VIII. EFECTO DE CONTROLADORES SOBRE LA RESPUESTA TEMPORAL

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1 EFETO DE ONTROLADORES SOBRE LA RESUESTA TEMORAL VIII. EFETO DE ONTROLADORES SOBRE LA RESUESTA TEMORAL A cotiuació se evaluará el efecto que tiee itroducir u cotrolador sobre la respuesta temporal de u sistema, los cotroladores a aalizar so: roporcioal () roporcioal derivativo (D) roporcioal itegral (I) roporcioal itegral derivativo (ID) Iicialmete se describirá el efecto que tiee cada uo de ellos sobre la respuesta temporal del sistema y más adelate se plateará dos metodologías para especificar el valor de los parámetros del cotrolador, ua de ellas fudametada e la reubicació de los polos del sistema a lazo cerrado y la otra será ua sitoizació empírica del cotrolador. ada tipo de cotrolador será itroducido tal como se puede apreciar e el siguiete sistema de cotrol, a partir del cual se realizará el estudio aquí plateado. otrolador roporcioal () U cotrolador proporcioal tiee ua Fució de Trasferecia de la siguiete forma: G (s) K K, coocida como la gaacia proporcioal, tiee su efecto tato e la parte trasitoria como e la parte permaete de la respuesta trasitoria, ya que la ecuació característica del sistema a lazo cerrado será + K G(s)H(s) 0, por lo tato la ubicació de los polos depederá del valor de K. E cuáto a la respuesta permaete, el error del sistema depede de la gaacia a lazo abierto, a mayor gaacia meor error. De allí, que se podrá diseñar el valor de K tal que el sistema cumpla co ciertos requisitos. ocluyedo, la itroducció de u cotrolador proporcioal tiee ifluecia sobre las respuestas trasitoria y permaete, pero limitada. otrolador roporcioal Derivativo (D) E este caso la Fució de Trasferecia del cotrolador es de la siguiete forma: G (s) K (+ T D s) Al itroducir dicho cotrolador e el lazo abierto, se presetará ua modificació e la ecuació característica a lazo cerrado, mayor que la itroducida co u cotrolador

2 EFETO DE ONTROLADORES SOBRE LA RESUESTA TEMORAL proporcioal, tal que la reubicació de los polos depederá de los valores de K y T D. or ello, co este tipo de cotrolador se tedrá u mayor maejo de la respuesta trasitoria a lazo cerrado, e tato que, la respuesta permaete solamete se verá ifluecia por el valor de K. Esto último se cofirma al verificar que la gaacia del sistema a lazo abierto o se ve afectada por el valor de T D. Resumiedo, se puede cocluir que la itroducció de u cotrolador D tedrá los siguietes efectos sobre el sistema, mejora apreciable de la respuesta trasitoria y mejora del error similar a la proporcioada por u cotrolador proporcioal puro. otrolador roporcioal Itegral (I) E este caso la Fució de Trasferecia del cotrolador es s + TI G (s) K (+ ) K TIs s omo se puede apreciar este tipo de cotrolador itroduce, además de ua gaacia proporcioal, u polo e el orige y u cero e el eje real. Su efecto sobre la respuesta trasitoria es relativamete egativo, pues desmejora la estabilidad relativa del sistema a lazo cerrado, e tato que, su efecto sobre la respuesta trasitoria es ua mejora radical. Esto es debido a la itroducció de u cero e el orige, lo que aumeta el tipo del sistema. otrolador roporcioal Itegral Derivativo (ID) E este caso la Fució de Trasferecia del cotrolador es como se muestra a cotiuació: K TDTIs + TIs + G + + ) (s) K ( TDs T s T I I s omo se puede observar se añade dos ceros y u polo e el orige a la fució de trasferecia de lazo abierto, a través de lo cual se puede lograr u bue maejo de la respuesta temporal y ua mejora radical e la respuesta permaete. Lo primero se alcaza gracias a la reubicació de los polos a lazo cerrado y lo segudo, proviee del aumeto del tipo de sistema a lazo abierto. Es importate hacer resaltar que la escogecia del tipo de cotrolador a utilizar depederá de las codicioes o restriccioes preestablecidas para el sistema de cotrol. 8. Diseño del cotrolador por reubicació de polos A cotiuació se mostrará alguos ejemplos de diseño, utilizado el método de reubicació de polos para sistemas secillos, los cuales poe e evidecia el efecto que cada tipo de cotrolador tiee sobre la respuesta a lazo cerrado.

3 EFETO DE ONTROLADORES SOBRE LA RESUESTA TEMORAL Ejemplo Los helicópteros so iestables si adecuados sistemas de cotrol. A cotiuació se muestra u esquema de cotrol para el águlo de avace, dada ua referecia e la posició de la varilla de cotrol del helicóptero. Diseñe u cotrolador (Gc(s)) tal que la respuesta tega 0,707 ξ y u tiempo de establecimieto al % meor o igual a. Especifique posibles ragos para los parámetros del cotrolador. Si además se requiere que el e ss (ate ua etrada tipo rampa), verifique si el cotrolador escogido ateriormete cumple co esto y de o ser así diseñe uo uevo. E cada caso especifique claramete la fució de trasferecia del cotrolador, así como, el rago para el valor de sus parámetros y uos valores particulares escogidos por usted. otroladores dispoibles roporcioal rop. Derivativo rop. Itergral rop. Itergral Derivativo G (s) K G (s) K (+ TDs) G (s) K(+ ) G (s) K (+ TDs + ) T s T s Solució Iicialmete se debe aalizar la respuesta que tiee el sistema a lazo cerrado si itroducir igú cotrolador para verificar si cumple o o co las restriccioes impuestas. De o ser así, se debe aalizar que parte de la respuesta temporal, trasitoria o permaete, o cumple co lo establecido, para iiciar el diseño e forma razoada. ara ello, se debe revisar la Ecuació característica a Lazo errado (EL) si cotrolador y verificar las restriccioes. EL (si cotrolador) 0( s + 0,05) + 0 ( s ) s + 8s + 4,5 0 I ξω 8 ω 4,5 I t s 4 ξω ξω Esta restricció se cumple ω 4,5 ω, ξ, 88 No cumple co la otra restricció. omo se puede observar, el sistema o está muy lejos de cumplir ambas restriccioes, por lo

4 EFETO DE ONTROLADORES SOBRE LA RESUESTA TEMORAL tato, como sólo se debe mejorar ligeramete la respuesta trasitoria, se puede itertar el diseño de u cotrolador proporcioal. Dicho cotrolador, además de ser el más secillo, es tambié el más fácil de diseñar. ara ello, se itroduce e la EL el cotrolador escogido. EL (otrolador roporcioal) 0K(s + 0,05) + 0 s + (0K )s + (4 + 0,5K) 0 (s ) ξω 0K ω 4 + 0,5K K > 0, (riterio de estabilidad) ξω 5K > K > 0,6 (obligatorio) t s 4 ξω ξω 5K K 0, Esta restricció se cumple Ahora se escogerá u valor para ξ y se verificará que valor de K cumple co todas las restriccioes. ξ ω 4 + 0,5K 4 (para todo K 0) or lo tato, si se escoge u cotrolador proporcioal cuyo parámetro K sea mayor que 0,6 se cumplirá co el requerimieto de la estabilidad, del tiempo de establecimieto y del ξ. Ahora, se verifica si se cumple co la restricció del error. e ss + K + (0,5K 4) 4 e 4 + 0,5K ss K 0 U cotrolador proporcioal cuya gaacia sea mayor de 0,6 cumplirá todos los requisitos. Ejemplo ara u esquema de cotrol como el mostrado a cotiuació se requiere que el error ate u escaló sea cero y que el tiempo de establecimieto (criterio del 5%) sea meor que 0.5 (cosidere ua etrada escaló uitario). otroladores dispoibles roporcioal rop. Derivativo rop. Itergral rop. Itergral Derivativo G (s) K G (s) K (+ TDs) G (s) K(+ ) G (s) K (+ TDs + ) T s T s a) alcule los parámetros del cotrolador escogido para que esto se cumpla. b) Si además se solicitase que el sistema o tuviese sobrepico (ξ), verifique si ésto se cumple co el cotrolador diseñado y de o ser así modifique el cotrolador y calcule I I

5 EFETO DE ONTROLADORES SOBRE LA RESUESTA TEMORAL los uevos parámetros. c) Discuta el comportamieto del ID e este caso e cuáto a mejoras e el estado estacioario y e la respuesta trasitoria, si realizar el diseño del cotrolador. Solució EL (Si cotrolador) s t s 3τ e ss es fiito ate el escaló De allí se puede cocluir que, el sistema origial si cotrolador o cumple, i las restriccioes trasitorias i las permaetes. Se aalizará que tipo de cotrolador se debe añadir. El cotrolador proporcioal mejorara el t s pero el error o será cero, de igual maera será co el cotrolador D. El cotrolador I, al aumetar el tipo del sistema, cumple co el requerimieto del error, aú cuado desmejora la respuesta trasitoria se itetará diseñar este tipo de cotrolador utilizado la parte proporcioal para maejar la respuesta trasitoria. a) EL (co u otrolador roporcioal Itegral) + K s s + TI s s + ( + K ) K + s + 0 T I 0 T s + T ( + K ) s + K 0 I I ξω K ω K + 0,5 El úico requerimieto que se debe cumplir es que el tiempo de establecimieto sea meor o igual a 3, de allí que se verifica el valor que debe debe teer los parámetros del cotrolador. 3 ts ξω K 6 0,5 + 0,5 T I K + 0, 5 K, 5 Ti puede teer cualquier valor. b) Si además se solicita ξ etoces se verificara los valores de los parámetros del I e el límite. Se toma K.5, co lo cual se satisface el establecimieto y se calcula u T I de forma tal que se cumpla co el ξ. ξω K + 0,5 ξω 6 ω 6 ω K TI 36 K TI, 5 TI c) aso ID. Si se añade ua parte derivativa se tiee que EL (co cotrolador ID) T 0, 394 I

6 EFETO DE ONTROLADORES SOBRE LA RESUESTA TEMORAL + K s + TI (+ TDs) s s + 0 ( + K TD )s + ( + K ) s + K TI 0 De esta expresió para la ecuació característica se observa que es posible lograr u mayor maejo de todos los térmios de la ecuació, lo que fudametalmete se revierte e mayores posibilidades de maejo de la respuesta temporal. 8. Reglas para la sitoizació de cotroladores ID El diseño de cotroladores se realiza e fució del coocimieto del proceso, es decir, a partir del modelo del proceso y del esquema de cotrol. Si o se dispoe de la iformació ates descrita se platea el uso de reglas de sitoizació para cotroladores, ID, dode la fució de trasferecia del cotrolador ID es de la forma: K TDTIs + TIs + G + + ) (s) K ( TDs T s T I I s Ziegler y Nichols propusiero reglas para determiar los valores de la gaacia proporcioal K p, del tiempo itegral T i y del tiempo derivativo T d basados e las caracteristicas de respuesta trasitoria de ua plata dada. La determiació de los parámetros de los cotroladores ID puede ser realizada por igeieros e el sitio mismo efectuado experimetació e la plata. Hay dos métodos deomiados reglas de sitoizació de ohe oo y Ziegler Nichols, fudametados e la experimetació e los cuales se pretede obteer, a lazo cerrado, u sobrepeso máximo del 5 %. 8. Método de ohe oo (Reacció) E este método se obtiee experimetalmete la respuesta de la plata al aplicar u escaló uitario, como se muestra e la siguiete figura. Si la plata o icluye itegrador(es) o polos domiates complejos cojugados, la curva de respuesta al escaló uitario puede teer el aspecto de ua curva e forma de S, como se observa e dicha figura, e el caso e que la curva o presete esta forma, o se puede aplicar el método. La curva e forma e S se puede caracterizar co dos parámetros, el tiempo del atraso L y la

7 EFETO DE ONTROLADORES SOBRE LA RESUESTA TEMORAL costate de tiempo τ. El tiempo de atraso y la costate de tiempo se determia trazado ua líea tagete a la curva e la forma de S e el puto de iflexió y se determia las iterseccioes de esta líea tagete co el eje del tiempo y co la líea c(t) K, como se muestra e la siguiete figura. Etoces la fució de trasferecia (s)/u(s) se puede aproximar por u sistema de primer orde co atraso de trasporte. L s () K e () τ s + s U s Ua vez idetificado los parámetros del proceso, se obtiee los parámetros del cotrolador utilizado la siguiete tabla. Tipo de cotrolador K p T I T d τ/l 0 I 0,9 τ/l L/0,3 0 ID*, τ/l L 0,5L *tiee u polo e el orige y u cero doble e s -/L 8.. Método de Ziegler Nichols (Oscilació otiua) E este método, primero se hace T i y T d 0 y usado solamete la acció del cotrolador proporcioal, tal como muestra e la siguiete figura, se icremeta K p desde cero hasta u valor crítico K cr e el cual la salida exhiba por primera vez oscilacioes sosteidas. Si la salida o preseta oscilacioes sosteidas co periodo para cualquier valor que pueda tomar K p, etoces o se puede aplicar este método.

8 EFETO DE ONTROLADORES SOBRE LA RESUESTA TEMORAL De esta forma se puede determiar experimetalmete la gaacia crítica K cr y el período correspodiete cr de las oscilacioes sosteidas, a partir de los cuales se calcula los valores de los parámetros del cotrolador ID tal como se muestra a cotiuació. Tipo de cotrolador K p T i T d 0,5Κ cr 0 I 0,45Κ cr /, cr 0 ID* 0,5Κ cr 0,5 cr 0,5 c *tiee u polo e el orige y u cero doble e s -4/ cr Ejemplo Se solicita que se sitoice los parámetros del siguiete cotrolador utilizado el método de oscilació cotiua. r Solució Se debe calcular el valor de la gaacia critica (si existe). ara ello se utiliza el criterio de estabilidad de Routh e la ecuació característica a lazo cerrado. Tomado Gc(s) Kp. EL K + 0 s(s + 4)(s + 8) 3 s + s + 3s + K 0 s s s s 3 0 b K 3 K K b 0 Kcr 384 o dicho valor de Kcr se sustituye e la ecuació característica y se calcula la frecuecia de la oscilació sustituyedo sjω EL s 3 + s + 3s s jω 3 ω j ω + 3ωj (384 ω ) + (3 ω ) jω 0

9 EFETO DE ONTROLADORES SOBRE LA RESUESTA TEMORAL omo la solució que se busca es ua raíz cuya parte real es cero, se tiee que: ω ω 0 ω A partir de dicho valor de ω se ecuetra el cr como π π cr. ω 3 o dichos valores de Kcr y cr se calcula los parámetros del cotrolador. Kp 0.6Kcr 30.4 Ti 0.5cr Td 0.5cr E la siguiete gráfica se muestra las simulacioes correspodietes a la respuesta a lazo cerrado, si cotrolador y co el ID sitoizado co los parámetros origiales, así mismo, dos simulacioes adicioales e las cuales se ha modificado el valor de los parámetros del cotrolador logrado mejoras sustaciales e las respuestas.

10 EFETO DE ONTROLADORES SOBRE LA RESUESTA TEMORAL IX. OTROS ESQUEMAS DE ONTROL ara mejorar el cotrol de u proceso puede ser ecesario icluir diferetes tipos de esquemas de cotrol, los cuales logra efectos diferetes, sobre las variables a cotrolar, de los que se obtiee cuado se itroduce u esquema e retroalimetació simple. Etre otros, los esquemas de cotrol a estudiar será los que se mecioa a cotiuació: - Esquema de cotrol e cascada. - Esquema de cotrol de alimetació adelatada. - Esquema de cotrol de relació. 9.. ESQUEMA DE ONTROL EN ASADA ara u sistema de cotrol de retroalimetació simple sólo se ivolucra ua variable medida y ua variable maipulada e el lazo de cotrol, tal como se muestra a cotiuació, dode se platea u lazo de retroalimetació simple para el cotrol de la temperatura del crudo a la salida del horo. Este tipo de esquema matiee la temperatura del horo, Y(s), e su valor de referecia, R(s), pero es idiferete a las distitas perturbacioes que se presete e el proceso. or ejemplo, si se preseta ua perturbació e el flujo del gas, el esquema de cotrol de retroalimetació simple o tomará igua acció sio hasta que se presete, a posteriori, ua variació e la temperatura de salida. Añadiedo u esquema de cotrol e cascada se logra miimizar el efecto de dicha perturbació. ara este ejemplo se puede resumir el efecto del esquema e cascada, sobre la perturbació flujo de gas, como sigue: el valor de referecia para el flujo de gas viee establecido por el cotrol de temperatura, el cual decide que valor debe el flujo de gas para que la temperatura de salida se ecuetre e el valor deseado. ara ello se mide, de forma cotiua, el flujo de gas de forma tal que el esquema de cotrol será sesible ate variacioes e dicha perturbació y se tomará ua acció de cotrol ates de que la variable

11 EFETO DE ONTROLADORES SOBRE LA RESUESTA TEMORAL pricipal a cotrolar sea afectada. E la siguietes figuras se muestra el esquema de cotrol e cascada para el horo y su correspodiete diagrama de bloques. Otro ejemplo e el cual se puede añadir u esquema de cotrol e cascada es u reactor co reacció exotérmica, e el cual se busca mateer costate la temperatura T de la mezcla. E la camisa circula u refrigerate cuya temperatura T R se cosidera ua perturbació. La temperatura T i tambié puede cosiderarse como ua perturbació. La úica variable maipulada es el flujo de refrigerate F R. El diagrama de bloques de este esquema de cotrol de retroalimetació simple es semejate al que se mostró ateriormete para el horo, dode R(s) será la temperatura del reactor T y R(s) será la referecia de dicha temperatura. E dicho lazo de retroalimetació se mide la temperatura T, se lleva al cotrolador, dode se compara co la referecia y de allí se emite la acció de cotrol que va a la válvula maipulado F R. Este esquema de cotrol o será muy efectivo si cambia T R, pues el esquema de cotrol sólo tomará ua acció ate dicho cambio, cuado T se vea modificada. Ua forma de mejorar dicho esquema, es medir la temperatura del refrigerate T R, y tomar ua acció de cotrol ates de que el cambio e dicha temperatura tega efecto sobre la temperatura T, si T R aumeta se debe aumetar F R y viceversa. Este esquema de cotrol es ua cascada, pues se miimiza el efecto de ua perturbació itera al lazo de retroalimetació simple, dode se mide dos variables T y T R y se tiee dos lazos co ua

12 EFETO DE ONTROLADORES SOBRE LA RESUESTA TEMORAL sola variable maipulada (F R ), tal como se muestra a cotiuació. (a) El lazo de cotrol que mide T (variable pricipal), usa como referecia el valor de T fijado por el operador. (b) El lazo de cotrol que mide T R (variable secudaria), utiliza la salida del cotrolador primario como referecia y es llamado el lazo esclavo. ara el caso de la perturbació e T i o se puede utilizar u esquema de cotrol e cascada pues dicha perturbació o es itera al lazo de retroalimetació simple, para ello se plateará u esquema diferete que se estudiará a cotiuació. Los ejemplos mecioados ateriormete so esquemas muy comues e procesos químicos. El diagrama de bloques de u esquema de cotrol e cascada, e forma geeral, puede ser resumido como sigue: El proceso tiee como salida (s),variable pricipal a cotrolar, cuya referecia viee establecida por R(s). El lazo pricipal tiee u cotrolador que compara el valor real de (s) co su referecia y fija el valor de la referecia para el lazo de cotrol secudario, cuyo cotrolador compara la señal proveiete del medidor secudario, o perturbació a miimizar, co el valor su referecia. Fialmete se ejecuta ua acció sobre la variable maipulada de forma tal que el valor de la variable pricipal a cotrolar y de la secudaria se acerque a sus valores de referecia.

13 EFETO DE ONTROLADORES SOBRE LA RESUESTA TEMORAL Resumiedo, u esquema de cotrol e cascada tiee como objetivo miimizar las perturbacioes iteras al lazo de retroalimetació simple. Además preseta ua mayor rapidez de respuesta ate dichas perturbacioes que u sistema de cotrol co sólo retroalimetació simple. 9.. Esquema de cotrol e alimetació adelatada (Feed- forward) U esquema de cotrol e alimetació adelatada mide la perturbació y toma acció para reducir el efecto de dicha variable sobre la variable a cotrolar. La diferecia etre este tipo de esquema y el aterior es que la alimetació adelatada se utiliza para miimizar las perturbacioes exteras al lazo de retroalimetació simple. E el siguiete ejemplo se puede apreciar el efecto que se busca al añadir este tipo de lazo. Lazo I: Esquema de retroalimetació simple e el cual se cotrola la temperatura T, maipulado el flujo de vapor. E este lazo de cotrol si se tiee variacioes de T i, el cotrolador o toma igua acció, sio hasta que la temperatura T se vea modificada. Lazo II: Este sería u lazo e alimetació adelatada, el cual toma ua acció ua vez que mide ua variació e la temperatura (T i ) a la etrada. E geeral, e los siguietes diagramas se puede mostrar la diferecia etre u lazo de retroalimetació simple y u alimetació adelatada. erturbació erturbació otrolador Variable Maipulada roceso Variable otrolada Variable Maipulada otrolador roceso Variable otrolada ESQUEMAS DE ONTROL EN ALIMENTAIÓN ADELANTADA ESQUEMAS DE ONTROL EN RETROALIMENTAIÓN SIMLE E estos diagramas se puede observar claramete que u esquema e retroalimetació simple toma acció ua vez que se haya modificado la variable a cotrolar, e tato que, la alimetació adelatada toma acció e el mometo e que la varía la perturbació. Etre otras cosas, se puede cocluir que e u esquema de cotrol e alimetació adelatada la variable a cotrolar o es la variable a medir, además, el cotrolar debe icluir la iformació relativa al sistema, (fudametada e u modelo del sistema), pues este debe coocer el efecto que tiee la perturbació sobre la variable a cotrolar. Esto implica que este

14 EFETO DE ONTROLADORES SOBRE LA RESUESTA TEMORAL cotrolador o es covecioal, sio particular segú el sistema. A medida que sea mejor el modelo del sistema, mejor será el cotrolador e alimetació adelatada. Resumiedo, se puede cocluir que: La señal medida o es la señal cotrolada. El cotrolador o es u cotrolador covecioal (, I, ID) sio que depede del modelo del proceso. Debido a que o es u modelo perfecto el cotrolador tedrá allí su mayor debilidad. Este esquema pareciera perfecto, pues, se adelata a tomar accioes de cotrol e el mometo e que aparece perturbacioes, pero, sería ecesario idetificar todas las perturbacioes posibles, para así poder implemetar tatos lazos como sea ecesario, lo que o es posible. Además, si hubiese algú cambio e u parámetro físico o podrá ser compesado, pues o sería detectable. or todo lo aterior, lo mejor sería itroducir u esquema de cotrol que cotega alimetació adelatada y retroalimetació a la vez cuyo Diagrama de Bloques se muestra seguidamete Esquema de cotrol de relació Se utiliza para cotrolar la relació etre dos flujos, los dos flujos so medidos, pero sólo uo es maipulado. Se puede mostrar dos cofiguracioes para el cotrol de relació, las cuales se muestra a cotiuació.

15 EFETO DE ONTROLADORES SOBRE LA RESUESTA TEMORAL Esquema (a): Se mide ambos flujos y se obtiee su relació, se compara co la relació deseada (referecia) y se maipula uo de los flujos. Esquema (b): Se mide ambos flujos, se multiplica el flujo o cotrolado por la relació deseada y se utiliza como referecia para u cotrolador de flujo que maipulará el otro flujo para obteer el resultado deseado. Este tipo de esquema es muy utilizado e diferetes procesos químicos como, Relació etre dos reactates, relació aire (combustible, etc.)