CÓDIGOS CIRCUITOS CONVERSORES CÓDIGO

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1 CÓDIGOS Y CIRCUITOS CONVERSORES DE CÓDIGO. CODIFICACIÓN DE NÚMEROS Y TIPOS DE CÓDIGOS...(). CIRCUITOS CONVERSORES DE CÓDIGO... (). PARIDAD... (7). CÓDIGOS PARA DETECCIÓN Y CORRECCIÓN DE ERRORES... (). EJERCICIOS... () CÓDIGOS-

2 La disponibilidad de una gran variedad de códigos para los mismos elementos discretos de información da como resultados el uso de códigos diferentes para distintos sistemas digitales. Es necesario, en ocasiones, usar la salida de un sistema como entrada de otro, por lo que debe utilizarse un circuito de conversión entre los dos sistemas, si cada uno usa diferentes códigos para la misma información. De esta forma un conversor de código es un circuito que hace compatibles dos sistemas a pesar de que ambos tengan diferente código binario.. CODIFICACIÓN DE NÚMEROS Y TIPOS DE CÓDIGOS En los sistema digitales la información numérica está generalmente representada en el sistema numérico binario (u otro código binario relacionado). En los capítulos previos, se ha hecho énfasis en la importancia y utilización del sistema binario, sin embargo, también son importantes otros sistemas numéricos, principalmente el octal, headecimal y decimal codificado en binario (BCD)... Sistema numérico binario El sistema numérico binario es un sistema posicional, en el cual cada dígito binario (bit) lleva un cierto peso basado en su posición relativa al punto binario (separación de la parte entera y la fraccionaria). Cualquier número binario puede convertirse a su equivalente decimal sumando juntos los pesos de las diferentes posiciones en el número binario que contienen un. Por ejemplo: binario = = 7 (decimal) El mismo método se emplea para números binarios que contienen una parte fraccional: Ejemplo. Aplicar el método anterior para verificar las siguientes conversiones: a) = b). =.766 c). =. Se tienen diferentes maneras para convertir un número decimal a su representación equivalente en el sistema binario. Un método, que es conveniente para números pequeños, es el reverso del proceso descrito previamente. El número decimal se epresa simplemente como una suma de potencias de y luego se escriben unos y ceros asociados a las posiciones apropiadas de los bits. Por ejemplo: Otro ejemplo: CÓDIGOS-

3 Para números decimales mayores, el método anterior es laborioso. Un método más conveniente, consiste en la conversión separada de las partes entera y fraccionaria. Por ejemplo, para el número decimal.7, el cual se convirtió previamente, el primer paso es la conversión de la parte entera. Esto se hace dividiendo repetidamente por y escribiendo los residuos después de cada división, hasta obtener un cociente de ceros, como se muestra en la figura adjunta: La conversión deseada se obtiene escribiendo los residuos como se muestra en la figura anterior. Obsérvese que el primer residuo es el bit menos significativo (bms) y el último el Bit Más Significativo (BMS). La parte fraccionaria del número (.7), se convierte a binario multiplicándola repetidamente por y anotando cualquier acarreo en la posición de los enteros, como se muestra en la figura adjunta: Nótese que las multiplicaciones continúan hasta obtener un producto de. (la mayoría de las veces esto no ocurre y el proceso se termina hasta alcanzar el número de bits deseado), puesto que las multiplicaciones posteriores resultan igual a cero. Obsérvese que el primer acarreo se escribe en la primera posición a la derecha del punto binario. Finalmente, la conversión completa para.7 se escribe como la combinación de las conversiones entera y fraccionaria:.7 =. EJEMPLO. Aplicar este método para comprobar la siguiente conversión: 6. =... Sistema numérico octal El sistema numérico octal es muy importante en el trabajo con computadoras digitales. El sistema octal tiene una base de ocho, significando que tiene ocho dígitos posibles:,,,,,, 6 y 7. Así, cada dígito de un número octal tiene los siguientes pesos: punto octal Un número octal puede convertirse fácilmente a su equivalente decimal, multiplicando cada dígito octal por su peso posicional. Por ejemplo: CÓDIGOS-

4 Otro ejemplo: Los métodos para convertir un número decimal a su equivalente octal son los mismos como los usados para convertir de decimal a binario. Para convertir un entero decimal a octal, se divide progresivamente el número decimal por, anotando los residuos después de cada división. Los residuos representan los dígitos del número octal, con el primer residuo como el menos significativo (bms). Como ejemplo, convertir 66 a octal: Las fracciones decimales se convierten a octal multiplicando progresivamente por y escribiendo los acarreos en la posición después del punto octal. Por ejemplo,. se convierte a octal como sigue: Note que el primer acarreo el bit más significativo (BMS) de la fracción. Se puede lograr una mayor precisión continuando el proceso para obtener más dígitos octales. Es útil cuando se convierte un número decimal relativamente grande a binario, convertirlo primero a octal. El número octal puede entonces convertirse a binario. Este método es generalmente más rápido que la conversión directa decimal a binario, debido a la simpleza de la conversión octal a binario. La principal ventaja del sistema numérico octal es la facilidad con la cual puede hacerse la conversión entre números binarios y octales. La conversión desde octal a binario se ejecuta convirtiendo cada dígito octal a su equivalente binario de bits. Los ocho dígitos posibles se convierten como se indica en la siguiente tabla: Dígito octal 6 7 Equivalente binario Usando estos equivalentes, cualquier número octal se convierte a binario por conversión individual de cada dígito. Por ejemplo, se puede pasar 7 a binario como sigue: CÓDIGOS-

5 7 Por consiguiente, el octal 7 es equivalente al binario. Como otro ejemplo, considérese la conversión de. a binario:.. Así,. =. La conversión de binario a octal es simplemente el inverso del proceso anterior. Los dígitos binarios se agrupan de tres en tres a cada lado del punto binario, añadiendo ceros en cualquier lado cuando ello sea necesario para completar un grupo de tres. Entonces cada grupo de tres bits se convierte a su equivalente octal. Como ilustración, considérese la conversión de. a octal.. Note que se añadieron ceros a cada lado para completar los grupos de a tres. Así, la conversión deseada es.... Sistema numérico headecimal El sistema numérico headecimal usa la base 6. Así, tiene 6 símbolos digitales posibles. Usa los dígitos - más las letras A, B, C, D, E y F como los 6 símbolos digitales. Headecimal Decimal Binario 6 7 A B C D EF 6 7 La tabla anterior muestra las relaciones entre los sistemas numéricos headecimal, decimal y binario. Note que cada dígito headecimal representa a un grupo de cuatro dígitos binarios. Algunas computadoras utilizan el sistema headecimal para propósitos de eposición en preferencia al octal. Las conversiones entre headecimal y binario se hacen eactamente de la misma manera como entre octal y binario, ecepto que se usan grupos de bits. En el siguiente ejemplo se ilustra la conversión de binario a headecimal y de headecimal a binario: CÓDIGOS-

6 .. Códigos Cuando se representa números, letras o palabras por un grupo especial de símbolos, se llama codificación y al grupo de símbolos se le denomina un código. Probablemente uno de los códigos más familiares es el código Morse, en el cual las letras del alfabeto se representan por series de puntos y rayas. Ya se ha visto que cualquier número decimal puede representarse por un número binario equivalente. Puede pensarse que el grupo de ceros y unos en el número binario es un código que representa al decimal. Cuando se representa un número decimal por su número binario equivalente, se llama codificación binaria directa. Los sistemas binarios usan todos alguna forma de números binarios para sus operaciones internas pero el mundo eterno es de naturaleza decimal. Esto significa que se deben ejecutar conversiones frecuentes entre los sistemas decimal y binario. Hemos visto que las conversiones entre decimal y binario pueden llegar a ser largas y complicadas para números grandes. por esta razón, algunas veces se usan otros medios para codificar los números decimales que combinan algunas características de los sistemas decimal y binario... Código decimal codificado en binario (BCD) (Binary Coded Decimal) Si cada dígito de un número decimal se representa por su equivalente binario, esto produce un código llamado decimal codificado en binario (abreviado BCD por sus siglas en inglés Binary Coded Decimal). Puesto que un dígito decimal puede ser tan grande como, se requieren bits para codificar cada dígito (el código binario para es ). Para ilustrar el código BCD, tomemos un número decimal tal como 7. Cada dígito se cambia a su equivalente binario como sigue: 7 Como otro ejemplo, cambiemos. a su representación en código BCD:.. Una vez más, cada dígito decimal se cambia a su equivalente binario directo. Note que siempre se usan bits para cada dígito. CÓDIGOS-6

7 El código BCD, entonces representa cada dígito del número decimal por un número binario de bits. Claramente, sólo los números binarios de bits desde hasta se usan. El código BCD no usa los números,,,, y. En otras palabras, sólo de los 6 grupos codificados posibles de bits se usan. Si cualesquiera de estos números prohibidos de bits alguna vez se presentan en una máquina que usa el código BCD, generalmente indica que ha ocurrido un error. EJEMPLO. Convertir el número BCD a su equivalente decimal: SOLUCIÓN 6 EJEMPLO. Convierta el número BCD a su equivalente decimal: 7 grupo de código prohibido indica error en el número BCD Al hacer una comparación entre BCD y binario común, es importante darse cuenta que un número BCD no es lo mismo que un número binario común. Un código binario común toma el número decimal completo y lo representa en binario, mientras que el código BCD convierte cada dígito decimal a binario en forma individual. Para ilustrar, tome el número 7 y compare las representaciones binaria común y codificada: El código BCD requiere bits mientras que el código binario común requiere sólo bits para representar 7. Es siempre verdadero que el código BCD para un número decimal dado requiere más bits para código que el código binario común. Esto es porque BCD no usa todos los grupos posibles de bits, como se señaló antes y es por consiguiente algo ineficiente. La principal ventaja del código BCD es la facilidad relativa para convertir a y desde decimal. Sólo se requiere recordar los grupos codificados de bits para los dígitos decimales del al. Esta facilidad de conversión es especialmente importante desde el punto de vista de circuitos, porque en un sistema digital son los circuitos lógicos los que ejecutan las conversiones a y desde decimal. BCD se usa en máquinas digitales siempre y cuando se aplique información digital, ya sea como entradas o mostradas como salidas. Los voltímetros digitales, contadores de frecuencia y relojes digitales usan todos BCD, porque despliegan la información de salida en decimal. Las calculadoras electrónicas usan BCD porque los números de entrada vienen en decimal vía el teclado y los números de salida son mostrados en decimal. BCD no se usa a menudo en computadoras digitales modernas de alta velocidad por dos buenas razones. Primero, como ya fue señalado, el código BCD para un número decimal dado requiere más bits que el código binario directo y es por consiguiente menos eficiente. Esto es importante en computadoras digitales porque el números de lugares en memoria donde estos bits pueden ser almacenados es limitado. Segundo, los procesos aritméticos para números representados en código BCD son más complicados que en binario ordinario y requieren así de circuitería más compleja. La circuitería más compleja contribuye a una disminución en la velocidad a la cual tienen lugar las operaciones aritméticas. Las calculadoras que usan BCD son, por consiguiente, considerablemente más lentas en su operación que las computadoras. CÓDIGOS-7

8 ... Código eceso- El código eceso- está relacionado con el código BCD y usado a veces en lugar de él porque posee ventajas en ciertas operaciones aritméticas. El código eceso- para un número decimal se ejecuta de la misma manera que en BCD ecepto que se añade a cada dígito decimal antes de codificarlo en binario. Por ejemplo, para codificar el número decimal en el código eceso-, debemos primero añadir para obtener 7. Luego el 7 se codifica en código binario equivalente de bits para obtener. Como otro ejemplo, convirtamos 6 a su representación en código eceso-: añada a cada dígito S)Q S)Q 7 convierta a código binario de bits La siguiente tabla muestra las listas para las representaciones BCD y eceso- para los dígitos decimales. Note que ambos códigos usan sólo de los 6 posibles grupos codificados de bits. El código eceso-, sin embargo, no usa los mismos grupos codificados. Para eceso-, los grupos codificados no válidos son,,,, y. Decimal BCD Eceso Código Gray El código Gray pertenece a una clase de códigos llamados códigos de cambios mínimo, en los cuales sólo cambia un bit en el grupo codificado cuando se va de un paso al siguiente. El código Gray es un código no ponderado, significando que las posiciones de los bits en los grupos codificados no tienen un peso específico asignado. Debido a esto, el código Gray no es apropiado para operaciones aritméticas, pero encuentra aplicaciones en dispositivos de entrada/salida y en algunos tipos de convertidores analógicos a digital. La siguiente tabla muestra la representación en código Gray para los números decimales al, junto con el código binario directo. Si eaminamos los grupos codificados Gray para cada número decimal, puede verse que al ir desde cualquier número decimal al siguiente, sólo un bit del código Gray cambia. Por ejemplo, al ir desde a, el código Gray cambia de a, con solo el segundo bit desde la izquierda eperimentando cambio. Yendo de a los bits del código Gray cambian de a, con la sola variación en el último bit. Esta es la principal característica del código Gray. Compare esto con el código binario en el cual de uno a todos los bits cambian al pasar de un número al siguiente. CÓDIGOS-

9 Decimal Código binario Código Gray 6 7 El código Gray se usa a menudo donde otros códigos tales como el binario, pudieran producir resultados erróneos o ambiguos durante esas transiciones en las cuales más de un bit del código está cambiando. Usando el código binario, por ejemplo, y yendo de a requiere que todos los cuatro bits cambien simultáneamente. Dependiendo del dispositivo o circuito que está generando los bits, puede haber una diferencia significativa en los tiempos de transición de los diferentes bits. Si esto es así, las transiciones de a pudiera producir uno o más estados intermedios. Por ejemplo, si el bit más significativo cambia más rápido que el resto, ocurrirán las siguientes transiciones: 6 decimal 6 código erróneo 6 decimal La ocurrencia de es sólo momentánea pero pudiera concebiblemente producir una operación errónea de los elementos que están siendo controlados por los bits. Obviamente, usando el código Gray se eliminaría este problema, puesto que sólo ocurre el cambio de un bit por transición y no puede ocurrir una carrera. Cualquier número binario puede convertirse a su representación en código Gray como sigue:. El primer bit del código Gray es el mismo como el primer bit del número binario.. El segundo bit del código Gray es igual a la operación O ECLUSIVA del primer y segundo bits del número binario; esto es, será si estos bits del código binario son diferentes y si son los mismos.. El tercer bit del código Gray es igual a la O ECLUSIVA del segundo y tercer bits del número binario y así sucesivamente. Para ilustrar esto, convirtamos el binario al código Gray: ```` Código binario Código Gray El primer bit del código Gray es el mismo como el primer bit del código binario. El primero y segundo bits del código binario son diferentes, dando un para el segundo bit Gray. El segundo y tercer bits del número binario son diferentes, dando un para el tercer bit gray. El tercero y cuarto bits del número binario son lo mismo, así que el cuarto bit Gray es. Finalmente el cuarto y quinto bits binarios son diferentes, dando un quinto bit Gray de. CÓDIGOS-

10 Otro ejemplo es como sigue: ``````` binario Gray Para convertir de Gray a binario se requiere el procedimiento opuesto dado previamente.. El primer bit binario es el mismo que el primer bit Gray.. Si el segundo bit Gray es, el segundo bit binario es el mismo como el primero; si el segundo bit Gray es, el segundo bit binario es el inverso del primer bit binario.. El paso se repite para cada bit sucesivo. Para ilustrar esto, convirtamos de Gray a binario: Gray 666 binario El primer bit Gray es, así que el primer bit binario se escribe como un. El segundo bit Gray es un, así que el segundo bit binario se hace un (inverso del primer bit binario). El tercer bit Gray es un, así que el tercer bit binario se hace un (lo mismo como el segundo bit binario). El cuarto bit gray es, haciendo el cuarto bit un (inverso del tercer bit binario). Este proceso puede ser visto de otra manera: Cada bit binario (eceptuando el primero) puede obtenerse tomando la O ECLUSIVA del bit correspondiente del código Gray y el bit binario previo. Finalmente, en las siguientes tablas, se presentan los códigos Gray y los ponderados eceso-, -- y Biquinario, referidos al código BCD: DEC 6 7 CÓDIGO BCD GRAY ECESO CÓDIGOS-

11 DEC 6 7! CÓDIGO BCD - - BIQUINARIO - -!!!!!!!!!!!!!!! En las tablas anteriores, se indican los términos indiferentes (prohibidos).... Códigos alfanuméricos Hemos estudiado varios códigos que se usan para representar datos numéricos, esto es, números. Muchos sistemas digitales, tales como la computadora, usan también datos alfabéticos (letras) y caracteres especiales (tales como símbolos de puntuación y matemáticos) en adición a números. Tales códigos se llaman códigos alfanuméricos. La siguiente tabla muestra dos de los diferentes códigos alfanuméricos que están en uso corriente. El código interno de 6 bits se usa a menudo en computadoras para representar internamente caracteres alfanuméricos. Carácter A B C D E! V W Y Z! 7 Espacio. ( /, = 6-bit Código interno!! 7-bit Código ASCII!! El código interno de 6 bits puede representar hasta 6 caracteres diferentes, ya que 6 =6. La necesidad de representar más de 6 caracteres, en ciertas aplicaciones, da lugar a códigos de 7 y CÓDIGOS-

12 bits. Uno de tales códigos es el ASCII (Código Estándar Americano para Intercambio de Información - American Standard Code for Information Interchange), el cual se usa en la transmisión de información digital. El ASCII mostrado en la tabla tiene 7 bits, lo cual indica que puede representar 7 = caracteres diferentes. Sólo algunos de éstos se muestran en la tabla. CIRCUITOS CONVERSORES DE CÓDIGO. Para convertir el código binario A al código binario B, las líneas de entrada deben dar una combinación de bits de los elementos, tal como se especifica por el código A y las líneas de salida deben generar la correspondiente combinación de bits del código B. EJEMPLO : Realizar un circuito mínimo conversor de código de BCD a GRAY para cuatro variables de entrada A, B, C, D, utilizando inversores, una compuerta O y compuertas No O. Considere las condiciones irrelevantes. a) Tabla funcional: SOLUCIÓN DEC 6 7 B C D G R A Y A B C D G G G G b) Variables de Conmutación: Como el logigrama deberá realizarse con compuertas No-O, las funciones de conmutación a la salida del conversor, deberán epresarse como producto de maitérminos: c) Minimización de las funciones de conmutación: Reduciendo por el método de Karnaugh, se obtiene: CÓDIGOS-

13 Las funciones mínimas son: d) Logigrama: EJEMPLO. Realice un circuito mínimo conversor de código eceso (BCD) a,,--, utilizando sólo inversores. CÓDIGOS-

14 SOLUCIÓN a) Tabla funcional: DEC 6 7! CÓDIGO eceso - - m i E E E E A B C D 6 7 -! - Obsérvese que el código eceso- sólo puede generarse hasta el decimal, puesto que se toma como base el código BCD. Asimismo, los minitérminos de entrada para el código,,--, son los que genera el código eceso-, los cuales se indican en la columna m i. También, los términos indiferentes corresponden a aquellos que no aparecen a la salida del código eceso-, puesto que no se generarán. b) Funciones de Conmutación: Las funciones de conmutación a la salida del código,,-,-, pueden epresarse como suma de minitérminos, ya que no eiste una condición previa: c) Reducción de las funciones de conmutación: Utilizando los mapas K para la minimización de las funciones de conmutación, se obtiene: CÓDIGOS-

15 d) Funciones de conmutación minimizadas: De los mapas K anteriores, se obtiene: CÓDIGOS-

16 e) Logigrama: PARIDAD La transmisión de datos binarios de una localización a otra es un lugar común en todos los sistemas digitales. Se presentan cuatro ejemplos de esto:. Salida de datos binarios desde una computadora y que están registrándose en cinta magnética.. Transmisión de datos binarios por línea telefónica, tal como entre una computadora y una consola remota.. Un número se toma de la memoria de la computadora y se coloca en la unidad aritmética, en donde se añade a otro número. La suma es luego regresada a la memoria.. Información almacenada en un disco fleible se leen para cargarse en la memoria de una computadora personal. Lo anterior se ejemplifica en la figura adjunta: El proceso de transferir datos está sujeto a error, aun cuando el equipo moderno ha sido diseñado para reducir la probabilidad de error. Sin embargo, aún errores relativamente infrecuentes pueden causar resultados inútiles, así que es deseable detectarlos siempre que ello sea posible. Uno de los esquemas usados más ampliamente para la detección de errores es el método de paridad. Un bit de paridad es un bit etra que se agrega a un grupo codificado en el cual se transmite de una localización a otra. El bit de paridad se hace ya sea ó, dependiendo del número de unos que están contenidos en el grupo codificado. Se usan dos métodos diferentes. En el método de paridad par el valor del bit de paridad se escoge de tal manera que el número total de unos en el grupo codificado (incluyendo el bit de paridad) sea un número par. Supóngase por ejemplo, que el grupo codificado es. El grupo codificado tiene tres unos. Por tanto, se añade un bit de paridad de para hacer el número total de unos un valor par. El nuevo grupo codificado, incluyendo el bit de paridad es: CÓDIGOS-6

17 bit de paridad añadido Si el grupo codificado contiene un número par de unos inicialmente, el bit de paridad recibe un valor de cero. Por ejemplo, si el código es, el bit de paridad asignado sería, así que el nuevo código, incluyendo el bit de paridad sería. El método de paridad impar se usa eactamente de la misma manera, ecepto que el bit de paridad se escoge de tal modo que el número total de unos (incluyendo el bit de paridad) sea un número impar. Por ejemplo, para el grupo codificado, el bit de paridad asignado sería un. Para el grupo, el bit de paridad sería un. Sin importar si se usa paridad par o impar, el bit de paridad se añade a la palabra codificada y es transmitido como parte de la palabra codificada. La figura adjunta muestra como se usa del método de paridad: Los bits del grupo codificado están representados por A, B y C. Estos bits pudieran venir de las salidas de un conversor de código. Se alimentan entonces a un circuito generador de paridad, el cual es un circuito lógico que eamina los bits de entrada y produce un bit de paridad de salida del valor correcto. El bit de paridad se transmite junto con los bits de entrada, como lo muestra la figura adjunta. La siguiente tabla muestra la forma de obtener los bits de paridad para el código binario de bits. P p y P i, son las funciones resultantes de aplicar paridad par e impar, respectivamente. DEC A B C P p P i 6 7 Las funciones de conmutación correspondientes a los bits de verificación son: Tanto de la tabla como de las ecuaciones, se observa que P p y P i son complementarios. Reduciendo P p por mapas K : CÓDIGOS-7

18 La función reducida es: Como P i es el complemento de P p, entonces: El logigrama de P p junto con una posible aplicación es: Cuando los bits transmitidos alcanzan su destino, son alimentados a un circuito comprobador de paridad, el cual es un circuito lógico que eamina todos los bits para determinar si la paridad correcta está presente. En un sistema de paridad par, el comprobador de paridad generará una salida baja de error si el número de entradas es un número par y una salida de error alta (indicando un error) si el número de entradas es impar. En un sistema de paridad impar sería al contrario. Si ocurre un error en uno de los bits transmitidos, el circuito comprobador de paridad lo detectará. Por ejemplo, supongamos que los bits del grupo codificado son y que estamos usando un sistema de paridad impar. El circuito generador de paridad generará entonces un para un bit de paridad, así que será transmitido. Si estos bits llegan al comprobador de paridad sin cambio, éste producirá una salida (ningún error). Sin embargo, si uno de los bits cambia antes de llegar al verificador de paridad (tal como en lugar de ), el comprobador de paridad se hará alto indicando que ha ocurrido un error en la transmisión. La salida de error puede usarse para sonar una alarma, detener la operación del sistema o activar un indicador de error. CÓDIGOS-

19 Debería ser aparente que este método de paridad puede detectar errores únicos pero no puede detectar errores dobles. Esto es porque un error doble no cambiará la paridad del grupo de bits, así que el verificador de paridad indicará ningún error. También, este método de paridad no señala al error; esto es, no determina al bit erróneo. Para detectar y señalar errores dobles, deberán usarse métodos más sofisticados, que permitan hacer correcciones. Tal es el caso del método de Hamming, tratado a continuación. CÓDIGOS PARA DETECCIÓN Y CORRECCIÓN DE ERRORES Uno de los métodos más empleados para detectar y corregir errores es el código desarrollado por Hamming. A continuación se presenta algunas definiciones iniciales: Distancia: La distancia en un código, se define como el número de cambios ( ó ) que eisten entre un caracteres consecutivos. Distancia mínima: La distancia mínima M de un código, se define como el número mínimo de bits en que pueden diferir dos caracteres consecutivos cualesquiera de un código. La epresión que relaciona la distancia mínima, detección y corrección de errores es: Donde: M = Distancia mínima D = Bits erróneos que se detectan C = Bits erróneos que se corrigen M - = D + C para toda C # D... () La Tabla, muestra la relación para diferentes valores de M, C y D: TABLA M D C Código de Hamming Considerando a: k = Número de bits de verificación de paridad y M = k Entonces, la relación entre los bits de paridad y los bits del código original, está dada por la siguiente epresión: donde: k - = k + n... () CÓDIGOS-

20 n = No. de bits del código original k+n = No. de bits del nuevo código La siguiente Tabla, muestra la relación entre k y n, para algunos valores de k: k n k+n 7 6 De la tabla anterior, se observa que entre más bits de seguridad se deseen en el código de interés, el número de bits de éste aumenta considerablemente. Para un código original de cuatro bits A, B, C, D, al que le corresponden tres bits de paridad C, C, C, éstos se colocan en las posiciones n, con n=,, ; es decir, en las posiciones,,, como se muestra a continuación: 6 7 C C A C B C D Cada bit de paridad se selecciona para generar paridad (par o impar) en las siguientes posiciones: C 6,,,7 C 6,,6,7 C 6,,6,7 Una manera sencilla de recordar las posiciones para generar paridad de cada uno de los bits de paridad, se muestra en la siguiente tabla: 6 7 Posición C,,, 7 C,, 6, 7 C,, 6, 7 Por ejemplo, si se quiere transmitir = con paridad par, el nuevo será: 6 7 C C A C B C D NUEVO CÓDIGO Para C : En las posiciones, y 7, se tienen dos UNOS, obteniéndose paridad par, lo que indica que hay que colocar un en la posición. Para C : En las posiciones, 6 y 7, se tienen dos UNOS, obteniéndose paridad par, lo que indica que hay que colocar un en la posición. CÓDIGOS-

21 CÓDIGOS- Para C : En las posiciones, 6 y 7, se tiene un sólo UNO, lo que indica que hay que colocar un en la posición, para obtener paridad par. EJEMPLO. Dado el código eceso (BCD), obtener el nuevo código con distancia mínima de (M=) y diseñar el circuito transmisor. a) Tabla funcional: DEC CÓDIGO ECESO m i CÓDIGO A TRANSMITIR E E E E C C E C E E E b) Funciones de conmutación: Las funciones correspondientes a los bits de verificación son: c) Reducción por mapas K: Los mapas K para las bits de verificación son:

22 De los mapas, se obtienen las siguientes funciones reducidas: d) Logigrama: CÓDIGOS-

23 EJEMPLO. Determinar las posiciones de paridad para los bits de verificación para k= (Distancia mínima igual a ). Sustituyendo el valor de k en la Ecuación (), se obtiene: k - = - = = k + n Por tanto, el número de bits del código original, n, es igual a. El código a transmitir es de bits (k+n). La posición para determinar la paridad de los bits de verificación se obtiene de la siguiente tabla: 6 7 C C C C Para C : Se debe tener paridad par en las posiciones:,,,7,,,, Para C : Se debe tener paridad par en las posiciones:,,,7,,,, Para C : Se debe tener paridad par en las posiciones:,,6,7,,,, Para C : Se debe tener paridad par en las posiciones:,,,,,,, Como los bits de verificación deben quedar en una posición correspondiente a una potencia de dos (,,,), entonces el código a transmitir es: 6 7 C C C C 7 C 6 Donde: C, C, C, C son los bits de verificación y,,...,, corresponden al código original. CÓDIGOS-

24 EJERCICIOS. Realice un circuito convertidor de código de Gray a binario para bits, de tal manera que se utilicen sólo compuertas O ECLUSIVAS.. Realice los siguientes conversores de código: a) De BCD a --. b) De BCD a. BCD - - A B C D W Y Z 6 7 NOTA: CONSIDERE LOS TÉRMINOS INDIFERENTES.. Obtenga el diagrama lógico mínimo del conversor de código de eceso (BCD), a un código BCD autocomplementario, cuyas combinaciones,,, y están ecedidas en y las restantes tienen un eceso en. Obtenga el mayor número de relaciones eclusivas posibles para realizar el diagrama lógico.. Diseñe el circuito que permita transmitir el código ecedido en (BCD) con distancia mínima de. Considere las condiciones indiferentes.. Se desea transmitir el No. 7 empleando la técnica de Hamming. Cuál es el código deseado? 6. Si se recibe el siguiente mensaje: Determine si eiste error y en que posición se encuentra. 7. Codificar el carácter de información de acuerdo con el código de Hamming de bits.. Si eiste, determinar cuál bit está equivocado en el carácter con código de Hamming.. Dado el siguiente diagrama a bloques de un circuito combinacional: CÓDIGOS-

25 NOTA: A, E y C son las variables de mayor peso binario a) Obtenga las salidas mínimas del bloque () como suma de productos. b) Obtenga las salidas mínimas del bloque () como suma de productos. c) Realice el logigrama de a) y b) utilizando sólo inversores y compuertas No Y. NOTA: Considere los términos indiferentes.. Dado el siguiente diagrama a bloques de un circuito combinatorio: NOTA: A, H y E son las variables de mayor peso binario a) Obtenga las salidas mínimas del bloque () como un producto de sumas. b) Obtenga las salidas mínimas del bloque () como un producto de sumas. c) Realice el logigrama de a) y b) utilizando sólo inversores y compuertas No O. NOTA: Considere los términos indiferentes.. Dado el código -- (BCD), determine el nuevo código de Hamming con distancia mínima de y obtenga el logigrama reducido utilizando sólo inversores y compuertas No O. Considere los términos indiferentes.. Diseñe un circuito mínimo de segundo orden para convertir una entrada decimal codificada en binario a una salida biquinaria ( de de 7). Como se indica en la Figura (a), deberá contar con entradas y siete salidas. Los códigos para la entrada y la salida correspondientes a los dígitos decimales se dan en la Figura (b). Se puede suponer que las seis combinaciones posibles de entrada no anotadas en ella (correspondientes a -) nunca se podrán producir. Figura (a) CÓDIGOS-

26 CÓDIGOS-6 DÍGITO B C D BIQUINARIO D D D D B B Q Q Q Q Q 6 7 Figura (b)