Los estimadores mínimo cuadráticos bajo los supuestos clásicos

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1 Los estimadores mínimo cuadráticos bajo los supuestos clásicos Propiedades estadísticas e inferencia Mariana Marchionni marchionni.mariana@gmail.com Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 1 / 43

2 Temario de la clase Repaso 1 Repaso Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 2 / 43

3 Estimación por MCO del modelo lineal simple Tenemos el modelo lineal con 2 variables Y i = α + βx i + µ i i = 1,...n Y el objetivo es estimar α y β a partir de (Y i, X i ) i = 1,...n. Recordemos notación y deniciones: ˆα y ˆβ son los estimadores de α y β Ŷ i ˆα + ˆβX i es la versión estimada de Y i e i Y i Ŷ i = Y i (ˆα + ˆβX i ) es el error de estimación (residuo) Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 3 / 43

4 Cada posible valor que asignemos a ˆα y ˆβ dene una recta en el plano (Y, X ) Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 4 / 43

5 Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) Criterio de MCO: elegir ˆα y ˆβ de manera de minimizar SRC. Formalmente: Solución: Minˆα, ˆβ SRC(ˆα, ˆβ) = CPO : n ei 2 = i=1 (1) SRC SRC (2) ˆβ n [Y i (ˆα + ˆβX i )] 2 i=1 ˆα = 0 (3) ˆα = Ȳ ˆβ X y (4) ˆβ = = 0 N X i Y i nȳ X i=1 N X 2 n X 2 i i=1 Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 5 / 43

6 Propiedades algebraicas 1 2 n i=1 e i = 0 n i=1 e i X i = 0 ( Cov(X, e) = 0) 3 Ŷ ( X ) = Ȳ ( la recta de regresión pasa por las medias muestrales) 4 ˆβ = r S Y,X Y/S X (relación entre el coeciente de regresión y el de correlación) 5 Ȳ = Ŷ (la media de las estimaciones de Y coincide con Ȳ ) 6 rŷ,e = 0 (la correlación entre las estimaciones de Y y los residuos es nula) Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 6 / 43

7 Así luce la regresión estimada por MCO Ŷ i = ˆα + ˆβX i Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 7 / 43

8 Bondad del ajuste Repaso Vimos que cuando se estima por MCO es válida la siguiente descomposición: n (Y i Ȳ ) 2 i=1 = n (Ŷ i Ȳ ) 2 i=1 }{{}}{{}}{{} STC = SEC + SRC + n i=1 STC : Suma Total de Cuadrados, SEC : Suma Explicada de Cuadrados, SRC : Suma de los Residuos al Cuadrado e 2 i Denimos: R 2 = SEC STC = 1 SRC STC Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 8 / 43

9 R 2 =0.94 Repaso 94 % de la variabilidad muestral de Y está explicada por el modelo lineal en X Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 9 / 43

10 R 2 =0.35 Repaso 35 % de la variabilidad de Y está explicada por el modelo lineal en X Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 10 / 43

11 Adoptaremos algunos supuestos llamados supuestos clásicos Linealidad: Y i = α + βx i + µ i, i = 1,...n X no aleatoria: las X i son determinísticas, jas en muestreos repetidos. Esperanza nula de µ i : E[µ i ] = 0, i = 1,..., n. Homocedasticidad de µ i : V [µ i ] = cte. σ 2, i = 1,..., n. No correlación serial de µ i : Cov[µ i, µ j ] = 0, i j. No multicolinealidad perfecta de las variables explicativas: las X i no pueden ser todas iguales, X debe variar entre las observaciones. La mayoría de estos supuestos son poco realistas. Los adoptamos por razones pedagógicas. Levantaremos la mayoría a lo largo del curso. Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 11 / 43

12 Adoptaremos algunos supuestos llamados supuestos clásicos Linealidad: Y i = α + βx i + µ i, i = 1,...n X no aleatoria: las X i son determinísticas, jas en muestreos repetidos. Esperanza nula de µ i : E[µ i ] = 0, i = 1,..., n. Homocedasticidad de µ i : V [µ i ] = cte. σ 2, i = 1,..., n. No correlación serial de µ i : Cov[µ i, µ j ] = 0, i j. No multicolinealidad perfecta de las variables explicativas: las X i no pueden ser todas iguales, X debe variar entre las observaciones. La mayoría de estos supuestos son poco realistas. Los adoptamos por razones pedagógicas. Levantaremos la mayoría a lo largo del curso. Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 11 / 43

13 Linealidad Repaso De esto ya habíamos hablado. Nuestro modelo: Y i = α + βx i + µ i, i = 1,...n Lo importante es la linealidad en los parámetros α y β. Por qué? Vimos algunos modelos no lineales que pueden linealizarse (log-log, log-lin, etc.) Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 12 / 43

14 X no aleatoria Repaso ¾Qué signica esto? Fijas en muestreos repetidos Poco real para una ciencia social Experimentos Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 13 / 43

15 Esperanza nula Repaso E[µ i ] = 0, i = 1,..., n E[Y i ] = α + βx i, i = 1,..., n En promedio, la relación es lineal y exacta Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 14 / 43

16 Homocedasticidad Repaso V [µ i ] = V [µ j ], i j V [µ i ] = cte. σ 2, i = 1,..., n Intuitivamente: para todas las observaciones, la relación entre Y y X está igual de cerca de una relación lineal Si la varianza no es constante decimos que hay heterocedasticidad Notar: si E[µ i ] = 0 y V [µ i ] = σ 2 E[µ 2 i ] = σ2 Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 15 / 43

17 No correlación serial Cov[µ i, µ j ] = 0, i j. Es una forma débil de independencia entre los términos aleatorios Notar que si E[µ i ] = 0 y Cov[µ i, µ j ] = 0 E[µ i µ j ] = 0 ¾Cuánto vale Cov[µ i, µ j ] para i = j? Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 16 / 43

18 No multicolinealidad perfecta Las X i, i = 1,...n no pueden ser todas iguales Por qué? Ver gráco Fuerte supuesto de identicación Intuición? Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 17 / 43

19 Recapitulando... el modelo lineal clásico Y i = α + βx i + µ i, i = 1,...n 1 E[µ i ] = 0, i = 1,..., n. 2 V [µ i ] = σ 2, i = 1,..., n. 3 Cov[µ i, µ j ] = 0, i j. 4 Las X i no son aleatorias y no son todas iguales Notar: en este contexto los parámetros desconocidos son α, β y σ Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 18 / 43

20 Recapitulando... el modelo lineal clásico Y i = α + βx i + µ i, i = 1,...n 1 E[µ i ] = 0, i = 1,..., n. 2 V [µ i ] = σ 2, i = 1,..., n. 3 Cov[µ i, µ j ] = 0, i j. 4 Las X i no son aleatorias y no son todas iguales Notar: en este contexto los parámetros desconocidos son α, β y σ Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 18 / 43

21 Ya sabemos que los estimadores mínimo cuadraticos ˆα y ˆβ son buenos en el sentido de que minimizan la SRC En la derivación de los estimadores MCO de la clase pasada nunca recurrimos a los supuestos clásicos Vamos a explorar si los estimadores MCO son buenos en algún otro sentido, ahora sí basándonos en los supuestos clásicos Nuevas propiedades: linealidad, insesgadez, de varianza mínima, etc. Nos concentramos en ˆβ. Los resultados para ˆα serán cubiertos en los prácticos. Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 19 / 43

22 Las propiedades 1. Linealidad: ˆβ = ω i Y i ˆβ puede escribirse como una combinación lineal de las Y i, i = 1,...n Ver demostración Intuitivamente poco interesante, analíticamente conveniente Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 20 / 43

23 2. Insesgadez: E[ ˆβ] = β Es decir, ˆβ es un estimador insesgado del parámetro β Ver demostración Intuitivamente: qué quiere decir que un estimador sea insesgado? ¾Qué pasa con la propiedad de insesgadez si levantamos el supuesto de homocedasticidad? ¾Cuál es el supuesto más importante para el insesgadez? Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 21 / 43

24 3. V [ ˆβ] = σ 2 / x 2 i Ver demostración ¾Qué mide V [ ˆβ]? ¾Qué supuestos usamos para la prueba? Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 22 / 43

25 Notar: V [ ˆβ] = σ2 = σ2 x 2 i nv [X ] Entonces, en el modelo lineal simple, la varianza del estimador depende de: la dispersión del término aleatorio la cantidad de observaciones la variabilidad de X Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 23 / 43

26 4. Teorema de Gauss-Markov Si valen todos los supuestos clásicos, ˆβ tiene la menor varianza en la clase de todos los estimadores lineales e insesgados de β. En el modelo lineal clásico, los estimadores MCO son los Mejores Estimadores Lineales e Insesgados (MELI) Mejor en el sentido de más eciente dentro de su clase Entonces, MCO es bueno? Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 24 / 43

27 Consideremos el modelo Y i = α + βx i + µ i, i = 1,...n Sabemos cómo producir estimaciones puntuales de α y β ¾Qué hacemos si quisiéramos evaluar la veracidad de una hipótesis como β = 0? (test de hipótesis) O si quisiéramos construir intervalos de conanza para los parámetros? (estimación por intervalos) Necesitamos asociar alguna medida de conanza a esa estimación puntual Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 25 / 43

28 Test de hipótesis Repaso Hipótesis: una armación acerca de una parámetro desconocido Ejemplo: H 0 : β = 0 Puede ser cierta o falsa Si pudiéramos observar β no hay problema ¾Y si no conocemos β? No sabemos realmente Pero... esperamos poder conocer algo acerca de si H 0 es cierta o falsa Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 26 / 43

29 Supongamos que estamos interesados en distinguir entre H 0 : β = 0 y H A : β 0, pero sin observar β. Podemos obtener ˆβ ˆβ es una variable aleatoria. Por qué? Puede tomar cualquier valor tanto bajo H 0 como bajo H A : no podemos resolver nuestro problema observando los valores que toma ˆβ Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 27 / 43

30 Supongamos que ˆβ es un buen estimador Si H 0 : β = 0 es cierta, entonces, aunque ˆβ pueda tomar cualquier valor, esperamos que tome valores cercanos a cero. Por qué? Con esta lógica, podemos sospechar que H 0 es falsa si ˆβ toma valores lejanos de cero: rechazamos H 0. Problema: cómo denimos qué valores están cerca y qué valores estan lejos del cero? Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 28 / 43

31 A nes de denir qué valores de ˆβ están cerca y qué valores están lejos del cero en el caso de que H 0 fuera cierta, necesitamos conocer la distribución de ˆβ (distribución de ˆβ bajo H 0 ) A partir de las propiedades de ˆβ bajo los supuestos clásicos, sabemos que si H 0 : β = 0 entonces E[ ˆβ] = 0. Por qué? También sabemos su varianza. Pero no tenemos información suciente para conocer toda la distribución de ˆβ bajo H 0 Dónde conseguimos esa información? Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 29 / 43

32 Nuevo supuesto: normalidad del término aleatorio µ i N(0, σ 2 ) Recordemos: cualquier función lineal de una variable normal es también normal Entonces Y i es normal. Por qué? Entonces ˆβ es normal. Por qué? Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 30 / 43

33 Entonces, con los supuestos clásicos más el supuesto de normalidad tenemos: ˆβ N(β, σ 2 / x 2 i ) De manera que cuando es cierta H 0 : β = 0, se cumple: y también: ˆβ N(0, σ 2 / x 2 i ) z ˆβ σ 2 / xi 2 N(0, 1) Cuando ˆβ es chico, z es chico Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 31 / 43

34 Distribución de ˆβ Repaso Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 32 / 43

35 Distribución de z (estandarización de ˆβ) Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 33 / 43

36 Regla: aceptamos H 0 si ˆβ es cercano al valor correspondiente a esa hipótesis Para denir cercano: sea 0 < c < 1 y z c un número tal que: Pr [ z c z z c ] = 1 c Entonces, si el valor z (estandarización de ˆβ) está entre los límites z c y z c, aceptamos H 0 Grácamente... Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 34 / 43

37 Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 35 / 43

38 La región de aceptación en términos de z está dada por: Pr [ z c z z c ] = 1 c Reemplazando z por su denición: Pr ( [ z c σ 2 / ) ( xi 2 ˆβ z c σ 2 / )] xi 2 = 1 c Entonces la región de aceptación de H 0 viene dada por los valores de ˆβ en el intervalo: ) 0 ± z c ( σ 2 / x 2 i Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 36 / 43

39 Aceptamos H 0 si ˆβ cae en ese intervalo. En caso contrario, rechazamos H 0 Notar: especicamos c de antemano c es la signicatividad del test: probabilidad de rechazar una H 0 cierta A partir de c, z c puede obtenerse a partir de una tabla de percentiles de la distribución normal estándar Luego las zonas de aceptación y rechazo se computan usando 0 ± z c ( σ 2 / ) xi 2 Problema: σ 2 no se observa! Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 37 / 43

40 Aceptamos H 0 si ˆβ cae en ese intervalo. En caso contrario, rechazamos H 0 Notar: especicamos c de antemano c es la signicatividad del test: probabilidad de rechazar una H 0 cierta A partir de c, z c puede obtenerse a partir de una tabla de percentiles de la distribución normal estándar Luego las zonas de aceptación y rechazo se computan usando 0 ± z c ( σ 2 / ) xi 2 Problema: σ 2 no se observa! Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 37 / 43

41 Estimación de σ 2 : S 2 = e 2 i n 2 Resultado: bajo todos los supuestos, si H 0 : β = 0 es cierta t ˆβ S 2 / xi 2 T n 2 Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 38 / 43

42 ˆβ t S 2 / xi 2 T n 2 t es z pero reemplazando σ 2 por S 2 T n 2 es la distribición T de Student con n 2 grados de libertad Ahora todo puede ser computado con los datos disponibles Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 39 / 43

43 Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 40 / 43

44 Hasta ahora vimos el caso particular: H 0 : β = 0 vs. H A : β 0 Caso general: H 0 : β = β 0 vs. H A : β β 0 Ejemplo: en Y i = α + βx i + µ i, si Y es el consumo y X el ingreso, y β 0 = 1, qué estamos evaluando? Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 41 / 43

45 Entonces, bajo todos los supuestos y cuando es cierta H 0 : β = β 0, se cumple: ˆβ N(β 0, σ 2 / x 2 i ) z ˆβ β 0 σ 2 / x 2 i N(0, 1) Y también: t ˆβ β 0 S 2 / x 2 i T n 2 Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 42 / 43

46 t ˆβ β 0 S 2 / x 2 i T n 2 En la práctica, reemplazamos β 0 por cualquier valor que nos interese En general, el estadístico t es la versión estimada de H 0, dividida por la raíz cuadrada de la varianza estimada Mariana Marchionni MCO bajo los supuestos clásicos 43 / 43

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