Análisis y comparación entre un descuento comercial, con nominal borroso y tanto variable, y su descuento por pronto pago

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1 Análisis y comparación entre un descuento comercial, con nominal borroso y tanto variable, y su descuento por pronto pago JOAN BONET, XAVIER BERTRAN, DOLORS COROMINAS, ELVIRA CASSÚ Universidad de Girona Resumen En este trabajo vamos a desarrollar un caso práctico de comparación entre el descuento comercial bancario y el descuento por pronto pago que puede efectuar el cliente, ambos contemplados desde el punto de vista de la incertidumbre. El nominal a descontar lo suponemos fuzzy y lo expresamos mediante un Número Borroso Triangular, en cambio el tanto de descuento lo suponemos variable por tramos y proporcional al nominal, por lo cual al ser fuzzy el nominal, también lo será el tanto de descuento. Otra incertidumbre va a ser la prontitud o rapidez del pago por anticipado que podrá efectuar el cliente, siempre y cuando lo consideremos suficientemente solvente para que pueda contemplarse esta operación. El resultado de este trabajo va ser el cálculo del valor líquido medio pagado en un día concreto, el cual se comparará con el pago medio del cliente pagado en un cierto tiempo medio, y entonces se valorará la decisión de elegir uno de estos dos tipos de descuento. Keywords: Descuento comercial. Aritmética fuzzy. 1. CÁLCULO DEL NOMINAL BORROSO EN UN CASO PRÁCTICO DE DESCUENTO Para precisar ideas y comprender mejor el contenido de nuestro trabajo, vamos a desarrollarlo utilizando un caso práctico concreto. Suponemos que formamos parte del equipo de contabilidad d una empresa y queremos conocer aproximadamente los ingresos que obtendremos al final del año 2010, liquidez que será debida al arriendo o alquiler de fincas, tiendas, etc. Tomemos un caso particular en el que a finales del año 2009 deseamos estimar los beneficios mensuales del próximo año 2010, que previsiblemente obtendrá un supermercado, el cual lo tenemos cedido en régimen de franquicia. Naturalmente, estos beneficios mensuales no serán todavía conocidos, pero teniendo en cuenta la situación económica actual y la futura inmediata, y también los beneficios ya conocidos de algunos años anteriores, supondremos que vienen dados por los doce capitales fuzzy siguientes: B % 1, B % 2,..., B % 12 [1] 1

2 Para hallar el beneficio total fuzzy, B %, obtenido por nuestro supermercado durante todo el año 2010, y valorado al final del mismo, emplearemos la capitalización del régimen financiero compuesto con un tanto medio de interés i constante, que suponemos puede regir, como media, durante todo este año. En estas condiciones, el beneficio total será la suma financiera de los doce beneficios mensuales: B % = B % 1 (1+i) 11/12 + B % 2 (1+i) 10/ B % 11 (1+i) 1/12 + B % 12 [2] Puesto que el cálculo borroso anterior no es el objetivo de nuestro trabajo, vamos a suponer que el beneficio total fuzzy conseguido por el supermercado al final del año 2010 viene dado por el siguiente Número Borroso Triangular (NBT), cuyos capitales están expresados en euros: B % =( , , ) [3] Figura 1. Obtención del Beneficio Total y del Nominal borrosos La cantidad de dinero, a la cual llamamos nominal N %, que el supermercado deberá entregar a nuestra empresa, la supondremos proporcional a los beneficios anuales calculados. O sea, se verificará N % =λ B %. y si consideramos λ=10%=0 1, tendremos el siguiente nominal fuzzy: N % =(20.000, , ) [4] Vamos a considerar también que esta cantidad no será entregada el 31/12/2010, sino que en el contrato existe una cláusula estipulando que como máximo el pago sea un mes después, el 31/01/ NÚMERO BORROSO DE POSIBILIDADES DEL NOMINAL El nominal borroso [4] representa un NBT cuya función de pertenencia tiene de extremos los puntos A(20.000, 0) y B( , 0), mientras que su valor central es C(70.000, 1). Calculemos con estos 2

3 puntos de la forma P(N, h) las rectas de pertenencia izquierda r i =AC y derecha r d =CB del NBT. Expresando las unidades monetarias en miles de euros, obtendremos: r i : h=(n-20)/50 y r d : h=(100-n)/30 [5] Con el fin de preparar el terreno para próximos cálculos vamos a subdividir el soporte AB del NBT, en donde A(20, 0) y B(100, 0), en ocho intervalos de igual amplitud: I 1 =[20, 30], I 2 =[30, 40], I 3 =[40, 50], I 4 =[50, 60], I 5 =[60, 70], I 6 =[70, 80], I 7 =[80, 90] y I 8 =[90, 100]. A continuación calcularemos las alturas h de los puntos medios de estos intervalos, empleando una de las expresiones [5]: N N h h [6] Figura 2. Cálculo por tramos de las posibilidades del Nominal Deseamos transformar las alturas h en posibilidades p=k h, por lo que la nueva suma Σp deberá ser igual a la unidad, Σp=k Σh=1. Puesto que Σh= =4, resultará k=1/4, con lo que p=h/4. Tomando como aproximación los puntos medios, la tabla de posibilidades será para cada intervalo: N [20, 30) [30, 40) [40, 50) [50, 60) [60, 70) N [70, 80) [80, 90) [90, 100] p h [7] Así pues la posibilidad de que se consiga cobrar un nominal situado en el intervalo I 1 =[20, 30), en miles de euros, es de p 1 =2 5%. La de que esté situado en I 2 =[30, 40) es de p 2 =7 5%, etc. 3

4 3. VALOR LÍQUIDO BORROSO DEL DESCUENTO COMERCIAL Ya hemos dicho que el nominal N había que pagarlo al final de mes, el 31 de enero de No obstante, supongamos que nuestra empresa necesite liquidez i deseamos obtener dicha cantidad al principio de este año, el 1 de enero de Una primera posibilidad de realizarlo es que este pago sea tramitado por una entidad financiera, que nos va a aplicar el Descuento Simple Comercial (DSC). Un inconveniente es que el Banco o Caja no sólo nos va a realizar el descuento comercial D % c= N % d % t, en donde d % es el tanto de descuento anual (que al suponerlo variable lo simbolizamos por d % ) y t el tiempo en años del avance realizado, sino que también el nominal N % va a disminuir debido a una comisión de negociación D % 1=p N %, que es proporcional al nominal mediante un coeficiente p, y a un recargo fijo D 2 =q. De esta manera, el descuento real será D % = D % c+ D % 1+D 2, así que el valor líquido L % que se obtendrá vendrá dado por L % = N % (1- d % t-p)-q. Figura 3. Valor líquido borroso y Cantidad borrosa a partir del Nominal Como ya hemos dicho, en nuestro caso N % y d % son variables, mientras que supondremos constantes p y q, con valores p=5 y q=40. Puesto que t=1/12 años tendremos L % =[1-( d % /12)-0 005] N % -40, que va a ser la ecuación de una recta de pendiente m variable, dadas ambas por: L % = m% N % -40 y m% =( d % )/12 [8] Partiremos pues de la hipótesis de que el tanto d % de descuento comercial no es constante, sino que es variable por tramos según la cuantía del nominal N. Así, por ejemplo, podemos considerar que está subdividido en cuatro tramos, T j, formados por un par de términos, en donde el primero es el nominal en miles de euros, y el segundo el tanto de descuento d: 4

5 T 1 =(20 N<40, 2 1%) T 2 =(40 N<60, 2 7%) T 3 =(60 N<80, 3 3%) T 4 =(80 N 100, 3 9%) [9] Para el primer tramo T 1 =[20, 40) aplicando [8] y [9], tendremos d 1 =0 021 y la pendiente m 1 = del segmento de recta. Por tanto, su valor líquido será L 1 = N-40. En los valores extremos del tramo T 1, (N 1 ) i = y (N 1 ) s =40.000, resultará (L 1 ) i = y (L 1 ) s = Además, los descuentos reales D=N-L serán (D 1 ) i =175 y (D 1 ) s =310. Finalmente, los tantos de descuento reales ρ=d/n serán (ρ 1 ) i =8 75 y (ρ 1 ) s =7 75. Para T 2 =[40, 60) resulta d 2 =0 027, m 2 = y L 2 = N-40. Con ellos obtenemos (L 2 ) i =39.670, (L 2 ) s =59.525, (D 2 ) i =330, (D 2 ) s =475, (ρ 2 ) i =8 25 y (ρ 2 ) s =7 92. Para el tercer tramo T 3 =[60, 80) es d 3 =0 033, m 3 = , L 3 = N-40, (L 3 ) i =59.495, (L 3 ) s =79.340, (D 3 ) i =505, (D 3 ) s =660, (ρ 3 ) i =8 42 y (ρ 3 ) s =8 25. Finalmente, para T 4 =[80, 100] es d 4 =0 039, m 4 = , L 4 = N-40, (L 4 ) i =79.300, (L 4 ) s =99.135, (D 4 ) i =700, (D 4 ) s =865, (ρ 4 ) i =8 75 y (ρ 4 ) s =8 65. Figura 4. Descuentos simples comerciales (D) y Descuentos por pronto pago (D ) 5

6 Observamos en la figura anterior que los DSC, que crecen por tramos según la cuantía del Nominal, van a ser siempre superiores a los DPP, los cuales vienen representados por las rectas r=0, r=0 2, etc, que son precisamente los coeficientes de la rapidez en el pago, tal como probaremos en el desarrollo de este trabajo. Así, puesto que D>D y como L=N-D y Q=N-D, se verificará que los valores líquidos L abonados por el Banco serán siempre menores que las cantidades Q pagadas por nuestro cliente. 4. VALOR LÍQUIDO BORROSO MEDIO Hemos partido del nominal N=(20.000, , ), de vencimiento el 31 de enero de 2011, y queremos obtenerlo el 1 de enero de 2011, sirviéndonos para ello de una entidad financiera, la cual nos realizará un descuento simple comercial D con comisión de negociación y recargo fijo, y nos entregará un cierto valor líquido L. También hemos comprobado en el apartado anterior que L dependerá del tanto de descuento d, que es variable por tramos según el nominal N, tal como indicamos en [9]. Además, ha resultado que para T 1 =[20, 40), en miles de euros, es L 1 = N-40; para T 2 =[40,60) es L 2 = N-40; para T 3 =[60, 80) es L 3 = N-40; y para T 4 =[80, 100] es L 4 = N-40. Calculemos a continuación los valores líquidos para los nominales medios (25, 35,..., 95) de los ocho intervalos usados en el segundo apartado, I 1 =[20, 30], I 2 =[30, 40],..., [90, 100], y supondremos que estos valores de L son válidos para todo el intervalo: N [20, 30) [30, 40) [40, 50) [50, 60) [60, 70) L N [70, 80) [80, 90) [90, 100] L [10] Teniendo en cuenta las posibilidades [7] de cada uno de estos nominales podemos deducir un único valor L m, que llamamos valor líquido borroso medio, realizando la media aritmética ponderada de los líquidos L con pesos las posibilidades p, es decir L m =(Σp i L i )/(Σp i )=(p 1 L p 8 L 8 )/(p p 8 ). Ahora bien, puesto que la suma de todas las posibilidades, expresadas en tanto por uno, debe ser igual a la unidad, Σp i =1, si multiplicamos los valores p y L de las tablas [7] y [10], y sumamos, resultará: L m =p 1 L p 8 L 8 = miles de [11] 6

7 5. CAPITAL BORROSO OBTENIDO MEDIANTE EL DESCUENTO POR PRONTO PAGO Otra manera de cobrar el nominal N antes del 31/01/2011, y preferiblemente cuanto más cerca del principio de mes, mejor, es estimular su avance a nuestro deudor (el supermercado) mediante un descuento por pronto pago (DPP). Este descuento, D, suele ser proporcional al nominal N mediante un coeficiente que simbolizamos por π, D =π N. Además, este coeficiente no podrá ser cualquiera, sino que deberá estar situado en un determinado intervalo, K i <π<k s, en el cual el extremo o cota inferior K i será lo suficientemente grande para que la gerencia del supermercado decida avanzar el pago de este nominal. Por otra parte, la cota superior K s necesariamente tendrá que ser inferior a los tantos de descuentos reales ρ=d/n que nos ofrecía el Banco o Caja mediante el consiguiente descuento comercial. La razón de que K s <ρ min es que siempre va a ser preferible realizar las operaciones comerciales con una entidad financiera, debido a su alta fiabilidad, que directamente con el cliente, nuestro deudor, el cual puede tener problemas de solvencia debido a una carencia de liquidez. También el coeficiente π de descuento por pronto pago deberá ser creciente respecto a la rapidez del pago, r, en donde suponemos 0 r 1. Para una rapidez nula, r=0, significará que se cobrará el último día posible (el 31 de enero), y el coeficiente π deberá ser el mínimo, π=k i. En cambio, para una rapidez unitaria, r=1, se cobrará el primer día (el 1 de enero), y el coeficiente π tendrá que ser el máximo, π=k s. Por tanto, para hallar π podremos utilizar una combinación lineal convexa de K i y K s, mediante la rapidez r del pago, o sea π=(1-r) K i +r K s. Así, pues, tendremos el descuento por pronto pago: D =π N en donde π=k i +r (K s -K i ) y K s <ρ min [12] En nuestro caso particular, en el tercer apartado hemos deducido los diferentes coeficientes de descuento reales ρ={8 75, 7 75, 8 25, 7 92, 8 42, 8 25, 8 75 y 8 65}, todos ellos expresados en. Observamos que ρ mín =7 75, por lo que podemos tomar por ejemplo K s =7, que es inferior a ρ mín. Por otra parte, si elegimos la cota inferior K i =2 (que suponemos suficientemente elevada para que el cliente se decida a avanzar el nominal) y aplicamos [12], resultará π=2 +r 5. Para decidir la rapidez en el pago, r, subdividiremos los días t del mes de enero en cinco intervalos de 5 días y un último intervalo de 6 días. Naturalmente, r irá disminuyendo de valor según transcurran los días del mes de enero. De esta manera, por ejemplo, si la disminución es lineal puede resultar: t [1, 5] [6, 10] [11, 15] [16, 20] [21, 25] [26, 31] r [13] π

8 Aplicando el coeficiente π de [13] podremos deducir los descuentos D =π N por pronto pago, los cuales variaran según los intervalos [D i, D s ], que corresponden a los extremos del nominal N i = y N s = , pues N % =(20.000, , ). Así, resulta la siguiente tabla: t [1, 5] [6, 10] [11, 15] [16, 20] [21, 25] [26, 31] D i D s [14] Por ejemplo, si en vez de al final de mes el pago del nominal se realiza el 12 de enero, es decir en el intervalo [11, 15], entonces el descuento por pronto pago será una cantidad D situada en [100, 500 ]. En la Figura 4 hemos dibujado estos DPP mediante las rectas a trazos r=1, r=0 8,, r=0. 6. VALOR MEDIO COBRADO POR PAGO AVANZADO Puesto que el descuento por pronto pago es D =π N, en donde π=2 +r 5 = r, la cantidad Q que se cobrará será Q=N-D, es decir Q=(1-π) N. Vamos a calcular un valor medio Q m teniendo en cuenta el coeficiente r de rapidez en el pago y el valor incierto del nominal N % =(20, 70, 100) en miles de euros, centrándonos en en los dos casos siguientes: A) No tenemos información sobre la posible rapidez en el pago. En este caso supondremos r=0 5, con lo que π= =0 0045=4 5. Resultará pues que Q=(1-π) N, o bien Q= N. Calculemos ahora los valores de Q para los puntos medios (25, 35,..., 95) de los intervalos I 1 =[20, 30), I 2 =[30, 40),..., [90, 100], y como aproximación consideraremos estos Q i válidos para todo el intervalo: N [20, 30) [30, 40) [40, 50) [50, 60) [60, 70) Q N [70, 80) [80, 90) [90, 100] Q [15] Si recordamos los valores de las posibilidades del nominal N dadas por [7], para hallar el valor medio por pronto pago Q m calcularemos otra vez la media aritmética ponderada de los Q con pesos los p, que al ser Σp i =1 se simplificará en: Q m =p 1 Q p 8 Q 8 = miles de euros [16] 8

9 B) Conocemos las distintas posibilidades del coeficiente r. Ahora, debido a tener experiencia de varios años de la prontitud en el pago de nuestro cliente, podremos suponer que las posibilidades p de dicha rapidez r, en los seis intervalos t de tiempo en que hemos subdividido el mes de enero, son: t [1, 5] [6, 10] [11, 15] [16, 20] [21, 25] [26, 31] [17] p De esta manera, la posibilidad de que el supermercado nos pague el nominal N durante los días 11, 12, 13, 14 o bien 15 de enero sería de un 20%. Por otra parte ya hemos visto en el caso anterior que Q m =p 1 Q p 8 Q 8, y como Q=(1-π) N resultará Q m =(p 1 N p 8 N 8 ) (1-π). Efectuando la suma de productos en [7], utilizando los puntos medios, en donde p 1 =0 025, N 1 =25.000, p 2 =0 075, N 2 =35.000, etc., resulta Σ(p i N i )=63.334, con lo que el valor medio cobrado por pronto pago será Q m = (1-π). Ahora utilizando [13], para cada intervalo de días t podremos hallar 1-π, y luego calcular el valor aproximado de Q m, Así (Q m ) 1 = ( ) , etc. Nos resultará la siguiente tabla: t [1, 5] [6, 10] [11, 15] [16, 20] [21, 25] [26, 31] [18] Q m Por consiguiente, si ahora tenemos en cuenta las posibilidades p de verificación de los intervalos temporales t que hemos expuesto en [17], determinaremos el valor medio Q m de la cantidad cobrada por pago avanzado, efectuando como siempre la media aritmética ponderada de las (Q m ) i con pesos los p i : Q m =p 1 (Q m ) p 8 (Q m ) 8 = [19] Comparando [19] con [16] vemos que son cantidades similares, por lo que, en este caso particular podría prescindirse de la discriminación realizada en los intervalos temporales t, a los cuales hemos asignado unas ciertas posibilidades p. 7. CONCLUSIÓN. TOMA DE DECISIONES Hemos analizado dos posibilidades que existen a la hora de avanzar el nominal N cuyo vencimiento es el 31 de enero. La primera consiste en tramitar el pago mediante una entidad financiera, la cual el día 1 de enero nos entregará un valor líquido medio aproximado [11] de L m = La segunda es 9

10 conseguir que el cliente nos pague por avanzado, con lo cual nos entregará aproximadamente (si consideramos el caso B) el valor medio [19] de Q m = Notemos que Q m >L m, lo cual es lógico ya que la entidad financiera nos pagará L m con toda seguridad y además será con la máxima antelación posible. En cambio el cliente (supermercado) posiblemente nos entregará la cantidad Q m, siempre y cuando en aquel momento tenga la suficiente liquidez, y la fecha de cobro será posterior al 1 de enero. Por consiguiente deberá ser siempre superior la cantidad Q m pagada por el cliente que la L m entregada por el Banco o Caja. Para determinar aproximadamente la fecha media t m de la obtención del pronto pago Q m podemos calcular la rapidez media r m del pago utilizando la expresión [13] de los coeficientes de rapidez r, y la [17] de las posibilidades p de los intervalos temporales: r m =p 1 r p 6 r 6 = =0 64 [20] A continuación, puesto que para t=1 de enero es r=1 (máxima rapidez) y para t =31 de enero es r =0 (mínima rapidez), realizaremos una interpolación lineal para hallar t m. Así, la ecuación de la recta que pasa por los puntos P 1 (t, r) y P 2 (t, r ), y si P m (r m, t m ) es un punto gennérico, será (t m -t)/(t -t)=(r m -r)/(r - r), con lo cual sustituyendo por [20], r m =0 64, quedará (t m -1)/(31-1)=(0 64-1)/(0-1), (t m -1)/30=0 36, t m =11 8. Es decir, la fecha media del pronto pago será aproximadamente el t m =12 de enero. En resumen, para cobrar el nominal N nuestra empresa tendrá que decidir si se servirá de una entidad financiera cobrando un valor líquido de L m = el 1 de enero, o bien esperar hasta el 12 de enero para que el cliente, que suponemos de probada solvencia, nos pague una cantidad menor, Q m = En nuestro caso la diferencia es únicamente de C=Q m -L m =220, mientras que el atraso del pago sería de t=12-1=11 días, por lo que seguramente nos decidiríamos por el primer caso. En general, y para diferencias de C bastante elevadas, un método numérico para ayudarnos a tomar nuestra decisión seria hallar el tipo de interés i que se necesitaría para pasar del capital L m al Q m durante t= t/360 años, Q m =L m (1+i) t/360 En nuestro caso tendremos = (1+i) 11/360, de donde se obtiene fácilmente i 12 13%. Si una entidad financiera nos ofreciera un tipo de interés anual i superior al 12 13%, sería preferible escoger la opción del descuento comercial, pues capitalizando L m al tanto i durante el tiempo t/360 años conseguiríamos un capital superior al Q m, entregado por el cliente. Si, en cambio, fuera inferior, i <12 13%, entonces nos podríamos decidir por la segunda opción, es decir por la de descuento por 10

11 pronto pago, DPP. No obstante siempre deberemos sopesar la fiabilidad de pago del cliente y también nuestra propia necesidad de liquidez. 8. BIBLIOGRAFÍA [1] TERCEÑO, A., BARBERÀ, M.G.; y otros autores (1997): Matemática Financiera. Ediciones Pirámide. Madrid [2] VILLAZÓN, C.; SANOU, L. (1993): Matemática Financiera. Ediciones Foro-Científico. Barcelona [3] RODRÍGUEZ, A. (1994): Matemáticas de la Inversión y también Matemáticas de la Financiación. Editorial Romargraf. Barcelona [4] KAUFMANN, A.; GIL ALUJA, J.; TERCEÑO, A. (1994): Matemática para la Economía y la Gestión de Empresas. Ediciones Foro-Científico. Barcelona [5] KAUFMANN, A.; GUPTA, M.M. (1991): Introduction to Fuzzy Arithmetic. Theory and Applications. International Thompson Computer Press. E.U.A. [6] GIL ALUJA, J. (2002): Introducción a la Teoría de la Incertidumbre en la Gestión de Empresas. Ediciones Milladoiro. Vigo 11

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