03) Rapidez de Cambio. 0302) Rapidez de Cambio

Transcripción

1 Página 3) Rapidez de Cambio 3) Rapidez de Cambio Desarrollado por el Profesor Rodrigo Vergara Rojas Ocubre 7 Ocubre 7

2 Página A) Rapidez media de cambio Considere una canidad física (), como la mosrada en la figura a. Se define el cambio de la función enre los insanes y + como: ( + ) ( ) Se define la rapidez media de cambio de enre los insanes y + como: ( + ) ( ) () ( + ) ( ) () + (a) (b) Si dim(), enonces dim( ) T - Al respeco, podemos analizar los siguienes casos: ( ) ( + ) Rapidez de cambio posiia: (+) > () > > (er figura a) Rapidez de cambio cero o nula: (+) () (er figura b) Rapidez de cambio negaia: (+) < () < < (er figura c) () ( ) ( + ) + (c) + igura ) Concepo de rapidez de cambio. a) posiia; b) nula; c) negaia Ocubre 7

3 Página 3 Consideremos la función () mosrada en la figura. La rapidez media de cambio de la función enre y esa dada por: ( ) ( ) ( ) ( ) () Esa expresion corresponde a la pendiene de la reca secane al gráfico que pasa por los punos indicados. Reca Secane al gráfico en los punos indicados Nº de habianes (a Eolución del Nº de Habianes igura ) Definición de rapidez media de cambio Año Rapidez media de cambio (b Ineralos de años igura 3) (a) Variación del número de habianes; (b) Rapidez media de cambio del número de habianes Ocubre 7

4 Página 4 B) Concepo de Área Bajo la Cura Considere la siguiene abla, correspondiene al número de habianes de un pueblo rural en diferenes años. Año N hab [hab] Ineralo Año N hab N hab / Año A parir de esos gráficos se pueden obener los gráficos de la ariación de la canidad física número de habianes en función del iempo (figura 3a) y la rapidez media de cambio del número de habianes en función del iempo (figura 3b) Concenrémonos en el gráfico de la figura 3b. Calculando el área bajo la cura enre 9 y 93. A 4 año año año año [ ] + 5 [ año] + 4 [ año] 3[ hab] De la abla, se puede obserar el cambio del número de habianes enre 9 y 93 corresponde a un aumeno en 3 [hab] Calculando el área bajo la cura enre 94 y 97. A - año año año [ año] - 3 [ año] 7 [ año] [ hab] De la abla, se puede obserar el cambio del número de habianes enre 94 y 97 corresponde a una disminución en [hab] Así se puede obserar que exise una relación enre el área bajo la cura del gráfico de rapidez media de cambio enre dos insanes con la ariación de la canidad física en ales insanes. α s A Tomando como referencia la figura 4, emos que el área bajo la cura achurada esá dada por: [ s] igura 4) Definición de área bajo la cura. Ocubre 7

5 Página 5 A ( ) Por ora pare, de la definición de rapidez media de cambio ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), lo que indica que el área bajo la cura de la rapidez media de cambio de una canidad física enre y es igual al cambio o ariación de enre ales insanes. A parir de la idea de área bajo la cura se definirá poseriormene (Maemáica II) el concepo de inegral. Así, por lógica se deduce que A ( ) ( ) C) Rapidez insanánea de cambio Son dos concepos diferenes, aunque ínimamene relacionados: La rapidez media de cambio ( ) indica la ariación promedio de la función enre dos insanes de iempo. La rapidez (insanánea) de cambio () es la pendiene de la función en un insane de iempo (er figura 5). () () A medida que se achica el ineralo de iempo enre el par de mediciones (o sea, cuando ), la rapidez media iende a la rapidez insanánea. Ello implica que la reca secane a la función en dos punos se ransforma en la reca angene a la función en un puno. En érminos maemáicos, eso se expresa a parir del concepo de límie (maeria que erán poseriormene en Maemáica I) de la siguiene manera. Reca angene al gráfico en el puno indicado igura 5) Definición de rapidez insanánea de cambio lim lim ( + ) ( ) Eso corresponde ni más ni menos que a la definición de la deriada de una función (maeria que ambién erán poseriormene en Maemáica I) Análisis de gráficos de rapidez media e insanánea ' ( ) Ocubre 7

6 Página 6 Considere el gráfico de la figura 6a, que represena la ariación en el iempo de una canidad física G. Supongamos que G() 4. Ese gráfico puede ser de rapidez media de cambio o de rapidez insanánea de cambio. Supongamos que el gráfico de la figura 6a fuera de rapidez media de cambio. En ese caso, cada uno de los alores represenaría la rapidez media de cambio en un ineralo específico. Por ejemplo, el alor G represena la rapidez media de s cambio de G enre los insanes y. A parir del dao de G() y usando la idea de area bajo la cura se pueden obener los alores de G en los insanes, 4, 6, 8 y [s]: s 4 8 α + s s 8 α α 3 s s α 8 6 α 3 s s -4 α 8-4 α + 4 s s 4 α ( ) G( ) + G ( ) 4[ α ] + [ s] 8[ α ] G ( 4) G( ) + G ( ) [ ] [ ] [ ] G 4 ( 6) G( 4) + G ( ) [ ] [ ] [ ] G 4 6 ( 8) G( 6) + G ( ) [ ] [ ] [ ] G 6 8 ( ) G( 8) + G ( ) [ ] [ ] [ ] G 8 Con esos daos, obenemos el gráfico de la figura 6b, en donde solamene aparecen los punos hallados. A parir de un gráfico de rapidez media de cambio y alor de la función en solamene se pueden obener algunos alores de G los insanes de iempo indicados, pero no se puede saber lo que sucede enre ellos, es decir, no se puede inerpolar (lo que equialdría a razar una línea que cruce los punos Supongamos que el gráfico de la figura 6a fuera de rapidez insanánea de cambio. En al caso, al gráfico represenaría la pendiene de la función G en cada puno. Exise la posibilidad de inerpolar y obener áreas bajo la cura enre cualquier par de punos en el ineralo considerado, lo que gráficamene equiale a razar la reca que une a los punos enconrados. Se obienen los alores para G en los insanes,, 4, 6, 8 y [s] de la misma manera que en el caso anerior, pero ahora se raza una reca (inerpolación) enre cada para de punos coniguos, obeniéndose el gráfico de la figura 6c ( )[ ] G α G s a) [ s] G[ α ] b) [ s] G[ α ] c) [ s] igura 6) Análisis gráfico. a) unción de ariación emporal de G; b) G() si gráfico a) fuera de rapidez media de cambio; c) G() si gráfico a) fuera de rapidez insanánea de cambio Ocubre 7

7 Página 7 D) Aceleración de cambio. Aceleración media de cambio Hace algunos años, un grupo de profesores hizo un our auomoilísico por el inerior de la casa cenral de la USM, siguiendo la rua indicada pr el mapa de la figura 5a. Durane ese rayeco, se midió lo que marcaba el elocímero en deerminados insanes. A parir de esas mediciones se obuo el gráfico de la figura 5b. El elocímero indica la rapidez insanánea de cambio de posición del ehículo en cualquier insane de iempo. A esa función se le pueden pracicar los mismos análisis que se le aplican a cualquier ora, incluido el cálculo de rapidez media y rapidez insanánea de cambio. (a) (b) Considere una canidad física (), la cual iene asociada una función de rapidez insanánea de cambio (). Se define la igura 5) a) Mapa del recorrido del ehículo denro de la USM; aceleración media de cambio b) gráfico de elocidad del ehículo /s iempo de enre los insanes y + como la rapidez media de cambio de enre los insanes ciados ( + ) ( ) Si dim(), enonces dim( ) T - Por ejemplo, enre los insanes 5[s] y [s] deerminamos del gráfico que la rapidez aumenó de [km/h] a 5 [km/h]. La rapidez media de cambio de la elocidad del auomóil (rapidez insanánea) o aceleración media de cambio de la posición del auomóil esá dada por: Ocubre 7

8 ( ) ( ) ( )[ Km 5 5 ] Página 8 Km Km seg h ( )[ ] h 3 h,8 m 5 seg 5 seg seg Análogamene, la aceleración insanánea de cambio es el límie de la aceleración media de cambio cuando ( + ) ( ) a lim lim ' ( ) ' ' ( ) Eso corresponde a la primera deriada de la función de rapidez insanánea, y a la segunda deriada de la función (maeria que erán poseriormene en Maemáica I) E) Calculo Algebraico de Rapidez Media e Insanánea de Cambio. A coninuación eremos el procedimieno general para calcular la rapidez media de cambio y la rapidez insanánea de cambio de cualquier función para el ineralo enre y + El problema general es el siguiene: sea una canidad física, cuya ariación en el iempo es represenada por la función (). Calcular una expresión para la rapidez media de cambio ( ) y la rapidez insanánea de cambio () de enre los insanes y +. ( + ) ( ) + lim lim donde (): Valor de en el insane (+): Valor de en el insane +. (+)- (): Cambio de enre los insane y +. ( ) ( ) Noa: debido a que muchos no han iso el concepo de límie en Maemáica I, lo que se hará es analizar para el caso (que, en el fondo, es lo mismo). Para explicar el procedimieno, consideremos el siguiene ejemplo: Suponga que el radio de la de la figura 6 aumena con el iempo de acuerdo con la función ' ( ) ( ) R + a R, con a >. Calcule la rapidez media de cambio de la superficie. igura 6) Esfera del ejemplo de cálculo de rapidez de cambio Ocubre 7

9 Página 9 Considere ambién el caso de pequeños ineralos de iempo. Paso ) Lea bien el problema Esos problemas se caracerizan por su alo conenido de geomería. Clae: al menos una de las ariables es dependiene del iempo Paso ) Idenificar la geomería implícia en el problema En ese caso, la resolución del problema requiere conocer la expresión correspondiene al área de una, la cual depende del radio R. A 4πR Paso 3) Idenificar la(s) ariable(s) dependiene(s) del iempo. En ese caso, el radio de la es dependiene del iempo, y como a > por enunciado, el radio crece con el iempo. ( ) R + a R Paso 4) Obener expresión para la función a la cual se le a a calcular la rapidez media de cambio. En el ejemplo, la ariación del radio de la en función del iempo rae como consecuencia la ariación de la superficie de la. ( ) 4π ( R a ) A + Paso 5) Calcular la rapidez media de cambio de la función. Una ez aplicada la definición de rapidez media de cambio a la función obenida en el paso 4, se hacen las simplificaciones algebraicas correspondienes para llegar a una expresión lo más simple y compaca posible. A 4π A () A ( + ) A ( ) [ R a + a + a ] 4π [ R a + a + a ] 4π [( R + a( + )) ( R + a ) ] Paso 6) Calcular la rapidez insanánea de cambio de la función. Ocubre 7

10 Página Si en el problema se pide calcular la rapidez media de cambio para ineralos de iempo muy pequeños, se esá pidiendo el caso, que corresponde al cálculo de la rapidez insanánea de cambio. Para ello, hay que despreciar odos los érminos que conengan () n, n,,3,4,...así: ( ) 4π [ R a + a ] 8πa[ R a] () lim A + A El alor resulane debe ser el mismo que se debería obener al deriar la función original (de hecho, ese proceso no es ni más ni menos que la aplicación del concepo de deriada) ( ) 4 π a ( R + a ) 8 a ( R a ) () A ' π A + Ocubre 7