Parte III RIESGO Y SELECCIÓN ÓPTIMA DE CARTERA 61

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1 Parte III RIESGOY SELECCIÓN ÓPTIMA DE CARTERA 61

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3 Capítulo 6 Utilidad Esperada 6.1 Introducción Hasta ahora hemos analizado la determinación de precios de equilibrio en modelos con ausencia de incertidumbre. En los siguientes capítulos analizaremos la determinación de precios de activos con rendimiento incierto. Para ello es necesario tener una teoría de la valoración individual del riesgo y los deseos de exponerse al mismo. Para es necesario desarrollar una teoría que nos permita de nir formalmente el riesgo y las actitudes de los individuos frente al riesgo, para nalmente responder a cuestiones como las que plantea el siguiente ejemplo. Ejemplo: Supongamos un individuo que desea formar una cartera de inversión compuesta por los siguiente estructura de activos. 1. Un bono cupón cero con un rendimiento del 20%: 2. El precio de un activo nanciero que hoy vale 20 u:m: y en el futuro con valdrá 15 u:m: o 40 u:m: con una probabilidad de 1=2: Si la renta inicial disponible es de 100 u:m; qué proporción de la renta invertirá en activos inciertos? El proposito de esta parte es responder a este tipo de preguntas, para es necesario de nir el concepto de preferencia en un entorno de incertidumbre, así como conceptos que permitan caracterizar la distinta actitud de los individuos frente al riesgo. Finalmente se desarrolla el modelo de selección de cartera en distintas versiones, con objeto de responder a la pregunta planteada en el anterior ejemplo. 6.2 Loterias En situaciones de incertidumbre la elección individual depende de circunstancias externas a los agentes económicos (consumidores, empresas, etc...). A estos eventos sobre los cuales los individuos no tienen control se denominan estados de la naturaleza, por ejemplo, lluvia o sequía serían dos posibles estados 63

4 64 CAPÍTULO 6. UTILIDAD ESPERADA de la naturaleza posible que afectan positiva o negativamente la cosecha, no estando ninguno de ellos bajo control por parte de los agricultures. Además es necesario tener en cuenta quelosefectospositivos o negativosde un determinado estado de la naturaleza depende de las preferencias de los individuos y de como afecte la producción o la dotación de recursos en la economía. Siguiendo con el ejemplo anterior, a un empresario hotelero el efecto de la incertidumbre puede ser el opuesto, pre riendo el sol a la lluvia, pues bajo en primer estado su nivel de producción es mayor. A pesar de ello como ya veremos en la siguiente parte la existencia de mercados de seguros permitirá a los individuos eliminar incertidumbre idiosincrática. De nimos a S como el conjunto de todos losestados de la naturaleza posibles. Sea s 2 S un elemento del conjunto y suponemos que el número de estados s es nito. Denotamos por p(s) a la probabilidad de ocurrencia del estado s: Dado que son probabilidades estas deben cumplir la siguientes propiedades: 1. p(s) 0: 2. P s2s p(s) = 1 En un entorno de incertidumbre los individuos no eligen asignaciones como en el capítulo 2, sino que eligen loterias. El concepto de lotería puede parecer un poco abstracto al principio, pero como veremos a continuación es el enfoque correcto para analizar la elección bajo incertidumbre. Una lotería es un juego que asigna un premio x con una probabilidad p; y un premio y con una probabilidad (1 p): Formalmente: p ± x (1 p) ± y x; y 2 $: Los premios pueden ser dinero, asignaciones de bienes o otras loterías. Supondremosquelosindividuosde nen suspreferenciassobredistintasloterias, donde $ es el espacio de loterías. La elección bajo incertidumbre se restringe a elegir la lotería más preferida.dadas unas preferencias. Las loterías cumplen las siguientes propiedades: 1. p ± x (1 p) ± y» x si p = 1; es decir, recibir un premio con probabilidad 1 esequivalente desdeelpunto devista del individuo a recibir un premio con certeza. 2. p ± x (1 p) ± y» (1 p) ± y p ± x : La propiedad conmutativa se aplica a las loterías. En este caso el individuo percibe ambas loterías como equivalentes. 3. q ±[p ± x (1 p) ± y] (1 q)±y» qp±x (1 pq)±y: El consumidor al evaluar la lotería considera la probabilidad neta de obtener un premio no en la forma particular de cada lotería. Por lo tanto desde el punto de vista del individuo estasdos loterías son equivalentes. Este supuesto a vecesse denomina reducción de loterías combinadas. Apartir deestossupuestospodemosde nir laspreferencias delosindividuos sobre el espacio de loterías, bajo los supuestosestandaressobrelas preferencias. Sea ($; %) entonces las preferencias cumplen:

5 6.2. LOTERIAS Re exividad: Si x 2 $; para a; b 2 R y p 2 [0;1]; entonces x p ± a (1 p) ± b» x: 2. Completitud: Si x;y 2 $ para a;b;c; d 2 R y p;q 2 [0;1]; entonces x p ± a (1 p) ± b % q ± c (1 q) ± d y; y % x o bien ambas. 3. Transitividad: Si x;y; z 2 $ entonces si x % y e y % z; por la propiedad transitiva x % z: 4. Continuidad: Si x;y; z 2 $ entonces si x % y % z entonces 9p ; p 2 [0;1] tal que: p ± x (1 p ) ± z» y: Proposición (Existencia de la función de utilidad): Si ($;% ) cumplen las propiedades (1 4) entonces existe una función de utilidad v : $! R que representa a las preferencias, de forma que si: p±x (1 p)±y  p±q (1 p)±y, v(p±x (1 p)±y) > v(p±q (1 p)±y): La función de utilidad que representa estas preferencias no es única, pues existen in nitas transformacionesmonótonas quela representan. Detodas ellas existeun tipo defunciones quetiene una propiedad muy útil quees la de utilidad esperada: u(p ± x (1 p) ± y) = p u(x) + (1 p) u(y) Si la función deutilidad que representa laspreferenciascumple esta propiedad, la utilidad de la lotería es la utilidad que se espera que reporten los premios. Para representar las % sobre lasloteríasmediante la función de utilidad esperada es necesario que se cumplan los siguientes supuestos: 1. Axioma de independencia: Si x;y 2 $; si x» y entonces: p ± x (1 p) ± z» p ± y (1 p) ± z 8z 2 $: El axioma de independencia dice que la relación de preferencia entre dos loterías no está afectada por otras alternativas. 2. Acotación de loterías: 9 b; w 2 $ tal que: b  x  w: Existe una lotería que es mejor b y una lotería que es peor. 3. Monoticidad: 9 b;w 2 $ tal que : p ± b (1 p) ± w  q ± b (1 q) ± w, p > q Si x;y; z 2 $ entonces si x % y e y % z; por la propiedad transitiva x % z:

6 66 CAPÍTULO 6. UTILIDAD ESPERADA 6.3 Función de utilidad esperada Proposición (Existencia de la función de utilidad esperada): Si ($;%) cumplen las propiedades (1 4) y los axiomas (1 3) entonces existe una función de utilidad esperada Eu : $! R que satisface la propiedad de la utilidad esperada: u(p ± x (1 p) ± y) = p u(x) + (1 p) u(y) Demostración: Para demostrar la existencia de la función de utilidad esperada vamos a realizar una normalización arbitrarea: u(b) = 1 u(w) = 0 u(z) = p z ; donde p z es aquel valor que cumple ( ): p z ± b (1 p z ) ± w» z; por la propiedad de continuidad. De forma que si evaluamos la utilidad de cada una de estas loterías obtetemos: u(p z ± b (1 p z ) ± w) = u(z) = p z : Para demostrar la existencia y la unicidad de p z basta con utilizar las propiedades anteriormente descritas: p ± b (1 p) ± w % z; z % p ± b (1 p) ± w; para p 2 [0;1]; por lo tanto existe un p que cumple esta condición y es p z : Para ver que es único basta con suponer que existe otro p 0 z que cumple ( ): Si cada uno satisface la de nición y p z 6= p 0 z entonces: p 0 z ± b (1 p0 z ) ± w % z» p z ± b (1 p z ) ± w; o al revés, por lo tanto es único. Por el axioma de continuidad: p ± x (1 p) ± y» z» p z ± b (1 p z ) ± w; o equivalentemente también se debe cumplir: z» p ± [p x ± b (1 p x ) ± w] (1 p) ± [p y ± b (1 p y ) ± w] ; desarrollando esta expresión: z» [pp x + (1 p)p y ] ± b [1 pp x (1 p)p y ] ± w; sustituyendo por la de nición de p x = u(x) y p y = u(y) entonces p±x (1 p)±y» z» [pu(x) + (1 p)u(y)] ±b [1 pu(x) (1 p)u(y)] {z } {z } ±w:

7 6.4. FUNCIÓN DE UTILIDAD ESPERADA INTERTEMPORAL 67 Por la de nción ( ) : p z = pu(x) + (1 p)u(y); 1 p z = 1 pu(x) (1 p)u(y): Aplicando la de nición de función de utilidad: u(p z ± b (1 p z ) ± w) = u(z) = pu(x) + (1 p)u(y) Hemos construido la función de utilidad esperada, para veri car que es una función de utilidad basta con: x  y, u(x) = p x tal que x» p x ± b (1 p x ) ± w;, u(y) = p y tal que y» p y ± b (1 p y ) ± w; de forma que u(x) > u(y) es decir p x > p y : A continuación veremosque la función de utilidad esperada tan sólo admite un tipo de transformaciones muy particulares. Proposición: Una función de utilidad esperada es única excepto por una transformación afín. Sean a; c 2 R entonces V : Eu! R si: V (p ± x (1 p) ± y) = au(p ± x (1 p) ± y) + c = a[pu(x) + (1 p)u(y)] + c = p[au(x) + c] + (1 p)[au(y) + c] = pv (x) + (1 p)v (y) 6.4 Función de utilidad esperada intertemporal Supongamos que t = 0; 1; entonces podemos generalizar el espacio de loterías de la siguiente forma: $ = $ 0 $ 1; Entonces sea x 2 $ un elemento que especi ca una lotería en cada momento del tiempo. De forma que obtendremos un premio en función de los distintos estados de la naturaleza. Por lo tanto una lotería x = (x 0 ;x 1 ) será preferida a una lotería y = (y 0 ; y 1 ) si: u(x 0 ; x 1 ) > u(y 0 ; y 1 ): La función de utilidad es aditivamente separable en el tiempo si: u(x 0 ;x 1 ) = X s2s p(s)u(x(s)): La función de utilidad esperada ya es aditivamente separable entre estados de la naturaleza por el axioma de independencia. Esto implica que la utilidad asociada a la lotería en x 0 no afecta a la del periodo x 1 :

8 68 CAPÍTULO 6. UTILIDAD ESPERADA

9 Capítulo 7 Aversión al Riesgo 7.1 Introducción No cabe esperar que las actitudes frente al riesgo sean iguales para todos los individuos, por lo tanto las decisiones de invertir en un determinados tipos de activosdependerá de forma crucial de la actitud frente al riesgo. El capítulo está compuesto dela siguiente forma: la sección 2 de ne losconceptosdeaversión al riesgo,la sección 3 analiza las medidas de aversión al riesgo. La sección 4 describe el concepto de aversión relativa al riesgo. La sección 5 de ne el concepto de aversión global al riesgo y el capítulo concluye con la sección 6 que calcula las medidas de nidas anteriormente para distintos tipos de funciones de utilidad. 7.2 Aversión al riesgo De nición (Juego Actuarialmente Justo): Un juego o lotería es actuarialmente justo cuando su premio esperado es cero, es decir, px + (1 p)y = 0 para p 2 (0; 1): Para ello si x > 0 tiene que cumplirse que y < 0: De nición (Aversión al Riesgo): Decimos que un individuo es averso al riesgo cuando no está dispuesto a aceptar cualquier juego actuarialmente justo. Sea U( ) una función de utilidad de un individuo a partir de la de nición de aversión al riesgo podemos de nir: U(W 0 ) p U(W 0 + x) + (1 p) U(W 0 + y) donde W 0 es la riqueza inicial de un individuo. Utilizando la de nición de actuarialmente justo podemos escribir la siguiente expresión: U(p (W 0 + x) + (1 p) (W 0 + y)) pu(w 0 + x) + (1 p)u(w 0 + y) Esta de nición implica: Aversión al Riesgo (estricta), U( ) cóncava (estricta) 69

10 70 CAPÍTULO 7. AVERSIÓNAL RIESGO De nición (Neutral al Riesgo): Decimos que un individuo es neutral al riesgo cuando es indiferente a aceptar cualquier juego actuarialmente justo. En términos de una función de utilidad, podemos decir que un individuo es neutral al riesgo si: o, U(p (W 0 + x) + (1 p) (W 0 + y)) = pu(w 0 + x) + (1 p)u(w 0 + y) Neutral al Riesgo, U( ) lineal De nición (Amante al Riesgo): Decimos que un individuo es amante del riesgo cuando está dispuesto a aceptar cualquier juego actuarialmente justo. Formalmente podemos expresarlo: U(p (W 0 + x) + (1 p) (W 0 + y)) pu(w 0 + x) + (1 p)u(w 0 + y) o alternativamente: Amante Riesgo, U( ) convexa 7.3 Medidas deaversión al Riesgo No cabe esperar que la actitud ante el riesgo de un individuo sea independiente del premio o de la riqueza asociada a la lotería. Veamos a continuación como reacciona un individuo frente a los siguientes juegos, Juego 1: Jugarse a cara/cruz (1 pta.) p 1pta + (1 p) ( 1pta)! E(J1) = 0 Juego 2: Jugarse a cara/cruz (1000 pta.) p 1:000pta + (1 p) ( 1:000pta)! E(J2) = 0 Ambos son juegos actuarialmente justos pero cabe pensar que la actitud frente al riesgo de los individuos sea la misma. Si el individuo deriva utilidad sobre la riqueza y la función es cóncava, entonces: U(W 0 ) > U(J1) > U(J2) Buscamos una medida que mida el riesgo que está dispuesto a aceptar un individuo. Medida 1: La curvatura de la función de utilidad U 00 : El principal problema de esta medida es que no es independiente de las unidades de medición utilizadas. Ante transformaciones a nes la utilidad esperada no varía, pero la aversión al riesgo sí. Medida de Arrow-Pratt: Si normalizamos la segunda derivada por la primera derivada obtendremos una medida razonable, que es invariante ante transformacionesa nes. Esta medida deconoce como el coe ciente absoluto de aversión al riesgo. R A (w) = u00 (w) u 0 (w)

11 7.3. MEDIDAS DE AVERSIÓN AL RIESGO 71 NOTA: Para ver que la medida de aversión al riesgo es invariante ante transformaciones a nes, basta con realizar la siguiente transformación a la función original u( ); siendo v( ) = a u( )+c: Es directo obtener la primera y la segunda derivada de esta expresión, v 0 ( ) = a u 0 ( ); y v 00 ( ) = a u 00 ( ); el ratio de ambas es independiente del parámetro a: Una justi cación complementaria de la medida de aversión absoluta al riesgo de Arrow-Pratt la podemos derivar a partir del conjunto de aceptación de un individuo. Supongamos que planteamos el siguiente juego, o la compra del siguiente activo nanciero: p (w + x) + (1 p) (w + y) = 0 De nición (Conjunto de Aceptación): El conjunto de aceptación de un individuo A(w) es el conjunto de todos los juegos que aceptaría jugar con un nivel dado de riqueza. O el tipo de activos nancieros que un individuo estaría dispuesto a comprar. Introducir grá co 1 El conjunto de aceptación es convexo, pues el individuo es averso al riesgo, si el individuo fuera neutral al riesgo el conjunto de aceptación sería una recta. La frontera que pasa por el conjunto es una curva de indiferencia que separa todos los juegos (activos) que dan el mismo niveldeutilidad. Los queestán por encima me dan una utilidad superior mientras que los que están por debajo me dan una utilidad inferior. p u(w + x) + (1 p) u(w + y) u(w) La pendiente del conjunto de aceptación en el punto (0; 0) se halla diferenciando esta expresión respecto a x y evaluando la derivada en x = 0: Dado que y es una función implícita de x; al derivar respecto a x debe tenerse en cuenta, p u 0 (w + x) + (1 p) u 0 (w + y(x)) y 0 (0) = 0 evaluando esta expresión en (x; y) = (0; 0) obtenemos, p u 0 (w) + (1 p) u 0 (w) y 0 (0) = 0 la pendiente de esta función en el punto (0; 0) está dada por y 0 (0) = p 1 p ; la pendiente del conjunto de aceptación está dada por el ratio de probabilidades. Introducir grá co 2 Diremos que el consumidor \i" es más contrario a correr riesgos que un consumidor \j" si el conjunto de aceptación del individuo \i" está contenido en el de \j"; es decir, A i (w) ½ A j (w): El individuo que tiene un conjunto de aceptación menor, éste tiene una mayor curvatura. Por ello es útil derivar la curvatura del conjunto de aceptación deun individuo, para ello basta con tomar la segunda derivada respecto a x y evaluarla en el punto (0;0): p u 00 (w) + (1 p) u 00 (w) y 0 (0) y 0 (0) + (1 p) u 0 (w) y 00 (0) = 0

12 72 CAPÍTULO 7. AVERSIÓNAL RIESGO sustituyendo y 0 (0) = p 1 p en la expresión de arriba, p u 00 (w) 1 + p = (1 p) u 0 (w) y 00 (0) 1 p arreglando términos obtenemos, y 00 p (0) = (1 p) 2 u 00 (w) = p u 0 (w) 1 p R A(w) Esta expresión es proporcional a la medida de Arrow-Pratt. De esta forma podemos concluir que un individuo j aceptará más juegos que un individuo i; si sólo si la medida de aversión al riesgo del primero es menor, pues ambos se enfrentan a las mismas probabilidades. R i A(w) > R j A (w) Nótese que esta es una medida local de actitud frente al riesgo, más adelante analizaremos medidas globales de aversión al riesgo. 7.4 Aversión Relativa al Riesgo La siguiente medida busca corregir el riesgo según el nivel de riqueza. La medida de aversión absoluta plantea algun problema a la hora de medir la actitud frente al riesgo de dos individuos con distintos niveles de riqueza. Bajo este concepto un individuo que acepta invertir en activos con un mayor premio absoluto sería menos averso al riesgo, el concepto de aversión relativa relaciona el premio en proporción al nivel de riqueza del individuo. Para ello la medida que se utiliza es el coe ciente de aversión relativa al riesgo, R R (w) = u00 (w) u 0 (w) w Al igual que en el caso anterior vamos a darle una justi cación complementaria utilizando los conjuntos de aceptación ante juegos en los que el premio es proporcional a la riqueza invertida: p (w x) + (1 p) (w y) = 0 La utilidad de esta lotería está dada por la siguiente expresión, p u(w x) + (1 p) u(w y) U(w) esta expresión representa la curva de indiferencia asociada al juego que da una determinada utilidad de la riqueza, utilizando la relación que hay entre x y y; podemos escribir la relación anterior de la siguiente forma, p u(w x) + (1 p) u(w y(x)) U(w) Analicemos la pendiente del conjunto de aceptación en el punto (1;1): p u 0 (w) w + (1 p) u 0 (w) w y 0 (1) = 0;

13 7.5. AVERSIÓN GLOBAL AL RIESGO 73 la pendiente del nuevo conjunto de aceptación está centrada en el punto (1;1) y la pendiente asociada coincide con la del caso anterior, y 0 (1) = p 1 p : La curvatura del conjunto de aceptación de este tipo de juegos de ne la actitud frente al riesgo de los individuos en función de su nivel de renta y el premio. Para calcular la curvatura basta con tomar la segunda derivada de la expresión anterior y evaluarla en el mismo punto. p u 00 (w) w 2 + (1 p) u 00 (w) w 2 y 0 (1) y 0 (1) + (1 p) u 0 (w) w y 00 (1) = 0 arreglando términos, aislando, p u 00 (w) w 1 + p = (1 p) u 0 (w) y 00 (1) 1 p " # y 00 (1) = p u 00 (w) w (1 p) 2 u 0 (w) Por lo tanto un individuo j aceptará más juegos proporcionalesa la riqueza que un individuo i; si sólo si la medida de aversión relativa al riesgo del primero es menor, R i R(w) > R j R (w) 7.5 Aversión Global al Riesgo Las medidas de aversión al riesgo son medidas locales, pues permiten comparar el riesgo de dos individuos de forma local. Estas medidas pueden utilizarse de forma global bajo las siguientes circunstancias. Diremos que un individuo i es globalmente más averso al riesgo que otro individuo j: 1. Si el agente j es siempre más contrario a correr riesgos que el agente i, para cualquier nivel de riqueza. R i A(w) > R j A (w) 8w 2. Si la función de utilidad del individuo i; es una transformación monótona de la del individuo j; es decir, U i = V (U j (w)) donde V ( ) es una transformación cóncava de U( ): 3. Una forma alternativa de medir el riesgo es utilizar la cantidad de dinero que estaría dispuesto a pagar un individuo para eliminar el riesgo. Suponga que e"; es una variable aleatoria que satisface E[e"] = 0 (Nótese que si la variable aleatoria esun juego, éste esactuarialmentejusto): Sea ¼(e") la cantidad de riqueza a la que renuncia una persona para no enfrentarse a la variable aleatoria. U(w ¼(e")) = E[U(w + e")] donde el primer término incluye la utilidad generada por la eliminación de la riqueza, mientras que el segundo término incluye la utilidad esperada

14 74 CAPÍTULO 7. AVERSIÓNAL RIESGO de este juego actuarialmente justo. Una persona es más contrarea a correr riesgos si, ¼ i (e") > ¼ j (e") Teorema de Pratt: Las tres de niciones anteriores de aversión al riesgo son equivalentes. Obviamos su demostración formal. El siguiente ejemplo ilustra el concepto de medir el riesgo de un individuo como la cantidad de recursos que está dispuesto a pagar para eliminar el riesgo. Para ello analizamos un sencillo modelo de equilibrio general de demanda de seguro con información perfecta. EJEMPLO: Demanda de seguros con información perfecta El siguiente problema mide cuanto estaría dispuesto a pagar un individuo queesaverso al riesgo por eliminar incertidumbrerespecto a su nivel de riqueza futuro. Considere una individuo con el siguiente nivel de riqueza W; mañana con una determinda probabilidad p sufrirá una perdida L < W; mientras que con una determinada probabilidad (1 p) mantendrá su nivelactual deriqueza. Veamos cual será la utilidad esperada que percibirá en función de que en la economía exista o no un mercado de seguros. Suponemos que la función de utilidad cumple las siguientes condiciones: u 0 > 0 y u 00 < 0: 1. Ausencia de mercado de seguros: La utilidad esperada cuando el mercado para asegurarse no está presente está dada por: Eu( f W) = pu(w L) + (1 p)u(w) 2. Existencia de un mercado de seguros: Supongamosahora queexisteun mercado desegurosque permiteeliminar riesgo comprando una póliza de seguros que paga una cantidad q en caso de que se produzca una pérdida L: El coste de la prima de seguro es lineal en el pago ¼q; y se paga con independencia de cual sea el estado de la naturaleza. Ahora el individuo debe elegir que cantidad de cobertura elegir. El problema al que se enfrenta el consumidor es el siguiente, max q p u(w L + q ¼q) + (1 p) u(w ¼q) las condiciones de primer orden de este problema son las siguientes, p u 0 (W L + (1 ¼)q) (1 ¼) + (1 p) u 0 (W ¼q) ( ¼) = 0 Para ver que estamos en un óptimo basta con derivar las condiciones su cientes: p u 0 ( f W) (1 ¼) 2 + (1 p) u 0 ( f W) ¼ 2 < 0 dado que u 00 < 0 las condiciones necesarias son su cientes para caracterizar un óptimo. Arreglando términos obtenemos, u 0 (W L + (1 ¼)q) u 0 (W ¼q) = (1 p) p ¼ (1 ¼)

15 7.6. EJEMPLOS DE FUNCIONES DE UTILIDAD 75 El mercado de empresas aseguradoras es perfectamente competitivo, supondremos que existe un número de ellas lo su cientemente grande para justi car este comportamiento, cada una de ellas maximiza el bene cio esperado, max E[B o ] = p (q ¼q) + (1 p) (¼q) q las condiciones de primer orden implican, p (1 ¼) + (1 p) ¼ = 0 por lo tanto el precio de equilibrio que pagarán por el seguro será ¼ = p: Una prima actuarialmente justa implica que el coste de la poliza sea igual al valor esperado. Nótese que bajo el precio de equilibrio los bene cios de las empresas aseguradoras son cero. Introduciendo el precio de equilibrio en el problema del consumidor obtenemos, u 0 (W L + (1 ¼)q) = u 0 (W ¼q) si el individuo es estrictamente averso al riesgo, ello implica u 00 (W) < 0; por lo tanto el consumo en cada uno de los estados de la naturaleza es el mismo, W L + (1 ¼)q = W ¼q Por lo tanto la cantidad de prima de riesgo que va a contratar un individuo es, q = L el consumidor se asegurará perfectamente contra la pérdida. Si el comportamiento de un individuo afectara a la probabilidad, el seguro no sería completo, pues el precio que le cobrarían las empresas aseguradoras sería superior a la probabilidad, ¼ > p( ): Cuando existen mercadosperfectosdeseguroslosindividuo seaseguran perfectamente, la utilidad esperada asociada a la asignación con mercado de seguros es: Eu( f W) = pu(w ¼q) + (1 p)u(w ¼q) = u(w ¼q) Como puede observarse la utilidad asociada al segundo caso supera al primero. 7.6 Ejemplos defunciones deutilidad A continuación analizarmoslasdistintasmedidas deaversión al riesgo asociadas a distintos ejemplos de funciones de utilidad de nidas sobre la riqueza, W: 1) Función cuadrática: U(W) = W b 2 W2 ; b > 0 La función de utilidad es creciente si la primera derivada es positiva, U 0 (W) = 1 bw

16 76 CAPÍTULO 7. AVERSIÓNAL RIESGO para que la utilidad sea una función creciente U 0 > 0, tiene que ocurrir que W < 1=b: Esta función de utilidad exhibe un punto de saciedad cuando el consumo alcanza 1=b: Por lo tanto, el análisis realizado estará basado exclusivamente en aquellos niveles de consumo en los cuales la utilidad es creciente. La segunda derivada es negativa para los rangos de b positivos. La aversión absoluta al riesgo, U 00 (W) = b R A (W) = b 1 bw mientras que la tasa de variación de la aversión al riesgo ante incrementos de riqueza (consumo cierto) es A = b 2 (1 bw) 2 > 0; la aversión absoluta al riesgo es creciente, lo cual implica que un activo con riesgo es tratado como un bien inferior. 2) Función exponencial: U(W) = e bw Esta función está de nida para valores b 0: Si b > 0 la utilidad es creciente, cuando b = 0; la función de utilidad es constante. La primera y segunda derivada son, U 0 (W) = be bw > 0 U 00 (W) = b 2 e bw < 0 La aversión absoluta al riesgo es constante, R A (W) = µ b2 e bw = b be bw la variación de la aversión absoluta al = 0; lo cual signi ca que ante un aumento de la riqueza la proporción de activos con riesgo y sin riesgo no cambia. Esta función de utilidad está acotada superiormente por 0; es decir, lim U(W) = 0 W!1 3) Función aversión constante al riesgo U(W) = W1 ¾ 1 ¾ la función está de nida para valores de ¾ 0; para el resto de parámetros la función no escóncava por lo tanto el individuo sería amantedel riesgo. Cuando ¾ = 1; la función de utilidad es lineal, por lo tanto las curvasdeindiferencia son rectasy elindividuo es neutral alriesgo. Amedida queincrementa ¾; aumenta

17 7.6. EJEMPLOS DE FUNCIONES DE UTILIDAD 77 la curvatura y la aversión al riesgo. El coe ciente de aversión absoluta al riesgo es, R A (W) = ¾ A = ¾ W 2 < 0 la aversión absoluta al riesgo es decreciente, mientras que la aversión relativa al riesgo es constante, R R (W) = A (W) = La aversión relativa al riesgo coincide con la elasticidad de sustitución de la función de utilidad. 4) Función de Utilidad Potencial Extendida U(W) = 1 B 1 (A + BW)1 1 B Esta función de utilidad está bien de nida para los siguientes parámetros, B > 0; A 6= 0; y W > max[ A B ; 0]: La primera y segunda derivada, U 0 (z) = (A + Bz) 1 B U 00 (z) = (A + Bz) 1 B 1 La aversión absoluta al riesgo de esta función de utilidad esdecreciente ante variaciones del nivel de consumo cierto, o de riqueza, 1 R A (W) = A + A (W) B (A + BW) < 0 2 La aversión relativa alriesgo así como su tasa devariación están dadas por, R R (W) A = W A + BW W (A + BW) 2 ésta es creciente si A > 0; constante si A = 0 y decreciente para A < 0:

18 78 CAPÍTULO 7. AVERSIÓNAL RIESGO

19 Capítulo 8 Selección Óptima de Cartera 8.1 Introducción En este capítulo se responde a la pregunta planteada al principio de esta parte, dada una estructura de activos cual es la mejor cartera que puede elegir un individuo dadas sus preferencias. El capítulo secentra en las decisiones óptimas de los individuos a la hora de seleccionar su cartera de activos nancieros. Para ello supondremos que sus preferencias sobre la riqueza esperada son representables mediante una función de utilidad esperada. 8.2 Selección de Cartera con un Activo con Riesgo Suponga una economía en la que existen dos tipos de activos nancieros, un activo cierto que tiene un rendimiento R f ; 1 y un activo con un rendimiento incierto er: El individuo dispone de un nivel inicial de riqueza W 0 ; y debe decidir que cantidad de recursos invierte en el activo con riesgo. Si denotamos a 0; la cantidad monetaria invertida en el activo incierto, la restricción de recursos está dada por: fw = (W 0 a)(1 + R f ) + a(1 + er) donde W f es una variable aleatoria, pues depende del valor de R: e La función de utilidad esperada EU[ W] f satisface, U 0 > 0 y U 00 < 0: El problema de selección de cartera es el siguiente: maxeu[fw] fag s:a: fw = (W 0 a)(1 + R f ) + a(1 + er) 1 Un activo que no depende de los estados de la naturaleza es un activo libre de riesgo. En la realidad es di cil econtrar activos que este completamente libres de riesgo. Incluso los bonos del tesoro que no tienen riesgo de bancarota presentan riesgo de in ación o de tipos de interés. Dado que no estamos analizando economías monetarias restringimos el análisis a inversiones en las que los inversores tienen garantizado un tipo de interés libre de riesgo,r f : 79

20 80 CAPÍTULO 8. SELECCIÓN ÓPTIMA DE CARTERA a 0 Si sustituimos la restricción en la función objetivo obtenemos: maxeu[(w 0 a)(1 + R f ) + a(1 + er)] fag Simpli cando podemos reducir el problema de optimización a la siguiente expresión: max fag EU[W 0(1 + R f ) + a( e R R f )] ² Caso 1 Supongamos por simplicidad que R f = 0; entonces el problema de selección de cartera se convierte en: max EU[W 0 + a er] fag La condición de primer orden asociada a este problema implica, EU 0 [W 0 + a e R] e R 0 (= 0 si a > 0) El signo de es debido a la restricción de no negatividad en la cantidad de recursos invertidos en el activo incierto. La condición su cienciente para la existencia de un máximo depende del signo de la segunda derivada: EU 00 [W 0 + a e R] e R 2 0 dado que er 2 > 0 y por el supuesto de concavidad estricta de la función de utilidad U 00 < 0; la condición de segundo orden se cumple, por lo tanto existe un máximo. A continuación se analiza con detalle la existencia de soluciones de esquina en la que no se invierte nada en el activo con riesgo. Si a = 0; entonces EU 0 [W 0 ] e R < 0 U 0 (W 0 ) E[ e R] < 0 Dado que la función de utilidad es estrictamente creciente en la renta, U 0 (W 0 ); para que se cumpla esta desigualdad debe darse que E[ e R] < 0: Por lo tanto si el rendimiento esperado es negativo una persona aversa al riesgo no invertirá nada en activos con riesgo. Si a >0; entonces EU 0 [W 0 + a e R] e R = 0 si el individuo tiene una cantidad positiva de activos con riesgo es debido a que el rendimiento esperado es no negativo, es decir E[ e R] 0: ² Caso 2 Ahora supongamos que R f > 0; y que no existe ninguna restricción en el nivel de activos, a: La condición de primer orden respecto a el activo con riesgo es: EU 0 [W 0 (1 + R f ) + a( er R f )] ( er R f ) 0 (= 0 si a 6= 0) La condición de su ciencia para un máximo está dada por la segunda derivada:

21 8.2. SELECCIÓN DE CARTERA CON UN ACTIVO CON RIESGO 81 EU 00 [W 0 (1 + R f ) + a( er R f )] ( er R f ) 2 < 0 dado que ( er R f ) 2 > 0 y que U 00 < 0; la condición de segundo orden garantiza la existencia de un máximo. Si a = 0; entonces EU 0 [W 0 (1 + R f )] ( er R f ) < 0 U 0 (W 0 (1 + R f )) E[ e R R f ] < 0 Dado que U 0 (W 0 ); para que se cumpla la desigualdad es necesario que E[ e R R f ] < 0: Esto signi ca que si la prima de riesgo esperada es negativa una persona aversa al riesgo no invertirá cantidades positivas en el activo con riesgo sino que venderá, a < 0: Si E[ e R R f ] > 0; la prima de riesgo esperada es no negativa por lo tanto los individuos mantendrán cantidades positivas del activo con riesgo, a >0. Entonces la condición de primer orden se cumple con estricta igualdad: EU 0 [fw] ( er R f ) = 0 De nición (Prima de riesgo): La prima de riesgo de un activo se de- ne como su rendimiento esperado, E[ e R]; o el rendimiento esperado menos el rendimiento libre de riesgo E[ e R] R f : Si un agente es neutral al riesgo, u 00 = 0 y la prima de riesgo del activo incierto es cero, ( er R f ) = 0; entonces el agente es indiferente frente a todas las carteras posibles: EU 0 [W 0 (1 + R f ) + a( e R R f )] ( e R R f ) 0 es decir, cualquier cartera a cumple la condición de primer orden. En cambio si la prima de riesgo es distinta de cero, ( e R R f ) 6= 0; los agentes comprarán el activo incierto si la prima de riesgo es alta y venderáan si la prima de riesgo es negativa. Para ello es necesario que existan restricciones en el signo de la riqueza. Si el agente es estrictamente averso al riesgo, entonces la cartera óptima es única y el signo de a depende de la prima de riesgo del activo incierto. Proposición: Si un agente es averso al riesgo u 00 < 0, entonces la inversión óptima en activos con riesgo es estrictamente positiva, cero o estrictamente negativa si la prima del riesgo del activo incierto es estrictamente positiva, cero o estrictamente negativa. Ejemplo: Veamos el siguiente ejemplo que utiliza una función de utilidad cuadrática y permite obtener un solución analítica del problema de selección de cartera. Sea: u(w) = ( W) 2 > W: La condición de primer orden del problema de selección de cartera para una solución interior, a 6= 0 implica: ³ EU 0 [ W 0 (1 + R f ) + a( R e R f ) ( R e R f )] = 0; evaluando esta expresión para el caso de la función de utilidad cuadrática obtenemos: ³ E[ W 0 (1 + R f ) a( er R f ) ( er R f )] = 0

22 82 CAPÍTULO 8. SELECCIÓN ÓPTIMA DE CARTERA desarrollando el operador esperanza obtenemos: ( W 0 (1 + R f ))( R e R f ) = ae h( R e i R f ) 2 dado que la de nición de varianza de una variable aleatoria x es, V ar(x) = E(x 2 ) E(x) 2 : Por lo tanto la cantidad óptima de renta invertida en el activo incierto es: a = ( W 0(1 + R f ))( er R f ) V ar( er R f ) + ( er R f ) 2 Como puede observarse si la prima de riesgo es cero, entonces la fracción de renta invertida en el activo incierto es cero. A partir de la anterior proposición podemos evaluar por un argumento de continuidad la evolución de la fracción de riqueza invertida en el activo incierto, de forma que podremos a rmar que si la prima de riesgo es pequeña, entonces la cantidad invertida en el activo incierto será pequeña también. No sólo esto sino que es aproximadamente proporcional a la prima de riesgo R R e f ; e inversamente proporcional al coe cientede aversión absoluta al riesgo y a la varianza del activo con riesgo. Proposición: Si la prima de riesgo es pequeña, entonces la inversiónóptima en el activo incierto de una agente estrictamente averso al riesgo es aproximadamente: er R f a ' var( R)R e A (W(1 + R f )) Ejemplo: A partir de la función de utilidad cuadrática utilizada en el anterior ejemplo podemos calcular el coe ciente de aversión absoluta al riesgo: R A (W(1 + R f )) = 1 ( W(1 + R f )) : Sustituyendo en la anterior expresión obtenemos: a = ( W(1 + R f))( er R f ) : var( er) Esta expresión es similar a la anterior, pero no tiene en cuenta el término de segundo orden en el denominador, ( er R f ) 2 : 8.3 Estática Comparada Es interesante analizar como varía la cartera óptima de un agente ante cambios en el nivel de riqueza (W), del rendimiento libre de riesgo (R f ); o el rendimiento esperado del activo incierto ( e R): Nivel de Riqueza Si la cantidad total invertida en el activo incierto aumenta, disminuye o se mantiene constante ante incrementos de riqueza esto depende del efecto de la riqueza en la aversión absoluta al riesgo. Por lo tanto la aversión absoluta al riesgo me indica como varía la demanda de activos de un individuo ante

23 8.3. ESTÁTICA COMPARADA 83 variaciones del nivel de riqueza. Ello permite ver si el individuo trata estos activos como un bien inferior o un bien normal, a medida que su nivel de riqueza aumenta. Proposición: Si un agente es estrictamente averso al riesgo u 00 < 0; y la prima de riesgo es positiva, ( er R f ) > 0; entonces si: ² Aversión absoluta al riesgo A < 0;8w > 0; Implica que a medida que incrementa el nivel de riqueza mi aversión al riesgo disminuye, por lo tanto mi proporción de activos con riesgo aumenta más que proporcionalmente. Los activos con riesgo se consideran como un bien normal. ² Aversión absoluta al riesgo A = 0;8w = 0; Implica que a medida que incrementa el nivel de riqueza mi aversión al riesgo permanece constante, por lo tanto mi proporción de activos con riesgo respecto a los activos sin riesgo no varía, es decir mantengo la misma proporción. ² Aversión absoluta al riesgo A > 0;8w < 0; Implica que a medida que incrementa el nivel de riqueza mi aversión al riesgo aumenta, por lo tanto mi proporción de activos con riesgo disminuye a medida que aumenta mi riqueza menos que proporcionalmente. Los activos con riesgo se consideran un bien inferior. Hasta ahora hemos comparado la demanda de activos inciertos ante cambios en el nivel de riqueza utilizando la aversión absoluta al riesgo. Podemos realizar un análisis similar con la aversión relativa al riesgo, esto permite compararla con la elasticidad demanda de activos con la renta, = da dw a w ² Aversión relativa al riesgo R < 0; 8w > 0; Si la aversión relativa al riesgo es decreciente entonces la elasticidad demanda de activos es mayor que la unidad > 1. Esto signi ca que el individuo a medida que se hace más rico en proporción al premio que obtiene, es menos averso al riesgo, por lo tanto estará dispuesto a comprar más activos con riesgo.

24 84 CAPÍTULO 8. SELECCIÓN ÓPTIMA DE CARTERA ² Aversión relativa al riesgo R = = 0;8w Si la aversión relativa al riesgo es constante la elasticidad demanda es la unidad = 1: Esto signi ca que a medida que un individuo se hace más rico mantiene la misma proporción en activos con riesgo que en activos sin riesgo. La fracción deactivoscon riesgo ante variacionesde la renta se mantiene constante. ² Aversión relativa al riesgo R > < 0;8w Si la aversión relativa al riesgo es creciente, el individuo a medida que aumenta su nivel de riqueza está dispuesto a invertir menos en activos que sean proporcionalesa su nivel de riqueza, por lo tanto la fracción deactivoscon riesgo será menor que el incremento de riqueza, siendo la elastividad asociada < 1: Rendimiento Libre de Riesgo Si el rendimiento libre de riesgo R f aumenta, entonces al activo cierto será más atractivo y el activo incierto será menos atractivo. Por lo tanto si un agente posee cantidades no negativas del activo cierto verá incrementar su nivel de riqueza, debido alincremento delrendimiento libre de riesgo. Por lo tanto ante el incremento de renta se producen efectos renta y efectos sustitución como en la teoría micoeconómica estandar. Enunciamos sin demostrar la siguiente proposición: Proposición: Si un individuo es averso al riesgo u 00 < 0 entonces si: > 0: 2. ( er R f ) > 0: 3. Si la cantidad invertida en R f es positiva, Entonces la cantidad de renta invertida en el activo incierto es estrictamente decreciente en R f : Desafortunadamente no podemosdecir nada sila aversión absoluta al riesgo es decreciente, para ello es necesario conocer la distribución de probabilidades y la función de utilidad en concreto Volatilidad En principio cabría esperar que la inversión en un activo con riesgo disminuiría si su rendimiento se vuelve más volátil a pesar de que su rendimiento esperado no cambie. Este sería el caso de la función de utilidad cuadrática donde la cantidad invertida en el activo incierto depende negativamente de la varianza, por lo tanto un aumento de la volatilidad (no afectará el rendimiento esperado) reducirá a: A pesar de ello esto no tiene por qué ser cierto para casos más generales de funciones de utilidad estrictamente cóncavas.

25 8.4. SELECCIÓN DE CARTERA CON MULTIPLES ACTIVOS 85 Ejemplo: Si la función de utilidad es u( f W) = ln f W; el número de estados de la naturaleza es S = 2; y la probabilidad del estado 1 es p 2 (0; 1): Calcule la cantidad de renta que se invertirá en el activo incierto? El problema que soluciona el consumidor es el siguiente: max E ln[fw] fag s:a: fw = W 0 (1 + R f ) + a( er R f ) Dado que el número de estados de la naturaleza es 2 podemos reescribir con pocas complicaciones la función de utilidad esperada. h i h i max pln W 0 (1 + R f ) + a( er 1 R f ) + (1 p)ln W 0 (1 + R f ) + a( er 2 R f ) a donde er 1 denota el rendimiento del activo incierto en el estado 1 y er 2 en el estado 2. La condición de primer orden de este problema cumple: p( e R 1 R f ) W 0 (1 + R f ) + a( e R 1 R f ) + (1 p)( e R 2 R f ) W 0 (1 + R f ) + a( e R 2 R f ) = 0 aislando a obtenemos: W 0 (1 + R f ) + a( R e 2 R f ) W 0 (1 + R f ) + a( R e 1 R f ) = (1 p)(r f R e 2 ) p( R e 1 R f ) para simpli car de nimos A = (1 p)(rf er 2) p( R e : Para obtener la solución basta con 1 R f) aislar a : (A 1)W 0 R f a = ( er 2 R f ) A( er 1 R f ) En vez de considerar a a como la cantidad monetaria invertida en el activo incierto, podemos pensar en ella como la fracción de riqueza total invertida en el activo incierto. Bajo este concepto la restricción presupuestaria puede escribirse de la siguiente forma: i fw = W 0 h(1 a)(1 + er) + a(1 + R f ) Comparando ambas restricciones es fácil determinar que a = aw 0 : Sustituyendo este valor en: fw = W 0 (1 + R f ) + aw 0 ( er R f ) 8.4 Selección de Cartera con Multiples Activos A continuación se analiza el caso en el cual el individuo debe componer una cartera en la cual existe más de un activo con riesgo, supondremos que existen N activos inciertos. Sea a i como la cantidad de activos de tipo \i"; y e R i es el rendimiento del activo \i": De esta forma la cantidad total de activos donde invertir es N + 1: La restricción presupuestaria está dada por la siguiente expresión: fw = (W 0 X N i=1 ai )(1 + R f ) + X N i=1 ai (1 + er i )

26 86 CAPÍTULO 8. SELECCIÓN ÓPTIMA DE CARTERA Esta restricción puede reescribirse de la siguiente forma: fw = W 0 (1 + R f ) + X N i=1 ai ( e R i R f ) El nuevo problema de elección de cartera, una vez se sustituye la restricción en la función objetivo es el siguiente: max EU[W 0 (1 + R f ) + X N fa 1 ;:::;a N g i=1 ai ( R ei R f )] diferenciando respecto a a i se obtiene la condición de primer orden: EU 0 [ f W] ( e R i R f ) 0 (= 0 si a i > 0) Esta expresión es análoga a la del apartado anterior, siempre que ( e R i R f ) > 0 la solución será interior, por lo tanto a i > 0; para todo \i": Desarrollando el producto en la condición de primer orden se obtiene: EU 0 [ f W] e R i = EU 0 [ f W] R f utilizando la fórmula de la esperanza de dos variables aleatórias 2, se obtiene: EU 0 [fw] E er i + cov(u 0 [fw]; er i ) = EU 0 [fw] R f aislando el rendimiento esperado del activo con riesgo, R i = E er i ; se deriva la siguiente expresión: R i = R f cov(u0 [ f W]; e R i ) EU 0 [ f W] El rendimiento esperado de un activo cualquiera puede expresarse como la suma de dos componentes: el rendimiento libre de riesgo y la prima de riesgo. Analicemos los dos casos posibles: 1) Si cov(fw; er i ) > 0; dado que la aversión al riesgo implica utilidad marginal decreciente de la riqueza a medida que esta aumenta, por lo tanto el activo estará correlacionado negativamentecon la utilidad marginal, cov(u 0 [ f W]; e R i ) < 0: Un activo de este tipo deberá tener un rendimiento esperado de mercado superior a R f ; para compensar su mayor riesgo. 2) Si cov( f W; e R i ) < 0; implica que cov(u 0 [ f W]; e R i ) > 0: El rendimiento esperado de este activo es menor que la tasa libre de riesgo. Intuitivamente, un activo correlacionado negativamente con la riqueza es muy valioso para reducir el riesgo. Por lo tanto la gente estará dispuesta a sacri car rendimiento esperado con n de tener un activo de este tipo. 2 Recuerde que la esperanza de dos variables aleatórias X;Y es: E(X;Y)=E(X) E(Y)+cov(X;Y) lo que es equivalente a: E(X) E(Y)=E(X;Y) cov(x;y)