Clase 3: Teoría Macroeconómica II

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1 Clase 3: Teoría Macroeconómica II Carlos Rojas Quiroz UNI 17 de abril del 2017 Carlos Rojas Quiroz (UNI) Clase 3 17 de abril del / 30

2 Contenido 1 Equilibrio Comportamiento del consumo Comportamiento del capital Comportamiento del consumo y del capital Ejercicios Solución centralizada Carlos Rojas Quiroz (UNI) Clase 3 17 de abril del / 30

3 Debilidad del modelo de Solow: tasa de ahorro exógena y constante. -Cass-Koopmans lidia con ello: 1 Proceso de optimización del individuo. Ahorro es endógeno. 2 Bienestar del consumidor. Pero modelo de Ramsey sigue considerando tasas de crecimiento exógenas para el trabajo y la tecnología. Carlos Rojas Quiroz (UNI) Clase 3 17 de abril del / 30

4 Las empresas Número elevado de empresas idénticas, con una función de producción del siguiente tipo: Y = F (K, AL) (1) Contratan trabajadores y alquilan capital en mercados perfectamente competitivos y venden su producción en un mercado de bienes también competitivo. Para las empresas, A es un dato. Se asume A(0) = 1 y L(0) = 1. A = A(0) exp gt (2) L = L(0) exp nt (3) Maximizan beneficios que son distribuidos entre sus propietarios. Carlos Rojas Quiroz (UNI) Clase 3 17 de abril del / 30

5 El problema de maximización es el siguiente: Que puede reescribirse así: máx π = F (K, AL) (r + δ)k wl (4) máx π = [ ] f(ˆk) (r + δ)ˆk w/a AL (5) Obteniendo las Condiciones de Primer Orden (CPO): π k = f (ˆk) (r + δ) = 0 (6) π [ ] L = f(ˆk) f (ˆk)ˆk exp gt w = 0 (7) Carlos Rojas Quiroz (UNI) Clase 3 17 de abril del / 30

6 Los hogares U = 0 u[c(t)] exp (ρ n)t dt (8) Donde c(t) = C(t) L(t). Asimismo, se cumple que: u (c) > 0 y u (c) < 0, además de las condiciones de Inada: lím c u (c) = 0 (9) Asimismo: lím c 0 u (c) = (10) ρ > n (11) Carlos Rojas Quiroz (UNI) Clase 3 17 de abril del / 30

7 Restricción presupuestaria del hogar: Activos = d(activos) = r Activos + wl C (12) dt En términos de unidad por trabajor: d(activos/l) dt ȧ = = (Activos) L Activos L L L (13) r Activos + wl C an L (14) ȧ = (r n)a + w c (15) Carlos Rojas Quiroz (UNI) Clase 3 17 de abril del / 30

8 Asimismo, se asume una condición de transversalidad: { [ t ]} a(t) exp [r(ν) n] dν 0 (16) lím t En el largo plazo, la deuda del hogar por persona (el negativo de a(t)) no puede crecer más rápido que r(t) n. El nivel de deuda no puede crecer más que r(t). 0 Carlos Rojas Quiroz (UNI) Clase 3 17 de abril del / 30

9 Se expresa el Hamiltoniano en valor presente: H = {u[c(t)] + λ(t) [(r(t) n)a(t) + w(t) c(t)]} exp (ρ n)t (17) Donde las CPO s son: H c = 0 λ = u (c) (18) [ H λ(t) exp (ρ n)t ] a = d dt ( λ (ρ n)λ) = (r n)λ (19) La condición de transversalidad: { λ(t) a(t) exp (ρ n)t} = 0 (20) lím t Carlos Rojas Quiroz (UNI) Clase 3 17 de abril del / 30

10 Derivando respecto al tiempo la ecuación 18: λ = u (c)ċ (21) Reemplazando la ecuación 21 en la ecuación 19 se llega a la Ecuación de Euler: ċ c = u (c) u (r ρ) (22) (c)c Carlos Rojas Quiroz (UNI) Clase 3 17 de abril del / 30

11 Utilizando una forma funcional específica para la utilidad: u(c) = c1 σ 1 1 σ (23) Función de utilidad con aversión al riesgo relativo constante (CRRA). Entonces la ecuación de Euler es: ċ c = 1 (r ρ) (24) σ Carlos Rojas Quiroz (UNI) Clase 3 17 de abril del / 30

12 Equilibrio Equilibrio Dos ecuaciones resumen el modelo: Euler y dinámica del capital. Pero ambos deben estar en términos per cápita efectivos. Dado que la economía es cerrada, todas las deudas deben cancelarse. Por tanto, los activos per cápita, a(t) deben ser iguales al capital per cápita, k(t). a = k pero en términos per cápita efectivo ˆk = k exp gt. Ello implica que ˆk = k exp gt g k exp gt. Usando la restricción presupuestaria y lo ya antes expuesto se llega a la ecuación de evolución del capital per cápita eficiente: ˆk = f(ˆk) ĉ (n + δ + g)ˆk (25) Carlos Rojas Quiroz (UNI) Clase 3 17 de abril del / 30

13 Equilibrio Equilibrio En el caso de Euler es sencillo. Asumiendo que ĉ = c exp gt, entonces se sabe que ĉ = ċ exp gt g c exp gt. Usando esta definición se llega a: O usando la CPO de la ecuación 6 se tiene: ĉ ĉ = 1 (r ρ σg) (26) σ ĉ ĉ = 1 σ (f (ˆk) δ ρ σg) (27) Carlos Rojas Quiroz (UNI) Clase 3 17 de abril del / 30

14 Comportamiento del consumo Comportamiento del consumo En Estado Estacionario: Lo que implica que: ĉ ĉ = 0 = 1 σ (f (ˆk) δ ρ σg) (28) ˆk = ˆk (δ + ρ + σg) (29) Carlos Rojas Quiroz (UNI) Clase 3 17 de abril del / 30

15 Comportamiento del consumo Comportamiento del consumo ĉ ĉ = 0 ( ĉ > 0) ( ĉ < 0) ˆk ˆk Carlos Rojas Quiroz (UNI) Clase 3 17 de abril del / 30

16 Comportamiento del capital Comportamiento del capital En Estado Estacionario: ˆk = 0 = f(ˆk) ĉ (n + δ + g)ˆk (30) Lo que implica que: ĉ = f(ˆk ) (n + δ + g)ˆk (31) Carlos Rojas Quiroz (UNI) Clase 3 17 de abril del / 30

17 Comportamiento del capital Comportamiento del capital ĉ ( ˆk < 0) ˆk = 0 ( ˆk > 0) ˆk Carlos Rojas Quiroz (UNI) Clase 3 17 de abril del / 30

18 Comportamiento del consumo y del capital Comportamiento del consumo y del capital ĉ ĉ = 0 E ˆk = 0 ˆk ˆk Carlos Rojas Quiroz (UNI) Clase 3 17 de abril del / 30

19 Comportamiento del consumo y del capital Comportamiento del consumo y del capital ĉ ĉ = 0 E ˆk = 0 ˆk ˆk Carlos Rojas Quiroz (UNI) Clase 3 17 de abril del / 30

20 Comportamiento del consumo y del capital Comportamiento del consumo y del capital ĉ ĉ = 0 E ˆk = 0 ˆk ˆk Carlos Rojas Quiroz (UNI) Clase 3 17 de abril del / 30

21 Ejercicios Cambio en la tasa de descuento, ρ ĉ ĉ 1 = 0 ĉ 2 = 0 E 1 E 2 ˆk = 0 ˆk ˆk 1 ˆk 2 Carlos Rojas Quiroz (UNI) Clase 3 17 de abril del / 30

22 Ejercicios Introduciendo al Gobierno Gasto público total P. En términos per cápita es p. Se financia con impuestos de suma alzada, τ. Presupuesto balanceado, p = τ. Con ello la restricción de los hogares es: ȧ = (r n)a + w c τ (32) Carlos Rojas Quiroz (UNI) Clase 3 17 de abril del / 30

23 Ejercicios Introduciendo al Gobierno El equilibrio en esta economía (recuerde, en términos per cápita eficientes) es: ĉ ĉ = 1 σ (f (ˆk) δ ρ σg) (33) ˆk = f(ˆk) ĉ (n + δ + g)ˆk ˆp (34) Carlos Rojas Quiroz (UNI) Clase 3 17 de abril del / 30

24 Ejercicios Cambio permanente en el gasto público, ˆp ĉ ĉ = 0 E 1 ˆk 1 = 0 E 2 ˆk 2 = 0 ˆk ˆk Carlos Rojas Quiroz (UNI) Clase 3 17 de abril del / 30

25 Ejercicios Introduciendo al Gobierno Ahora se incorpora un impuesto distorsivo sobre los ingresos, θ. La restricción presupuestaria per cápita de los hogares es: ȧ = (w + ra)(1 θ) na c + ϱ (35) Donde ϱ es una transferencia per cápita de suma alzada. El equilibrio en términos de unidades de trabajo efectivo: ĉ ĉ = 1 σ (f (ˆk)(1 θ) δ ρ σg) (36) ˆk = f(ˆk) ĉ (n + δ + g)ˆk ˆp (37) Carlos Rojas Quiroz (UNI) Clase 3 17 de abril del / 30

26 Ejercicios Introduciendo al Gobierno Note que la única ecuación que varía es la 36. En Estado Estacionario ello implica que: ( ) ( ) δ + ρ + σg δ + ρ + σg ˆk = k = f 1 (38) 1 θ 1 θ Cuando θ > 0 entonces ˆk. Se requiere un capital con mayor productividad marginal. Para lograr esa productividad, se debe disminuir ˆk. Carlos Rojas Quiroz (UNI) Clase 3 17 de abril del / 30

27 Ejercicios Cambio permanente en el impuesto distorsivo, θ ĉ ĉ 2 = 0 ĉ 1 = 0 E 1 ˆk = 0 E 2 ˆk ˆk 2 ˆk 1 Carlos Rojas Quiroz (UNI) Clase 3 17 de abril del / 30

28 Solución centralizada Solución centralizada Punto de vista del Planificador Central (o Dictador Benevolente). El problema es: Sujeto a: máx U = {c(t)} t=0 0 u(c) exp (ρ n)t dt (39) k = f(k) c (n + δ)k (40) Ojo: en términos per cápita, por lo que falta transformar a unidades de trabajo efectiva. Carlos Rojas Quiroz (UNI) Clase 3 17 de abril del / 30

29 Solución centralizada Solución centralizada El Hamiltoniano de valor presente: H = {u[c(t)] + λ(t) [f(k) c (n + δ)k]} exp (ρ n)t (41) Resolviendo llegamos a obtener la Ecuación de Euler. ċ c = u (c) u (c)c (f (k) δ ρ) (42) Al transformar a términos per cápita eficientes, utilizamos: ˆk = k exp gt g k exp gt ĉ = ċ exp gt g c exp gt Carlos Rojas Quiroz (UNI) Clase 3 17 de abril del / 30

30 Solución centralizada Solución centralizada Con ello obtenemos las condiciones de equilibrio del modelo, similares a lo que obtuvimos antes: ĉ ĉ = 1 σ (f (ˆk) δ ρ σg) (43) ˆk = f(ˆk) ĉ (n + δ + g)ˆk (44) Note que no hay precios (w y r) en la solución centralizada, debido a que no hay mercado. Solución centralizada igual que solución de mercado. Esta última es socialmente óptima. Se satisface primer teorema de bienestar. OJO: ello se cumple sólo en ausencia de externalidades o impuestos distorsivos. Carlos Rojas Quiroz (UNI) Clase 3 17 de abril del / 30