Tema 2. Espacios vectoriales, aplicaciones lineales, diagonalización

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1 Tema 2. Espacios vectoriales, aplicacioes lieales, diagoalizació Asigatura: Matemáticas I Grado e Igeiería Electróica Idustrial Uiversidad de Graada Prof. Rafael López Camio Uiversidad de Graada 3 de septiembre de 2017 Ídice 1. Espacios vectoriales Sistema de geeradores y depedecia lieal Base e u espacio vectorial Rago de matrices y espacios vectoriales Aplicacioes lieales Defiició y primeras propiedades Núcleo e image de ua aplicació lieal Expresió matricial de ua aplicació lieal Diagoalizació de matrices Vectores y valores propios El teorema de diagoalizació

2 E este tema abordamos el estudio de los espacios euclídeos R desde el puto de vista vectorial, las aplicacioes bueas que hay etre ellos, llamadas aplicacioes lieales, y la búsqueda de expresioes secillas de estas aplicacioes, cuado sea posible. 1. Espacios vectoriales Defiició 1.1 El espacio euclídeo R ( N) es el cojuto R = {(x 1,...,x ) : x i R,1 i }. A sus elemetos se llama vectores y se defie las siguietes dos operacioes: 1. Suma de dos vectores. Si x = (x 1,...,x ), y = (y 1,...,y ), etoces x + y = (x 1 + y 1,...,x + y ). 2. Producto de u escalar por u vector. Si λ R, etoces λx = (λx 1,...,λx ). Se dice que (R,+, ) es el espacio vectorial euclídeo de dimesió. Si = 1, etoces R 1 = R. Usaremos habitualmete = 2,3,4. La suma de vectores y el producto por escalares tiee las siguiete propiedades, las cuales so secillas de ver: 1. u + (v + w) = (u + v) + w, u,v,w R (asociativa). 2. u + v = v + u, u,v R (comutativa). 3. Si 0 = (0,...,0), etoces 0 + v = v, v R (elemeto eutro). 4. Para cada v R existe w tal que v + w = 0, que o es más que w = ( v 1,..., v ) (elemeto opuesto). 5. λ(u + v) = λu + λv y (λ + µ)v = λv + µv, u,v R y λ,µ R (distributiva). Co algo más de esfuerzo, teemos: Proposició 1.2 E R se tiee las siguietes propiedades: 1. λ0 = 0, λ R. 2

3 2. 0v = 0, v R. 3. ( λ)v = (λv) = λ( v), λ R,v R. 4. Si λv = 0, etoces λ = 0 o v = Si λu = λv y λ 0, etoces u = v. 6. Si λv = µv y v 0, etoces λ = µ. E matemáticas, ua vez defiida ua estructura matemática e u cojuto, es atural trasladar dicha estructura a subcojutos suyos, o dicho de otra maera, dado u subcojuto, os pregutamos cuál es la forma atural de defiir el mismo tipo de estructura e dicho subcojuto y que esté relacioada co la existete e el espacio ambiete. E el caso que estamos cosiderado aquí, la estructura es la de espacio vectorial. Sea U R u subcojuto qué codicioes tiee que satisfacer U para que tega las mismas propiedades de suma y producto por escalares que ya tiee ya R? Si fuera así, diremos que U es u subespacio vectorial de R. Veamos varios ejemplos. Sea la recta A = {(x,y) : y = x + 1}. Etoces los vectores x = (0,1) e y = (1,2) perteece a A pero x + y = (1,3) o está e A. Tambié podemos observar que 2x = (0,2) A. Este cojuto o os iteresa. Otro ejemplo de cojuto que tampoco os iteresa es la circuferecia A = {(x,y) : x 2 + y 2 = 1}. Etoces (1,0),( 1,0) A, pero x + y = (0,0) A. Otro ejemplo más. Sea P la parábola P = {(x,y) R 2 : y = x 2 }, dode (1,1),(2,4) P, pero (1,1) + (2,4) = (3,6) P. Lo mismo sucede co el producto por escalares: 2(1, 1) = (2, 2) P. Dicho de otra maera, sea las aplicacioes suma de vectores y el producto por escalares, vistos e A satisface: pero lo que pedimos es + : A A R, : R A R, + : A A A, : R A A. Defiició 1.3 U subcojuto U de R es u subespacio vectorial si satisface las siguietes propiedades: 1. Si u,v U, etoces u + v U. 2. Si λ R y u U, etoces λu U. Como cosecuecia, se tiee: 3

4 1. El elemeto eutro 0 de R perteece a todos los subespacios vectoriales de R. 2. Si U es u subespacio vectorial de R y u U, etoces el elemeto opuesto de u perteece a U. Esto os sirve para saber que todos aquellos subcojutos de R que o cotiee al (0,...,0), el orige de coordeadas, o puede ser subespacios vectoriales (cuidado: el cojuto puede teer al orige y o ser subespacio vectorial, como sucedía co la parábola). Así, cojutos famosos o so subespacios vectoriales: e R 2, el círculo x 2 + y 2 = 1 o la recta y = x + 1 o so subespacios vectoriales. Es fácil probar que la defiició de subespacio vectorial es equivalete a la siguiete: u cojuto U R es u subespacio vectorial si y sólamete si para cada u,v U, λ,µ R, λu + µv U. El siguiete ejemplo de subespacio vectorial es secillo, pero importate. Proposició 1.4 Sea A M m (R). E R se defie el cojuto U = {x = (x 1,...,x ) R : Ax = 0}. Etoces U es u subespacio vectorial de R. Proposició 1.5 Sea R u espacio vectorial. 1. Los cojutos {0} y R so subespacios vectoriales. 2. Si U y W so subespacios vectoriales, etoces U W tambié es subespacio vectorial. 3. Si U y W so subespacios vectoriales, etoces U +W = {u+w : u U,w W} es u subespacio vectorial. Alguas propiedades de la suma de subespacios vectoriales so U +U = U y U U +W, W U +W. La primera propiedad os dice que al meos hay dos subespacios vectoriales e R. La seguda y tercera os dice que el cocepto de subespacio vectorial se lleva bie co la itersecció y co la suma. Observemos que si U es u subespacio vectorial, etoces λu = {λu : λ R,u U} = U. Ejemplo 1.6 Sea U = {(x,y) R 2 : x y = 0} y W = {(x,0) R 2 : x R}. Etoces U +W = {(x,y) + (x,y ) : (x,y) U,(x,y ) W} = {(x,x) + (x,0) : x,x R} = {(x + x,x) : x,x R}. Es fácil probar que U +W = R 2, pues si (x,y) R 2, podemos escribir (x,y) = (y,y) + (x y,0) U +W. 4

5 Observemos que hay otras operacioes dode la propiedad de subespacio vectorial o se traslada. Por ejemplo: 1. La uió de subespacios vectoriales o tiee porqué ser subespacio vectorial. Así, e R 2, los cojutos U = {(x,0) : x R} y W = {(0,y) : y R} so subespacios vectoriales, pero U W o lo es, pues (1,0),(0,1) U W, pero (1,0) + (0,1) = (1,1) U W. 2. El cojuto complemetario de u subespacio vectorial uca es subespacio vectorial: si U es u subespacio vectorial, R U o lo es porque el elemeto eutro está e U, y por tato, o e R U. Importate: A partir de ahora, cuado digamos espacio vectorial os estaremos refiriedo al espacio vectorial R o a u subespacio suyo Sistema de geeradores y depedecia lieal Damos ahora dos coceptos fudametales e la teoría de espacios vectoriales: sistema de geeradores y vectores liealmete idepedietes. Defiició 1.7 Sea X = {v 1,...,v } u cojuto de vectores de u espacio vectorial V. Ua combiació lieal de X es ua suma del tipo λ 1 v λ v, λ i R,1 i. Se llama subespacio vectorial geerado por X al cojuto de dichas combiacioes lieales: < X >=< v 1,...,v >= L(X) = L({v 1,...,v }) = { Proposició 1.8 Se tiee las siguietes propiedades: 1. < X > es u subespacio vectorial. λ i v i : λ i R,1 i }. 2. Si X U y U es u subespacio vectorial, etoces < X > U. 3. Si X Y, etoces < X > < Y >. 4. Si X,Y V, etoces < X Y >=< X > + < Y >. Defiició 1.9 U cojuto de vectores X = {v 1,...,v m } es sistema de geeradores de V si < X >= V, es decir, cuado todo vector de V es combiació lieal de los vectores de X. Lo mismo se puede defiir para subespacios vectoriales. 5

6 1. U sistema de geeradores de R es {e 1,...,e } dode e 1 = (1,0,...,0),e 2 = (0,1,...,0),...,e = (0,0,...,1). 2. Los vectores {(1,0),(1,1)} es u sistema de geeradores de R 2, pero o así {(1,0)}. 3. Los vectores {(1,0,1),(1,1,0)} es u sistema de geeradores del subespacio U = {(x,y,z) R 3 : x y z = 0}. Proposició 1.10 Sea V u espacio vectorial y X, Y subcojutos fiitos de V. 1. Si X es u sistema de geeradores de V y X Y, etoces Y tambié es u sistema de geeradores. 2. Si {v 1,...,v } es u sistema de geeradores y v 1 es combiació lieal de los demás, etoces {v 2,...,v } es u sistema de geeradores de V. 3. Si {v 1,...,v } es u sistema de geeradores y v = a 1 v a v, co a 1 0, etoces {v,v 2,...,v } es u sistema de geeradores de V. Defiició 1.11 U cojuto de vectores {v 1,...,v } se dice que es liealmete idepediete (o que forma u cojuto de vectores libre) si la úica combiació lieal ula de ellos es la trivial. De otra forma: si λ 1 v λ v = 0, etoces λ i = 0 para cada 1 i. U cojuto de vectores que o es liealmete idepediete se llama liealmete depediete. Expresamos qué quiere decir que {v 1,...,v } so liealmete depedietes: existe escalares, λ 1,...,λ, o todos ulos, tales que 0 = λ 1 v λ v. Si, por ejemplo, λ 1 0, podemos despejar v 1, a saber, v 1 = λ 2 λ 1 v 2... λ λ 1 v probado que v 1 es combiació lieal de los demás vectores. Por tato, si u cojuto de vectores es liealmete depediete, uo de los vectores es combiació lieal de los demás. El cocepto de depedecia lieal geeraliza el cocepto de vectores proporcioales. Cocretamete, sea u,v V. Se dice que u es proporcioal a v si existe λ R tal que u = λv. Obsérvese que si λ 0, etoces podemos escribir v = (1/λ)u, es decir, v es tambié proporcioal a u. Por tato, ser proporcioal o es recíproco e geeral. Por ejemplo, el vector 0 es proporcioal a todos los vectores, pero el úico vector proporcioal al 0 es el propio 0. E particular, o podemos decir que dos vectores so proporcioales, a o ser que los dos o sea ulos. 6

7 Proposició {v} es liealmete idepediete si y y sólo si es o ulo. 2. Dos vectores so liealmete idepedietes si y sólamete si uo de los dos es proporcioal al otro. 3. Si X Y e Y es liealmete idepediete, etoces X es liealmete idepediete. 4. Si X Y y X es liealmete depediete, etoces Y es liealmete depediete. 5. El cojuto X es liealmete depediete si y sólo si u vector de X es combiació lieal de los demás. 6. Si 0 X, etoces X es liealmete depediete. 7. Si {v 1,...,v } es liealmete idepediete y v = a 1 v a v, co a 1 0, etoces {v,v 2,...,v } es liealmete idepediete. No hay relació etre los coceptos de sistema de geeradores y depedecia lieal. Veámoslo e el plao euclídeo R Los vectores {(1, 0),(0, 1)} so liealmete idepedietes y so u sistema de geeradores. 2. El vector {(1,0)} es liealmete idepediete y o es u sistema de geeradores. 3. Los vectores {(1,0),(0,1),(1,1)} o so liealmete idepedietes y so u sistema de geeradores. 4. Los vectores {(1,0),(2,0)} o so liealmete idepedietes i so u sistema de geeradores Base e u espacio vectorial Defiició 1.13 Ua base de u espacio vectorial es u sistema de geeradores que es liealmete idepediete. Veamos ejemplos de bases e espacios vectoriales coocidos: 1. E R, B = {e 1,...,e } co e i = (0,..., 1,...,0) es base de R y se llama la base usual de R. i 7

8 2. El cojuto B = {(1,0,...),(1,1,...,0),...,(1,...,1)} es base de R. 3. Sea el subespacio vectorial U = {(x,y) R 2,x y = 0}. Ua base de U es {(1,1)}. 4. Sea {v 1,...,v } vectores liealmete idepedietes e u espacio vectorial V. Etoces {v 1,...,v } es base de < v 1,...,v >. 5. E el espacio trivial V = {0} o hay bases, pues {0} es liealmete depediete. Teorema 1.14 Sea V u espacio vectorial y B = {v 1,...,v } u cojuto de vectores. So equivaletes los siguietes euciados: 1. B es base de V. 2. Para cada v V, existe úicos x i R tales que v = x iv i. Se llama coordeadas de u vector v a la -upla (x 1,...,x ) tal que v = x iv i. De esta forma, fijada ua base e u espacio vectorial V, existe ua correspodecia biuívoca etre V y R, a saber, la aplicació f B : V R dada por f B (v) = (x 1,...,x ), dode (x 1,...,x ) so las coordeadas de v respecto de B: v = x ie i. Volvemos al ejemplo de V = R. Si (x 1,...,x ) R, etoces las coordeadas de este vector respecto de la base usual coicide justamete co (x 1,...,x ). Además, 1. Sea X e Y dos cojutos fiitos de u espacio vectorial, tales que X Y, X es liealmete idepediete e Y es u sistema de geeradores. Etoces existe ua base B de V tal que X B Y. 2. Dado u cojuto de vectores liealmete idepedietes de u espacio vectorial, siempre es posible añadir vectores hasta obteer ua base del mismo (ampliació a ua base). 3. Dado u sistema de geeradores, siempre es posible quitar vectores hasta obteer ua base del espacio. Teorema 1.15 (de la base) Todas las bases de u mismo espacio vectorial tiee el mismo cardial. A dicho úmero se llama la dimesió del espacio vectorial Además, sea X = {e 1,...,e m } V. Etoces 8

9 1. Si X es u cojuto de vectores liealmete idepediete, etoces m dim(v ). Además se da la igualdad si X es base. 2. Si X es u sistema de geeradores de V, etoces m dim(v ). Además se da la igualdad si X es base. Relacioamos la dimesió de u espacio vectorial co la de u subespacio suyo. Corolario 1.16 Si U y W so subespacios vectoriales de V co U W, etoces dim(u) dim(w) y la igualdad se tiee si y sólamete U = W. U subespacio vectorial de dimesió 1 se llama recta vectorial, si es 2, plao vectorial, y si es dim(v ) 1, hiperplao vectorial. Ahora relacioamos la dimesió de U +W co las de U y W. Teorema 1.17 Sea U y W subespacios vectoriales de V. Etoces: 1. Si B 1 es u sistema de geeradores de U y B 2 de W, etoces B 1 B 2 es u sistema de geeradores de U +W. 2. dim(u +W) = dim(u) + dim(w) dim(u W) Rago de matrices y espacios vectoriales Para acabar co esta secció, vamos a relacioar el tema 1 co éste de espacios vectoriales. Así daremos u método secillo para saber si u cojuto de vectores es liealmete idepediete, sistema de geeradores o base. La clave se ecuetra e relacioar este problema co el rago de ua matriz y las solucioes de u sistema de ecuacioes lieales. Proposició 1.18 Sea B = {e 1,...,e } ua base de u espacio vectorial V e Y = {v 1...,v m } V u cojuto fiito de vectores. Escribimos v j = a i j e i, 1 j m. Sea Z = {w 1,...,w m } el cojuto de vectores de R dado por w j = (a 1 j,a 2 j,...,a j ), 1 j m. Etoces Y es liealmete idepediete (resp. sistema de geeradores, base) si y sólamete si Z es liealmete idepediete (resp. sistema de geeradores, base). 9

10 Por tato, para estudiar la aturaleza de u cojuto de vectores e u espacio vectorial, fijamos ua base, la que sea, y trabajamos co las coordeadas de dichos vectores, como vectores de R. Corolario 1.19 Sea Z = {v 1,...,v m } u cojuto de vectores de R. Sea A = (v 1... v m ) la matriz que, por columas, so las coordeadas de v j respecto de la base usual. 1. dim(< Z >) = r(a). 2. Z es liealmete idepediete si y sólo si r(a) = m, 3. {v 1,...,v } es base de R si y sólamete si det(a) 0. Este resultado puede reiterpretar el cocepto de rago de ua matriz dado e el tema 1. Corolario 1.20 El rago de ua matriz es el úmero de columas liealmete idepedietes. Como sabemos que el rago de ua matriz es igual al de su traspuesta, podemos cambiar la palabra columa por fila. Teorema 1.21 Sea u subespacio vectorial U de R dado por U = {(x R : Ax = 0}. Etoces dim(u) = r(a). Ya que A M m (R), si r(a) = m, decimos que Ax = 0 so las ecuacioes cartesiaas del subespacio. Obsérvese que: 1. El úmero de filas de A coicide co el rago de A. 2. Las filas de A, como vectores de R, so liealmete idepedietes. 3. U método para hallar ua base de u subespacio vectorial que viee dado como Ax = 0: la base se obtiee al resolver dicho sistema homogéeo. 4. U método para hallar las ecuacioes cartesiaas de u subespacio vectorial que viee dado por Ax = 0: se calcula el rago de A y se toma las ecuacioes (filas) correspodietes a u meor que os determia el rado de A. Hacemos ahora el recíproco del teorema aterior, es decir, cómo obteer las ecuacioes cartesiaas cuado uo cooce ua base del subespacio vectorial. Teorema 1.22 Sea u subespacio vectorial U de R de dimesió m. Etoces existe ua matriz A M ( m) (R) de rago m tal que U = {x R : Ax = 0}. 10

11 El método para hallar A es el siguiete. Sea B = {v 1,...,v m } ua base de U y escribimos dicha base e coordeadas respecto de la base usual: v j = a i je i. Etoces la matriz A M m (R) tiee rago m. Sea v = (x 1,...,x ) R. Etoces v U si y sólo si v < v 1,...,v m >, es decir, si y sólo si, rago(a x) = m. Como el rago de A es m, existe e A ua submatriz m m do determiate o ulo. Por tato, es equivalete a decir, que todos los meores que resulta de añadir filas y (úica) última columa a esta submatriz, so ulos. El úmero de meores es exactamete, m, obteiedo las ecuacioes cartesiaas del subespacio. Obsérvese que cada uo de los meores es ua combiació lieal de x 1,...,x, obteiedo así, ecuacioes lieales. Observemos que el subespacio vectorial U = {x R : Ax = 0} puede verse como el cojuto de solucioes del sistema de ecuacioes lieales Ax = 0. Sabemos que este sistema es compatible, o dicho e térmios de este tema, todo subespacio vectorial es o vacío, y al meos cotiee al elemeto eutro del espacio vectorial. Si el sistema es determiado, quiere decir que r(a) = y U = {0}, que es el úico subespacio de dimesió 0 e R. E caso cotrario, el sistema es idetermiado, y el cojuto de solucioes, el subespacio U, tiee, por defiició, dimesió igual a r(a), es decir, la dimesió del cojuto de solucioes coicide co la dimesió del subespacio U. Defiició 1.23 Sea U = {x R : Ax = 0}, dode A M m (R). Se dice que Ax = 0 so las ecuacioes cartesiaas (o implícitas) de U (respecto de B u ) si las m ecuacioes so liealmete idepedietes, es decir, si r(a) = m. Como cosecuecia, dim(u) = m. Si U u subespacio vectorial viee dado por Ax = 0, para hallar las ecuacioes cartesiaas basta co quitar las filas liealmete depedietes, o dicho de otra maera, si calculamos el rago de A (por cualquier método), las filas que os da el rago, os determia las ecuacioes cartesiaas. Por ejemplo, si r(a) = m, quiere decir que hay u meor de orde m o ulo. Etoces las ecuacioes cartesiaas so las ecuacioes determiadas por las m filas que determia el meor aterior. Recíprocamete, siempre es posible hallar las ecuacioes cartesiaas. Quizás el método más directo para hallarlas es el siguiete. Se toma {e 1,...,e m } ua base de U y se toma las coordeadas de dichos vectores respecto de la base usual B u, y escribiremos de uevo por e 1,...,e m dichas coordeadas como matrices columas. U vector x satisface x = (x 1,...,x ) U si y sólamete es combiació lieal de {e 1,...,e m }. Por tato, el rago de la matriz (e 1 e 2...e m x), que es de orde (m + 1) es m. Esto quiere decir que existe u meor de orde m o ulo 11

12 y todos los meores de orde m + 1 so cero. A la fuerza dicho meor o ulo está e la matriz (e 1 e 2...e m ). Luego los m meores de orde m+1 obteidos al añadir la columa x so los que os da las ecuacioes cartesiaas de U. Para fializar, vamos a dar el cocepto de la matriz de cambio de base. Sea U u espacio vectorial de dimesió y sea B = {e 1,...,e } y B = {e 1,...,e } dos bases. Tomamos v U y hallamos las coordeadas de v respecto de B y B : v = x j e j, v = x je j. j=1 j=1 qué relació hay etre el vector (x 1,...,x ) y (x 1,...,x )? Expresamos la base B e coordeadas respecto de B, escribiedo Etoces v = e j = j a i j e j=1x i = a i j e i, 1 j. ( j=1 a i j x j )e i y como sabemos que tiee que ser j=1 x j e j, la uicidad de las coordeadas implica x 1. x = A Defiició 1.24 La matriz A aterior se llama la matriz de cambio de base de B a B y la deotamos por M(1 U,B,B ). x 1. x. 2. Aplicacioes lieales La estructura de espacio vectorial ha girado e toro a la maera de trabajar e u espacio vectorial usado el cocepto de base. Tambié se ha usado las herramietas que proporcioa el tema 1, es decir, matrices y sistemas de ecuacioes, para hallar la dimesio y ecuacioes cartesiaas de u subespacio vectorial. Ua vez dado el objeto matemático, el espacio vectorial, el siguiete paso atural es cómo relacioar dos espacios vectoriales. La preguta atural que surge es la siguiete: Dados dos espacios vectoriales V y V y ua aplicació f : V V etre ellos hay algú tipo de aplicacioes bueas respecto de la estructura vectorial que soporta V y V? 12

13 La respuesta es sí, y a dichas aplicacioes se les llama aplicació lieales. Igual que sucedía co el cocepto de subespacio vectorial, o todas las aplicacioes etre espacios vectoriales so lieales, e verdad, muy pocas lo so. E esta secció os dedicamos a su estudio y de uevo será importate el uso de matrices para el tratamieto de estos uevos objetos Defiició y primeras propiedades Defiició 2.1 Ua aplicació f : V V etre dos espacios vectoriales se dice que es lieal si satisface las dos siguietes propiedades: 1. f (u + v) = f (u) + f (v), u,v V. 2. f (λv) = λ f (v), λ R,v V. Si V = V, se dice que f es u edomorfismo. Es evidete que esta defiició es equivalete a que f (λu + µv) = λ f (u) + µ f (v), λ,µ R,u,v V. Veamos alguos ejemplos. 1. La aplicació idetidad 1 V : V V, 1 V (v) = v, es lieal. 2. La aplicació ula 0 : V V, 0(v) = 0. Esta aplicació puede verse como ua aplicació costate y es la úica aplicació costate que es lieal. Exactamete, sea v 0 V u vector fijo y defiamos la aplicació costate f : V V, f (v) = v 0. Etoces f es lieal si y sólamete si v 0 = Ua homotecia de razó λ( 0,1) e u espacio vectorial es el edomorfismo f : V V dado por f (v) = λv. Esta aplicació es lieal. 4. Se defie la i-proyecció como la aplicació p i : R R dada por p i (x 1,...,x ) = x i. Esta aplicació es lieal. 5. La composició de aplicacioes lieales: si f : V V y g : V V so aplicacioes lieales, etoces g f : V V es lieal. Las primeras propiedades de ua aplicació lieal refleja que estas aplicacioes so las más adecuadas etre espacios vectoriales y las que lleva, e cierto modo, la estructura vectorial de u espacio a otro, justificado el porqué de su defiició. Proposició 2.2 Sea f : V V ua aplicació lieal. 13

14 1. f (0) = f ( v) = f (v), v V. 3. f ( λ iv i ) = λ i f (v i ), λ i R,v i V. 4. Si {v 1,...,v } V, etoces < f (v 1 ),..., f (v ) >= f (< v 1,...,v >). 5. Si U es u subespacio de V, etoces f (U) es u subespacio de V. Siguiedo co la idea del tema aterior de que u espacio vectorial se cooce si se sabe ua base, como idica el siguiete resultado: Teorema 2.3 Sea B = {e 1,...,e } ua base de u espacio vectorial V y f,g : V V dos aplicacioes lieales. Si f (e i ) = g(e i ) para todo i, etoces f = g Núcleo e image de ua aplicació lieal Defiició 2.4 Sea ua aplicació lieal f : V V. Se defie el úcleo de f al cojuto Ker( f ) = {v V : f (v) = 0}. Es u subespacio vectorial. Si Ker( f ) = {0}, etoces si X es liealmete idepediete, etoces f (X) es liealmete idepediete. Teorema 2.5 Sea ua aplicació lieal f : V V. Etoces dim(v ) = dim(ker( f )) + dim(im( f )). (1) A la dimesió del úcleo se llama ulidad de f, ( f ), y a la dimesió de la image de f se llama rago de f, r( f ). Corolario 2.6 Sea ua aplicació lieal f : V V. 1. r( f ) dim(v ). 2. Si U es u subespacio de V, etoces dim( f (U)) dim(u). 14

15 2.3. Expresió matricial de ua aplicació lieal E esta secció usaremos las herramietas de matrices dadas e el tema 1 para u mejor tratamieto de las aplicacioes lieales. Para ello asigaremos a cada aplicació lieal ua matriz (fijadas bases e los dos espacios vectoriales). Co esto se etederá mejor las operacioes de suma y producto de matrices que se hiciero e el tema 1. Sea f : V V ua aplicació lieal etre dos espacios vectoriales y B = {e 1,...,e } y B = {e 1,...,e m} bases de V y V respectivamete. Sea v V y escribamos v = x ie i, co x i R. Etoces f (v) = x i f (e i ). Escribamos f (e j ) = m a i je i, para cada 1 j. Etoces f (v) = x i f (e i ) = i a ji e x j = x i a ji )e j=1 j=1( j. Por tato, las coordeadas de f (v) respecto de la base B so ( a 1i x i, a 2i x i,..., a i x i ). Este vector de R m, es decir, las coordeadas de f (v), se puede escribir tambié como la siguiete matriz columa: A x 1. x M m 1 (R). (2) Defiició 2.7 Sea f : V V ua aplicació lieal, B = {e 1,...,e } y B = {e 1,...,e m} bases de V y V respectivamete. Supogamos que para cada 1 j se tiee f (e j ) = m a i j e i. Se llama expresió matricial de f respecto de las bases B y B a la matriz Por tato: M( f,b,b ) = (a i j ). Si x = (x 1,...,x ) so las coordeadas de v respecto de la base B, las coordeadas de f (v) respecto de B so M( f,b,b )x t. 15

16 Nota. E el caso particular que f sea u edomorfismo y si tomamos B = B, escribiremos la expresió matricial simplemete por M( f,b). La primera relació co el tema 1 se refiere al rago. Co el térmio rago hemos defiido el rago de ua matriz (úmero de pivotes e su forma de Hermite por filas) y el rago de ua aplicació lieal, que es la dimesió de su image. Teorema 2.8 Sea f :V V ua aplicació lieal, B = {e 1,...,e } y B = {e 1,...,e m} bases de V y V respectivamete. Etoces r( f ) = r(m( f,b,b )). Observemos que el resultado es idepediete de las bases elegidas, ya que el miembro de la izquierda de esta idetidad o depede de bases. De esta forma teemos otra iterpretació del cocepto de rago de ua matriz: Corolario 2.9 Sea A M m (R). Etoces el rago de A es el úmero de columas liealmete idepedietes, vistas dichas columas como vectores de R m. Sea A M m (R). Etoces el rago de A es el rago de cualquier aplicació lieal que la tega por expresió matricial. Método para hallar ua base de la image. Damos dos maeras de obteer ua base de la image de ua aplicació lieal. Observemos previamete que ua base del úcleo se reduce a resolver la ecuació Ax = 0. Para la image podemos hacer: 1. Si {e 1,...,e } es ua base de V, etoces { f (e 1 ),..., f (e )} es u sistema de geeradores de Im( f ), luego basta co quitar los vectores que so liealmete depedietes. 2. Si {e 1,...,e m } es ua base del úcleo, ampliamos a ua base {e 1,...,e m,e m+1,...,e } de V. Etoces ua base de la image es { f (e m+1 ),..., f (e )}. Para acabar co esta secció, os pregutamos cómo cambia la expresió matricial de ua aplicació lieal al cambiar de bases. Cocretamete, sea f : V V ua aplicació lieal y bases B 1, B 2 de V, B 1 y B 2 de V. Etoces teemos las matrices M( f,b 1,B 1 ) y M( f,b 2,B 2 ) cuál es la relació etre ambas matrices? Para ello tomamos el siguiete diagrama V 1 V V f V 1 V V. Tomamos e cada uo de los espacios vectoriales, las bases B 1, B 2, B 2 y B 1. La composició de las tres aplicacioes es f y M( f,b 1,B 1) = M(1 V,B 2,B 1)M( f,b 2,B 2)M(1 V,B 1,B 2 ). 16

17 E el caso cocreto que f sea u edomorfismo, y tomado B 1 = B 1 y B 2 = B 2 M( f,b 1 ) = M(1 V,B 2,B 1 )M( f,b 2 )M(1 V,B 1,B 2 ). Por otro lado, M(1 V,B 2,B 1 )M(1 V,B 1,B 2 ) = M(1 V,B 1,B 1 ) = I, es decir, M(1 V,B 2,B 1 ) = M(1 V,B 1,B 2 ) Diagoalizació de matrices Esta última parte del tema está dedicada a ecotrar expresioes matriciales secillas de edomorfismos, o de matrices cuadradasm cocretamete, matrices que sea diagoales. Dada ua aplicació lieal, es atural buscar bases dode la expresió matricial sea secilla, y así fácil de maipular. Podemos pesar, por ejemplo, que la matriz tega 0 y 1. Etre las matrices secillas, os cetramos e el hecho de que sea diagoales, es decir, a i j = 0 si i j Vectores y valores propios Defiició 3.1 Ua matriz cuadrada A es diagoalizable si es semejate a ua matriz diagoal, es decir, si existe ua matriz regular P tal que P 1 AP es ua matriz diagoal. Defiició 3.2 Si A M (R), decimos que λ R es u valor propio (o autovalor) de A si existe x R,x 0 tal que Ax = λx. Al vector x lo llamamos u vector propio (o autovector) de λ. Por tato el trabajo a realizar cosiste e lo siguiete: 1. Hallar vectores v R, co v 0, y escalares λ tales que Av = λv. 2. De etre los vectores v, ser capaces de ecotrar ua base de R. Veamos tres ejemplos que os va a ilustrar los problemas que aparece cuado queremos saber si ua matriz es diagoalizable. ( ) 0 1 Ejemplo 3.3 Cosideramos A =. Supogamos que existe v = (x, y) 1 0 R 2 y λ R tales que Av = λv. Etoces (y,x) = (λx,λy). Esta igualdad la escribimos como el siguiete sistema homogéeo: λx + y = 0 17

18 x λy = 0. Ya que estamos buscado solucioes o triviales, etoces el determiate de la matriz de los coeficietes es cero, es decir, λ 1 1 λ = 0, es decir, λ 2 1 = 0, y así, λ = 1 y λ = 1. Hallamos, para cada valor aterior de λ, vectores (x,y) que satisfaga el sistema lieal de ecuacioes. Para λ = 1, tomamos e 1 = (1,1) (o uo proporcioal a él), y para λ = 1, e 2 = (1, 1). Ya que B = {e 1,e 2 } es ua base de R 2, etoces M( f,b) = ( probado que f es diagoalizable. ( ) 1 1 Ejemplo 3.4 Cosideramos A =. Si existe v = (x,y) R y λ R tales que Av = λ v, etoces (x + y, y) = (λ x, λ y). Esta igualdad la escribimos como (1 λ)x + y = 0 (1 λ)y = 0. Habrá solucioes o triviales si 1 λ λ = 0, es decir, (λ 1) 2 = 0, y así, λ = 1. Hallamos vectores (x,y) que satisfaga el sistema lieal de ecuacioes aterior para λ = 1. La ecuació a resolver es y = 0, luego tomamos e 1 = (1,0) (o uo proporcioal a él). Ya que o existe más vectores co la misma propiedad cocluimos que, auque hay vectores cuya image mediate f es proporcioal a ellos mismos, o podemos ecotrar ua base del espacio formado por vectores de este tipo. Esto cocluye que f o es diagoalizable. ( ) 0 1 Ejemplo 3.5 Sea ahora A =. Del mismo modo, existe v = (x,y) R y λ R tales que Av = λv si ( y,x) = (λx,λy). Esta igualdad la escribimos como: λx y = 0 18 ),

19 x λy = 0. Habrá solucioes o triviales si λ 1 1 λ = 0, es decir, λ = 0. Ya que o hay raíces, el edomorfismo o es diagoalizable. Si λ R, deotamos V λ = {v V : Av = λv}. Observemos que e dicho cojuto siempre está el vector 0, pero o quiere decir que λ sea u valor propio: habría que teer que V λ tiee más vectores aparte del 0. Por otro lado, si λ es u valor propio, V λ está formado por los vectores propios de λ y el vector 0. A cotiuació detallamos alguas propiedades de los valores y vectores propios. Proposició 3.6 Co la otació aterior, teemos: 1. V λ es u subespacio propio. 2. λ es valor propio sii dim(v λ ) 1. E tal caso, decimos que V λ es el subespacio propio del valor λ. 3. V λ = Ker(A λi ). 4. dim(v λ ) = r(a λ1 V ). 5. Si λ es valor propio, etoces det(a λi ) = El úmero de valores propios es meor o igual que la dimesió de V. 7. Ker( f ) = V 0 y λ = 0 es u valor propio sii la ulidad es al meos 1. Para eteder parte de las dificultades de saber cuádo u edomorfismo es diagoalizable, la ecotramos e la propiedad 5 aterior. La ecuació det(a λi) = 0 es ua ecuació poliómica e λ de orde (ya que e cada elemeto de la diagoal pricipal de cualquier expresió matricial suya aparece el úmero λ). Si A es diagoalizable tiee que haber valores propios (que puede estar repetidos). Esto quiere decir que la ecuació poliómica det(a λi ) = 0 tiee que teer exactamete raíces reales, lo cual o siempre es cierto. Así, u poliomio de orde 2 puede o teer igua raíz (auque si tiee ua, tiee dos), 19

20 como sucede e el primer ejemplo aterior. Si es de orde impar, sabemos que al meos tiee ua, pero o sabemos si hay más. La seguda dificultad es que, auque tegamos raíces (que puede estar repetidas), cuado hallemos vectores propios de cada valor propio, o sabemos si al jutarlos obteemos ua base del espacio vectorial. E el segudo ejemplo aterior, esto ha sido así porque es evidete a simple vista; por cotra, e el tercer ejemplo, sólo ecotramos u vector propio (liealmete idepediete). El siguiete resultado respode e gra medida a esta cuestió. Proposició 3.7 Sea λ 1,...,λ k valores propios de u edomorfismo y B i base de V λi, 1 i k. Etoces el cojuto de vectores B 1... B k es liealmete idepediete. E particular, si f tiee valores propios diferetes, siedo la dimesió del espacio vectorial, etoces f es diagoalizable El teorema de diagoalizació Si A es ua matriz cuadrada, el poliomio característico es P A (λ) = A λi. Sea λ u valor propio. 1. Se llama multiplicidad algebraica de λ, la multiplicidad de λ como raíz de P f (λ). La deotamos por a λ 2. Se llama multiplicidad geométrica de λ a la dimesió de V λ. La deotamos por g λ. Observemos que: 1. P f (λ) es u poliomio de orde. 2. λ es u valor propio sii es ua raíz de P f (λ). 3. Si f es diagoalizable, etoces P f (λ) tiee raíces (que puede ser iguales). Proposició 3.8 Si λ es u valor propio de f, etoces g λ a λ. E particular, si A tiee valores propios diferetes, etoces es diagoalizable. Teorema 3.9 Si A es ua matriz cuadrada, etoces A es diagoalizable si 1. P f (λ) tiee raíces (reales). 2. a λ = g λ para cualquier valor propio λ. 20

21 Si cosideramos ahora matrices cuadradas, el teorema aterior se aplica del mismo modo, obteiedo que existe ua matriz diagoal D y ua matriz regular P tal que A = P 1 DP. Nos pregutamos qué matriz es P. Si B y B so bases tales que A = M( f,b) y D = M( f,b ), etoces P = M(1 V,B,B ). Ya que la base B (de R ) puede ser cualquiera, tomamos la base usual B = B u. Etoces P 1 o es más que poer la base de los vectores propios e columas (si B es otra base, la matriz P 1 es poer e coordeadas la base B e térmios de B, pero e el cálculo explícito de las bases de los subespacios propios, se trabaja e coordeadas respecto de B, luego al fial dicha matriz es poer e columas los vectores propios. Acabamos co ua simple aplicació de diagoalizació. Sea A ua matriz y os pregutamos por calcular la potecia A, dode es u úmero aterior. Si A es diagoalizable, esta operació se puede computar del siguiete modo. Sabemos que A = P 1 DP para cierta matriz regular P y matriz diagoal D. Etoces A = (P 1 DP) (P 1 DP) = P 1 D P. Pero la matriz D es secilla de hallar: o es más que elevar a los elemetos de la diagoal pricipal de D, es decir, λ 1 λ1 D = λ k λk Por tato, la potecia -ésima de A se reduce a computar tres productos de matrices. 21