Capitulo. Describir la relación entre dos variables Pearson Prentice Hall. All rights reserved

Transcripción

1 Capitulo 34 Describir la relación entre dos variables

2 Relación entre dos variables Al estudiar conjuntos de variables con más de una variable, una pregunta fundamental debe ser si podemos utilizar el valor de una variable para predecir el valor de alguna otra variable. Ejemplos: Existe una relación entre la estatura y el peso? Existe una relación entre la dosis de un medicamento y el tiempo de recuperación? Existe una relación entre la tasa de criminalidad y los cambios en la población? 4-2

3 Tipos de variables en un experimento Variable de respuesta variable bajo estudio; aquella variable cuyos cambios se desean estudiar variable dependiente en el estudio Variable explicativa variable cuyos valores explican los valores de la variable respuesta se estudian los efectos que tiene la variable explicativa sobre la variable respuesta variable que manipula el investigador variable independiente en el experimento 4-3

4 Diagrama de dispersión El primer paso para identificar el tipo de relación que puede existir entre dos variables es hacer un dibujo. Datos de dos variables pueden ser representados gráficamente a través de un diagrama de dispersión. Diagrama de dispersion es una gráfica formada localizando en el plano-xy los pares ordenados que corresponden a las variables bajo estudio. Los valores de las variables se expresan como pares ordenados (x, y); x variable explicativa (variable de entrada) y variable de respuesta (variable de salida) 4-4

5 Diagrama de dispersión (cont.) Es una gráfica que muestra la relación entre dos cantidades cuantitativas que se miden en un mismo individuo. Cada individuo en el conjunto de observaciones se representa con un punto del diagrama. El eje horizontal representa la variable explicativa, y el eje vertical representa la variable respuesta. Esta gráfica nos permite observar si hay una relación lineal entre la variable explicativa y la variable de respuesta. 4-5

6 EJEMPLO Construir e interpretar un diagrama de dispersión Los investigadores deseaban determinar si el tiempo que se necesita para perforar en seco una distancia de 5 pies de roca incrementa con la profundidad a la que se comienza la perforación. La profundidad a la que comienza la perforación es la variable explicativa, x el tiempo (en minutos) para perforar 5 pies es la variable de respuesta, y. Dibuje un diagrama de dispersión de los datos. Source: Penner, R., and Watts, D.G. Mining Information. The American Statistician, Vol. 45, No. 1, Feb. 1991, p

7 EJEMPLO Diagrama de dispersión (cont) 4-7

8 4-8

9 Tipos de Relaciones en un Diagrama de Dispersión 4-9

10 Correlación lineal Si a medida que los valores de una variable aumentan los valores de la otra variable también aumentan, entonces existe correlación positiva. Si a medida que los valores de una variable aumentan los valores de la otra variable disminuyen, entonces existe correlación negativa. Coeficiente de correlación lineal de una muestra (r) es una medida de la fuerza y dirección de la relación lineal entre dos variable cuantitativas (coeficiente de correlación Pearson) 4-10

11 Coeficiente de correlación lineal de una muestra 4-11

12 Propiedades del Coeficiente de correlación lineal 4-12

13 Tipos de correlación 4-13

14 EJEMPLO Coeficiente de correlación lineal Determine el coeficiente de correlación lineal de la data sobre perforación en rocas. 4-14

15 EJEMPLO Coeficiente de correlación lineal (cont.) 4-15

16 EJEMPLO Existe una relación lineal? Determine si existe una relación lineal en la data sobre perforación en rocas. Si existe, comente sobre el tipo de relación que existe entre la profundidad a la cual se comienza a perforar y el tiempo que toma perforar 5 pies.. El coeficiente de correlación entre la profundidad y el tiempo es Según la tabla, para r = existe una relación lineal positiva moderada entre la profundidad y el tiempo de perforar rocas. 4-16

17 Diferencia entre correlación y relación causal Ejemplo: Según datos recopilados por El Resumen Estadístico de Los Estados Unidos, la correlación entre el porcentaje de la población femenina con grados de bachillerato y el porcentaje de nacimientos a madres solteras desde 1990 es Cierto o Falso: Un porcentaje mayor de féminas con bacillerato causa un porcentaje mayor de madres solteras. Falso! Cuando obtenemos datos obtenidos mediante observación y no a través de un diseño experimental, no podemos definir una relación causal. 4-17

18 Variables ocultas ( lurking variables ) Entre dos variables puede existir otro factor que provoca una correlación alta sin que haya una relación causal. Ejemplo: Se ha encontrado que la relación entre la venta de helado y la taza de criminalidad tiene una correlación positiva alta. Justificación A medida que aumentan las temperaturas ambientales. tanto la venta de helados como la criminalidad aumenta. La variable temperatura ambiental afecta tanto la venta de helado como la alza en criminalidad. La variable temperatura ambiental se conoce como una variable oculta. 4-18

19 Use la siguente muestra: (a) Encuentre una ecuación lineal que relaciona x (la variable explicativa) con y, (la variable de respuesta) seleccionando dos puntos y luego, encontrar la ecuación de la recta que contiene los puntos. Usando (2, 5.7) y (6, 1.9): m y y m x x 1 1 y x 2 y x 1.9 y 0.95x

20 (b) Traza la gráfica de la ecuación sobre el diagrama de dispersión (c) Use the equation to predict y if x = 3. y 0.95x ( 3)

21 Ejemplo: residual = observado en y estimado en y = = Valores residuales La diferencia entre el valor observado de la variable respuesta y el valor estimado usando el modelo lineal que hemos obtenido se conoce como error, o residual (3, 5.2) } residual = observed y predicted y = =

22 Línea de regresión por mínimos cuadrados La línea de regresión por mínimos cuadrados es la línea que minimiza los residuales. Es la línea que minimiza la suma de los cuadrados de las distancias verticales entre los valores observados y los valores que predice el modelo. 4-22

23 Línea de regresión por mínimos cuadrados La ecuación de la línea de regresión por mínimos cuadrados está dada por y = b 1 x + b 0 donde b 1 = r s y s x es la pendiente y b 0 = y b 1 x es el intercepto en y 4-23

24 EXAMPLE Determinar el modelo de regresión lineal Usar los datos sobre perforación de rocas (a)encuentre la línea de regresión por mínimos cuadrados. (b)predecir el tiempo de perforación en caso de que la perforación se inicia en 130 pies. (c)dibuje la línea de regresión por mínimos cuadrados sobre el diagrama de dispersión de los datos. 4-24

25 EJEMPLO Determinar la línea de regresión (cont.) 4-25

26 (a)modelo que da TI 89 Titanium y = x (b) y = (130) y = (c) El tiempo observado es 6.93 segundos. El tiempo de perforación predecido es 7.03 s 4-26

27 (d) La línea de regresión por mínimos cuadrados sobre el diagrama de dispersión de los datos usando TI

28 Tiempo para perforar 5 pies (seg) (d) La línea de regresión por mínimos cuadrados sobre el diagrama de dispersión de los datos usando Excel Profundidad (pies) 4-28

29 EJEMPLO Predecir peso del oso negro americano Los datos muestran la longitud y el peso de 10 osos blancos americanos. Se quiere poder usar el largo para predecir el peso. (a) Construir un diagrama de dispersión (b) Encuentre la línea de regresión por mínimos cuadrados usando la fórmula. (c)compare la respuesta de b, con la línea de regresión por mínimos cuadrados que da la calculadora. 4-29

30 Calcular la ecuación de la línea de regresión por mínimos cuadrados usando fórmulas longitud y = b 1 x + b 0, b 1 = r s y s x, b 0 = y b 1 x peso b 1 = r s y s x b 1 = b 1 = b 0 = y b 1 x b 0 = b 0 = y = x

31 Interpretación de la pendiente y el intercepto en y de la línea de regresión Interpretación de la pendiente: La pendiente de la línea de regresión es Su interpretación es que para cada cm adicional de longitud, el peso aumenta aproximadamente 1.69 kg, en promedio. Interpretación del intercepto en y: El intercepto en y de la línea de regresión es Para interpretar el intercepto en y, nos hacemos dos preguntas: 1. Es 0 un valor razonable para la variable explicativa? 2. Existe alguna observación cerca de x=0 en el conjunto? Un valor de 0 NO es razonable en este problema ya que una longitud de 0 implica que el oso no existe. No podemos interpretar el intercepto en y en este problema. 4-31

32 Si la línea de regresión por mínimos cuadrados se utiliza para hacer predicciones basadas en los valores de la variable explicativa que son mucho más grande o mucho más pequeño que los valores observados, decimos que el investigador está trabajando fuera del alcance del modelo. Nunca usamos una línea de regresión por mínimos cuadrados para hacer predicciones fuera del alcance del modelo, porque no podemos estar seguros de que la relación lineal sigue existiendo. 4-32

33 Comentarios sobre los residuos Si una gráfica de los residuos contra la variable explicativa muestra un patrón discernible, tal como una curva definida, entonces, es posible que las variables no estén relacionadas linealmente. 4-33

34 4-34

35 Un químico tiene una muestra de 1,000 gramos de un material radiactivo. Se registra la cantidad de material radiactivo restante en la muestra todos los días durante una semana y obtiene los siguientes datos. Día Peso (en gramos)

36 Cantidad de material radioactivo restante coeficiente de correlación lineal:

37 y = x

38 Modelo lineal no es apropiado. 4-38