TEMA 1: MATEMÁTICAS FI F NAN A CI C ER E AS A

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1 TEMA : MATEMÁTIAS FINANIERAS

2 ONTENIDO. pitles ficieos. Leyes de cpitlizció: simple y compuest; fcciod y cotiu. Vlo Actul y vlo Futuo. Tss Equivletes. Tss Nomiles y Efectivs de Iteés.. Rets ficies. Seies itmétic y geométic. Vlo cpitl o ficieo de u et. lsificció y popieddes. Rets equivletes. Vloció de ets costtes: pepgbles y postpgbles; pepetus; ticipds y difeids..3 Vloció de ivesioes: Vlo Actul Neto: VAN. Ts Ite de Redimieto: TIR. Refeecis:. uso de Mtemátic Ficie, Mie, McGw-Hill, 008: p.,, 3, 4, 5 y 9.. Mtemátics p Admiistció y Ecoomí, Heussle/Pul/Wood, Petice-Hll, ª edició, 008: p. 5

3 . pitles ficieos. Ejemplo : u euo hoy vle más que u euo e el futuo Lu h gdo l Loteí y p celeblo le h egldo su mig A H decidido que usá ese dieo p fici u vije juts Austli que há el ño que viee. A decide poelo e su cuet plzo fijo dute este ño. Le d u % de iteés ul po lo que e el mometo de ise de vije A tedá : ,0 x pitl iicil Iteeses A h elizdo UNAOPERAIÓN FINANIERA : se h ddo cuet de que si le pest el dieo l bco hoy u iteés del % ul, el ño que viee tedá u poco más de dieo p ise de vije co Lu. A se h ddo cuet del impotci del tiempo e l defiició del vlo del dieo, y que u euo hoy puede ivetise e detemid opeció obteiedo u etbilidd, uos iteeses, po ello.

4 E este cpítulo vmos estudi distitos tipos de opecioes ficies. Qué es u opeció ficie?: U opeció ficie, es u itecmbio tempol de cpitles. Tod opeció ficie está fomd po dos ptes:. l pte iveso, l que pest el dieo y d lug u pestció,. l pte que ecesit l ficició o pte deudo que d lug u cotpestció. A h elizdo u opeció ficie l poe sus 6000 (Pestció) plzo fijo l % de iteés (Ley ficie) dute u ño (Tiempo) y cosegui 60 (otpestció) Elemetos e u opeció ficie. Pestció: 6000 de A. Ley ficie: El bco pg u iteés del % ul 3. Tiempo: ño 4. otpestció: 60 L mtemátic ficie os sive p, coocidos tes de estos elemetos clcul el cuto

5 El pitl ficieo Llmmos cpitl ficieo l vlo ecoómico de cieto bie e el mometo e el que lo teemos dispoible. Si Lu decide dle A el dieo deto de u ño gumetdo que o lo ecesit tes del vije está ecibiedo A el mismo cpitl ficieo? No olvidemos que el tiempo es u elemeto cucil e tod opeció ficie. L mtemátic ficie os yud etede el vlo del dieo e el tiempo. P A oes lo mismo ecibi 6000 hoy que ecibi 6000 deto de u ño. P A el equivlete ecibi 6000 hoy seí que ecibi60 deto de u ño, dichos cpitles ficieos so ficiemete equivletes.

6 U ley ficie es u cuedo ete ls ptes que iteviee e u opeció ficie. Depediedo de l ley ficie utilizd debemos emple l expesió mtemátic decud(fómul) p clcul l equivleci ficie, es deci, p vlo el dieo e el tiempo. NOTAIÓN Deomiemos po 0 el cpitl iicil o cpitl hoy que d lug l pestció y t elcpitleelmometotquedluglcotpestció. P clcul l equivlecificie ete 0 y t debemos cooce l ley ficie quesevemple. Ejemplo: Rmóiges00 eucuetqueofeceuiteésdel5%ul. leyficieelbcopgu iteésdel5%ul 0 00 (cpitliicil) 000,05x (cpitleelño) 000,05x000,05x000 (cpitleelño) 0, y soficiemeteequivletes

7 pitlizció y descueto Sólo hy dos dieccioes e que podemos move el dieo e l líe de tiempo: hci delte (hci el futuo), o hci tás (hci hoy). pitliz (o difei): es move u cpitl l deech de l líe de tiempo. Es deci, cpitliz es clcul el vlo equivlete u cpitl iicil ddo 0 e u fech futu t. A este t clculdo lo llmemos vlo futuo de 0 pitliz t? Año t 0 (coocido) Descot (o ctuliz): es move u cpitl l izquied de l líe de tiempo. Es deci, descot es clcul el vlo equivlete u cpitl ddo e u fech futu, t,e el mometo ctul 0, 0 lo llmemos vlo ctul de t. t (coocido) Año t 0? Descot

8 EJEMPLOS:. Aid quiee ho pte del dieo que ecibió el mes psdo po lo que decide poelo e u cuet que le ofece u iteés del 3% ul uáto dieo tedá l cbo de 4 ños si hce u depósito de mil euos?. Edudo h pledo co sus migos u vije Áfic p deto de tes ños y h decidido empez hoy mismo ho. H clculdo que el vije costá 000 y Edudo quiee sbe cuáto dieo tiee que iges e su cuet de hoo hoy p obtee los 000 deto de 3 ños sbiedo que su bco le d u 4% de iteés ul. Qué opeció coespode u cpitlizciól de Aid o l de Edudo? y u descueto?

9 Leyes de cpitlizció y descueto pitlizcosiste e poyect cpitles ficieos hci el futuo, e l páctic ficie se utiliz dos leyes ficies de cpitlizció: -cpitlizció simple, -cpitlizció compuest. El descueto o ctulizció cosiste pecismete e lo cotio, poyect cpitles ficieos hci el psdo. E el mecdo se utiliz tes leyes ficies de descueto: -descueto ciol o mtemático, -descueto comecil o simple, -descueto compuesto P etede estos opecioes ficies ecesitmos el cocepto de iteés

10 EL RÉDITO Y EL INTERÉS Eliteésse puede defii como l etibució po el plzmieto e el tiempo del cosumo, esto es, el pecio po el lquile o uso del dieo dute u peíodo de tiempo. Est compesció ecoómic se exige, ete ots, po tes zoes básics: Po eliesgoque se sume. Po l flt de dispoibilidd que supoe despedese del cpitl dute u tiempo. Po l depecició del vlo del dieo e el tiempo. L cutificció de es compesció ecoómic, de los iteeses, depede de tes vibles, sbe: L cutí del cpitl ivetido, El tiempo que du l opeció, y El tto de iteés l que se cued l opeció.

11 Se etiede po édito(r) el edimieto geedo po u cpitl. Sepuedeexpesettopocie(%),oettopouo. Sieelmometot dispoemosdeucpitlqyéstesecovieteeucpitl e udetemidomometot,eléditodelopecióseá: R Auque se coside ls cutís de los cpitles iicil y fil, o se tiee e cuet el specto tempol, es deci, e cuáto tiempo se h geedo ese edimieto. Suge l ecesidd de u medid que teg e cuet el tiempo: el tto de iteés (). Se defie el tipo de iteés () como el édito po uidd de tiempo, es deci: t R Rédito y tto coicidiá cudo el itevlo de tiempo es l uidd. t t t

12 EJEMPLOS. E el cso de A R ,0 de me que el iteésde l opeció es del %.. U cpitl de.000 euos se sustituye hoy po oto de.00 dispoible deto de u ño. uál es el édito de l opeció? Y el tto de iteés ul? R de me que el iteés de l opeció es del 0%. Peo si l opeció du ños: El édito es el mismo(o depede del tiempo) y el tipo de iteés 0,0 0 de me que el iteésde l opeció es del 5%. t R t 0,05 0,

13 .. pitlizció Simple Ls opecioes e égime de simple se ccteiz poque los iteeses medid que se v geedo o se cumul y o gee iteeses e peíodos siguietes (o so poductivos). De est fom los iteeses que se poduce e cd peíodo se clcul siempe sobe el mismo cpitl -el iicil-, l tipo de iteés vigete e cd peíodo. Este égime ficieo es popio de opecioes coto plzo (meos de u ño) y que e peiodos cotos el efecto de l o eivesió de iteeses o esult muy gvoso. E l páctic se utiliz l cpitlizció simple e opecioes de liquidció de cuets coietes, cálculo del cupó devegdos e los boos (Ret fij), p vlouletdeltesoocoplzoifeiouño.

14 Supogmos que dispoemos de cieto cpitl iicil 0 y lo ivetimos u tipo de iteés simple dute t peiodos. El iteés simple se pg t solo sobe el cpitl iicil ivetido, e cosecueci el iteés coseguido e cd peiodo es siempe el mismo, es deci, los iteeses ecibidos e cd peiodo o so eivetidos. Gáficmete p u opeció de tes peíodos(i): Demequeelcpitliicillcbodetpeiodossetsfome: Iteeses geedos t 0 t 0 0 ( t) Alfcto( t)selodeomifctodecpitlizciósimple.

15 Ejemplos:. uál es el cpitl fil si ivetimos l 5% dute ño? ( 0,05 ) OBSERVAMOS:eltipodeiteésdebeestettopouo,oettopocieto (5% 0,05), el tiempo debe est expesdo e l mism uidd que el tipo de iteés,esdeci,sieltipodeiteésesul,eltiempodebeáieños,sieltiempo de iteés es timestl, el tiempo iá e timestes, etc.. uál es el cpitl fil si ivetimos l 5% dute 3 meses? ( 0,05 3/) L j de Ahoos Tct ofece l siguiete ivesió coto plzo, emue cpitles supeioes 3000 el tipo de iteés simple del 3% mesul dute u timeste. Si dispoemos de 5000 cul seí el vlo de uest ivesió si decidimos ivetil e dich j de Ahoos? 3 meses 5000(0.03 3) 5450

16 OBSERVAMOS : Si coocemos el cpitl fil que hemos obteido segú u etbilidd específic, podemos clcul tmbié el tiempo ecesio e el que hemos obteido dich etbilidd. Simplemete despejdo t de l fómul t 0 ( t) 4. uáto tiempodebeímos iveti Euos l 5% p obtee u etbilidd fil del peiodo de Euos? t (( t / 0 )-) / ((50.65 / ) ) / 0,05 0,5 ños 3 meses t 0 OBSERVAMOS: Volviedo despej de l fómul, tmbié podemos clcul el tipo de iteés (( t / 0 ) ) / t 5. uál es el tipo de iteés plicdo e u ivesió iicil de , si e u peiodo de 3 meses, el cpitl obteido es de 50.65?. ((50.65 / ) ) / (3/) 0,05 5%

17 OBSERVAMOS: P el cálculo de los iteeses totles bstá co clcul los iteeses de cd peíodo, que siempe los gee el cpitl iicil y sumlos. Iteeses totles 0 t oocidos los cpitles iicil y fil, se obtedá po difeecis ete mbos: 6. Qué iteeses poduciá 300 euos ivetidos 4 ños l 7% simple ul? Po sum de los iteeses de cd peíodo: 0 x (i I 0 x i i x i ) Iteeses totles 0 t , Tmbié se puede obtee po difeecis ete el cpitl fil y el iicil: ( 0,07 4) 384 Iteeses totles

18 EJERIIOS. álculo del tipo de iteés Detemi el tto de iteés ul que debe ivetise.000 euos p que e 5 ños se obteg u motte de.500 euos.. álculo de l dució U cpitl de.000 euos colocdo iteés simple l 4% ul sciede.640 euos. Detemi el tiempo que estuvo impuesto. 3. álculo de iteeses Qué iteeses poduciá 300 euos ivetidos u ño y medio l 7% simple ul? 4. álculo del cpitl fil Si hemos ivetido 000 u tipo de iteés mesul simple del 4%. Qué cpitl tedemos l cbo de 7 meses?

19 Y EL ÁULO DEL APITAL INIIAL? Si coocemos el cpitl fil que hemos obteido segú u etbilidd específic, podemos clcul tmbié, simplemete despejdo 0 de l fomul teio, el cpitl iicil ecesio co el que hemos obteido dich etbilidd. 0 t / ( t) A est opeció ficie l hemos llmdo descueto, peo como veemos cotiucióést o es l úic fom de descot e égime de simple, est fom diect de descot l llmemosdescueto ciol o mtemático (y que es l fom ciol de hce u descueto, despej 0 e l fómul) Ejemplo: Qué cpitl iicil tedímos que iveti l 5% p obtee e dute u timeste / ( 0,05 3/)

20 .. Descueto simple, D Se deomi sí l opeció ficie que tiee po objeto l sustitució de u cpitl futuo po oto equivlete co vecimieto pesete, medite l plicció de l ley ficie de descueto simple. Es u opeció ives l de cpitlizció. No olvidemos que estmos e égime de simple po lo que los iteeses o so poductivos. E u opeció de descuetoel puto de ptid es u cpitl futuo coocido ( t ) cuyo vecimieto se quiee delt. Debeemos cooce ls codicioese ls que se quiee hce est ticipció: dució de l opeció (tiempo que se ticip el cpitl futuo) y tto de iteés plicdo. Si tsld u cpitl desde el pesete l futuo implic ñdile iteeses, hce l opeció ives, ticip su vecimieto, supodá l mioció de es mism cg ficie. El descueto, popimete dicho, o es más que u dismiució de iteeses que expeimet u cpitl futuo como cosecueci de delt su vecimieto, po lo tto se clcul como el iteés totl de u itevlo de tiempo (el que se ticipe el cpitl futuo). Po lo que se clcul como D t 0

21 Tipos de descueto simple I-Descueto ciol o mtemático II- Descueto comecil I-Descueto ciol o mtemático. El hoo de iteeses se clcul sobe el vlo efectivo ( 0 ) empledo u tipo de iteés efectivo (). Po tto su p clcullo, como y hemos visto, bst co despej 0 e l expesió t 0 ( t) Po lo que obteemos 0 t /( t) Al fcto /( t) se lo deomi fcto de descueto simple.

22 Ejemplo: Se petede ticip l mometo ctul el vecimieto de u cpitl de 00 euos covecimietodetode3ñosuttouldel0%.lculelcpitliicil yeldescuetodelopeció osidedo que el cpitl sobe el que se clcul los iteeses es el iicil (descueto ciol Poloque 0 t /( t)00/(0, 3)76,9 obie: D 00 76,93,08 D 76,9x0,x33,08

23 II-Descueto comecil Los iteeses geedos e l opeció se clcul sobe el omil ( t ) empledo u tipo de descueto (d). El descueto comecil es el utilizdo cudo se egoci co lets de cmbio. Ejemplo L empes de Nui ecesit liquidez. Este mes h elizdo tods sus vets cédito (i.e, le h pgdo co lets) po lo que h decidido vede l let que le fimo l empes de su migo Pepe po vlo de que vece deto de 60 dís.elbcoleplicnuiel%ulpodeltleesedieo. uátodieolevdelbconuiposulet? LARAMENTE NO LE DA El bco ecibiá el dieo e 60 dís po lo que le está ticipdo Nui el dieo de l let. omo h pctdo u % ul teemos que descot los iteeses coespodietes p clcul el cpitl iicil 0. Qué iteeses cob el bco? Recodmos cómo se clcul los iteeses totles I t d t (60/360).600 de iteeses HAYALGORAROENESTAFÓRMULA????

24 I t d t!!!el bco está clculdo los iteeses utilizdo el cpitl fil e lug del cpitl iicil!!! Así es como se clcul e el Descueto comecil Po tto, Nui ecibiá omil de l let líquido OBSERVAIONES L ley de descueto comecil coside ños de 360 dís, es lo que se deomi como ño comecil. E este ejemplo, Nui es el libdo de l let de cmbio y Pepe seí el libdo. udo Nui vede su let de cmbio l bco, éste se coviete e teedo de l let.

25 Ley de descueto comecil E el ejemplohemos visto que p clcul el cpitliicil, 0, pti de u cpitl fil, t,lqueleplicmosudescuetod,hcemoslosiguiete 0 t I t t d t t ( t) Po tto, l ley de descueto comecil estblece l siguiete elció: 0 t ( t) Y,po tto, t 0 /( t) OBSERVAIÓN: Recodmos lleydedescuetociol: 0 t /( t) De pode elegi cuál de los dos descuetos hubie pefeido Nui?

26 Tipo de iteés equivlete tipo de descueto A Nui el bco le db , si hubiémos plicdo el descueto ciol l ctidd hbí sido 0 t /( t)80.000/ (0, (60/360)) Nui se h ddo cuet de que el tipo de iteés de est ficició es myo que el % y quiee clcullo. El poblem que se plte es el siguiete ecibo u cpitl de po pte del bco l que deto de 60 dís le boé cuál es el tipo de iteés de est opeció? Lo úico que tiee que hce Nui es plic l ecució de equivleci ficie ete pestció y cotpestció ( t 0 ( t)) ( (60/360)) 0,448 El bco le está pestdo el dieo Nui l,45% de iteés.

27 lculemos e geel l elció ete el tipo de descueto d y el tipo de iteés efectivo (hciedo l mism cuet): Si ctulizmos, plicdo u descueto comecil, cieto cpitl t l que se le h plicdo u descueto d dute cieto peiodo tteemos que el vlo ctul de este cpitl es: 0 t ( dt) Si ctulizmos utilizdo descueto ciol l tipo : Iguldo mbos cpitles ctules 0 t t t t ( dt) dt t t dt t dt t dt t dt dt d t dt dt d dt

28 EJEMPLO Se petede l mometo ctul el vecimieto de u cpitl de 00 euos co vecimieto deto de 3 ños u 0% de descueto. uál es el tipo de iteés efectivo de est opeció de ficició? Si d 0%, etoces se h de cumpli: 0, , ,693% 3 x 0, ompobció: lculdo el vlo ctul y el descueto cosidedo u tipo de iteés del 0% (descueto ciol): ,9 y el descueto ciol D 00 76,9 3,08 3 x 0, lculdo el vlo ctul y el descueto cosidedo el tipo de descueto tes clculdo del 7,693% (descueto comecil): 0 00 ( 0,07693 x 3) 76,9 y el descueto comecil D c 00 x 0,07693 x 3 3,08

29 ..3 pitlizció ompuest Ls opecioes e égime de compuest se ccteiz poque los iteeses, difeeci de lo que ocue e égime de simple, medid que se v geedo ps fom pte del cpitl de ptid, se v cumuldo, y poduce su vez iteeses e peíodos siguietes (so poductivos) po lo que hy cpitlizció peiódic de los iteeses. Los iteeses geedos e cd peíodo se clcul sobe cpitles distitos (cd vez myoes y que icopo los iteeses de peíodos teioes). Gáficmete p u opeció de tes peíodos(i):

30 o l ley de cpitlizció compuest los iteeses se eiviete, (se clcul sobe el cpitl cumuldo). Levolució del motte coseguido e cd mometo es el siguiete: Mometo 0: 0 Mometo : 0 I ( ) Mometo : I ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) Mometo 3: 3 I 3 ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 3 Mometo t: t 0 ( ) t Fómul fudmetl de l cpitlizció compuest Expesió que pemite clcul el cpitl fil ( t ) e égime de compuest, coocidos el cpitl iicil ( 0 ), el tipo de iteés (i) y l dució (t) de l opeció. Expesió plicble cudo el tipo de iteés de l opeció o ví. E cso cotio hbá que tbj co el tipo vigete e cd peíodo. A pti de l expesió teio demás de clcul mottes, podemos, coocidos tes dtos culesquie, despej el cuto estte. Al fcto ( )t se le deomi fcto de cpitlizció compuest.

31 EJEMPLOS. lcul el motte obteido l iveti 00 euos l 5% ul dute 0 ños e égime de cpitlizció compuest ( 0,05 ) 0 35,78. ÁLULO DEL TIEMPO: uáto tiempo debeé iveti l ctidd de 5600 e u cuet que ofece u tipo de iteés ul del 0%, p que el cpitl se duplique? Teemos que despej t e l ecució 5600 l 5600 ( 0,0) t l (,0) t ( 0,0) 3. ÁLULO DEL APITAL INIIAL: uáto debeé iveti hoy si quieo dispoe deto de ños de.500 p compme u coche, si me segu u 6% de iteés ul compuesto p ese plzo? Despejdo delfómul t 0 () t ysustituyedolosdtosobteemos t ( ) t l l (,).500 ( 0,06) 0 t 7,7.334,99 t ños

32 4. ÁLULO DE LOS INTERESES TOTALES: Qué iteeses poduciá 300 ivetidos dute 4 ños l 7% compuesto ul? lculmos pimeo el cpitl fil: x ( 0,07) 4 393,4 Y se lo estmos l cpitl iicil: I 4 393, ,4. 5. ÁLULO DEL TIPO DE INTERÉS: Detemi el tto de iteés ul que debe ivetise.000 p que e ños se obteg u motte de.60,03. Teemos que despej e l ecució.60,03.60, ( ).000 0,04 Po lo que el iteés ul h de se de u 4%.60,03.000

33 ..5 pitlizció fcciod deposite su dieo e l cuet mod: ofecemos u iteés omil ul del 4% cpitlizble semestlmete Podemos pct que l cpitlizció de los iteeses teg lug co myo fecueci que l ul, po ejemplo, semestl, timestl, bimestl, mesul, seml, dii o culquie ot. Etoces estmos te u cpitlizció fcciod de los iteeses: los iteeses se cpitliz cd fcció de ño deposite su dieo e l cuet vede: ofecemos u iteés ul del 4% Dóde ivetiemos? udo l cpitlizció es fcciodcomo e l cuet mod tedemos que ve cuál es el iteés ul de l opeció tes de decidi (lo imgimos?). Po tto e l cpitlizció fcciod hy que distigui ete tipo o ts de iteés omil y el tipo o ts efectiv. U ts omil es el iteés que cpitliz más de u vez po ño (el 4% de l cuet mod (cpitlizble semestlmete). L ts efectiv ul plicd u sol vez, poduce el mismo esultdo que l ts omil segú el peíodo de cpitlizció L ts efectiv eflej l vedde etbilidd de l ivesió.

34 E uesto ejemplo: L cuet mod os ofece u tipo omil ul del 4% cpitlizble semestlmete dute u ño. Es deci, cd semeste os igesá iteeses que se icopoá l picipl de uest ivesió. Peo p clcul dichos iteeses el bco tedá que clcul, l fil del semeste el%delcpitliicil, 0,esdeci Igesodelbcolfildelpimesemeste0,0 0 (esdeci (0,04)/ 0 ) Si l cuet mod os hubiese ofecido u 4% ul cpitlizble timestlmete: Igesodelbcolfildelpimetimeste0,0 0 (esdeci (0,04)/4 0 ) Egeel,siosofeceutipodeiteésomilcpitlizbleveceslño, cdpeiodoosigesálésimptedeltipoomil/ - dode/eseltipoefectivoecduodelospeiodos.(ojoestetipoefectivoo esul)

35 ómo fect l cpitlizció fcciod uest fómul de iteés compuesto ( ) t? EJEMPLO Estmos pesdo iveti 000 e u cuet de hoo ls posibiliddes que se os ofece so ls siguietes:. uet mod: ofece u iteés omil ul del 4% cpitlizble semestlmete. uet oj ofece u iteés omil ul del 4% cpitlizble timestlmete 3. uet zul ofece u iteés omil ul del 4% cpitlizble mesulmete P decidilo clculmos el sldo e cd u de ls cuets deto de u ño.. uet mod:bo u iteés del 4% ul, peo cpitliz los iteeses semestlmete. Esto supoe que cd semeste cpitliz l mitd del iteés ul, esto es, u %. P lleg l ño debemos difei dos peiodos de cpitlizció semestl 000 ( 0,0) 040,4

36 . uet oj: bo u iteés del 4% ul, peo cpitliz los iteeses timestlmete. Esto supoe que lo que supoe que cd timeste os cpitliz l cut pte del iteés ul, esto es, u %. P lleg l ño debemos difei cuto peiodos de cpitlizció timestl 000 ( 0,0) 4 040,6 3. uet zul: bo u iteés del 4% ul, peo cpitliz los iteeses mesulmete. Esto supoe que cd mes os cpitlizá l docev pte del iteés ul, esto es, u 0,333333%. P lleg l ño debemos difei doce peiodos de cpitlizció mesul: 000 ( 0, ) 040,7 E geel, hemos dicho que si os ofece u tipo de iteés omil cpitlizble veces l ño, fil de cd peiodo os igesá l ésim pte deltipoomil,esdeci, / - Poloquelfildeñouestocpitlfilseá: 0 Si ivetimos dute t ños, etoces el vlo futuo de l ivesió seá: t 0 t

37 Ejemplo Voycomputeeoytegoqueelegietepglolcotdo,.000, opgpoél3.500 detodedosños.tegodieoppglolcotdo,peo lo tego ivetido l 4% de iteés ul cpitlizble semestlmete. ómo me ecomied que pgue el teeo? Sicompoelteeohoytedéquesclos.000 delcuet. Si compo el teeo deto de dos ños cuáto dieo tedé dispoible e l cuet deto de dos ños?. omo l cpitlizció de iteeses es semestl, cpitlizé dos veces lo lgo del ño siedo el tipo de iteés efectivo cd semeste l mitd del iteés omil ul,esdeci,u%. Pottofildelosdosñoselcpitldispoibleelcuetseáde: ( 0,0 ).000 (,0 ) 989 Vemos que fil de ño tedé e l cuet 989, cif meo que el impote del que me pide po el teeo deto de dos ños, l ecomedció es bolo l cotdo.

38 ..6 Tss Equivletes Tss equivletes.-dos tss co difeetes peiodos de cpitlizció seá equivletes, si l cbo de u ño poduce el mismo cpitl fil. Ejemplo Vmos iveti 0000 de tes foms distits:. u ts omil ul del % cpitlizble ulmete dute u ño. u ts del.66% ul cpitlizble semestlmete dute u ño 3. u ts del.387% ul cpitlizble mesulmete dute u ño uál de ls tes opcioes es l más etble? lculmos el cpitl fil de ls tes:. 0000(0.) ( (0.66/)) (0.387/) 00 El cpitl fil es el mismo e tods ls opecioes po lo que diemos que ests tes tss so equivletes

39 Ejemplo : lcul l ts ul cpitlizble timestlmete equivlete u ts que ofece u tipo omil del % cpitlizble mesulmete. Se 4 l ts ul cpitlizble timestlmete. Si 4 y l ts del % cpitlizble mesulmete so equivletes, ddo cieto cpitl iicil, deto de u ño dá lug l mismo cpitl fil, es deci (,0 4 3 ) 0 0, 0,,% , 4 4 ( 0,) 4 El tipo ul cpitlizble timestlmete equivlete u tipo omil del % cpitlizble mesulmete es igul 4.%. E geel,ddos dos tipos de iteés, el tipo de iteés ul cpitlizble veces l ñoy k el tipo de iteés ul cpitlizble k veces l ño, si so equivletes debe de cumplise l siguiete idetidd: k k t

40 Ejemplo uál es l ts efectiv de iteés que se ecibe de u depósito bcio de.000 pctdo l 48% de iteés ul cpitlizble (o covetible) mesulmete? P clcul l ts efectiv de iteés, clculmos el cpitl fil 000 ( (0,48 / )) 000 ( 0,4).60,03 y despejmos e l fómul del iteés simple ( t 0 ( t) ).60,03 000( ).60,03/ L ts efectiv de iteés de 60.0% es equivlete u ts ul de 48% covetible mesulmete. E ots plbs, u ts ul de 48% covetible mesulmete es equivlete u ts del 60.0% ul covetible ulmete.est ts que hemos clculdo es lo que se cooce como T.A.E

41 EL T.A.E. (Ts Aul Equivlete o Tto Aul Efectivo) L ide del T.A.E. suge p simplic l ifomció que se os d. L ide es itet busc u iteés ul que se equivlete l iteés omil que me ofece el pestmist. Po ejemplo, si os hbl de u iteés omil del 6'5% cpitlizble timestlmete l cos o os qued muy cl, peo si os quedí más cl si osdijesequeeuñoeliteésquevmospgesdel6'66%,elt.a.e. omo e el ejemplo teio podemos fácilmete deduci l fómul que elcio el iteés omil co el T.A.E.: Ptimos de u cpitl iicil 0 que se v cpitliz veces e u ño l iteés omil. Al ps u ño este cpitl se hbá covetido e 0 Qué iteés ul hbí que plic ese cpitl p obtee l mism ctidd? Buscmos u iteés ul, que llmemos TAE, de tl fom que l plicse, os de l mism ctidd teio.si plicmos ese iteés ul TAE 0, el cpitl fil del ño seí (TAE) 0. Iguldo ( TAE) 0 0 ( TAE) TAE

42 Ejemplos. Se deposit e u bco pts. el de eeo, y ots pts. el de julio. A fil de ño se ecibe del bco pts. lcul el TAE de l opeció. Se clcul el tipo de iteés efectivo semestl ( ): omo 0 ( ) ( ) ( ) % 3 Po lo que el tipo de iteés ul cpitlizbles veces l ño seá oocido el tipo de iteés efectivo, se clcul su equivlete TAE: Se plic l fómul, 0 - es deci TAE TAE,39% TAE 0, ,39, es deci,

43 . Teemos u dieo hodo y hemos decidido bi u cuet hoo y distits etiddes bcis os h hechos ls siguietes ofets: i. L etidd A ofece u tipo de iteés del 8% omil cpitlizble semestlmete. ii. L etidd bci B ofece u tipo ul cpitlizble mesulmete del 8.6% iii. L etidd bci ofece u tipo ul cpitlizble bimestlmete del 8.4% E que etidd bci debeímos iges el dieo? P hce l clculmos el TAE de cd opció. i. Etidd A: ii. Etidd B: iii. Etidd : TAE es deci, TAE TAE 8,6% TAE TAE es deci, TAE 8,947% TAE es deci, TAE TAE 8,6995% 0,08 0,086 0,084 6 LA MEJOR 6 0, OPIÓN, ES LA B

44 .8 pitlizció cotiu Y sbemos que podemos pct u l cpitlizció de iteeses que se ul, semestl, seml, dii, cd ho,. De hecho podí pctse que los iteeses se cpitliz cd fcció ifiitmete pequeñ de tiempo, es deci, de fom cotiu. Sbemos l fómul del iteés compuesto es 0 Si hcemos u cpitlizció e fccioes ifiitmete pequeñs de tiempo, el úmeo de cpitlizcioes seí ifiitmete gde, y l fómul quedí como t t lim 0 0 lim 0 Hciedo los cálculos l lim l( l) l e t lim t lim t l tomdo logitmos t t lim e t l( l) lim / ( / ) / t l t lim e ( t 0 hcemos L Hopitl psdoº u expesió tipo 0/0 / ) t

45 Ejemplo Igesmos e u cuet que ofece u iteés ul del 8% e cpitlizció cotiu. uál es el sldo de l cuet psdos tes ños?. lcule l TAE. e. Hemos dicho que, po tto 0 t 0, e.88. P clcul l TAE epetimos el pocedimieto que usmos e l cpitlizció cotiu dode tño ( TAE) 0 0e ( TAE) e TAE e E uesto cso: TAE e 0, TAE %

46 Seies Aitmétic y Geométic. Pogesió Aitmétic,,..., k, k,... U sucesió es u sucesió ( o pogesió) itmétic si hy u úmeo el d tl que p todo eteo positivo k, k k d El úmeo d se le llm difeecil comú o difeeci de l sucesió, y que. d k k De fom que l expesió del -ésimo témio de u sucesió itmétic e fució del pime témio de l sucesió es k k d k d... ( k ) d k (k )d Ejemplo, 5, 8,, 4, 7, 0,.. Es u sucesió itmétic co d3 k (k ) 3

47 . álculo de l sum de los pimeos témios de u sucesió itmétic Deomimos S k l sum de los k pimeos témios de u pogesió itmétic P detemi est sum obsevmos que sum de dostémios equidisttes de los extemos, es deci y k, es siempe igul idepedietemete de los témios que elijmos (o depede de ). k k k k k k S k k S... Éstos seá de l fom y k, siempe que(k) > 0. Llmmos c l témio cetl Usdo l fómul teio obteemos ) ( ) ( ) ( ) ( k d k d d k d )d (k k k k

48 Po tto, Usdo est iguldd y sumdo S k cosigo mism obteemos ) (... k d k k k k k c k S S Sum de los k pimeos témios de u pogesió itmétic ) ( ) ( ) ( ) ( )...(... ) ( ) ( k k k k k k k c k k k c k k k k k S k S k S S

49 .3 Pogesió Geométic U sucesió (o pogesió) geométic está costituid po u secueci de elemetos e l que cd uo de ellos se obtiee multiplicdo el teio po u costte deomid zó o fcto de l pogesió. Po tto,,,..., k es u sucesió geométic si k k po lo que podemos escibi el témio geel dich sucesió como k k EJEMPLO: 5, 45, 35,405, es u pogesió geométic co zó igul 3. NOTA Se suele esev el témio pogesió cudo l secueci tiee u ctidd fiit de témios miets que se us sucesió cudo hy u ctidd ifiit de témios, si bie, est distició o es estict.

50 .4 álculo de l sum de los pimeos témios de u sucesió geométic Se deomi comos l sum detémios cosecutivos de u pogesió geométic: S... - Queemos obtee u fómul p clcul de u me ápid dich sum:. Multiplicmos mbos miembos de l iguldd po l zó de l pogesió.. Obsevmosque l multiplic u témio de u pogesió geométic po l zó se obtiee el témio siguiete de es pogesió, S Pocedemos est de est iguldd l pime: S S... - ( 3... ) - Po tto ( ) S S

51 OBSERVAIÓN Si el vlo bsoluto de l zó es meo que l uidd <, l sum de los ifiitos témios dececietes de l pogesió geométic covege hci u vlo fiito. E efecto, si <, tiede hci 0, de modo que: lim S lim udo >, l pogesió cece idefiidmete y l sum de sus témios tiede ifiito. Ejemplo:

52 3. Rets Ficies (http://www.mtemtics-ficies.com) Ls opecioes ficies que hemos elizdo se compoí de u cpitl úico tto e l pestció como e l cotpestció. Si embgo, hy u g úmeo de opecioes que se compoe de u elevdo úmeo de cpitles: l costitució de u cpitl, los ples de jubilció, los péstmos,... E tods ells iteviee muchoscpitlesyseídifícilypocopácticomovelosdeuoeuo. Buscmos u método mtemático que os fcilite l te de desplz u elevdo úmeo de cpitles co eltiv fcilidd: ls ets. Se tt de us«fómuls» que e detemidos csos pemitiá desplz e el tiempo u gupo de cpitles l vez. 3.. ONEPTO L et se defie como u cojuto de cpitles co vecimietos equidisttes de tiempo. P que exist et se tiee que d los dos siguietes equisitos:. Existeci de vios cpitles, l meos dos.. Peiodicidd costte, ete los cpitles, es deci, ete dos cpitles cosecutivos debe existi siempe el mismo espcio de tiempo (culquie que se).

53 3.. ELEMENTOS Fuete de l et: feómeo ecoómico que d oige l cimieto de l et. Oige: mometo e el que comiez devegse el pime cpitl. Fil: mometo e el que temi de devegse el último cpitl. Dució: tiempo que tscue desde el oige hst el fil de l et. Témio: cd uo de los cpitles que compoe l et. Peíodo: itevlo de tiempo ete dos cpitles cosecutivos. Tto de iteés: ts empled p move los cpitles de l et. Gáficmete:

54 3.3. VALOR FINANIERO DE UNA RENTA EN EL MOMENTO t (Vt) Es el esultdo de llev ficiemete (cpitlizdo o descotdo) todos los témios de l et dicho mometo de tiempo t sos pticules Si t 0 (siedo 0 el oige de l et) os ecotmos co elvlo ctul, esto es, esultdo de vlo todos los témios de l et e el mometo ceo. Ejemplo: cuáto h de iges Albeto hoy e u cuet l 0% de iteés ul si quiee devolve u deud zó de.000 ules? Nos pide que clculemos el vlo ctul Si t (siedo el fil de l et) se defie como elvlo fil, esultdo de desplz todos los témios de l et l mometo. Ejemplo: cuáto tedá Albeto después de cuto ños e u cuet l 0% de iteés ul si v iges.000 ules? Nos pide que clculemos el vlo fil

55 3.4. LASIFIAIÓN DE LAS RENTAS. ostte: cudo todos los cpitles so igules i. Segú l cutí de los témios ii. Segú el úmeo de témios Vible: cudo l meos uo de los cpitles es difeete l esto Vibles si segui u ley mtemátic, ( cudo ví letoimete) Vibles siguiedo u ley mtemátic, ( cudo lo hce co u ode.) E pogesió geométic E pogesió itmétic Tempol: tiee u úmeo fiito y coocido de cpitles. Pepetu: tiee u úmeo ifiito o demsido gde de cpitles. iii. Segú el vecimieto del témio iv. Segú el mometo de vloció Pospgble: los cpitles se ecuet l fil de cd peíodo de tiempo. Pepgble: los cpitles se sitú picipio de cd peíodo. Imedit: vlomos l et e su oige o e su fil. Difeid: cudo se vlo l et e u mometo teio su oige. Aticipd: el vlo de l et se clcul co posteioidd l fil.

56 v. Segú l peiodicidd del vecimieto Ete: el témio de l et viee expesdo e l mism uidd de tiempo que el tto de vloció, culquie que se l uidd tomd. No ete: el témio de l et viee expesdo e u uidd de tiempo distit l del tto de vloció. Fcciod: el témio de l et se expes e u uidd de tiempo meo que quell e l que viee expesd el tipo de vloció de l et. vi. Segú l ley ficie ompuest: l ley ficie empled es l de cpitlizció compuest. Simple: emple u ley ficie iteés simple, p desplz los cpitles. P el coecto empleo de ls fómuls ficies de ls ets, seá ecesio clsific ls ets tediedo cd uo de estos citeios y, e fució de l combició que pesete hbá que plic u u ot, segú poced.

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