ANALISIS CONVEXO CAPITULO CONVEXIDAD

Transcripción

1 CAPITULO 2 ANALISIS CONVEXO 2.1 CONVEXIDAD Bajo este título geérico, se itroduce e esta secció las ocioes de cojuto covexo, fució cócava y fució covexa. Coceptos todos ellos que juega u destacado papel e los modelos microecoómicos. Así mismo, se preseta alguos resultados básicos relativos a este tipo de cojutos y fucioes, que, más adelate, juto co el resto del material de este capítulo, va a ser utilizados e relació co los problemas de optimizació que se aborda e los capítulos siguietes. Cojutos covexos e R Defiició 2.1 Sea x,y R, llamaremos segmeto que ue x e y (o de extremos x e y) y deotaremos _ x _ y al cojuto _ x _ y = {λx+(1-λ)y / λ [ 0,1] }. La represetació gráfica de lo que formalmete hemos defiido como segmeto _ x _ y cuado ésta es posible, es decir, para u par de putos de de R, de 2 R o 3 R, muestra que la image geométrica de _ x _ y es el trozo de recta que ue a x e y compredido etre ambos putos e icluyedo a éstos. Defiició 2.2 Sea x 1,...,x r R, llamaremos combiació lieal covexa de x 1,...,x r a todo puto x R que pueda expresarse e la forma x= λ 1 x λ r x r,

2 siedo los λ i [ 0,1] y tales que r λi = 1. i= 1 De las defiicioes ateriores se sigue que u segmeto está formado por todas las combiacioes lieales covexas de sus extremos. Defiició 2.3 Sea X R, diremos que X es covexo si todo segmeto co extremos e X está coteido e X, es decir, si x,y X: xy X. Esta defiició de cojuto covexo esta dada mediate la relació de iclusió. Otra posible defiició mediate la relació de perteecia podría euciarse de la siguiete forma: diremos que u cojuto X es covexo si para cualquier par de putos del cojuto, los putos combiació lieal covexa de estos dos dados tambié perteece al cojuto X, es decir, si x,y X: λx+(1- λ)y X, λ 0,1. El sigificado geométrico de la covexidad de u cojuto es clara e los casos e que la represetació gráfica es posible (para subcojutos de R, R 2 o R 3 ). Observacioes: Covedremos e cosiderar covexo al cojuto vacío ø y al cojuto R. Es imediato comprobar, y se puede ecotrar fácilmete cotraejemplos adecuados, que o existe igú tipo de implicació etre la codició de covexidad de u cojuto y su carácter topológico de abierto o cerrado. Defiició 2.4 Sea X R u cojuto covexo, diremos que x X es u vértice o puto extremo de X si o perteece a igú segmeto que ua putos de X distitos de x. De la defiició se desprede fácilmete que los vértices o putos extremos de u cojuto covexo ecesariamete se ecuetra e la frotera de éste; por tato, los covexos abiertos carece de ellos. Defiició 2.5 Se deomia hiperplaos e R a los subcojutos de la forma H= {(x 1,...,x ) R / c 1 x c x =b} = {x R / c.x=b},

3 dode c=(c 1,...,c ) R (c 0) y b R so dados. Obsérvese que e R 2 y R 3 los hiperplaos so rectas y plaos respectivamete. Defiició 2.6 Se deomia semiespacios (cerrados) e la forma S= {(x 1,...,x ) R / c 1 x c x b} = {x R / c.x b} R a los subcojutos de o bie S= {(x 1,...,x ) R / c 1 x c x b} = {x R / c.x b}, dode c=(c 1,...,c ) R (c 0) y b R so dados. Ambos tipos de cojutos, hiperplaos y semiespacios, aparecera e el Capítulo de Programació lieal; allí os será útil el siguiete resultado: Proposició 2.7 E Demostració: R, los hiperplaos y los semiespacios so cojutos covexos. Cosideremos el caso de u hiperplao H={x R /c.x=b}, se trata de ver que x,y H: _ x _ y H. E efecto: z _ x _ y λ [0,1] / z=λx+(1-λ)y. Multiplicado por c se tiee: c.z = c.[ λx+(1-λ)y] = λc.x+(1-λ)c.y = λb+(1-λ)b=b, puesto que si x,y H etoces c.x=c.y=b. Se tiee, pues, c.z=b, es decir z H y por lo tato H es u cojuto covexo. La demostració se adapta si dificultad al caso de semiespacios. Así mismo, os será útil más adelate el siguiete resultado: Proposició 2.8 E covexo. R la itersecció de cojutos covexos es u cojuto Demostració: tiee: Sea {A i} i I ua colecció (fiita o o) de subcojutos covexos de R. Se

4 x, y Ai i I : x, y A i i I i I : xy Ai xy Ai i I : A i I iescovexo Y si la itersecció fuese vacía, es decir, si que es covexo por defiició. Ai =, la proposició es cierta puesto i I Fucioes cócavas y covexas Defiició 2.9 Sea X R u cojuto covexo y ua fució f:x R, Se dice que f es ua fució covexa e X si x,y X, λ 0,1 : f ( λx+(1- λ)y) λf(x)+(1- λ)f(y) (2.1.a) Se dice que f es ua fució cócava e X si x,y X, λ 0,1 : f ( λx+(1- λ)y) λf(x)+(1- λ)f(y) (2.1.b) Las codicioes (2.1.a) y (2.1.b) admite ua clara iterpretació geométrica para fucioes de ua variable real.la codició (2.1.a), que defie la covexidad de f para ua fució de ua variable, sigifica que dados dos putos cualesquiera P 1 y P 2 de la gráfica de f, el tramo o arco de dicha gráfica compredido etre ambos putos o puede coteer igú puto que esté por ecima de la cuerda o segmeto que ue P 1 y P 2. E térmios opuestos se iterpreta la codició de cocavidad de ua fució de ua variable. Como es fácil compreder existe fucioes que o so cócavas i covexas. Modificado las codicioes (2.1.a) y (2.1.b) e u setido más fuerte, se tiee los coceptos de fució estrictamete cócava o covexa que defiimos a cotiuació. Fucioes estrictamete cócavas y covexas Defiició 2.10 Sea X R u cojuto covexo y ua fució f:x R : Se dice que f es estrictamete covexa e X si: ( ) x,y X, x y λ 0,1 : f ( λx+(1- λ)y)< λf(x)+(1- λ)f(y) (2.1.c)

5 Se dice que f es estrictamete cócava e X si: ( ) x,y X, x y λ 0,1 : f ( λx+(1- λ)y)> λf(x)+(1- λ)f(y) (2.1.d) Observacioes: Nótese las diferecias de estas defiicioes co las de fució covexa y cócava: además del carácter, ahora estricto, de las desigualdades (2.1.c) y λ 0,1 y es que, de o hacerlo (2.1.d), se explicita las codicioes x y y ( ) así, icluiría la codició absurda f(x)<f(x) como puede comprobarse tomado e (2.1.c) o e (2.1.d) x=y, o bie λ =0 ó λ =1. Es imediato comprobar que la estricta covexidad (resp. cocavidad) de ua fució implica su covexidad (resp. cocavidad). No siedo cierto lo recíproco. Propiedades de las fucioes cócavas y covexas A cotiuació y e forma de proposicioes, eumeramos alguas de las más secillas propiedades de las fucioes de los cuatro tipos defiidos e el apartado aterior. Proposició 2.11 Sea X R covexo y f,g:x R ; se verifica: Si f es covexa e X (resp. cócava, estrictamete covexa, estrictamete cócava) y c>0, etoces c.f tambié lo es. Si f y g so covexas e X (resp. cócavas, estrictamete covexas, estrictamete cócavas), etoces f+g tambié lo es. Demostració: Lo demostraremos úicamete para el caso e que f es covexa, pudiedo adaptarse si dificultad algua la demostració a los otros tres casos. Sea x,y X ; λ 0,1 : dado que f es covexa y c>0, se tiee, ( cf )( λx+(1- λ)y)=cf ( λx+(1- λ)y) c λf(x)+(1- λ)f(y) = λcf(x)+(1- λ)cf(y) = λ( cf )( x) + (1 λ)( cf )( y) que es la codició de covexidad para la fució c.f.

6 Tambié ahora os limitaremos a probarlo para el caso de fucioes covexas. Sea x,y X λ 0,1 : ; siedo f y g covexas e X se tiee (f+g)( λ x+(1- λ )y) = f( λ x+(1- λ )y) + g( λ x+(1- λ )y) λ f(x)+(1- λ )f(y) + λ g(x)+(1- λ )g(y) = λ (f(x)+g(x)) + (1- λ )(f(y)+g(y)) = λ (f+g)(x) + (1- λ )(f+g)(y). De y se sigue que toda combiació lieal de fucioes covexas (resp. cócavas, estrictamete covexas, estrictamete cócavas) co coeficietes positivos tambié lo es. Proposició 2.12 Sea X R covexo X = F F y f:x R ; se verifica: Si f es covexa e X, etoces para todo R el cojuto F = x X / f ( x) es covexo. { } Si f es cócava e X, etoces para todo R el cojuto F = x X / f ( x) es covexo. Demostració: { } Sea x,y { x X / f ( x) }, veamos que _ x _ y { x X / f ( x) } z xy, λ 0,1 : z = λx + (1 λ) y y siedo f covexa e X covexo se tedrá. f ( z) = f ( λx+(1- λ)y) λf(x)+(1- λ)f(y) λ +(1- λ) = es decir, z { x X / f ( x) }. Se prueba de modo aálogo. Por tato, la codició de covexidad de los cojutos F = { x X / f ( x) } o F = { x X / f ( x) } es ecesaria pero o suficiete para que f sea covexa o cócava respectivamete. Es por tato ua codició más débil que éstas. No obstate, hay alguos resultados importates e los que las hipótesis de covexidad o cocavidad bajo las que se obtiee, puede sustituirse por éstas, más débiles, de la covexidad de uo u otro de estos cojutos segú sea el caso, coservádose la validez del resultado. De ahí el iterés de las fucioes que, siedo o o covexas o

7 cócavas, cumpla ua de estas codicioes: iterés que justifica la siguiete defiició. Defiició 2.13 Sea X R covexo y f:x R ; Diremos que f es cuasicovexa e X si: { } R : F = x X / f ( x) es covexo. (2.1.e) Diremos que f es cuasicócava e X si: { } R : F = x X / f ( x) es covexo. (2.1.f) De esta defiició, juto co la Proposició 2.12 y la observació aterior, se sigue co carácter imediato que toda fució covexa es cuasicovexa y que toda fució cócava es cuasicócava, o siedo ciertos los recíprocos. Por último, es iteresate señalar ua caracterizació de las fucioes cuasicócavas y cuasicovexas e térmios que guarda cierta aalogía formal co las codicioes (2.1.a) y (2.1.b), mediate las que se ha defiido más arriba la cocavidad y covexidad de ua fució. Cocretamete, se tiee la siguiete equivalecia: covexas. Fialmete, recogemos si prueba ua propiedad de las fucioes cócavas y Proposició 2.14 Toda fució cócava o covexa e u abierto covexo de cotiua e él. R es Es fácil comprobar que si ua fució cócava o covexa es discotiua, ecesariamete la discotiuidad se debe producir e algú puto de su frotera, uca e igú puto del iterior del domiio.