V E C T O R E S L I B R E S E N E L P L A N O

Transcripción

1 V E C T O R E S L I B R E S E N E L P L A N O 1. V E C T O R E S F I J O S Y V E C T O R E S L I B R E S E N E L P L A N O Existen magnitudes como la fuerza, la velocidad, la aceleración, que no quedan completamente determinadas mediante valores numéricos sino que se necesita también conocer la dirección y el sentido con el que se manifiestan. Estas magnitudes se denominan vectoriales y se representan mediante vectores. Un vector fijo AB es un segmento orientado que queda determinado por dos puntos, origen A y extremo B. Módulo del vector: Es la longitud del segmento AB. Se designa poniendo el vector entre barras AB AB Dirección del vector: Es la dirección de la recta sobre la que está situada el vector y la de todas sus paralelas. Sentido del vector: El que indica la flecha, es decir, del origen al extremo. El vector que va del extremo al origen BA, es el contrario de AB y cumple que BA AB Dos vectores en el plano se dice que son equipolentes si tienen el mismo módulo, dirección y sentido. El conjunto de todos los vectores equipolentes del plano forman el que se denomina una clase de equivalencia que están representados por un único vector que se denomina vector libre. Los vectores también se pueden representar por letras, u, v, w, 2. O P E R A C I O N E S C O N V E C T O R E S Suma y resta de vectores: La suma y la resta de dos vectores en el plano es otro vector. Para sumar dos vectores libres u y v se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector. Matemáticas I Tema 7. Vectores - 1

2 Para restar dos vectores libres u y v se le suma a u el opuesto de v. Es decir: u v = u+( v) También se puede utilizar la regla del paralelogramo: Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuyas diagonales coinciden con la suma y resta de los vectores. Propiedades: 1. Asociativa: u+( v+ w )=( u+ v)+ w 3. Elemento neutro: u+ 0= u 2. Conmutativa: u+ v = v + u 4. Elemento contrario: u+( u)= 0 Producto de un vector por un número real (escalar): El producto de un vector u por un escalar k, es otro vector k u que cumple: Su módulo es k veces el de u. Su dirección es la misma que la de u. Su sentido es el de u si k>0, y contrario si k<0. Propiedades: 1) a ( u+ v )=a u+ a v 2) (a+b ) u=a u+ b u 3) a (b u)=(a b) u 4) 1 u= u Combinación lineal de vectores: Dados los vectores u r y v r, se llama combinación lineal de u r y v r al vector a u+b v, donde a y b son dos números reales. Se dice que un vector w r es combinación lineal de u r y v r si existen números reales a y b de tal manera que w=a u+b v. Gráficamente, para expresar el vector w r procederemos así: como combinación lineal de u r y v r Matemáticas I Tema 7. Vectores - 2

3 1. Tomamos vectores equipolentes a u r, v r y w r con el mismo origen. 2. Trazamos las rectas que pasan por u r y v r. 3. Desde el extremo de w r trazamos paralelas a u r y v r. La intersección de estas rectas determina a u y b v. En este caso a =3 y b =2. 3. C O O R D E N A D A S D E U N V E C T O R Un conjunto de vectores se dice que son linealmente dependientes si alguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás. En caso contrario se dice que son linealmente independientes. Observaciones: Dos vectores u y v con la misma dirección son linealmente dependientes ya que u=a v. Si u y v tienen distinta dirección son linealmente independientes, ya que uno de ellos no se puede expresar como combinación lineal del otro. Por lo tanto, dados dos vectores linealmente independientes u y v, cualquier otro vector w se pode poner como combinación lineal de ellos: w=a u+b v y además los números a y b son únicos. Dos vectores u y v se dice que forman una base del plano si son linealmente independientes y cualquier vector se puede poner en combinación lineal de ellos. Se representa por B={ u, v }. Como por definición de base cualquier otro vector w se puede poner como combinación lineal de la base B={ u, v } w=a u+b v. Los números (a, b) se denominan coordenadas de w con respecto a la base B. Sistemas de referencia en el plano: Un sistema de referencia en el plano, R={ O, u, v }, está formado por un punto fijo y una base B={ u, v }. Mediante un sistema de referencia, a cada punto del plano P, se le asocia un vector OP, donde las coordenadas del punto P son las coordenadas del vector OP respecto de la base B={ u, v }. Matemáticas I Tema 7. Vectores - 3

4 Tomaremos como sistema de referencia el sistema de referencia denominado canónico o cartesiano R={ O, i, j }, donde O=(0,0), i =( 1,0) y j=(0,1), que son el origen de coordenadas y las direcciones de los ejes de nuestro sistema cartesiano de coordenadas. Además en este sistema de referencia las coordenadas del punto P siempre coinciden con las coordenadas del vector OP. Coordenadas de un vector en el plano: En el sistema de coordenadas canónico, las coordenadas de un vector dado por dos puntos A y B, AB, son las coordenadas del punto extremo menos las del punto origen. Sean A=(a 1,a 2 ) y B=(b 1,b 2 ). Las coordenadas del vector AB son: AB=B A=(b 1,b 2 ) ( a 1,a 2 )=(b 1 a 1,b 2 a 2 ) Por ejemplo, si A=(1,2) y B=( 4,3), entonces: AB=B A=(4,3) ( 1,2)=( 3,1) Observa que las coordenadas del vector AB coinciden con las coordenadas del extremo del vector OP. r El módulo de un vector v v 1, v ) ( 2 2 viene dado por la expresión v v 2 1 v r 2 Operaciones con coordenadas: Ejemplos: Dados u=( 3, 2 ) y v=( 5,1) calcula: a) u+ v =(3, 2)+( 5,1)=( 2, 1) b) u v =(3, 2) ( 5,1)=( 8, 3) c) 2 u=2 (3, 2)=(6, 4) d) 3 v= 3 ( 5,1)=(15, 3) 4. P R O D U C T O E S C A L A R D E V E C T O R E S Se define el producto escalar de dos vectores u y v no nulos, que escribiremos u v, como el número real que viene dado por la expresión: u v= u v cos^( u, v) Matemáticas I Tema 7. Vectores - 4

5 Propiedades: 1. u u= u k ( u v )=(k u ) v= u (k v ) 2. u v = v u 4. u ( v + w )= u v + u w Ejemplo: Dados los vectores u=( 1,0) y v=( 2,2), calcular su producto escalar: u = =1 v = = 8=2 2 ^( u, v )=45 º Entonces: u v=1 2 2 cos45º= =2 Interpretación geométrica: Se define el segmento OP del dibujo como la proyección ortogonal de v sobre u. Sabemos que cosα= OP v OP= v cos α Sustituyendo en la definición tenemos que: u v = u OP Entonces el producto escalar de dos vectores se interpreta como el producto del módulo de uno de ellos por la proyección ortogonal del otro sobre él. Expresión analítica del producto escalar: Tomemos el sistema de referencia canónico R={ O, i, j }, donde O=(0,0), i =(1,0 ) y j=(0,1). Observa que: i =1, j =1 ^( i, i )= 0º,^( i, j)= 90º,^( j, i )= 90º,^( j, j)= 0º Por tanto tenemos los productos escalares: i i =1, i j=0, j j=1, j i =0 Sean u=(u 1 ) y v=( v 1, v 2 ) dos vectores que en la base del sistema de referencia se expresarían: u=u 1 i +u 2 j y v=v 1 i +v 2 j. Entonces: u v=(u 1 i +u 2 j ) (v 1 i +v 2 j )=u 1 v 1 i i +u 1 v 2 i j+u 2 v 1 j i +u 2 v 2 j j= u 1 v 1 +u 2 v 2 Matemáticas I Tema 7. Vectores - 5

6 Ejemplos: 1) Si u=( 1,0) y v=( 2,2), entonces u v= =2 2) Si u=( 2, 3) y v=( 2, 2), entonces u v=2 ( 2)+( 3) ( 2)=2 Ángulo que forman dos vectores: De la definición de producto escalar obtenemos la fórmula que permite calcular el ángulo que forman dos vectores: cos(^ u, v)= u v u v Ejemplo: Dados los vectores u=( 3,2) y v r ( 1,5), calcular el ángulo que forman: cos(^ u, v) = = = (^ u, v)=67º 37' 11,51' ' 5. B A S E O R T O G O N A L Y O R T O N O R M A L Dos vectores u y v se dice que son ortogonales si sus direcciones son perpendiculares, es decir, forman un ángulo de 90º. En este caso, ^( u, v)= 90º cos^( u, v)=0, por lo tanto u v= u v cos^( u, v)= u v 0=0 Entonces, dos vectores u y v son ortogonales u v=0 Esta condición nos va a permitir, dado un vector u, construir un vector ortogonal a él, ya que si u=(u 1 ), los vectores de coordenadas ( u 2,u 1 ) y (u 2, u 1 ), y cualquier proporcional a ellos serán ortogonales a u. (u 1, u 2 ) ( u 2,u 1 )=u 1 ( u 2 )+u 2 u 1 =0 (u 1 ) (u 2, u 1 )=u 1 u 2 +u 2 ( u 1 )=0 Un vector u se dice que es unitario si es de módulo 1, es decir: u =1 Los vectores i =( 1,0) y j=( 0,1) son unitarios. Decimos que dos vectores u y v son ortonormales si son ortogonales y de módulo uno. Si dos vectores u y v son ortogonales también lo serán los vectores unitarios construidos a partir de ellos, esto es conservando su dirección y sentido. Matemáticas I Tema 7. Vectores - 6

7 Veamos cómo construir estos vectores unitarios: Sea u=(u 1 ) un vector de módulo u y consideremos el vector v= u u ( = u 1 u, u 2 u ) construido a partir de él. Este vector tiene el mismo módulo y sentido que u : v = ( u 2 1 u ) +( u 2 2 u ) = 1 u 2(u 2+u 1 2 ) 2 = 1 u u 2+u 2= u 1 2 u =1 Por lo tanto v= u u es unitario. De esta forma, si u=(u 1 ) y v=( v 1, v 2 ) son ortogonales, los vectores ( u 1 u, u 2 ( v 1 v, v 2 construidos a partir de ellos son ortonormales. v ) Ejemplo: Dados los vectores u=(2,3) y v=( 6,4 ) : a) Comprobar que son ortogonales. b) Construir un par de vectores ortonormales a partir de ellos. a) u v=(2,3) ( 6,4)=2 ( 6)+ 3 4= 12+12=0 Son ortogonales. u ) y b) u=(2,3 ) u = = 13 ( 2 13, 3 13) v=( 6,4) u = ( 6) = 52 ( 6 52, 4 52) E J E R C I C I O S 1. Dados los vectores u ( 2,3) y v( 5, 2), calcula sus módulos e indica gráfica y analíticamente: a) El vector suma: u+ v. b) El vector diferencia: u v. c) Los vectores 5 u y 2 u. Qué puedes decir de su módulo, dirección y sentido con respecto al de u? 2. Calcula el vector w tal que w = 3 u 1 2 v, siendo u ( 1,3 ) y v (7, 2). Matemáticas I Tema 7. Vectores - 7

8 3. Expresa el vector w ( 2, 3) como combinación lineal de u ( 0, 1) y v ( 1,0 ). 4. Calcular m y n para que se verifique: w=m u+n v, siendo u ( 1, 3), v r (5,2) w (2, 4). y 5. Dado el punto P(2,2) del plano da sus coordenadas en el sistema de referencia R={O, x, y }, donde O(-1,2), x( 2,1) e y( 1,1 ). Qué puedes decir de las coordenadas de P en el sistema de referencia canónico? 6. Dado el punto P(-1,2) del plano da sus coordenadas en el sistema de referencia R={O, x, y }, donde O(3,-2), x( 1,2) e y(2,4 ). 7. Dados los vectores u (2, 3) y v(5,4), calcula: a) El producto escalar: u v. b) Los módulos: u y v. c) El ángulo que forman u y v. d) Cuánto tiene que valer x para que w (x,1) sea ortogonal a u? 8. Dado el vector u (4,3 ), obtener las coordenadas de los vectores: a) Unitarios y de la misma dirección que u. b) Ortogonales a u y de igual módulo. c) Ortonormales a u. 9. Haz lo mismo que en el ejercicio anterior para el vector v(6,2). 10.Dados los vectores u (1,n ) y v (3, 2), calcula n para que: a) u y v formen un ángulo de 90º. b) u y v tengan el mismo módulo. 11.Calcular x para que el producto escalar de u (3, 5) y v ( x,2 ) sea igual a Dado el vector u ( 5, k), calcula k para que: a) u sea ortogonal a v (4, 2 ). b) El modulo de u sea igual a Siendo u ( 5, b) y v( a,2), calcula a y b, sabiendo que son ortogonales y que v = Calcula x para que u (3,x ) y v (5,2) formen un ángulo de 60º. 15.Dados los vectores u ( 5,2) y v ( 4, 3 ), calcula la proyección de u sobre v y de v sobre u. Matemáticas I Tema 7. Vectores - 8