Resolviendo la Ecuación Diferencial de 1 er Orden

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1 Resolviendo la Ecuación Diferencial de er Orden J.I. Huircán Universidad de La Fronera February 6, 200 bsrac El siguiene documeno planea disinos méodos para resolver una ecuación diferencial de primer orden de coe cienes consanes. Sólo considera las ecuaciones con exciación igual a cero y la exciación consane. Ecuaciones diferenciales y redes Los procesos ransiorios de las redes compuesas por resisores, capaciores y/o bobinas son descrios mediane ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden de coe cienes consanes. La variable a deerminar, ya sea volaje o corriene, se encuenra resolviendo ese ipo de ecuación. Sea la ecuación dy () + y () = x () () Donde y () respresena la respuesa y x () es la exciación de la red. Si x () = 0, la ecuación será homogénea, la variable buscada no depende de la exciación, si x () 6= 0; será no homogénea. En érminos maemáicos la solución de () iene dos pares, una llamada solución general y ora llamada solución paricular, desde el puno de visa de las redes elécricas se habla de una solución ransioria y permanene. x() v(), i() Exciación Red Lineal y() v(), i() Respuesa Figure : Red lineal.

2 2 Resolviendo la Ecuación Homogénea Esa ecuación se resuelve por inegración direca, despejando en un lado de la ecuación la variable buscada. Sea la ecuación homogénea dy () + y () = 0 (2) Noe que (2) es resulado de la aplicación de las leyes de Kirccho en una red en la cual no exisen exciaciones. Luego despejando y () e inegrando Z dy () y () = dy () y () = ln y () = (3) a Z (4) + k (5) plicando e x, a ambos lados de la ecuación Luego, se hace K = e k ; enonces y () = e ao +k = e ao e k (6) y () = Ke ao El valor de K se deermina conociendo el valor de la función y () en un puno, lo cual se conoce como condición inicial, luego, si y ( o ) = Y o, enonces (7) Despejando Y o = Ke ao o (8) K = Y o e ao Por lo general, o = 0, así K = Y o ; nalmene y () = Y o e ao o (9) (0) Donde = a, se conoce como consane de iempo y corresponde al iempo en el cual la respuesa varia en un 32% de su valor original. La Fig. 2 permie ver la evolución de la función y (). Se considera que cuando el iempo ranscurrido es de 5, el valor de la función es cero. 2

3 y() Yo 0.63Y o τ Figure 2: Variación de y () en el iempo. 3 Resolviendo la Ecuación No Homogénea Cuando la Ecuación es No homogénea, la función x (), iene dos formas x () = = Ce: o x () = cos (! + ) Para ese análisis se considerará exciación consane. Sea la ecuación dy () + y () = () La respuesa de la ecuación () iene dos pares y () = y () + y p () (2) La primera será llamada solución ransioria (respuesa de la ecuación homogénea) y la segunda será conocida como solución permanene (la cual depende de la exciación). La respuesa ransioria se deermina solucionando la ecuación dy () sí, de acuerdo a (7) se iene + y () = 0 (3) y () = Ke Para enconrar la solución permanene se resuelve (4) dy p () + y p () = (5) En régimen permanene las derivadas se anulan, pues, los elemenos ales como capaciores y bobinas, esán almacenando energía, enonces 0 + y p () = Luego reemplazando (4) y (6) en (2) se iene y p () = (6) 3

4 y () = Ke ao + (7) El valor de K se encuenra usando la condición inicial y ( o ) = Y o ; luego sí Si o = 0, enonces, K = Y o y () = Y o = Ke ao o + (8) K = Y o Y o e ao o (9) ; nalmene la solución Si la condición inicial es cero, enonces e ao + (20) y () = e ao (2) y() 0.63 ao τ Figure 3: Variación de y () en función del iempo. La Fig. 3, indica la variación de la respuesa, esa vez, la consane de iempo indica el porcenaje de variación del 63 % del valor nal. Cuando han ranscurrido 5; se considera que la curva ha llegado al valor nal. 4 Resolución Usando el Facor de Inegración Permie enconrar las dos pares de la ecuación no homogénea. Sea la ecuación dy () + P y () = Q (22) Donde P es una consane y Q consane o función de. Muliplicando la ecuación (22) por e P, enonces P dy () e + e P P y () = Qe P (23) 4

5 pero si d sí y () e P = y () P e P + e P dy() d y () = e P Z enonces y () e P = Qe P (24) Qe P + Ke P (25) Habiualmene el primer érmino se conoce como inegral paricular y el segundo como función complemenaria, el cual no depende de la exciación. Para un problema de redes, P siempre será posiivo. Finalmene, considerando el caso en que Q es una consane, evaluando la inegral y () = e P Q ep P + Ke P = Q P + Ke P (26) Cuando el límie de la inegral paricular es disino de cero, el resulado se conoce como valor a esado permanene. Noe que cuando no exise exciación Q = 0, solamene queda la función complemenaria. 5 plicando los méodos 5. Resolviendo la ecuación homogénea Considere la ecuación dv () C + v () = 0 (27) R Cuya condición inicial v(0) = V o : Usando el méodo del aparado 2, se despeja la variable v () Luego inegrando dv () v () = (28) RC ln fv ()g = RC + k (29) sí, aplicando e x en ambos lados de (29) v () = e RC +k = Ke RC (30) 5

6 Tomando la condición inicial v (0) = V o Finalmene V o = Ke RC 0 = K (3) Donde = RC. v () = V o e RC (32) Usando el facor de inegración. Modi cando (27) de acuerdo a (22) Luego P = RC dv () + v () = 0 (33) RC y Q = 0, muliplicando por e RC ; se iene e RC dv () Despejando e inegrando + RC e RC v () = 0 d n v () e RC o = 0 (34) v () e RC = K v () = Ke RC (35) Usando la condición inicial v () = V o e RC (36) 5.2 Resolviendo la ecuación no homogénea Considere la ecuación diferencial no homogénea Considerando i(0) = 0: di () L + Ri () = V (37) Uilizando el Méodo propueso en el aparado 3. La solución esa dada Luego, resolviendo la ecuación homgénea i () = i () + i p () (38) L di () + Ri () = 0 (39) 6

7 Inegrando de acuerdo a (7) i () = Ke R L (40) Por oro lado, omando la ecuación no homogénea y anulando la derivada L di p () + Ri p () = V L 0 + Ri p () = V i p () = V R Luego i () = i () + i p () = Ke R L + V R hora, inroduciendo la condición inicial para enconrar K. i (0) = 0 = i (0) + i p (0) = Ke R L 0 + V R (4) (42) Finalmene K = V R (43) i () = V R e R L + V R (44) Donde = L R. Usando el facor de inegración. Se modi ca (37) de acuerdo a (22) di () + R L i () = V L (45) Se iene P = R L y Q = V L : Muliplicando (45) por ep e R L di () d Despejando i () e inegrando + e R L R L i () = e R L V L n i () e R o L = e R L V L (46) Z i () = e R L 0 e R L V L + Ke R L (47) = V L e R L e R L + Ke R L = V R + Ke R L (48) R L 7

8 Usando la condición inicial se deermina el valor de K. i () = V R V R e R L (49) 6 Conclusiones Claramene se ve que el primer méodo es el menos complicado, pues, simpli ca el procedimieno al cálculo de una inegral elemenal en el caso de la solución ransioria y un cálculo algebráico para la solución permanene. Ese procedimieno evia memorizar fórmulas. Cuando la ecuación es homogénea, la solución solo iene una componene ransioria, ambién llamada complemenari general. 8