el sisem e form mricil.x=b despejr l mri X siempre que eis - : X= -.B. Regl de Crmer Defiició: U sisem de ecucioes lieles co icógis se dice que es Crmer º de ecucioes = º de icógis so quiere decir que el sisem iee que ser compile deermido. Tmié se puede resolver por Crmer los sisems compiles ideermidos iroduciedo los prámeros ecesrios como veremos co u ejemplo. L solució de u sisem de Crmer se oiee de l siguiee form: l vlor de cd icógi es el cociee de dividir el deermie formdo por l mri de los coeficiees susiuedo e ell l colum correspodiee los coeficiees de l icógi uscd por l colum de érmios idepediees por el deermie de l mri de los coeficiees.

12 Sisems de ecucioes lieles º Bchillero - / -.G.Odí Se.X=B ( como ) X= -.B semos que dj luego de quí oeemos los vlores de cd icógi sí e er ese de desrrollo colum primer l por mi de. jemplo: Resolver el sisem: Solució: primero h que ver si es de Crmer. De()=. plicmos l regl:

13 Sisems de ecucioes lieles º Bchillero - / -.G.Odí Solució del sisem ( ) jercicio : Resolver: Solució: de()= solució del sisem (/ -/ -) jemplo de resolució de SCI por Crmer: Resolver: r()= Orldo el meor de orde pr * r(*)= Luego el sisem es compile ideermido depediedo de u prámero. Oservdo el meor de orde vemos cules so ls ecucioes lielmee idepediees por o el sisem es equivlee que podemos resolver por Crmer:

14 Sisems de ecucioes lieles º Bchillero - / -.G.Odí Solucioes del sisem: R jercicio : Resolver Solucioes del sisem R. Sisems co prámeros U sisem liel es depediee de uo o más prámeros si lguo de sus coeficiees o érmios idepediees es vrile. Pr discuir esos sisems de ecucioes lieles se emple sore odo el eorem de Rouché-Fröeius. Su resolució se hce como u sisem orml pr cd cso. Si esudimos los rgos por Guss es recomedle rricor el prámero e l úlim ecució. jemplo: Discuir resolver cudo se posile Solució: Si =- S.I. o h solució Si - S.C.D. solució: so ifiios sisems cd uo co u solució úic.

15 Sisems de ecucioes lieles º Bchillero - / -.G.Odí jercicio : Discuir resolver: Solució: de()= (-) (+) Si - r()=r(*)==º icógis SCD Si = r()=r(*)= < º icógis= SCI Si =- r()= r(*)= SI jercicio : Discuir resolver: k Solució: si k S.I. si k= S.C.D (). Sisems homogéeos U sisem de ecucioes es homogéeo cudo odos los érmios idepediees so ulos jemplo: s evidee que esos sisems iee l meos u solució () coocid como solució rivil. Por o odos so sisems compiles. Lo ierese es que eg más solucioes es decir que se SCI. De echo h uores que o cosider l rivil como u solució por o dice que u sisem homogéeo iee solució solo cudo es SCI. Se resuelve de form similr los geerles. jercicio : Resolver ) ) jercicio : Resolver ) )