ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES

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1 Departamento de Matemática Aplicada II E.E.I. ÁLGEBRA Y ESTADÍSTICA Boletín n o ( ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES 1. En el espacio vectorial ordinario R 4 estudiar cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales: a A = {(x 1 x x 3 x 4 / x 1 x 3 + x 4 = } b B = {(x 1 x x 3 x 4 / x 1 x 3 = x }. Sea M (R el conjunto de las matrices cuadradas reales de orden dos. Se consideran los siguientes subconjuntos de M (R : ( a b U 1 = { A = M (R ; tr(a = b = 0 } U = { A M (R ; rang(a = 1 } Estudiar cuáles de los U i son subespacios vectoriales de M (R. 3. Se consideran los siguientes subconjuntos del espacio vectorial real Π (R de los polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual que dos: a A = {p(x / p(x = p( x} b B = {p(x / p(1 = p ( 1 = 0} Estudiar cuáles de ellos son subespacios vectoriales de Π (R. 4. Cuáles de los siguientes conjuntos generan R 3? a A = {(1 0 0 (0 1 0 (1 3 (0 0 1 ( }. b B = {( 1 (3 ( 0}. 5. Para qué valores de α el vector y=( 4 3 α pertenecerá al subespacio de R 3 generado por v 1 =(1 1 v =(5 4 7v 3 =( 3 1 0? 6. En el espacio vectorial ordinario R 4 se consideran los siguientes subespacios vectoriales: a G = {(x 1 x x 3 x 4 / x 1 = x 4 x = x 3 = 0} b H = {(x 1 x x 3 x 4 / x 1 x 3 + x 4 = 0} Determinar un sistema generador de cada uno de ellos. 7. En el espacio vectorial Π 3 (R se consideran los siguientes subespacios vectoriales: a W = {a + bx + cx + dx 3 / a = c} b X = {p(x Π 3 (R / p(0 = p (1 = 0} Determinar un sistema generador de cada uno de ellos. 1

2 8. En el espacio vectorial ordinario R 4 estudiar la dependencia o independencia lineal de los siguientes sistemas de vectores: a A = {(1 1 0 ( } b B = {(1 0 3 (0 1 3 ( } c C = {( (4 7 5 ( } 9. En el espacio vectorial R 4 hallar la dimensión las ecuaciones cartesianas y una base de los siguientes subespacios vectoriales: a U =< {(1 1 3 ( 4 6 ( ( ( } > b U =< {(1 3 1 (0 1 0 (3 1 3} > Completar cada una de estas bases obtenidas a una base de R En el espacio vectorial Π (R hallar la dimensión y una base de los siguientes subespacios vectoriales: a U =< {1 x 5x 7 + x + 4x 8 x } > b U =< {1 + x + x 1 1 x x } > 11. En el espacio vectorial real de las matrices cuadradas reales de orden dos M (R se consideran los siguientes subespacios: ( a b U 1 = { A = M (R / tr(a = b = 0 } U = { A M (R / A + A t = 0 } a Encontrar una base de cada uno de ellos. Hallar su dimensión. b Completar las bases obtenidas anteriormente a una base de M (R. c Dadas las matrices ( ( ( ( ( 0 0 estudiar a qué subespacios pertenecen y calcular sus coordenadas respecto de las bases halladas en el apartado a. 1. Sea el espacio vectorial M 3 3 (R. Se pide (a Determinar una base para el subespacio U de M 3 3 (R formado por las matrices antisimétricas. (b Determinar una base para el subespacio W de M 3 3 (R formado por las matrices diagonales. 13. Para cada uno de los siguientes casos demostrar que U es un subespacio vectorial de R 4 encontrar una base de U y calcular la dimensión de U. a U = {X R 4 / XA = 0} donde A = ( t.

3 b U = {(x 1 x x 3 x 4 R 4 / x 1 + x 3 + 3x 4 = 0}. 14. Se consideran los subespacios de M (R {( a b U = (a Hallar una base y dimensión de U. (b Hallar una base y dimensión de T. } M (R \ a + b c + d = 0. T = { A M (R \ A t = A tr(a.i }. 15. Sea la matriz real y los vectores v 1 = 3 P = v = v 3 = 7 6 de R 3. a Probar que B = {v 1 v v 3 } es una base de R 3. b Hallar una base C = {u 1 u u 3 } de R 3 tal que la matriz P sea la matriz de cambio de la base C a la base B. 16. En el espacio vectorial R 3 se consideran los siguientes sistemas: B = {(1 1 1 ( 3 (1 5 4} y C = {(1 1 0 (1 0 (1 1}. a Probar que B y C son bases de R 3. b Hallar la matriz de cambio de la base B a la base C. c Hallar las coordenadas del vector x = (3 1 B respecto de la base C. d Hallar las coordenadas del vector z = (1 1 1 respecto de la base B y respecto de la base C. 17. En el espacio vectorial real Π 3 (R de los polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual que tres se consideran las bases C = {1 x x x 3 } y B = {1 + x x 1 + x 1}. a Determinar las matrices de cambio de base de B a C y de C a B. b Hallar las coordenadas del polinomio p(x = x + x + 4x 3 respecto de las bases B y C. 18. En el espacio vectorial real M (R se considera la base {( ( ( B = y el subespacio U =< {( ( 0 0 ( ( } >. } 3

4 a Hallar la dimensión y una base C de U. ( 5 6 b Sea M =. Estudiar si M U. En caso afirmativo hallar las coordenadas de la 6 5 matriz M respecto de las bases B y C. 19. Consideremos el subespacio H R 5 formado por los vectores (x 1 x x 3 x 4 x 5 que satisfacen: (a Hallar una base del subespacio H. x 1 + x 3 + x 4 = 0 x 1 + x + x 4 + x 5 = 0 x 1 + x + x 3 + x 4 + x 5 = 0 x 1 + x 3 + x 5 = 0 (b Calcular si es posible las coordenadas de los vectores v 1 = ( v = ( en dicha base. 0. Se considera la matriz real A = cuya forma escalonada reducida de filas es R = 1 1 β α 1 8 α δ 3 γ (a Calcular si es posible los valores de α β γ y δ. (b Sea U el subespacio de R 4 engendrado por los vectores fila de la matriz A. i. Hallar la dimensión y una base C de U. ii. Estudiar si el vector w = (1 1 U. En caso afirmativo calcular las coordenadas del vector w respecto de la base C de U. 1. Determinar cuáles de las siguientes aplicaciones son lineales sobre R. a f(x y = (x 1 + y b f(x y = (x y x + y. Hallar la matriz asociada a cada una de las siguientes aplicaciones lineales de R 3 en R a f(x y z = (z x. b f(x y z = (y x. respecto de las bases canónicas de R 3 y R respectivamente. Asimismo calcular una base del núcleo de cada una de ellas. 3. Sea f : R 5 R 4 la aplicación lineal definida por f(x = Ax siendo A =

5 a Hallar el rango de f. Es f inyectiva? b Calcular una base de la imagen de f. 4. Sea f : R 4 R 3 la aplicación lineal cuya matriz asociada respecto de las bases canónicas de R 4 y R 3 es M(f = (a Hallar una base de la Im(f y su dimensión. (b Siendo X = (x y z t t tiene solución f(x = ( 4? Razónese la respuesta. 5