y i 0 1 x i 2 2 y i media 2 Varianza 2 i 1 Para calcular el los valores que maximizan L derivamos e igualamos a cero 2 y i 0 1 x i 0 # i 1

Transcripción

1 Demostracioes de Regresió Simple. Estimació La distribució de y es y i N 0 x i, Estimació Máximo Verosímil La fució de verosimilitud, sabiedo que y i es ua variable ormal será L exp y i 0 x i ya que la desidad de y es: fy i exp Tomado logaritmos y i media Variaza logl log /log / y i 0 x i Para calcular el los valores que maximiza L derivamos e igualamos a cero logl 0 y i 0 x i 0 logl x i y i 0 x i 0 Resolviedo estas ecuacioes se obtiee los valores de 0 y Estimació por míimos cuadrados El error de predicció que cometemos co ua observació será el valor observado meos el previsto La suma de errores al cuadrado. e i y i y i y i 0 x i S Miimizamos la suma de errores al cuadrado: S mi e i y i 0 x e i miy i 0 x

2 S 0 S y i 0 x 0 x i y i 0 x 0 Estas ecuacioes coicide co las de máxima verosimilitud y se deomia Ecuacioes Normales. Se puede expresar e fució de los residuos como: e i 0 e i x i 0 Los valores de los parámetros so: covx,y varx y i yx i x x i x 0 y x Para estimar la variaza se utiliza la variaza residual. La variaza residual es la variaza de los residuos corregida por grados de libertad. Como los residuos tiee media cero (por la primera ecuació ormal), la variaza residual será:: s R e i Distribució de Como hemos visto y i yx i x y i x i x x i x x i x Siempre se cumple que la suma de desviacioes a la media de cualquier variable es cero: Laexpresiódelavariazadex es: x i x 0 x i x x i x x x 0 s x x i x Por tato se puede escribir como: x i x s x y i

3 Sabemos que y i N 0 x i, y por tato Ey i 0 x i y vary i es por tato combiació lieal de variables aleatorias ormales, por lo se distribuirá ormalmete. Su media será: E E x i x s x x i x y i x i x Ey i s x s x 0 x i x i x s x 0 x i x x i s x El primer térmio es cero por ser suma de desviacioes a la media El umerador del segudo térmio de la expresió aterior puede escribirse como: Y el deomiador: x i xx i x i x s x x i x x i x xx i Por tato x i x x x i x E Vamos a calcular la variaza de Por tato var x i x s x vary i x i x s x x i x x i x x i x s x N, s x Además (No lo demostramos) s R

4 Cotrastes e itervalos Hemos demostrado que por tato N, s x / s x N0, La defiició de ua t de k grados de libertad es: t k N0, k k t / s x s R s R / s x Al térmio s R / s x SE se le deomia error estádar de. Es el valor del error estádar que proporcioa el ordeador. El cotraste t va a testear la posibilidad de que 0. Es decir que el valor de verdad de la població sea realmete cero. Si esto fuera cierto la variable X o ifluiría sobre la variable Y. H 0 : 0 H : 0 Habíamos demostrado que SE t Si se cumple la hipótesis ula de que 0 resultará que 0 SE SE t Por tato si se cumple H 0 el valor de SE deberá ser de ua t. Esta distribució si 30 deja etre ; el 95% de probabilidad. Por tato si obteeemos u úmero e ese rago es posible que efectivamete 0. Si por el cotrario el úmero es mayor que e valor absoluto pesaremos que 0 y, cosecuetemete, diremos que la varible ifluye.

5 Este es el fudameto teórico del cotraste t que proporcioa el ordeador. Itervalo de cofiaza Como sabemos que SE t podemos establecer Pt / SE t / P t / SE t / SE Por tato t / SE co cofiaza -. Si trabajamos co 0.05 y 30, el itervalo se covierte e SE Coeficiete de determiació Descomposició de variabilidad restado y y elevado al cuadrado: sumado para todas las observacioes y i y i e i y i y y i y e i y i ye i y i y y i y e i y y i ye i El último térmio es cero, recordado que las ecuacioes ormales idicaba que e i 0y x i e i 0 Por tato y i ye i y i e i ye i 0 x i e i ye i 0 e i x i e i y e i 0

6 y i y VT VE VNE VT y i y VE y i y VNE y i y e i y e i y Dode VT es la variació total VE es lavariació explciada y VNE es la variació o explicada. El coeficiete de determiació, R, proporcioa la catidad de variabilidad de y que explica la x. Sedefie R VE y i y VT y i y y i y s y