PROGRAMACIÓN LINEAL EN LA EBAU DE MURCIA

Transcripción

1 PROGRAMACIÓN LINEAL EN LA EBAU DE MURCIA 1. (Junio 2017) Una fábrica textil compra tela a dos distribuidores, A y B. Los distribuidores A y B venden la tela a 2 y 3 euros por metro, respectivamente. Cada distribuidor le vende un mínimo de 200 metros y un máximo de 700 y para satisfacer su demanda, la fábrica debe comprar en total como mínimo 600 metros. La fábrica quiere comprar al distribuidor A, como máximo, el doble de metros que al distribuidor B. Hallar los metros que debe comprar a cada uno de los distribuidores para obtener el mínimo coste. Determinar dicho coste mínimo. 2. (Septiembre 2016) Una empresa necesita, como mínimo, 180 uniformes de mujer y 120 de hombre. Los encarga a dos talleres A y B. El taller A confecciona diariamente 6 uniformes de mujer y 2 de hombre con un coste de 75 euros al día. El taller B hace diariamente 4 uniformes de mujer y 3 de hombre con un coste diario de 90 euros. Cuántos días debe trabajar cada taller para satisfacer las necesidades de la empresa con el mínimo coste?, cuánto vale dicho coste? 3. (Junio 2016) Un supermercado necesita, al menos, 80 docenas de huevos de tamaño pequeño, 120 docenas de tamaño mediano y 90 docenas de tamaño grande. Se abastece en dos granjas A y B. La granja A suministra lotes de 4 docenas de huevos pequeños, 12 docenas de medianos y 2 docenas de grandes, y el coste de cada lote es de 6 euros. La granja B proporciona lotes de 2 docenas de huevos pequeños, 2 docenas de medianos y 6 docenas de grandes, con un coste de 4 euros por lote. Además, la granja A puede suministrar, como máximo, 50 lotes y la granja B puede suministrar, como máximo, 60 lotes. Hallar el número de lotes que debe comprar a cada granja para satisfacer sus necesidades con el mínimo coste. 4. (Septiembre 2015) Se quiere elaborar una dieta con dos preparados alimenticios, A y B. Una porción de A contiene 30 mg de calcio, 10 mg de fósforo y 40 mg de magnesio, y cuesta 5 euros. Una porción de B contiene 40 mg de calcio, 30 mg de fósforo y 20 mg de magnesio, y cuesta 3 euros. La dieta debe aportar, al menos, 350 mg de calcio, 150 mg de fósforo y 300 mg de magnesio. Hallar cuántas porciones de cada preparado deben utilizarse para satisfacer estos requisitos con el mínimo coste. 5. (Junio 2015) En un edificio público se quieren colocar, al menos, 20 máquinas expendedoras entre las de bebidas calientes y las de bebidas frías. Hay disponibles 12 máquinas de bebidas calientes y 40 de bebidas frías. Se pretende que el número de expendedoras de bebidas calientes no sea superior a una tercera parte del de bebidas frías y que, por lo menos, una quinta parte del total de máquinas que se coloquen sean de bebidas calientes. Cumpliendo las condiciones anteriores, qué combinación de máquinas de cada tipo hace que la diferencia del número de máquinas de bebidas frías menos el de bebidas calientes colocadas sea mayor? 6. (Septiembre 2014) Un profesor proporciona a sus alumnos un listado con 20 problemas del tema 1 y 20 del tema 2. Cada problema del tema 1 vale 5 puntos y cada problema del tema 2 vale 8 puntos. Los alumnos pueden hacer problemas de los dos temas, pero con las siguientes condiciones: Página1

2 1) El número de problemas realizados del tema 1 no puede ser mayor que el número de problemas del tema 2 más 2, ni ser menor que el número de problemas del tema 2 menos 8. 2) La suma de 4 veces el número de problemas realizados del tema 1 con el número de problemas realizados del tema 2 no puede ser mayor que 38. Hallar cuántos problemas del tema 1 y del tema 2 hay que hacer para obtener la máxima puntuación. 7. (Junio 2014) Una fábrica de tintas dispone de 1000 kg del color A, 800 kg del color B y 300 kg del color C, con los que fabrica dos tipos de tinta, una para la etiqueta de un refresco y otra para un cartel. Cada bote de tinta de la etiqueta necesita 10 kg del color A, 5 kg del color B y 5 kg del color C y el de tinta del cartel requiere 5 kg de A y 5 kg de B. Obtiene un beneficio de 30 euros por cada bote de tinta para etiquetas y de 20 euros por cada uno de tinta para carteles. Si vende todos los botes fabricados, cuántos botes de cada tipo de tinta debe fabricar para maximizar su beneficio?, cuál es el beneficio máximo? 8. (Septiembre 2013) Para elaborar un menú se dispone de un primer plato y un segundo plato. Una porción del primer plato contiene 6 mg de vitamina C, 2 mg de hierro y 20 mg de calcio, y aporta 110 calorías. Una porción del segundo contiene 3 mg de vitamina C, 2 mg de hierro y 40 mg de calcio, y aporta 65 calorías. Cuántas porciones de cada plato deben utilizarse para que el menú aporte el menor número de calorías, sabiendo que debe contener al menos 36 mg de vitamina C, 20 mg de hierro y 240 mg de calcio? 9. (Junio 2013) Una pastelería dispone de 100 kg de masa, 80 kg de crema de chocolate y 46 kg de nata. Con estos ingredientes elabora dos tipos de tartas: la tarta de chocolate, que requiere para su elaboración 1 kg de masa y 2 kg de crema de chocolate, y la tarta de chocolate y nata, que requiere 2 kg de masa, 1 kg de crema de chocolate y 1 kg de nata. Por cada tarta de chocolate se obtiene un beneficio de 10 euros, y de 12 euros por cada una de chocolate y nata. Suponiendo que vende todas las tartas, cuántas tartas de cada tipo debe preparar para maximizar su beneficio?, cuál es el beneficio máximo? 10. (Septiembre 2012) Un ayuntamiento desea ajardinar dos tipos de parcelas, tipo A y tipo B, y dispone de 6000 euros para ello. El coste de la parcela A es de 100 euros y el de la B de 150 euros. Se considera conveniente ajardinar al menos tantas parcelas de tipo B como las del tipo A y, en todo caso, no ajardinar más de 30 parcelas de tipo B. Cuántas parcelas de cada tipo tendrá que ajardinar para maximizar el número total de parcelas ajardinadas?, agotará el presupuesto disponible? 11. (Junio 2012) Sea el sistema de inecuaciones: x + y 2 2x + y 6 0 x 2 0 y 4 a) Representa gráficamente el conjunto de soluciones. b) Considera la función f(x,y) = 3x + y. Calcula, si existen, los puntos que dan el valor mínimo de la función en la región definida por el sistema. Página2

3 c) Considera la función f(x,y) = 3x + 3y. Calcula, si existen, los puntos que dan el valor mínimo de la función en la región definida por el sistema. 12. (Septiembre 2011) Un veterinario desea dar a uno de sus animales una dieta que contenga por los menos 40 g de un nutriente A, 60 g de un nutriente B y 230 g del nutriente C cada día. Existen en el mercado dos productos, P 1 y P 2 que en cada bote contienen los siguientes gramos de esos elementos nutritivos: Nutriente A Nutriente B Nutriente C P P Si el precio de un bote del producto P 1 es de 10 euros y el de un bote del producto P 2 es de 16, determina: a) Qué cantidad de botes P 1 y de P 2 debe utilizar para obtener la dieta deseada con el mínimo precio? b) Qué cantidad de cada elemento nutritivo le dará si decide gastar lo menos posible? 13. (Junio 2011) Una cadena de supermercados compra naranjas a dos distribuidores, A y B. Los distribuidores A y B venden las naranjas a 1000 y 1500 euros por tonelada, respectivamente. Cada distribuidor le vende un mínimo de 2 toneladas y un máximo de 7 y para satisfacer su demanda, la cadena debe comprar en total como mínimo 6 toneladas. La cadena debe comprar como máximo al distribuidor A el doble de naranjas que al distribuidor B. Qué cantidad de naranjas debe comprar a cada uno de los distribuidores para obtener el mínimo coste? Determinar dicho coste mínimo. 14. (Septiembre 2010) En una empresa se producen dos tipos de artículos A y B, en cuya elaboración intervienen tres departamentos: cortado, montaje y embalado. Cada departamento trabaja 8 horas al día y mientras el producto A requiere sólo una hora de montaje y media de embalado, el producto B requiere dos horas de cortado y una de embalado. El beneficio que se obtiene por cada unidad de A es de 40 euros y por cada unidad de B de 35 euros. Cómo debe distribuirse la producción diaria para maximizar el beneficio? 15. (Junio 2010) En una encuesta realizada por una televisión local se ha detectado que un programa con 20 min. de variedades y un minuto de publicidad capta espectadores, mientras que otro programa con 10 min. de variedades y un minuto de publicidad capta espectadores. Para un determinado período, la dirección de la red decide dedicar como máximo 80 min. de variedades y 6 min. de publicidad. Cuántas veces deberá aparecer cada programa con objeto de captar el máximo número de espectadores? 16. (Junio 2009) Un atleta debe tomar por lo menos 4 unidades de vitamina A, 6 unidades de vitamina B y 23 de vitamina C cada día. Existen en el mercado dos productos, P1 y P2, que en cada bote contienen las siguientes unidades de esas vitaminas: Página3

4 A B C P P Si el precio de un bote del producto P1 es de 100 euros y el de un bote del producto P2 es de 160 euros, averiguar: a) Cómo deben mezclarse ambos productos para obtener la dieta deseada con el mínimo precio? b) Qué cantidad tomara de cada vitamina si decide gastar lo menos posible? 17. (Septiembre 2008) Un fabricante de coches lanza una oferta especial en dos de sus modelos, ofreciendo el modelo A a un precio de euros y el modelo B a un precio de euros. La oferta está limitada por las existencias que son 20 coches del modelo A y 10 del modelo B, queriendo vender al menos, tantas unidades del modelo A como del modelo B. Por otra parte, para cubrir gastos de esta campaña, los ingresos obtenidos en ella deben ser, al menos, de euros. a) Plantear el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones. b) Cuántos coches deberá vender de cada modelo para maximizar sus ingresos? Cuál es su importe? 18. (Junio 2008) Un taller de bisutería produce sortijas sencillas a 4,5 euros y sortijas adornadas a 6 euros. Las máquinas condicionan la producción de modo que no pueden salir al día más de 400 sortijas sencillas, ni más de 300 adornadas, ni más de 500 en total. a) Cuántas unidades de cada modelo se pueden vender? Plantear el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones. b) Suponiendo que se vende toda la producción cuántas unidades de cada clase interesará fabricar para obtener los máximos ingresos? 19. (Septiembre 2007) En un taller de chapa se pueden fabricar dos tipos de carrocerías A y B. Cada carrocería de tipo A necesita 4 horas de pintura y cada carrocería de tipo B necesita 6 horas de pintura, disponiéndose de un máximo de 500 horas mensuales para la pintura de las carrocerías. Si los beneficios de cada carrocería son de 2000 euros y 3500 euros para los tipos A y B respectivamente: a) Calcular el número de carrocerías de cada tipo que deben producirse para obtener el máximo beneficio si tienen que fabricar un mínimo de 80 y un máximo de 100 carrocerías de tipo A. b) Cuál es el beneficio máximo obtenido? 20. (Junio 2007) Una fábrica de bombones tiene almacenados 500 kg. de chocolate, 100kg. de almendras y 85kg. de frutas. Produce dos tipos de cajas de bombones: tipo A y tipo B. Cada caja de tipo A contiene 3kg. de chocolate, 1kg. de almendras y 1kg. de frutas, mientras que cada caja de tipo B contiene 2kg. de chocolate, 1.5kg. de almendras y 1kg. de frutas. Los precios de las cajas de tipo A y B son 130 euros y 135 euros respectivamente. Página4

5 a) Cuántas cajas debe fabricar de cada tipo para maximizar su ganancia? b) Cuál es el beneficio máximo obtenido? 21. (Septiembre 2006) Para la elaboración de dos tipos de refrescos R1 y R2 se utilizan (además de agua) dos tipos de productos A y B. Cada refresco del tipo R1 contiene 3 gramos del producto A y 3 gramos del producto B y cada refresco del tipo R2 contiene 3 gramos del producto A y 6 gramos del producto B. Se dispone en total de 120 gramos de producto A y 180 gramos de producto B. Cuántos refrescos de cada clase se han de elaborar para obtener un beneficio máximo sabiendo que con los refrescos R1 la ganancia es de 3 euros y con los refrescos R2 la ganancia es de 4 euros? 22. (Junio 2006) Una persona tiene euros para invertir en dos tipos de acciones A y B. Las acciones de tipo A tienen bastante riesgo con un interés anual del 10% y las acciones del tipo B son bastante seguras con un interés anual del 7%. Decide invertir como máximo euros en las de tipo A y como mínimo euros en las de tipo B e invertir en las de tipo A por lo menos tanto como en las de tipo B. Cómo debería invertir sus euros para maximizar sus intereses anuales? 23. (Septiembre 2005) Una fábrica de tableros de madera pintados produce dos tipos de tableros: tableros normales (una mano de imprimación más otra mano de pintura) y tableros extras (una mano de imprimación y tres manos de pintura). Disponen de imprimación para m 2, pintura para m 2 y tableros sin pintar en cantidad ilimitada. Sus ganancias netas son: 3 euros por el m 2 de tablero normal y 5 euros por el m 2 de tablero extra. (a) Qué cantidad de tablero de cada tipo les conviene fabricar para que las ganancias sean máximas? (b) Y si ganara 1 euro por el m2 de tablero normal y 4 euros por el m2 de tablero extra? 24. (Junio 2005) Un grupo de alumnos formado por veinte chicas y diez chicos organizan un viaje. Para que el viaje les salga más económico deciden pedir trabajo por las tardes en una compañía que se dedica a realizar encuestas y que contrata a equipos de jóvenes de dos tipos: Tipo A: Parejas (una chica y un chico). Tipo B: Equipos de cuatro (tres chicas y un chico). La compañía paga 30 euros por la tarde de la pareja y 50 euros por la tarde del equipo de cuatro. (a) Cómo les conviene distribuirse para sacar la mayor cantidad posible de dinero? (b) Y si les pagara 30 euros por la tarde de la pareja y 30 euros por la tarde del equipo de cuatro? 25. (Septiembre 2004) Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 céntimos por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 céntimos por impreso. El estudiante lleva dos bolsas, una para los impresos A, en la que caben 120, y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día Página5

6 es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Cuántos impresos tendrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo? 26. (Junio 2004) Un autobús Madrid-París ofrece plazas para fumadores al precio de 100 euros y para no fumadores al precio de 60 euros. Al no fumador se le deja llevar 50 kg de peso y al fumador 20 kg. Si el autobús tiene 90 plazas y admite un equipaje de hasta 3000 kg, cuál debe ser la oferta de plazas de la compañía para optimizar el beneficio? Página6

7 SOLUCIONES 1. Sea x: m de tela de A y: m de tela de B La función objetivo es F(x, y) = 2x + 3y, que hay que minimizar 200 x y 700 x + y 600 x 2y A(400,200), B(700,350), C(700,700), D(200,700) y E(200, 400) A(400,200) F(400,200) = = 1400 F(x,y) = 2x+ 3y B(700,350) F(700,350) = = 2400 F(x,y) = 2x+ 3y C(700,700) F(700,700) = = 3500 F(x,y) = 2x+ 3y D(200,700) F(200,700) = = 2500 F(x,y) = 2x+ 3y E(200,400) F(200, 400) = = 1600 F(x,y) = 2x+ 3y El mínimo se alcanza en el punto A, por lo que debe comprar 400 m de tela al distribuidor A y 200 m de tela al B para obtener un coste mínimo, siendo éste de Sea x: días de trabajo del taller A y: días de trabajo del taller B La función objetivo es F(x, y) = 75x + 90y, que hay que minimizar Página7

8 6x + 4y 180 3x + 2y 90 2x + 3y x y x 0 simplificando x 0 y 0 y 0 A(6,36), B(60,0) y C(0,45). A(6,36) F(6,36) = = 3690 F(x,y) = 75x+ 90y B(60,0) F(60,0) = = 4500 F(x,y) = 75x+ 90y C(0, 45) F(0, 45) = = 4050 F(x,y) = 75x+ 90y El mínimo se alcanza en el punto A, por lo que debe trabajar 6 días el taller A y 36 el taller B para obtener un coste mínimo, siendo este de Sea x: nº de lotes de la granja A y: nº de lotes de la granja B La función objetivo es F(x, y) = 6x + 4y, que hay que minimizar Página8

9 4x + 2y 80 2x + y 40 12x + 2y x + y 2x + 6y 90 x + 3y simplificando x 0 x 50 0 y 60 0 y 60 Buscamos la paralela que pasa por un vértice y da una ordenada menor en el origen: es la que pasa por el vértice intersección de: 4x + 2y = 80 2x + 6y = 90 es (15,10) Luego para obtener el menor coste habrá que comprar 15 lotes de A y 10 lotes de B. El coste mínimo será entonces: F(15, 10) = = 130 euros. 4. Sea x: nº porciones de A y: nº porciones de B La función objetivo es F(x, y) = 5x + 3y, que hay que minimizar 30x + 40y 350 3x + 4y 35 10x + 30y x + y 40x + 20y 300 2x + y 15 0 simplificando x x 0 y 0 y 0 Página9

10 2x+y=15 17 y A x+4y= B x+3y= C D x A(0,15), B(5,5) y C(9,2) y D(15,0) A(0,15) F(0,15) = = 45 F(x,y) = 5x+ 3y B(5,5) F(5,5) = = 40 F(x,y) = 5x+ 3y C(9,2) F(9,2) = = 54 F(x,y) = 5x+ 3y D(15,0) F(15,0) = = 75 F(x,y) = 5x+ 3y El mínimo se alcanza en el punto B, por lo que debe realizar 5 porciones de A y 5 de B para tener un coste mínimo, siendo éste de Sea x: nº de máquinas expendedoras de bebidas calientes y: nº de máquinas expendedoras de bebidas frías La función objetivo es F(x, y) = y - x, que hay que maximizar x + y 20 x 12 y 40 y x 3 x + y x 5 Página10

11 A(4,16), B(5,12), C(12,36), D(12,40) y E(10,40) A(4,16) F(4,16) = 16 4 = 12 F(x,y) = y x B(5,12) F(5,12) = 12 5 = 7 F(x,y) = y x C(12,36) F(12,36) = = 24 F(x,y) = y x D(12,40) F(12,40) = = 28 F(x,y) = y x E(10, 40) F(10, 40) = = 30 F(x,y) = y x Por tanto, el máximo se alcanza en el punto E, por lo que para obtener la mayor diferencia habrá que poner 10 máquinas expendedoras de bebidas calientes y 40 de máquinas expendedoras de bebidas frías. 6. Sea x: nº de problemas tema 1 y: nº de problemas tema 2 La función objetivo, que representa el número de puntos es F(x, y) = 5x + 8y, que hay que maximizar. Página11

12 x y + 2 x y 8 4x y 38 x + 0 y 0 A(0,0), B(2,0), C(8,6), D(6,14) y E(0,8) A(0,0) F(0,0) = = 0 puntos F(x,y) = 5x+ 8y B(2,0) F(2,0) = = 10 puntos F(x,y) = 5x+ 8y C(8,6) F(8,6) = = 88 puntos F(x,y) = 5x+ 8y D(6,14) F(6,14) = = 142 puntos E(0,8) F(x,y) = 5x+ 8y F(0,8) = = 64 puntos F(x,y) = 5x+ 8y El máximo se alcanza en el punto D, por lo que para obtener la mayor puntuación debe realizar 6 ejercicios del tema 1 y 14 del tema 2, siendo la máxima puntuación de 142 puntos. 7. Sea x: nº de botes de tinta para etiqueta y: nº de botes de tinta para cartel La función objetivo, que representa el beneficio es F(x, y) = 30x + 20y, que hay que maximizar. Página12

13 10x + 5y x + y 200 5x + 5y x + y 5x 300 x 60 0 simplificando x x 0 y 0 y 0 A(0,0), B(60,0), C(60,80), D(40,120) y E(0,160) A(0,0) F(0,0) = = 0 20y B(60,0) F(60,0) = = y C(60,80) F(60,80) = = y D(40,120) F(0,0) = = 3600 E(0,160) 20y F(x, y) = 30x+ 20y F(0,160) = = 3200 El máximo se alcanza en el punto D, por lo que para obtener la mayor ganancia el fabricante deberá producir 40 botes de tinta para etiqueta y 120 botes de tinta para cartel. La ganancia máxima será de Sea x: nº de porciones del primer plato y: nº de porciones del segundo plato La función objetivo, que representa el número de calorías, es F(x, y) = 110x + 65y, que hay que minimizar Página13

14 6x + 3y 36 2x + y 12 2x + 2y x + y 20x + 40y 2400 x + 2y 12 0 simplificando x x 0 y 0 y 0 Representamos la región factible: Buscamos la paralela que pasa por un vértice y da una ordenada menor en el origen: es la que pasa por el vértice intersección de: 2x + y = 12 x + y = 10 es A(2,8) Por tanto, con 2 porciones del primer plato y 8 del segundo tenemos el mínimo de calorías, siendo esta combinación de 740 calorías. 9. Sea x: nº de tartas de chocolate y: nº de tartas de nata y chocolate La función objetivo beneficio es F(x, y) = 10x + 12y.Hay que maximizar x + 2y 100 2x + y 80 y 46 x 0 y 0 Página14

15 A(0,0), B(40,0), C(20,40), D(8,46) y E(0,46) A(0,0) F(0,0) = = 0 F(x,y) = 10x+ 12y B(40,0) F(40,0) = = 400 F(x,y) = 10x+ 12y C(20, 40) F(20, 40) = = 680 F(x,y) = 10x+ 12y D(8, 46) F(8,46) = = 632 E(0, 46) F(x,y) = 10x+ 12y F(x,y) = 10x+ 12y F(0,46) = = 552 El máximo se alcanza en el punto C, por lo que debe hacer 20 tartas de chocolate y 40 de chocolate y nata para obtener un beneficio máximo, siendo éste de Sea x: nº de parcelas tipo A y: nº de parcelas tipo B La función objetivo número total de parcelas a ajardinar es F(x, y) = x + y.hay que maximizar Página15

16 y x y x y y 100x + 150y x + 3y 120 x 0 Simplificando x 0 y 0 y 0 A(0,0), B(24,24), C(15,30) y D(0,30) A(0,0) F(0,0) = = 0 F(x,y) = x+ y B(24,24) F(24,24) = = 48 F(x,y) = x+ y C(15,30) F(15,30) = = 45 F(x,y) = x+ y D(0,30) F(0,30) = = 30 F(x,y) = x+ y El máximo se alcanza en el punto B, por lo que debe ajardinar 24 parcelas tipo A y 24 tipo B, con un coste 6000, por lo que sí agota el presupuesto. 11. a) Representamos gráficamente la región factible Página16

17 b) Evaluamos la función en los vértices: A(0,2) F(0,2) = = 2 F(x,y) = 3x+ y B(2,0) F(2,0) = = 6 F(x,y) = 3x+ y C(2,2) F(2,2) = = 8 F(x,y) = 3x+ y D(1,4) F(1, 4) = = 7 F(x,y) = 3x+ y E(0,4) F(0,4) = = 4 F(x,y) = 3x+ y El mínimo se alcanza en el punto (0,2) c) Evaluamos la función en los vértices: A(0,2) F(0,2) = = 6 F(x,y) = 3x+ 3y B(2,0) F(2,0) = = 6 F(x,y) = 3x+ 3y C(2,2) F(2,2) = = 12 F(x,y) = 3x+ 3y D(1,4) F(1, 4) = = 15 F(x,y) = 3x+ 3y E(0,4) F(0,4) = = 12 F(x,y) = 3x+ 3y El valor mínimo se alcanza en el segmento de extremos (0,2) y (2,0) 12. a) Sea x: nº de botes del producto P 1 y: nº de botes del producto P 2 La función objetivo coste es F(x, y) = 10x + 16y.Hay que minimizar Página17

18 40x + 10y 40 4x + y 4 10x + 60y x + y 60x + 100y 230 6x + 10y 23 x 0 Simplificando x 0 y 0 y 0 A(0,4), B(0 5,2), C(3,0 5) y D(6,0) A(0, 4) F(0,0) = = 64 F(x,y) = 10x+ 16y B(0' 5,2) F(0,0) = 10 0' = 37 F(x,y) = 10x+ 16y C(3,0'5) F(3,0'5) = '5 = 38 F(x,y) = 10x+ 16y D(6,0) F(6,0) = = 60 F(x,y) = 10x+ 16y El máximo se alcanza en el punto B, por lo que para minimizar el coste debe mezclar medio bote de P 1 con 2 botes de P 2 b) Nutriente A: = 40 gr Nutriente B: = 125 gr Nutriente C: = 230 gr Página18

19 13. Sea x: nº de toneladas compradas a A y: nº de toneladas compradas a B La función objetivo coste es F(x, y) = x + 1 5y.Hay que minimizar 2 x 7 2 y 7 x 2y x + y 6 A(2,4), B(2,7), C(7,7) y D(7,7/2) A(2,4) F(2,4) = = 8000 F(x,y) = 1000x+ 1500y B(2,7) F(2,7) = = F(x,y) = 1000x+ 1500y C(7,7) F(7,7) = = F(x,y) = 1000x+ 1500y D(7, ) F(7, ) = = F(x,y) = 1000x+ 1500y E(4,2) F(4,2) = = 7000 F(x,y) = 1000x+ 1500y El mínimo se alcanza en el punto E, por lo que debe comprar 4 toneladas al distribuidor A y 2 al B para obtener el coste mínimo, siendo este de Página19

20 14. Sea x: nº de artículos de A y: nº de artículos de B La función objetivo ganancia es F(x, y) = 40x + 35y.Hay que maximizar 2y 8 y 4 x 8 8 x 1 1 x + y x y Simplificando 2 x 0 x 0 y 0 y 0 A(0,0), B(8,0), C(8,4) y D(0,4) A(0,0) F(0,0) = = 0 F(x,y) = 40x+ 35y B(8,0) F(8,0) = = 320 F(x,y) = 40x+ 35y C(8,4) F(8,4) = = 460 F(x,y) = 40x+ 35y D(0,4) F(0,4) = = 140 F(x,y) = 40x+ 35y Página20

21 El máximo se alcanza en el punto C, por lo que deben producirse 8 artículos de A y 4 de B para obtener el máximo beneficio, siendo este de Sea x: nº de veces que aparece el programa de 20 minutos de variedades y un minuto de publicidad y: nº de veces que aparece el programa de 10 minutos de variedades y un minuto de publicidad. La función objetivo número de espectadores en miles es F(x, y) = 30x + 10y.Hay que maximizar 20x + 10y 80 2x + y 8 x + y x y x 0 Simplificando x 0 y 0 y 0 A(0,0), B(4,0), C(2,4) y D(0,6) Página21

22 A(0,0) F(0,0) = = 0 10y B(4,0) F(4,0) = = y C(2,4) F(2,4) = = y D(0,6) F(0,6) = = 60 10y El máximo se alcanza en el punto D, por lo que el mayor número de espectadores se produce emitiendo 4 veces el programa de 20 minutos de variedades y un minuto de publicidad y ninguna el otro. 16. Sea x: nº de botes del producto P 1 y: nº de botes del producto P 2 La función objetivo coste es F(x, y) = 100x + 160y.Hay que minimizar 4x + y 4 x + 6y 6 6x 10y 23 x + 0 y 0 A(0,4), B(0 5,2), C(3,0 5) y D(6,0) Página22

23 A(0,0) F(0,0) = = 0 F(x,y) = 40x+ 35y B(8,0) F(8,0) = = 320 F(x,y) = 40x+ 35y C(8,4) F(8,4) = = 460 F(x,y) = 40x+ 35y D(0,4) F(0,4) = = 140 F(x,y) = 40x+ 35y El máximo se alcanza en el punto C, por lo que deben producirse 8 artículos de A y 4 de B para obtener el máximo beneficio, siendo este de Sea x: nº de coches de modelo A y: nº de coches de modelo B La función objetivo ingresos es F(x, y) = 15x + 20y.Hay que maximizar. Trabajamos en miles de euros. x 20 x 20 y y x y x y 15x + 20y 60 Simplificando 3x + 4y 12 x 0 x 0 y 0 y 0 Página23

24 A(12/7, 12/7), B(4,0), C(20,0) y D(20,10) A(12 / 7,12 / 7) F(0,0) = = F(x,y) = 15x+ 20y F(x,y) = 15x+ 20y F(x,y) = 15x+ 20y F(x,y) = 15x+ 20y B(4,0) F(4,0) = = 60 C(20,0) F(20,0) = = 300 D(20,10) F(20,10) = = 500 El máximo se alcanza en el punto D, por lo que deben venderse 20 coches del A y 10 del B para obtener un beneficio máximo, siendo este de Sea x: nº de sortijas sencillas y: nº de sortijas adornadas La función objetivo ganancia es F(x, y) = 4,5x + 6y.Hay que maximizar. x 400 y 300 x + y 500 x 0 y 0 Página24

25 A(0,0), B(400,0), C(400,100), D(200,300) y E(0,300) A(0,0) F(0,0) = 4, = 0 F(x,y) = 4,5x+ 6y B(400,0) F(400,0) = 4, = 1800 F(x,y) = 4,5x+ 6y C(400,100) F(400,100) = 4, = 2400 F(x,y) = 4,5x+ 6y D(200,300) F(200,300) = 4, = 2700 F(x,y) = 4,5x+ 6y E(0,300) F(0,300) = 4, = 1800 F(x,y) = 4,5x+ 6y El máximo se alcanza en el punto D, por lo que deben fabricarse 200 sortijas sencillas y 300 adornadas para obtener la máxima ganancia, siendo esta de Sea x: nº de carrocerías de tipo A y: nº de carrocerías de tipo B La función objetivo beneficio es F(x, y) = 2000x y.Hay que maximizar. 4x + 6y 500 2x + 3y x x x 0 Simplificando x 0 y 0 y 0 Página25

26 A(80,0), B(100,0), C(100,100/6) y D(80,30) A(80,0) F(80,0) = = F(x,y) = 2000x+ 3500y B(100,0) F(100,0) = = F(x,y) = 2000x+ 3500y C(100,100 / 6) F(100,100 / 6) = / 6 = ,33 F(x,y) = 2000x+ 3500y D( 80,30) F(80,30) = = F(x,y) = 2000x+ 3500y El máximo se alcanza en el punto D, por lo que deben producirse 80 carrocerías del tipo A y 30 del tipo B para obtener un máximo beneficio, siendo este de Sea x: nº de cajas de tipo A y: nº de cajas de tipo B La función objetivo ganancia es F(x, y) = 130x + 135y.Hay que maximizar. 3x + 2y 500 x + 1,5 y 100 x + y 85 x 0 y 0 Página26

27 A(0,0), B(85,0), C(55,30) y D(0,200/3) A(0,0) F(,) = = 0 F(x,y) = 130x+ 135y B(85,0) F(85,0) = = F(x,y) = 130x+ 135y C(55,30) F(55,30) = = F(x,y) = 130x+ 135y 200 D(0,200 / 3) F(0,200 / 3) = = F(x,y) = 130x+ 135y El máximo se alcanza en el punto C, por lo que debe fabricar 55 cajas tipo A y 30 cajas tipo B para obtener la máxima ganancia, siendo esta de Sea x: nº de refrescos de tipo R 1 y: nº de refrescos de tipo R 2 La función objetivo beneficio es F(x, y) = 3x + 4y.Hay que maximizar. 3x + 3y 150 x + y 40 3x + 6y x y x 0 Simplificando x 0 y 0 y 0 Página27

28 A(0,0), B(40,0), C(20,20) y D(0,30) A(0,0) F(0,0) = = 0 F(x,y) = 3x+ 4y B(40,0) F(40,0) = = 120 F(x,y) = 3x+ 4y C(20,20) F(20,20) = = 140 F(x,y) = 3x+ 4y D(0,30) F(0,30) = = 120 F(x,y) = 3x+ 4y El máximo se alcanza en el punto C, por lo que debe elaborar 20 refrescos tipo R 1 y 20 refrescos tipo R 2 para obtener un beneficio máximo, siendo este de Sea x: nº de euros invertidos en acciones tipo A y: nº de euros invertidos en acciones tipo B La función objetivo ganancia es F(x, y) = 0,1x + 0,07y.Hay que maximizar. x + y x y x y La región factible, representada con escala en miles, es: Página28

29 A(100,100), B(300,100), C(300,200) y D(250,250) A(100,100) F(100,100) = 0, , = 17 miles de F(x,y) = 0,1x + 0,07y B(300,100) F(300,100) = 0, , = 37 miles de F(x,y) = 0,1x + 0,07y C(300,200) F(300,200) = 0, , = 44 miles de F(x,y) = 0,1x + 0,07y D(250,250) F(250,250) = 0, , = 42,5 miles de F(x,y) = 0,1x + 0,07y El máximo se alcanza en el punto C, por lo que para maximizar beneficios ha de invertir en las acciones tipo A y en las tipo B. El beneficio máximo sería Sea x: nº de miles de m 2 de tableros normales y: nº de miles de m 2 de tableros extras La función objetivo ganancia es F(x, y) = 3000x y.Hay que maximizar. x + y 10 x + 3y 20 x 0 y 0 Página29

30 A(0,0), B(10,0), C(5,5) y D(0,20/3) a) A(0,0) F(0,0) = = 0 F(x,y) = 3000x+ 5000y B(10,0) F(10,0) = = F(x,y) = 3000x+ 5000y C(5,5) F(5,5) = = F(x,y) = 3000x+ 5000y D(0, ) F(0, 3 3 F(x,y) = 3000x+ 5000y 20 ) = = ,33 3 El máximo se alcanza en el punto C, por lo que debe fabricar 5000 m 2 de tablero de cada clase para obtener un máximo beneficio, siendo este de b) Ahora la función objetivo es F(x, y) = 1000x y A(0,0) F(0,0) = = 0 F(x,y) = 1000x+ 4000y B(10,0) F(10,0) = = F(x,y) = 1000x+ 4000y C(5,5) F(5,5) = = F(x,y) = 1000x+ 4000y D(0, ) F(0, 3 3 F(x,y) = 1000x+ 4000y 20 ) = = ,67 3 El máximo se alcanza en el punto D, por lo que debe fabricar 6667 m 2 de tablero extra 24. Sea x: nº de parejas y: nº de equipos de 4 La función objetivo dinero obtenido es F(x, y) = 30x + 50y.Hay que maximizar. x + y 10 x + 3y 20 x 0 y 0 Página30

31 A(0,0), B(10,0), C(5,5) y D(0,20/3) a) A(0,0) F(0,0) = = 0 50y B(10,0) F(10,0) = = y C(5,5) F(5,5) = = y D(0, ) F(0, ) ,33 3 = + = y El máximo se alcanza en el punto C, por lo que deben hacer 5 parejas y 5 grupos de 4 para obtener el máximo dinero posible, siendo este de 400 b) Ahora la función objetivo es F(x, y) = 30x + 30y A(0,0) F(0,0) = = 0 30y B(10,0) F(10,0) = = y C(5,5) F(5,5) = = y D(0, ) F(0, ) = + = y Como en 2 puntos se alcanza el máximo, las soluciones se encuentran en el segmento de extremos B y C. Además, al tener que ser las soluciones enteras, se tiene el siguiente conjunto de soluciones: (5,5), (6,4), (7,3), (8,2), (9,1), (10,0) Página31

32 25. Sea x: nº de impresos de empresa A y: nº de impresos de empresa B La función objetivo ganancia es F(x, y) = 5x + 7y.Hay que maximizar. x 120 y 100 x + y 150 x 0 y 0 A(0,0), B(120,0), C(120,30), D(50,100) y E(0,100) A(0,0) F(0,0) = = 0 céntimos F(x,y) = 5x+ 7y B(120,0) F(120,0) = = 600 céntimos F(x,y) = 5x+ 7y C(120,30) F(120,30) = = 810 céntimos F(x,y) = 5x+ 7y D(50,100) F(50,100) = = 950 céntimos F(x,y) = 5x+ 7y E(0,100) F(0,100) = = 700 céntimos F(x,y) = 5x+ 7y Página32

33 El máximo se alcanza en el punto D, por lo que deberá repartir 50 impresos de la empresa A y 100 de la B para obtener el máximo beneficio, siendo este de 9, Sea x: nº de plazas de fumadores y: nº de plazas de no fumadores La función objetivo beneficio es F(x, y) = 100x + 60y.Hay que maximizar. x + y 90 x + y 90 20x + 50y x y x 0 Simplificando x 0 y 0 y 0 A(0,0), B(90,0), C(50,40) y D(0,60) A(0,0) F(0,0) = = 0 F(0,0) = 100x+ 60y B(90,0) F(90,0) = = 9000 F(90,0) = 100x+ 60y C(50,40) F(50,40) = = 7400 F(50,40) = 100x+ 60y D(0,60) F(0,60) = = 3600 F(0,60) = 100x+ 60y Página33

34 El máximo se alcanza en el punto B, por lo que el autobús solo debe ofertar 90 plazas para fumadores. El máximo beneficio será de PROGRAMACIÓN LINEAL EN OTRAS COMUNIDADES (Andalucía Junio) Un distribuidor de software informático tiene en su cartera de clientes tanto a empresas como a particulares. Ha de conseguir al menos 25 empresas como clientes y el número de clientes particulares deberá ser como mínimo el doble que el de empresas. Por razones de eficiencia del servicio postventa, tiene estipulado un límite global de 120 clientes anuales. Cada empresa le produce 386 de beneficio, mientras que cada particular le produce 229. Qué combinación de empresas y particulares le proporcionará el máximo beneficio? A cuánto ascenderá ese beneficio? Solución Sea x: nº de empresas clientes y: nº de clientes particulares La función objetivo beneficio es F(x, y) = 386x + 229y.Hay que maximizar. x 25 y 2x x + y 120 x 0 y 0 A(25,50), B(40,80) y C(25,95) Página34

35 A(25,50) F(25,50) = = F(25,50) = 386x+ 229y B(40,80) F(40,80) = = F(25,50) = 386x+ 229y C(25,95) F(25,95) = = F(25,50) = 386x+ 229y El máximo se alcanza en el punto B, por lo que debe tener 40 empresas clientes y 80 clientes particulares para obtener el beneficio máximo, siendo este de (Andalucía Septiembre) Solución: a) Represente el recinto definido por las siguientes inecuaciones: x + y 3 2x + y 4 y 1 b) Razone si el punto (2, 1) pertenece al recinto anterior. c) Obtenga los vértices del recinto y los valores mínimo y máximo de la función F(x,y)= 5x + 4y en ese recinto, indicando en qué puntos se alcanzan. El punto (2,1) pertenece al recinto ya que sus coordenadas verifican todas las inecuaciones de lo determinan. A(2 5,-1), B(4,-1) y C(1,2) Página35

36 A(2'5,1) F(2'5,1) = 5 2' = 8,5 F(x,y) = 5x+ 4y B(4, 1) F(4, 1) = ( 1) = 16 F(x,y) = 5x+ 4y C(1,2) F(1,2) = = 13 F(x,y) = 5x+ 4y El máximo de la función F es 16 y se alcanza en B(4,-1) y el mínimo es 8,5 y se alcanza en A(2 5, -1) 3. (Aragón Junio) Una empresa de transporte va a realizar el transporte de animales de compañía entre dos ciudades. Para ello, va a alquilar furgonetas especializadas en este tipo de transporte, que pueden ser de dos tipos, A y B. Cada furgoneta de tipo A tiene 4 jaulas individuales para perros y 3 jaulas individuales para gatos, mientras que cada furgoneta de tipo B tiene 2 jaulas individuales para perros y 6 jaulas individuales para gatos. El coste de alquiler de cada furgoneta de tipo A es de 240 euros y el coste de alquiler de cada furgoneta de tipo B es de 400 euros. Además, por razones comerciales, el número de furgonetas de tipo B debe ser mayor o igual que el número de tipo A. La empresa tiene que garantizar espacio para, al menos, 24 perros y 54 gatos. Plantear y resolver un problema de programación lineal para determinar cuántas furgonetas de cada tipo debe alquilar para que el coste sea mínimo. Cuál es el valor de ese coste mínimo? Solución: Sea x: nº de furgonetas tipo A y: nº de furgonetas tipo B La función objetivo coste es F(x, y) = 240x + 400y.Hay que minimizar. 4x + 2y 24 x + y 12 3x + 6y x y y x y x x 0 Simplificando x 0 y 0 y 0 Página36

37 A(0,12), B(2,8) y C(6,6) A(0,12) F(0,12) = = 4800 F(x,y) = 240x+ 400y B(2,8) F(2,8) = = 3680 F(x,y) = 240x+ 400y C(6,6) F(6,6) = = 3840 F(x,y) = 240x+ 400y El mínimo se alcanza en B por lo que debe alquilar 2 furgonetas tipo A y 8 del tipo B para obtener el coste mínimo, siendo este de (Aragón-Septiembre) Una asociación está organizando un viaje a un parque temático para sus socios. Para comprar las entradas, la asociación ha llegado a un acuerdo con la dirección del parque, de forma que puede comprar dos tipos de entradas, Grupal-A y Grupal-B con las siguientes características: Sea Cada entrada de tipo Grupal-A permite entrar al parque a 2 adultos y 3 niños, y cuesta 85 euros. Cada entrada de tipo Grupal-B permite entrar al parque a 4 adultos y 12 niños, y cuesta 230 euros. Deben comprarse, al menos, 4 entradas de tipo Grupal-A y 2 entradas de tipo Grupal-B. La asociación quiere que entren al parque, al menos, 40 adultos y 96 niños. Plantear y resolver un problema de programación lineal para determinar cuántas entradas de cada tipo Grupal-A y Grupal-B debe comprar para minimizar el coste total. Cuál es el valor de ese coste mínimo? Solución: x: nº de entradas grupal A y: nº de entradas grupal B Página37

38 La función objetivo coste es F(x, y) = 85x + 230y.Hay que minimizar. 2x + 4y 40 x + 2y 20 3x + 12y x y x 4 Simplificando x 4 y 2 y 2 A(4,8), B(8,6) y C(24,2) A(4,8) F(4,8) = = 2180 F(x,y) = 85x+ 230y B(8,6) F(8,6) = = 2060 F(x,y) = 85x+ 230y C(24,2) F(24,2) = = 2500 F(x,y) = 85x+ 230y Deben comprar 8 entradas grupal A y 6 entradas grupal B para obtener el mínimo coste, siendo este de (Asturias-Junio) Una empresa fabrica dos productos A y B con tres ingredientes distintos I1, I2 e I3. Para fabricar el producto A necesita 3 unidades del ingrediente I1 y 1 unidad del ingrediente I2. Para fabricar el producto B necesita 2 unidades del ingrediente I1 y otras 2 del ingrediente I3. Un día concreto, tiene en el almacén 18 Página38

39 unidades del ingrediente I1, 4 del I2 y 12 del I3. Se sabe además que el beneficio obtenido con cada producto A es de 30 euros y con cada producto B es de 50 Solución: Sea a) Cuántos productos de tipo A y cuántos de tipo B puede fabricar ese día para cumplir todos los requisitos anteriores? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. Se podrían fabricar 2 productos de cada tipo en ese día? b) Cuántos debe fabricar para maximizar el beneficio? y para maximizar el número total de productos fabricados? x: nº de productos tipo A y: nº de productos tipo B La función objetivo beneficio es F(x, y) = 30x + 50y.Hay que maximizar. 3x + 2y 18 3x + 2y 18 x 4 4 x 2y 12 y 6 x 0 Simplificando x 0 y 0 y 0 Si se podrían fabricar 2 productos de cada tipo ya que el punto (2,2) pertenece a la región factible A(0,0), B(4,0), C(4,3), D(2,6) y E(0,6) Página39

40 A(0,0) F(0,0) = = 0 50y B(4,0) F(4,0) = = y C(4,3) F(4,3) = = y D(2,6) F(2,6) = = 360 E(0,6) 50y 50y F(0,6) = = 300 Debe fabricas 2 productos tipo A y 6 tipo B para obtener un beneficio máximo, siendo este de (Asturias Septiembre) Un centro comercial tiene en existencias 750 reproductores de DVD en el almacén A y otros 600 en el almacén B. Si se quiere tener al menos 900 reproductores en tienda, Solución: Sea a) Cuántas unidades se podrían enviar desde cada almacén? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. Se podrían enviar 400 unidades desde cada almacén? b) Si los costes unitarios de envío son 0,30 euros por unidad para el almacén A y 0,25 euros por unidad para el almacén B, cuántas unidades se deben enviar desde cada almacén para minimizar el coste de transporte? a cuánto ascendería dicho coste? x: nº de unidades almacén A y: nº de unidades almacén B La función objetivo coste es F(x, y) = 0 3x y.Hay que minimizar x 750 y 600 x + y 900 x 0 y 0 Página 40

41 A(750,150), B(750,600) y C(300,600) A(750,150) F(750,150) = 0' ' = 262'5 F(x,y) = 0'3x+ 0'25y B(750,600) F(750,600) = 0' ' = 375 F(x,y) = 0'3x+ 0'25y C(300,600) F(300,600) = 0' ' = 240 F(x,y) = 0'3x+ 0'25y El mínimo se alcanza en el punto B por lo que se deben enviar 300 unidades del almacén A y 600 del B para obtener un coste mínimo, siendo este de (Cantabria- Junio) Una frutería quiere dar salida esta semana a 50 kg de manzanas y 27 kg de naranjas que le han quedado por vender. Para ello prepara dos tipos de cajas: A y B. Cada caja del tipo A contiene 5 kg de manzanas y 2 kg de naranjas. Y cada caja del tipo B, 5 kg de manzanas y 3 kg de naranjas. El precio de venta de cada caja A es de 7,5 euros y el precio de venta de cada caja B es de 8,5 euros. Cuántas cajas de cada tipo debe vender para maximizar sus ingresos? Sea Solución: x: nº de cajas A y: nº de cajas B La función objetivo ingresos es F(x, y) = 7 5x + 8 5y.Hay que maximizar Página 41

42 5x + 5y 50 x + y 10 2x + 3y x y x 0 Simplificando x 0 y 0 y 0 A(0,0), B(10,0), C(3,7) y D(0,9) A(0,0) F(0,0) = 7' '5 0 = 0 F(x,y) = 7'5x+ 8'5y B(10,0) F(10,0) = 7' '5 0 = 75 F(x,y) = 7'5x+ 8'5y C(3,7) F(3,7) = 7' '5 7 = 82 F(x,y) = 7'5x+ 8'5y D(0,9) F(0,9) = 7' '5 9 = 76'5 F(x,y) = 7'5x+ 8'5y Deben vender 3 cajas tipo A y 7 tipo B para obtener los máximos ingresos, siendo estos de (Cantabria Septiembre) Considérese una pequeña empresa dedicada a la fabricación de mobiliario. En concreto, produce dos modelos de armario A y B. Se dispone de 12 carpinteros para ensamblar los muebles, cada uno de ellos con una jornada laboral de 8 horas diarias. Página 42

43 El tiempo de ensamblado de cada tipo de mueble y los beneficios obtenidos por la vente de cada unidad se muestran en la tabla adjunta: Tiempo de ensamblado Beneficios 1 unidad del modelo A 3 horas 70 euros 1 unidad del modelo B 6 horas 160 euros Sea La producción diaria total debe ser de 15 unidades como mínimo, con la condición de que el número de unidades del modelo B debe ser como máximo la mitad del número de muebles del modelo A. Si la empresa vende todo lo que fabrica, cuántos armarios de cada modelo deben producirse al día para obtener los máximos beneficios diarios? Solución: x: nº de armarios A y: nº de armarios B La función objetivo beneficio es F(x, y) = 70x + 160y.Hay que maximizar 3x + 6y 96 x + 2y 32 x + y x y x 0 Simplificando x 0 y 0 y 0 A(15,0), B(32,0), C(16,8) y D(10,5) Página 43

44 A(15,0) F(15,0) = = 1050 F(x,y) = 70x+ 160y B(32,0) F(32,0) = = 2240 F(x,y) = 70x+ 160y C(16,8) F(16,8) = = 2400 F(x,y) = 70x+ 160y D(10,5) F(10,5) = = 1500 F(x,y) = 70x+ 160y Deben producirse 16 armarios tipo A y 8 tipo B para obtener el máximo beneficio, siendo este de Castilla- La Mancha Septiembre Un transportista debe llevar en su camión sacos de cemento y sacos de yeso con las siguientes condiciones: El número de sacos de cemento estará entre 25 y 100 y el número de sacos de yeso estará entre 30 y 90. El transportista sabe que un saco de cemento pesa 30 kg y un saco de yeso pesa 20 kg, y se propone cumplir las condiciones llevando en su camión el menor peso posible. a) Expresa la función objetivo b) Escribe mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto definido c) Halla el número de sacos de cada clase que debe llevar para que el peso transportado sea mínimo. Solución: Sea x: nº de sacos de cemento y: nº de sacos de yeso La función objetivo peso es F(x, y) = 30x + 20y.Hay que minimizar 25 x y 90 x 0 y 0 Página 44

45 A(25,30), B(100,30), C(100,90) y D(25,90) A(25,30) F(25,30) = = 1350 kg 20y B(100,30) F(100,30) = = 3600 kg 20y C(100,90) F(100,90) = = 4800 kg 20y D(25,90) F(25,90) = = 2550 kg 20y Para llevar el menor posible, debe transportar 25 sacos de cemento y 30 de yeso. 10. (Castilla y León Junio) Queremos conseguir al menos 210 kg de hidratos de carbono y al menos 100 kg de proteínas adquiriendo dos alimentos A y B que solo contienen estos dos nutrientes. Cada kg de A contiene 0,6 kg de hidratos de carbono y 0,4 kg de proteínas. Cada kg de B contiene 0,9 kg de hidratos de carbono y 0,4 kg de proteínas. Si los costes de A y B son 12 y 6 euros por kg, respectivamente, utiliza técnicas de programación lineal para calcular cuántos kg de cada alimento hay que adquirir para que el coste sea mínimo. A cuánto asciende ese coste mínimo? Solución: Sea x: nº de kilos de alimento A y: nº de kilos de alimento B La función objetivo coste es F(x, y) = 12x + 6y.Hay que minimizar Página 45

46 0, 6x + 0,9y 210 0, 4x + 0,1y 100 x 0 y 0 A(350,0), B(230,80) y C(0,1000) A(350,0) F(350,0) = = 4200 F(x,y) = 12x+ 6y B(230,80) F(230,80) = = 3240 F(x,y) = 12x+ 6y C(0,1000) F(0,1000) = = 6000 F(x,y) = 12x+ 6y Hay que adquirir 230 kg del alimento A y 80 del B para obtener un coste mínimo, siendo este de 3240 Página 46