Fuensanta Galán Herrero RIESGO, RENTABILIDAD Y EFICIENCIA DE CARTERAS DE VALORES

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1 Fuensanta Galán Herrero RIESGO, RENTABILIDAD Y EFICIENCIA DE CARTERAS DE VALORES

2 Índice Prólogo I. Rentabilidad y riesgo de los títulos negociables Rentabilidad de un título Rentabilidad obtenida de un título Rentabilidad esperada Riesgo de un título Carteras de valores Rentabilidad esperada de una cartera Riesgo esperado de una cartera Conclusión Los índices de los títulos Definición Índice normal y total Cálculo del índice normal Variables utilizadas El índice normal Cálculo del índice total Método general de cálculo Tratamiento de las ganancias por dividendos Tratamiento de las ganancias por ampliaciones de capital Valor teórico del derecho preferente de suscripción Ejemplo de cálculo del índice normal y total Datos Índices Cálculos Apéndice de datos Índices normal y total de la acción del Banco de Valencia Datos de Adolfo Domínguez, BBVA y Telefónica (semanales)

3 RIESGO, RENTABILIDAD Y EFICIENCIA DE CARTERAS DE VALORES II. Teoría de carteras La diversificación del riesgo: Diversificación ingenua y eficiente Carteras eficientes Hipótesis de partida Frontera eficiente con una inversión sin riesgo Frontera eficiente con un préstamo Selección de la cartera óptima. Utilidad III. Determinación analítica de la frontera eficiente: problema básico Planteamiento del problema a resolver Resolución del problema básico IV. Determinación analítica de la frontera eficiente: problema estándar Clasificación de las variables Formulación del problema Cartera inicial φ crítica de las variables abajo y arriba φ crítica de las variables dentro φ crítica Trazado de la frontera eficiente Frontera eficiente con un título sin riesgo Frontera eficiente con un crédito Frontera eficiente de títulos de renta variable. Formulaciones 120 V. Teoría del mercado de capitales Supuestos de partida Línea del Mercado de Capitales Línea Característica de un Título Riesgo sistemático y riesgo específico Línea del Mercado de Títulos (SML) Algunas notas sobre el CAPM VI. Medidas de eficiencia de una cartera de valores I Medidas tradicionales Medida de Treynor Índice de Sharpe Medida de Jensen La cartera de referencia Descomposición de la eficiencia de una cartera

4 ÍNDICE VII. Medidas de eficiencia de una cartera de valores II Modelo de Jensen Treynor y Mazuy Henriksson y Merton Selección y sincronización partiendo de la composición de la cartera VIII. Aplicación empírica Datos de partida Horizonte temporal Títulos seleccionados Fondos de inversión seleccionados Tasa de rentabilidad sin riesgo Rentabilidad y riesgo en la Bolsa española Rentabilidad y riesgo de los fondos de inversión Medidas de Sharpe, Treynor y Jensen Fama Sincronización (Treynor y Mazuy y Henriksson y Merton) Conclusiones IX. Apéndice de datos Datos de los títulos de renta variable e ibex Frontera eficiente Fondos de inversión Valor de liquidación semanal (02/01/03 al 25/09/03) Rentabilidad y riesgo en términos anuales Bibliografía

5 Prólogo Hasta los años cincuenta, el análisis de las inversiones bursátiles, con el objetivo de seleccionar los valores idóneos para invertir en ellos, se realizaba tomando como variable de decisión la rentabilidad que el título y/o la cartera habían producido en periodos anteriores. En la selección de valores subyacía la hipótesis de certeza, sin tener en cuenta el riesgo inherente a la inversión. La rentabilidad obtenida era la variable de decisión, no quiere ello decir que fuese la única variable de estudio en el análisis de inversiones bursátiles. A principios del siglo XX, el análisis técnico era una herramienta ampliamente empleada en el estudio de valores, y el análisis fundamental había cobrado gran importancia a raíz de la gran depresión del 29. Precisamente esta depresión hizo notar la necesidad de tomar decisiones de inversión en bolsa con criterios no especulativos, sino basados en el estudio de los estados financieros de las empresas y del sector en el que desarrollan su actividad. La rentabilidad es uno de los parámetros que se tienen en cuenta a la hora de decidir la conveniencia o no de una inversión, pero en ningún caso es el único dato a tener en cuenta. Lo importante no es conocer la rentabilidad que hemos obtenido con una inversión, sino la rentabilidad que podemos obtener realizándola. Se trata de un estudio exante, no expost. Estamos hablando del futuro, y el futuro es inseguro. Hemos de tener en cuenta esa inseguridad en los resultados futuros, rentabilidad en nuestro caso. La aceptación de que el futuro es inseguro y la introducción de esa inseguridad en el análisis bursátil, fue lo que propuso en Harry Markowitz 1 en 1. MARKOWITZ, Harry M. Portfolio Selection Journal of Finance Pág. 77 a

6 RIESGO, RENTABILIDAD Y EFICIENCIA DE CARTERAS DE VALORES su artículo Portfolio Selection, artículo que supuso un cambio completo en el planteamiento de los estudios sobre valores mobiliarios y carteras de valores. La idea fundamental es que el análisis tanto de valores individuales como de carteras de valores se basa en el estudio de dos variables: Rentabilidad y Riesgo La rentabilidad es la ganancia neta por unidad monetaria invertida, ganancia que puede derivarse del cobro de dividendos (o intereses en el caso de renta fija), ventajas en las ampliaciones de capital y plusvalías por aumento de la cotización de los títulos. En cuanto al riesgo, al ser la rentabilidad una variable aleatoria, la idea de Markowitz fue medirlo mediante la varianza de la rentabilidad o desviación media cuadrática de esta variable respecto a su media. Markowitz creó un marco teórico, denominado teoría de cartera, para analizar el problema frente al cual se encuentra todo inversor en bolsa: invertir unos recursos limitados en una combinación de valores que formen una cartera eficiente. Este problema debe ser analizado en tres fases: 1. Análisis de los títulos: Estudio de los dos parámetros fundamentales que definen un título: rentabilidad y riesgo. 2. Análisis de carteras: Estudio de las combinaciones de títulos individuales, su rentabilidad y riesgo, determinando aquellas carteras que son eficientes, que son las más rentables para un nivel dado de riesgo. 3. Selección de cartera: Determinación de la cartera óptima, dadas las combinaciones de rentabilidad y riesgo que ofrecen las posibles carteras, y las preferencias del inversor. La teoría de Markowitz se basa únicamente en el estudio de los títulos individualmente y la relación entre ellos. En ningún momento tiene en cuenta la existencia de otras variables que pueden afectar al comportamiento de los títulos, como pueden ser la coyuntura económica, la evolución del mercado, índice de inflación, etc. La teoría de carteras de Harry Markowitz ha sido ampliamente discutida y criticada por distintos autores; cabe destacar a William F. Sharpe, que simplifica el modelo de aquel y crea un modelo de valoración de activos denominado CAPM (Capital Asset Pricing Model) o Teoría del Mercado de Capitales 2. El modelo de valoración de activos financieros propuesto por W. Sharpe se basa en la idea de que la evolución de la rentabilidad de los títulos depende en parte de la evolución del mercado, el cual refleja la situación de la economía (o las expectativas que los inversores tienen sobre ésta). Así llega a establecer 2. SHARPE, William F. Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under conditions of Risk, Journal of Finance Pág. 425 a

7 PRÓLOGO una relación lineal entre la rentabilidad de un título [ri] y la del mercado (rm), a través del denominado Coeficiente β. Este coeficiente mide el riesgo del título como la sensibilidad de la rentabilidad de éste a los movimientos de todo el mercado: r i = αi + βi r M Este modelo simplifica el de Markowitz ya que no requiere el cálculo de las covarianzas o del coeficiente de correlación entre todos los títulos, únicamente es necesario determinar el coeficiente β. Posteriormente a la aparición del CAPM se han intentado desarrollar otros modelos basados en múltiples factores. Hemos de destacar la teoría del arbitraje en la fijación de precios (Arbitrage Pricing Theory, APT) que comenzó a desarrollarse a final de los años sesenta y es el primer modelo que podría superar al CAPM. El APT fue presentado en 1976 por Stephen Ross 3. Esta teoría estudia la diferencia entre la rentabilidad real de un título y su rentabilidad esperada, y la explica mediante las diferencias no previstas en varios parámetros económicos básicos (producción industrial, inflación, tipos de interés y otras variables fundamentales). Ambos modelos se utilizan actualmente en los estudios teóricos sobre el mercado de capitales. En este texto trataremos sólo el CAPM ya que es un modelo más conocido y las principales medidas de la eficiencia de una cartera de valores se basan en él. Comenzaremos con un capítulo dedicado al cálculo de la rentabilidad y el riesgo de títulos individuales y carteras de valores. Los capítulos 2 a 4 están dedicados a la teoría de Markowitz. En el siguiente capítulo analizaremos los puntos principales del CAPM. Partiendo de estas teorías, estudiamos las medidas de eficiencia de carteras de valores en los capítulos 6 y 7. Terminamos con una aplicación empírica de todo lo expuesto. 3. ROSS, Stephen. The Arbitrage Theory of Capital Asset Pricing Journal of Economic Theory Pág. 341 a

8 I Rentabilidad y riesgo de los títulos negociables 1.1. Rentabilidad de un título Rentabilidad obtenida de un título Rentabilidad esperada Riesgo de un título Carteras de valores Rentabilidad esperada de una cartera Riesgo esperado de una cartera Conclusión Los índices de los títulos Definición Índice normal y total Cálculo del índice normal Variables utilizadas El índice normal Cálculo del índice total Método general de cálculo Tratamiento de las ganancias por dividendos Tratamiento de las ganancias por ampliaciones de capital Valor teórico del derecho preferente de suscripción Ejemplo de cálculo del índice normal y total Datos Índices Cálculos Apéndice de datos Índices normal y total de la acción del Banco de Valencia Datos de Adolfo Domínguez, BBVA y Telefónica (semanales). 15

9 RIESGO, RENTABILIDAD Y EFICIENCIA DE CARTERAS DE VALORES El inversor que tiene que seleccionar un título para invertir en él, incluirlo o excluirlo de su cartera, se rige por un doble criterio: la maximización de la rentabilidad y la minimización del riesgo. Este capítulo lo vamos a dedicar al cálculo de la rentabilidad y el riesgo individual de títulos y de carteras de valores. La rentabilidad es el motivo principal para realizar la inversión. Y para tomar la decisión no debemos atender a la rentabilidad que el título haya obtenido en el pasado, sino a la rentabilidad que esperamos obtener en el futuro. Cuando vamos a evaluar un proyecto de inversión en bienes físicos, realizamos predicciones de futuro. Estas previsiones de futuro están basadas en el pasado. Para intentar prever el nivel de ventas, además de una investigación de mercado, acudimos a la experiencia del pasado. Exactamente lo mismo haremos para determinar el posible precio de venta, costes de personal, coste de la materia prima, etc. Partiendo de estas predicciones y calculando la ganancia prevista (VAN) y la rentabilidad esperada (TIR), tomamos la decisión de invertir o no. En los proyectos de inversión en activos financieros hemos de proceder igual. Tomaremos la decisión en función de las perspectivas de futuro, de la rentabilidad esperada. Ahora bien, para calcular la rentabilidad que previsiblemente un título va a generar en el futuro, será útil saber cómo se comportó en el pasado. El riesgo es motivo disuasivo de la selección de títulos. Ha de tenerse en cuenta el riesgo que se espera tener en el futuro, no el riesgo que el titulo haya tenido en el pasado. Nos encontramos, pues, en el caso de la estimación del riesgo esperado en la misma situación que en la estimación de la rentabilidad esperada. Los valores que haya adquirido la rentabilidad del título, durante el período observado, constituyen una población distribuida aleatoriamente, con una medida de concentración (la media) y una medida de dispersión (la desviación típica). La media será la rentabilidad esperada. La desviación típica, la dispersión de los datos en torno a la media, es el riesgo. Cuanto mayor sea la desviación típica, más impredecible será su rentabilidad futura. Si ocurre que la distribución de rentabilidad se ajusta a una ley matemática conocida, por ejemplo la distribución normal de Gauss, podremos predecir, por supuesto en términos de probabilidad, la rentabilidad futura de un título RENTABILIDAD DE UN TÍTULO La rentabilidad es la ganancia por unidad monetaria invertida. En el caso de inversiones financieras, la ganancia puede ser debida a cobro de dividendos (o intereses en el caso de renta fija), devoluciones de nominal o de prima de emi- 16

10 RENTABILIDAD Y RIESGO DE LOS TÍTULOS NEGOCIABLES sión de acciones, ganancias en las ampliaciones de capital y plusvalías por aumento de la cotización de los títulos. Cuando hablamos de rentabilidad podemos estar haciendo referencia a una inversión ya expirada, a la rentabilidad obtenida. También podemos estar haciendo referencia al futuro, en este caso la denominamos rentabilidad esperada. Se calcula a posteriori en base a datos históricos de la inversión inicial y de los flujos de cobros y pagos ulteriores. Estos datos son conocidos con certeza. Es, una rentabilidad objetiva y cierta RENTABILIDAD OBTENIDA DE UN TÍTULO El cálculo de la rentabilidad de cualquier inversión parte de la determinación de los flujos que genera, su corriente de cobros y pagos. Comparando ambas corrientes podemos obtener la rentabilidad de la inversión, uno de los criterios para determinar la conveniencia de invertir o no invertir. En el caso de acciones cotizadas en bolsa, las corrientes de pagos y cobros vienen definidas por el precio de compra del título, los dividendos cobrados en el periodo de tiempo de duración de la inversión, las ventajas derivadas de las ampliaciones de capital, las devoluciones de capital o de primas de emisión y el precio de venta del título al finalizar el periodo de inversión. De forma simplificada se puede calcular la rentabilidad siguiendo la siguiente fórmula: r = ( Precio final - Precio inicial)+ dividendos + otros pagos + ganancias Precio inicial en las ampliaciones de capital [1-1] Hemos de realizar dos comentarios a la fórmula anterior: 1. Simplifica la realidad ya que no tiene en cuenta en qué momento se cobran los dividendos o se producen las ampliaciones de capital. Supone que es al final del periodo, es decir, en el mismo momento de la venta del título. 2. Ante una ampliación de capital, el inversor puede adoptar distintas decisiones (concurrir a la ampliación, vender todos los derechos preferentes o una decisión intermedia). Para calcular la rentabilidad, hemos de conocer qué decisión tomó el inversor. 1. En cuanto al primer punto, las cantidades que forman la serie de cobros y pagos no se producen en el mismo instante temporal, no siendo, por tanto, comparables. La rentabilidad se debe determinar como la tasa que iguala el importe de la inversión inicial (precio de compra del título) a la suma de los valores actualizados de los flujos posteriores. 17

11 RIESGO, RENTABILIDAD Y EFICIENCIA DE CARTERAS DE VALORES Siendo: r = Tasa de rentabilidad F0 = Flujo inicial = Precio de compra del título Ft = Flujo de fondos en el periodo t n = Número de periodos de duración de la inversión. n Ft F0 = t (1+ r ) t =1 [1-2] En este caso estamos suponiendo que todos los flujos del periodo t se producen al final del mismo, pero esta fórmula nos da la posibilidad de subdividir el periodo tanto como creamos conveniente. Si los periodos considerados son inferiores al año, la rentabilidad que hemos obtenido con el cálculo está en términos subanuales. Para convertir esa rentabilidad obtenida a términos anuales, aplicamos la fórmula del interés compuesto. Siendo: ra Tasa de rentabilidad anual rs Tasa de rentabilidad subanual d Número de subperiodos en que se divide el año (número de días, meses, trimestre, etc.) ra = (1+ rs d ) 1 [1-3] Por ejemplo, vamos a suponer una inversión en acciones de Metrovacesa durante los nueve primeros meses del año El 31 de diciembre de 2002, el valor de mercado de estas acciones era A 30 de septiembre cotizaban a /acción. Durante los nueves primeros meses del 2003, Metrovaceso repartió dos dividendos Un inversor que comprara 100 acciones de Metrovacesa el 31 de diciembre y las vendiera a final de septiembre de 2003, según la fórmula [1-1] habría obtenido la siguiente rentabilidad: 18

12 RENTABILIDAD Y RIESGO DE LOS TÍTULOS NEGOCIABLES ( 2,349 2,020) r = = % en 9 meses 2,020 Para pasar esta rentabilidad a términos anuales, aplicamos la fórmula [1-3], teniendo en cuenta que un año tiene 1.33 subperiodos de nueve meses: 1.33 r a = ( ) 1= 27.86% Si tenemos en cuenta el momento en el que se producen los cobros, es decir si aplicamos la fórmula [1-2] 1 : 2, 020 = ( 1 + r 19 ) ( 1 + r 143 ) + 2, 349 ( 1 + r 191 ) ra= = % % anual En el primer caso estamos suponiendo que los cobros se producen a final del periodo de inversión, o que el valor del dinero se mantiene constante durante todo ese periodo. En el segundo caso estamos teniendo en cuenta que el inversor puede reinvertir los importes cobrados, que generarán una rentabilidad suplementaria. 2. En cuanto al segundo punto, las ampliaciones de capital pueden tener distintos tratamientos a la hora de calcular la rentabilidad de una acción. Los sujetos inversores pueden adoptar distintas decisiones ante una ampliación de capital, decisiones que influirán en la rentabilidad obtenida. Ésta es un dato cierto, ya que estudia datos del pasado, pero subjetivo en cuanto a que depende de las decisiones que tomó el inversor, habrá tantas rentabilidades obtenidas como sujetos inversores se consideren. La rentabilidad de una acción durante un periodo de tiempo para dos inversores, uno de los cuales ha decidido no concurrir a las ampliaciones de capital y, por tanto, proceder a la venta de sus derechos de suscripción, y otro de los cuales ha seguido la política contraria, concurrir a las ampliaciones de capital, incluso adquiriendo derechos de suscripción, será distinta y dependerá tanto del valor de emisión de las nuevas acciones como de la evolución posterior del mercado. Si la evolución es al alza, el segundo de los inversores habrá acertado; en caso contrario el primero de ellos, que desinvirtió a tiempo, será el que obtenga mayor rentabilidad. 1. En este caso hemos tomado el año bursátil, 250 días. Si hubiésemos realizado los cálculos utilizando el año natural, el resultado diario sería distinto pero la rentabilidad anual hubiese sido la misma. 19

13 RIESGO, RENTABILIDAD Y EFICIENCIA DE CARTERAS DE VALORES A modo de ejemplo, vamos a calcular la rentabilidad obtenida de las acciones del Banco de Valencia durante los nueve primeros meses del Los datos para el cálculo son los siguientes: Cotización el 31/12/ Cotización el 30/09/ Dividendos: Ampliaciones de capital: Cotización del derecho preferente de suscripción: Supongamos la adquisición de 100 acciones el 31 de diciembre de 2002 y su venta el 30 de septiembre de Supongamos asimismo que nos encontramos ante dos inversores: 20

14 RENTABILIDAD Y RIESGO DE LOS TÍTULOS NEGOCIABLES Inversor A: En las ampliaciones de capital decidió vender todos los derechos de suscripción que poseía. Inversor B: En la ampliación de capital liberada decidió utilizar los derechos preferentes de suscripción que poseía. En la segunda ampliación decidió suscribir 20 acciones nuevas. Inversor A. Flujos: 31/12/20...Adquisición de 100 acciones x /acción... 1, /03/03...Dividendos: 100 x /acción /06/03...Venta de 100 derechos x 0.31 /derecho /07/03...Dividendos: 100 x /acción /09/03...Venta de 100 derechos x 0.32 /derecho /09/03...Venta de 100 acciones x /acción...1, Inversor B. Flujos: 31/12/20...Adquisición de 100 acciones x /acción... 1, /03/03...Dividendos: 100 x /acción /06/03...Suscripción de 2 acciones liberadas /07/03...Dividendos: 102 x /acción /09/03...Adquisición de 198 derechos x 0.32 /derecho /09/03...Suscripción de 20 acciones x 10 /acción /09/03...Venta de 122 acciones x /acción...1, Calculamos la rentabilidad obtenida a partir de esos flujos y aplicando la fórmula [1-2]: El inversor A, que no aumentó su inversión a lo largo del periodo, obtuvo mayor rentabilidad. El inversor B aumentó su inversión en las dos ampliaciones de capital, pero el incremento de precio de las acciones no fue suficiente para compensar dicha inversión. 21

15 RIESGO, RENTABILIDAD Y EFICIENCIA DE CARTERAS DE VALORES Para realizar un estudio objetivo de la rentabilidad de los títulos en la bolsa, hemos de eliminar las consecuencias que las decisiones particulares de cada inversor tienen sobre la rentabilidad del título. Para ello, en todo el estudio, el cálculo de la rentabilidad de los valores lo realizaremos partiendo del supuesto de operación blanca, es decir, durante el periodo de estudio no se producen ni desembolsos adicionales a la compra inicial del título, ni cobros previos a la finalización de la inversión y, por tanto, a la venta de los títulos. Esta hipótesis de operación blanca supone que, en el caso en que se produzca un reparto de dividendos, el importe correspondiente va a ser reinvertido en la compra de más títulos de la sociedad que ha pagado el dividendo, no produciéndose ningún flujo positivo de fondos. En el caso de ampliaciones de capital, el inversor vende parte de los derechos de suscripción que posee, empleando este importe en desembolsar las acciones que suscribe utilizando los restantes derechos. Esta hipótesis es precisamente la que subyace en el cálculo del Índice Total de un título. Los índices totales miden la rentabilidad por todos los conceptos (plusvalías, dividendos, ampliaciones) y son por ello el mejor instrumento para el seguimiento del mercado de acciones a largo plazo 2. Es por ello la base de cálculo que hemos elegido para determinar las rentabilidades individuales de títulos y de carteras 3. El índice total de un título mide en cada periodo el patrimonio del accionista por cada unidad monetaria invertida en el momento base, es un indicador de la evolución de la inversión total y nos permite medir la rentabilidad para el accionista. Una vez determinado el índice total de un título, la rentabilidad durante un periodo determinado vendrá dada por las variaciones que se producen en este índice (variaciones en el importe total de la inversión), restándole la unidad. Siendo: ro = rentabilidad obtenida ITt = Índice total del título en el periodo [t] IT t r o = - 1 IT t-1 [1-4] Si el periodo de estudio coincide con el año, la tasa anterior es una rentabilidad anual. 2. Bolsa de Madrid, Servicio de Estudios. Índices de cotización de acciones de la Bolsa de Madrid Pág La forma de cálculo del índice total puede verse en el apartado 1.4 y siguientes. 22

16 RENTABILIDAD Y RIESGO DE LOS TÍTULOS NEGOCIABLES En general, si estamos trabajando con subperiodos (que es lo habitual), la tasa de rentabilidad obtenida la calculamos como la raíz enésima de la variación del Índice Total entre los momentos elegidos como comienzo y final del periodo de estudio. Siendo: ro m = rentabilidad obtenida en un período subanual n = número de periodos subanuales durante los que el inversor conserva el título en su poder ITt = Indice Total del título en el período [t] ITn ro m = n IT0-1 [1-5] Utilizando los datos del Banco de Valencia 4 : IT 03 / 01/ 2003 = IT 26 / 09/ 2003 = La variación del índice desde el principio al final del periodo, fórmula [1-4], nos dará la rentabilidad obtenida desde el3 de enero al 26 de septiembre: r om = 1= = 25.89% en el periodo total Entre el 3 de enero y el 26 de septiembre transcurren 37 semanas, por tanto la rentabilidad obtenida promedio semanal fue del 0.62%. Aplicamos la fórmula [1-5]: r % = om = = En términos anuales: semanal r o 52 = ( ) 1= = 38.21% Ésta es la rentabilidad obtenida calculada de forma objetiva. Se obtiene aplicando una hipótesis que no es realista, pero que nos permite eliminar las decisiones particulares de cada inversor y comparar la evolución de varios títulos aplicando el mismo supuesto. 4. Los índices normal y total semanales se encuentran en el apartado 1.8.a, pág

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