Instrumentos matemáticos para la empresa (2/4) 1º GRADO DERECHO-ADE CURSO Prof. Pedro Ortega Pulido

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1 Instrumentos matemáticos para la empresa (2/4) 1º GRADO DERECHO-ADE CURSO Prof. Pedro Ortega Pulido

2 1. Matemática Financiera 1.0. Introducción a la matemática financiera Capitales financieros Interés Capitalización simple Descuento simple Vencimientos común y medio Capitalización y descuento compuestos Capitalización fraccionada Tasas equivalentes Capitalización continua 1.2. Rentas financieras 1.3. Valoración de inversiones

3 INTERÉS Cuando una persona o entidad (PRESTAMISTA) Presta un capital o dinero (CAPITAL PRINCIPAL) A otra persona o entidad (PRESTATARIO) El prestamista renuncia a su capacidad de consumo o de inversión del CAPITAL PRINCIPAL por lo que COBRA al PRESTATARIO uno INTERESES como pago. EL PRECIO DEL DINERO = INTERÉS El interés se puede expresar en: - Tanto por ciento: 3,5% - En puntos básicos: 350 puntos básicos - En puntos porcentuales: 3,5 p.p.

4 INTERÉS PRESTAMISTA Capital PRINCIPAL PRESTATARIO PRINCIPAL + INTERESES Ejemplo 13 El Banco X nos presta a un interés simple del 5% anual a devolver en 1 año. qué interés nos cobra? PRINCIPAL= INTERÉS = ,05 1=50 LOS INTERESES SE CALCULARÁN CON UNA LEY DE CAPITALIZACIÓN DETERMINADA

5 CAPITALIZACIÓN SIMPLE Es una de las leyes de capitalización basada en el interés simple, en la que el cálculo de los intereses se realiza UNICAMENTE SOBRE EL PRINCIPAL, los intereses que genera el capital son improductivos. Ejemplo 14. La entidad financiera DERECHOSA nos presta a un interés simple del 8% anual. Cuánto dinero tendremos que devolver si el vencimiento es a los 5 años? PRINCIPAL = Intereses del 1er año = ,08 = 80 Intereses del 2º año = ,08 = 80 Intereses del 3er año = ,08 = 80 Intereses del 4º año = ,08 = 80 Intereses del 5º año = ,08 = 80 TOTAL INTERESES = 400 A devolver PRINCIPAL + INTERESES =MONTANTE = 1.400

6 CAPITALIZACIÓN SIMPLE DE FORMA GENERAL: C t C0 C0 r t C0 (1 r t) C t C0 (1 r t) I t C 0 r t Factor de capitalización simple 1 r t

7 CAPITALIZACIÓN SIMPLE Ejemplo 15. Calcula el interés que producen 500 dentro de 9 años a un interés simple del 12% anual y el montante final qué ocurre si la unidad de medida de los periodos y del tipo de interés son diferentes? Ejemplo 16. Calcula el interés que producen 500 dentro de 18 meses a un interés simple del 12% anual Observación. En las fórmulas de capitalización simple: El tipo de interés r y t deben ser homogéneos, es decir, deben expresarse en la misma unidad de tiempo.

8 CAPITALIZACIÓN SIMPLE Ejemplo 17 Juan pide prestados e a Ana a devolver dentro de 20 meses. Si Ana le pide un interés simple del 7% semestral. Cuánto tendrá que devolver Juan a Ana dentro de 20 meses? En el proceso de HOMOGENEIZACIÓN de la unidades de tiempo debemos tener en cuenta que: - Nº de días del año comercial = Nº de días del año natural = Nº de día del año natural bisiesto = Nº de semanas del año = 52 Otra forma de expresar la fórmula del interés simple es: con r (anual) k=1 si t en años; k=2 si t semestres, k=3 si t en cuatrimestres,.

9 CAPITALIZACIÓN SIMPLE Ejemplo 18. Hemos recibido un préstamo de a devolver dentro de 7 meses a un 12% de interés simple anual. Cuánto tendremos que pagar por los intereses del préstamo? Ejemplo 19. Tenemos que pagar a un proveedor, y hemos negociado retrasar el pago 75 días. El proveedor acepta el retraso pero dice que tendremos que pagarle 93,7 de intereses. qué tipo de interés simple nos cobra el proveedor? Ejemplo 20 Tenemos una deuda de con el proveedor del ejemplo anterior. Sabiendo que nos cobra el mismo tipo de interés. Cuántos días podremos aplazar el pago si sólo deseamos pagar 75 e de intereses?

10 CAPITALIZACIÓN SIMPLE Ejemplo 21. Hemos invertido en unos fondos que ofrecen un interés simple anual del 15%. Cuál será el saldo de dicha cuenta dentro de 8 meses? Ejemplo 22. Un inversor retira de un fondo en el que colocó Calcule el tiempo que ha durado la inversión si la rentabilidad del fondo era de un 12% anual.

11 DESCUENTO SIMPLE a) Descuento simple racional o matemático La ley de capitalización simple viene dada por: Por tanto para calcular el VALOR ACTUAL Capital basta despejar y obtenemos de un Factor de descuento simple 1 1 r t

12 a) DESCUENTO SIMPLE RACIONAL Ejemplo 23. Dentro de 10 meses tenemos que pagar de una deuda pendiente. Cuánto tendría que invertir en un fondo que nos ofrece un 6% de interés simple anual para poder hacer frente a dicho pago? Ejemplo 24. Dentro de 4 años queremos regalar a nuestros padres un viaje valorado en (suponiendo que el importe del viaje no varia a lo largo del tiempo). Para ello decidimos invertir en un depósito que nos garantiza obtener dicho importe si aportamos hoy cuál es el tipo de interés simple que nos ofrece el depósito?

13 b) DESCUENTO SIMPLE COMERCIAL LETRAS DE CAMBIO. En ocasiones para ejecutar los pagos entre empresas se suelen extender letras de cambio donde el LIBRADOR (el que presta o realiza la venta) cobrará al LIBRADO (el prestatario o comprador) un cierto importe NOMINAL en un plazo de devolución VENCIMIENTO. Ejemplo 25. Nuestra empresa vende a JUAN S.A. unos productos por Para ello deciden extender una letra de a pagar en 60 días. Determina en esta operación LIBRADOR -- LIBRADO --- NOMINAL --- VENCIMIENTO

14 1.1.3.b) DESCUENTO SIMPLE COMERCIAL VENTA DE LETRAS DE CAMBIO Las letras de cambio en si mismas no tienen LIQUIDEZ, pero pueden ser vendidas por el LIBRADOR a un banco que se convierte ahora en el TENEDOR de la letra. El Banco nos dará liquides a la letra y para ello cobrará al LIBRADOR unos intereses (DESCUENTO COMERCIAL) Y luego cobrará al LIBRADO el NOMINAL al VENCIMIENTO. El banco cobrará intereses sobre un CAPITAL FUTURO (a diferencia del descuento racional) y el LIQUIDO que obtenemos es: Es el denominado DESCUENTO COMERCIAL

15 1.1.3.b) DESCUENTO SIMPLE COMERCIAL Ejemplo 25. Si negociamos la letra de con el banco cuál será el importe líquido que recibiremos? OBSERVACIONES: Si al vencimiento el LIBRADO no pagase el NOMINAL al banco entonces lo tendría que pagar el LIBRADOR. El importe de la contraprestación, es decir, el valor de la letra se llama NOMINAL,lo que el banco nos da es la prestación es el LÍQUIDO : LIQUIDO = NOMINAL DTO. COMERCIAL En el DESCUENTO COMERCIAL el interés se calcula sobre el capital final, mientras que en el DESCUENTO RACIONAL el interés se calcula sobre el capital inicial

16 1.1.3.b) DESCUENTO SIMPLE COMERCIAL Ejemplo 26. La empresa MOVILES S.A. ha vendido a la distribuidora JJONE una partida de teléfonos móviles por un importe de Para ello ha extendido un efecto a 90 días. MOVILES S.A. necesita liquidez por lo que negocia la letra con el BANCO-H que le aplica un descuento del 10%. a) Calcula el importe líquido que recibe MOVILES S.A. b) Dibuja el gráfico de flujo de fondos c) Determina el interés que resultaría de este descuento si fuese descuento racional (interés vencido) d) qué relación guardan el descuento comercial d=0,1 (interés anticipado) y el descuento racional r (interés vendido

17 1.1.3.b) DESCUENTO SIMPLE COMERCIAL RELACIÓN ENTRE DESCUENTO COMERCIAL Y RACIONAL El tipo de interés que aplica el descuento racional r se llama INTERÉS VENCIDO ya que se aplica sobre el capital inicial El tipo de interés que aplica el descuento comercial d se llama INTERÉS ANTICIPADO ya que se aplica sobre el capital final. Demostrar que

18 1.1.3.b) DESCUENTO SIMPLE COMERCIAL Ejemplo 28. Un cliente debe pagar dentro de 45 días a la empresa tecnológica ORDENA S.A. Para ello se extiende una letra de cambio por dicho importe. La empresa vende la letra al BANCO- MMH y este aplica un 12% de descuento. a) Determina LIBRADOR, LIBRADO, NOMINAL, TENEDOR de la letra de cambio. b) Cuál es el importe LÍQUIDO que recibe la empresa a través de BANCO-MMH? c) Cuál es el tipo de interés vendido de la financiación? (realiza este apartado por 2 métodos)

19 Vencimientos común y medio Es muy frecuente que el vencimiento de un capital o de un conjunto de capitales con distintos capitales requiera efectuar sobre el modificaciones. Estas modificaciones pueden dar lugar a dos tipos de vencimientos común y medio. a) VENCIMIENTO MEDIO Cuando un conjunto de capitales con distintos vencimientos puede SUSTITUIRSE por un SOLO CAPITAL que es SUMA de los capitales anteriores en un vencimiento único, a dicho vencimiento le denominamos VENCIMIENTO MEDIO

20 Vencimientos común y medio Ejemplo 28 La empresa A debe a un proveedor 3 capitales de 3.000, y que vencen a 30, 60 y 90 días. En qué fecha podría pagar la empresa A los 3 capitales juntos sin ningún tipo de interés? Cómo se calcula el VENCIMIENTO MEDIO? Calcularlo para el ejemplo anterior. Es decir, el vencimiento medio es la MEDIA PONDERADA de los vencimientos de varios capitales.

21 Vencimientos común y medio Ejemplo 29 Un cliente debe a 30 días y a 120 días y quiere hacer un único pago de cuándo será dicho pago? b) VENCIMIENTO COMÚN Ejemplo 30 Un cliente debe a 30 días y a 120 días y quiere hacer un único pago el día 100 Cuánto deberá pagar si se pacta un interés del 12%? OBSERVACIONES: 1) En el ejemplo anterior NO es la suma de los capitales. 2) El VENCIMIENTO MEDIO es 90 días 3) Como el vencimiento deseado es 100 días, no coincidente con VM el capital sustituto no es suma de capitales.

22 Vencimientos común y medio Ejemplo 31. Debemos pagar a un proveedor a 30 días, a 60 días y a 90 días. Se quiere hacer un único pago el día 80. cuánto se debe pagar en dicha fecha si se pacta un 9% de interés simple anual? (RESOLVER 2 MÉTODOS) Ejemplo 32. Mi empresa debe a un proveedor 3 capitales de 8.000, y que vencen a 30, 60 y 90 días respectivamente. Hemos pedido al proveedor que agrupe esos pagos en 85 días. El proveedor acepta la propuesta si le pagamos en esa fehca qué interés pagamos al proveedor?

23 Capitalización y descuento compuestos a) CAPITALIZACIÓN COMPUESTA. En la ley de capitalización compuesta, los intereses se vuelven productivos de tal forma que en un periodo se capitaliza el capital y los intereses generados en el periodo anterior: Año Intereses Capital acumulado t

24 Capitalización y descuento compuestos Capitalización compuesta: se denomina factor de capitalización compuesta. Ejemplo 33. Juan ingresó en la supercuenta del BancoM que ofrece un interés anual compuesto del 10%. Cuánto dinero tendrá Juan en esa cuenta dentro de 1 años? Y dentro de 2 años? Y dentro de 3 años? Y dentro de t-años?

25 Capitalización y descuento compuestos b) Descuento compuesto. La fórmula para ACTUALIZAR un capital que ha sufrido un interés compuesto es: Ejemplo 34. María se graduará en la univesidad dentro de dos años. Su madre quiere regalarla un reloj y supone que para dentro de dos años necesitará 238 para poderlo adquirir. Cuánto tendrá que ingresar la madre de María en una cuenta de ahorro que le produce un 14% de interés compuesto anual?

26 Capitalización y descuento compuestos Ejemplo 35. Cuánto tiempo deberemos invertir en una cuenta que nos ofrece un interés del 13% de interés compuesto anual para obtener 8.152,37? Ejemplo 36. María presta 100 a Ana al 12% de interés compuesto anual. Después de cuántos años Ana deberá devolver a María 157,35? Ejemplo 37. Verónica compró dólares por un importe de y tres años los vendió por Cuál fue la rentabilidad de la inversión si aplicó interés compuesto?

27 Capitalización y descuento compuestos c) Capital y descuento compuesto en periodos en los que varía el tipo de interés qué ocurre cuando el tipo de interés varía a lo largo de la operación financiera? Ejemplo 38. Hace 5 años ingresé en una cuenta que ofrecía un interés variable en régimen de capitalización compuesta anual. a) Calcular el saldo dentro de 5 años si los 2 primeros años el interés fue del 8% ;los años 3º y 4º del 11% y el 5º año del 12%. b) Calcular la rentabilidad global de la inversión durante estos 5 años.

28 Capitalización y descuento compuestos En general, si tenemos un capital inicial al que se le aplica un r1% durante t1 periodos, luego un r2% durante t2,, rk% durante tk, el capital final será: Y por tanto:

29 Capitalización y descuento compuestos. Ejemplo 39. Mi madre quiere tener ahorrados dentro de 4 años para celebrar sus bodas de oro. Una cuenta le ofrece un 12% de interés compuesto anual los dos primeros años y luego un 9%. Qué cantidad debe depositar en la cuenta?

30 Capitalización fraccionada Hasta ahora la capitalización compuesta se realizaba con periodos anuales, pero puede ocurrir que los intereses se CAPITALICEN: mensualmente, trimestralmente, semestralmente, semanalmente, diariamente o en cualquier otro periodo. A este tipo de capitalización la llamaremos CAPITALIZACIÓN FRACCIONADA: los intereses se capitalizan en FRACCIONES DE AÑO incorporándose al principal para producir nuevos intereses. Ejemplo 41. Verónica, Ana, María, Carlos y Pedro invierten cada uno 500 en 5 bancos distintos con un interés compuesto anual del 9% pero con distintos periodos de capitalización. Cuál será el saldo en sus cuentas durante un 1 año si Verónica utiliza capitalización anual, Ana semestral, María trimestral, Carlos mensual y Pedro diaria?

31 Capitalización fraccionada Observación Si es el TIPO EFECTIVO que se aplica a una operación financiera y es CAPITALIZABLE n-veces al año, cada periodo se infresarán la n-ésima parte del tipo nominal: Tenemos dos TASAS. TASA NOMINAL: la que se pagará durante un periodo de inversión sin tener en cuenta la acumulación de intereses. TASA EFECTIVA: la que realmente se aplica a la operación financiera y que refleja cuándo se capitalizan los intereses.

32 Capitalización fraccionada Ejemplo En el ejemplo 41 9% es la TASA NOMINAL, y: - cuando la capitalización es semestral la TASA EFECTIVA ES 9/2 % - Cuando la capitalización es mensual la TASA EFECTIVA es 9/12 % Si el tipo de interés NOMINAL es r, capitalizable n-veces al año cada periodo ofrece una tasa EFECTIVA: Así: Y si invertimos t-años

33 Capitalización fraccionada Ejemplo 43. El Banco Amarillo ha lanzado dos cuentas que ofrecen: 1ª) Interés semestral del 3% 2ª) Interés semanal del 0,2% Si María ingresa en la cuenta 1 y Ana la misma cantidad en la cuenta 2. a) Qué importe tienen cada una de ellas después de 2 años? b) Cuál de las dos cuentas es más rentable? Ejemplo 44. Supongamos que voy a comprar un coche de segunda mano a través de una entidad financiera que me permite pagarlo al contado por o dentro de un año por Podría pagarlo al contado, pero tengo dinero en una cuenta que me está rentando un 6% de interés cuatrimestral. Qué opción es más interesante?

34 Capitalización fraccionada Ejemplo 45. Tenemos un capital de en una cuenta que nos renta un 13% de interés nominal anual capitalizable mensualmente. Cuánto habremos acumulado dentro de 3 meses? Ejemplo 46. Un cliente me debe pero no puede pagarme hoy y me propone posponer el pago 6 meses por Actualmente yo podría invertir mi dinero en una letras del tesoro que ofrecen un 7% de interés anual. Conviene aplazar el pago?

35 Tasas equivalentes. Definición: Las tasas o tipos equivalentes son aquellos que referidos a DISTINTA UNIDAD DE TIEMPO pero aplicados sobre el MISMO CAPITAL INICIAL y durante EL MISMO PERIODO de tiempo producen el MISMO CAPITAL FINAL (Se refiere a capitalizaciones distintas) Ejemplo 47. Comprobar que dados invertidos a un año con un 11,66% de interés anual con capitalización semestral es equivalente a 11,387% de interés anual con capitalización mensual y a su vez es equivalente a un 12% de interés anual con capitalización anual.

36 Tasas equivalentes. OBSERVACIÓN: esa equivalencia de tasas es INDEPENDIENTE del capital inicial. Ejemplo 48. Calcular cual es la tasa anual equivalente (tasa anual y capitalización anual) que ofrece un TIPO NOMINAL del 12% capitalizable mensualmente. GENERALIZANDO: Si Y es un tipo de interés anual capitalizable n-veces al año es el tipo interés nominal capitalizable k-veces al año se verifica:

37 Tasas equivalentes. Ejemplo 49. Calcular el tipo de interés capitalizable semestralmente equivalente al 10% de interés capitalizable bimensualmente. TASA ANUAL EQUIVALENTE (T.A.E.) es la anualización del tipo de interés efectivo realizado en una operación financiera. Una operación financiera que ofrece un anual capitalizable n- veces al año tiene un T.A.E.

38 Tasas equivalentes. Ejemplo 50. Hemos recibido una herencia de y tenemos distintas alternativas de inversión: a) Ingresarlo en la entidad A que ofrece un 8% de interés nominal capitalizable semestralmente. b) Ingresarlo en la entidad B que ofrece un 8,6% de interés nominal capitalizable mensualmente. c) Ingresarlo en la entidad C que ofrece un 8,4% de interés nominal capitalizable bimensualmente. 1) Calcula el capital final después de un año de cada entidad. 2) Calcula la T.A.E. de cada operación 3) qué entidad ofrece una mayor rentabilidad?

39 Tasas equivalentes. Cómo afectan las comisiones y los gastos a los intereses? Ejemplo 51. Juan desea realizar obras en su casa por un importe de Le ofrecen financiar dichas obras con las siguientes condiciones: Entrada pagos mensuales de 825 cada uno. Calcular la TAE de esta financiación.

40 Capitalización continua. Recordemos la fórmula de la capitalización fraccionada: Siendo el capital inicial; r el interés nominal Capitalizable n-veces al año durante t años. Ejemplo 52. Calcular el valor futuro de dentro de tres años a un tupo anual del 10% a) Capitalizable anualmente b) capitalizable semestralmente c) Capitalizable trimestralmente d) capitalizable mensualmente e) Capitalizable semanalmente f) capitalizable diariamente g) Capitalizable CADA HORA h) capitalizable cada minuto

41 Capitalización continua. a) ANUALMENTE: b) SEMESTRALMENTE c) TRIMESTRALMENTE d) MENSUALMENTE e) SEMANALMENTE f) DIARIAMENTE g) CADA HORA h) CADA MINUTO

42 Capitalización continua. Si hacemos que n tienda a infinito, el número de veces que se capitaliza es muy grande y por consiguiente el periodo de capitalización es casi INSTANTÁNEO en cuyo caso: Y como : Entonces: Cuando se invierte un capital durante cierto tiempo t en años a una tasa anual del r % con CAPITALIZACIÓN CONTINUA

43 Capitalización continua. En el ejemplo 52 si invertimos con capitalización CONTINUA: Ejemplo 53. El Banco H acaba de lanzar un novedoso producto financiero en la red. Se trata de una cuenta que ofrece un interés anual del 8% en capitalización continua, ingreso mínimo Si ingresamos en esta cuenta, calcular el saldo de la cuenta en 5 años. Ejemplo 54. Un amigo nos pregunta por la cuenta del ejemplo 53: Cuánto tendré que ingresar hoy en la cuenta si quiero disponer de dentro de 6 años?

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