3.- en la fig. Demostrar que: (a+b) 2 -(a-b) 2 =4ab. 4.- En la fig. Demostrar que: (a+b) 2 +(a-b) 2 =2(a 2 +b 2 )

Transcripción

1 La factorizació e la resolució de problemas. Co la habilidad para resolver ecuacioes poliomiales por factorizació se puede resolver problemas que Se habría esquivado hasta ahora. Se debe rechazar solucioes que o sea sesatas a la luz de las codicioes del Problema. Ejemplo 1.- El señor Pérez desea iiciar el cultivo de u huerto de vegetales de 100 m.puesto que tiee solo 0 mts de cerca de alambre, solo cerca tres lados de u rectágulo y utiliza la pared de su garaje como cuarto lado cercado. Que acho tiee el huerto? Ejemplo.- este problema tiee solo ua solució, auque la ecuació cuadrática usada para resolverlo tiee dos raíces. El problema es iteresate tambié porque 1 usa u modelo matemático muy importate d= V0 t+ gt, dode V0 velocidad co que empieza la caída, d umero de metros de la caída, t umero de segudos hasta que el objeto golpea el suelo, g aceleració de gravedad que equivale a 9,8 m/seg..el problema a resolver es: Se laza u objeto directamete hacia abajo desde u avió a.90 mts sobre el suelo. Iicia la caída a 9 m/s. Cuátos segudos trascurre hasta el istate e que el objeto golpea el suelo?.

2 .- e la fig. Demostrar que: (a+b) -(a-b) =ab..- E la fig. Demostrar que: (a+b) +(a-b) =(a +b ) 5.- E la fig. Demostrar que: (a+b) -b =a +ab

3 .- E la fig. Demostrar que: a -(a-b) = ab - b Apoyádose e la Fig., pruebe que: =

4 8.- Por el mismo método demostrar que para cualquier etero positivo, se verifica que: ( 1) = 9.- Usar la fig. Aterior para demostrar que: = Por el mismo método demostrar que para cualquier etero positivo, se verifica: (-1) = FATORIZACION: CASO 1: FACTOR COMUN MONOMIO: Hay u factor comú para cada térmio (Máimo comú divisor para todos los térmios) Ejemplo: a b 18 a b y 0a b yz = a b (b by 5a yz) CASO : FACTOR COMUN POLINOMIO: El factor comú e este caso es u poliomio: Ejemplo: a (+y)+b y (+y)--y = a(+y)+b y (+y)-1(+y) =(+y)(a+b y-1) CASO : FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINOS: Es ua combiació de los dos casos ateriores, tambié se puede aplicar a las factorizacioes otables como se vera mas adelate: FACTORIZACIONES NOTABLES. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: Correspode al desarrollo de u cuadrado de biomio: A AB B A B

5 Ejemplo: a b 1a b 9 a b DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS: Correspode al desarrollo de ua suma por su diferecia A B A B A B Ejemplo: 19 y 5z 1 y 15z 1 y 15z COMBINACION DE LA DIFERENCIA DE CUADRADOS Y EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: Es u simple caso de agrupació: Ejemplo: m m b = (m m ) b =(m+) b =(m++b )( m b ) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR SUMA Y RESTA: Hay que sumar y restar la misma catidad para completar el triomio cuadrado perfecto, trasformádose luego e el caso aterior: 8 Ejemplo: 9m 151m 81, e este caso como la raíz cuadrada del primer termio es : 9 m m 7 y la del tercer termio (previamete ordeado por la potecia) es y cuyo doble producto correspode a : 7m 9 1m, que es lo que correspodería al segudo termio del triomio cuadrado perfecto y o 151m como se epresa e el problema, por lo tato habrá que sumar y restar la diferecia etre 151m y 1m, esto es : 151m -1m =5m.Si se dispoe el ejercicio de la forma : FACTORIZACION DE UNA SUMA DE DOS CUADRADOS: Esta es ua variació del caso aterior, solo que aquí lo que hay que sumar y restar es el segudo térmio etero para completar el triomio cuadrado perfecto: 8 Ejemplo y, el segudo térmio del triomio será etoces 8y =1 y, resultado de acuerdo al esquema aterior:

6 FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO DE LA FORMA: X BX C E este caso el triomio se descompoe e el producto de dos biomios. Ambos cotiee como primer termio la raíz cuadrada del primer térmio del triomio (X) y el segudo térmio correspode a u par de úmeros o factores cuyo producto da el tercer térmio del triomio (C) y al mismo tiempo la suma debe dar el coeficiete del segudo térmio del triomio (B) EJEMPLO: a a b 15b =(a 5b )( a b) ( PIENSE EN EL PROCESO INVERSO DE MULTIPLICAR!) FACTORIZACION DEL TRINOMIO GENERAL DE SEGUNDO GRADO: TIENE LA FORMA: AX BX C.Se factoriza aplicado el caso aterior, por amplificació y simplificació simultaea por el mismo factor A. Ejemplo: a 7a Si dispoemos el proceso del siguiete modo: FACTORIZACION DE UNA EXPRESION CUYO DESARROLLO CORRESPONDE A EL CUBO DE UN BINOMIO.Correspode al proceso iverso del desarrollo del cubo del biomio. Esto es: A A B AB B A B

7 9 EJEMPLO: 8 5 y 7y y, es u cubo de biomio.ordeado la 9 epresió se tiee: 8 y 5 y 7y y FACTORIZACION DE UNA SUMA O RESTA DE CUBOS PERFECTOS: A B A B A AB B Ejemplo: 8 7 ( )( 9) OTROS CASO DE FACTORIZACION: I: A B : ES DIVISIBLE POR A-B SIENDO PAR O IMPAR II: A B : ES DIVISIBLE POR A+B SIENDO IMPAR III: A B : ES DIVISIBLE POR A+B SIENDO PAR IV: A B : NUNCA ES DIVISIBLE POR A-B EJERCICIOS a a.- m m.- a a ab b y y m 11.- a a b 5ab 1.- y-y+z-z b b 1.- y y y y 1.- a a m 11m a y m b a ab a 1a a m a ab b m b 5 a b 1a b a a y y ab b 9.- a(+1)-b(+1)+c(+1) 0.- a d c a cd y 1y 8y.- a-b+b-a-by+ay (a-1)-a+1

8 .- a b ( a ) y y b a 10a b a b.- ( a a ) ( ).- a m 1a 5bm 15b y 1y 5.- y 81 DESCOMPONGA EN TRES FACTORES. 1.- a a.-.- a ab b.- a 5.- a a 8a a ab ab a a a a a a y y ab ab 18ab DESCOMPONER EN CUATRO FACTORES a.- a a a b b y y y 8.- a a a 9.- a m 9am 0m a 9a a( 1) a ( 1) DESCOMPONER EN CINCO FACTORES y

9 .- a a b a ab a ab.- a a a a b ab b DESCOMPONER EN SEIS FACTORES a a.- ( a a)( 8 81)