MATEMATICAS FINANCIERAS

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1 MATEMATICAS FINANCIERAS 1 MATEMATICAS FINANCIERAS OBJETIVO GENERAL: Dominio y uso de las herramientas básicas para realizar los cálculos matemáticos, frecuentemente utilizados en el medio financiero. Particularmente en el Mercado de dinero y en el de Capitales. Conocimiento pleno de los conceptos matemáticos y fórmulas que se aplican en el Mercado de Valores, así como el uso de calculadoras especializadas.

2 MATEMATICAS FINANCIERAS 2 INTERES SIMPLE En las operaciones financieras de crédito e inversión que se usa interés simple, el capital o base de la operación no cambia y los rendimientos del mismo dependen del capital, del tiempo de la tasa de interés aplicada. Ejemplo: Si se invierte un capital de $2,000 durante 4 años al 30 % anual, los intereses que va a generar este capital serán los siguientes: Capital: $2,000 Tasa de interés 30 % anual Tiempo: 4 años PERIODO CAP. INICIAL INTERÉS CAP. FINAL TOTAL 2400 Si en este momento se retira la inversión, los intereses ganados serán de $2,400 y el capital de $2,000, lo que dará un total o monto de $4,400. Si el cálculo de intereses se quiere resolver por fórmula matemática se tendría: I = C i n Donde: I = Interés generado por un cierto capital. i = Tasa de interés efectiva para el periodo. n = número de períodos que se permanece un capital invertido o prestado. En la solución de problemas de interés es muy importante que la tasa de interés esté relacionado con el tiempo; y al tanto por uno, es decir, si el periodo es anual, la tasa será anual, si es trimestral, la tasa será trimestral, etc. Para la solución del problema usando fórmula tendríamos:

3 MATEMATICAS FINANCIERAS 3 I = C x i x n I = 2000 x.30/2 x 8 = 2,400 Como la base o capital no varía el cambio en el periodo no afecto la obtención de intereses. Despejando de la fórmula anterior las diferentes variables se puede obtener el capital, el tiempo y la tasa de interés efectiva para el periodo. I = C x i x n C = I /(i x n) n = I / C x i i = (I / C x n) A continuación veremos un ejemplo para cada variable: 1) Cuánto le contará a usted un préstamo de $1,000 al 24% anual si lo cubre al final de 6 trimestres? I = C i n I = 1,000 x.24/4 x 6 = $360 2) Qué capital se invirtió para que después de 6 trimestres a una tasa del 24 % haya generado intereses por $360? C = I / in C = / 4 x 6 C = $1,000 3) A qué tasa de interés nominal anual se colocó un capital de $1,000 para que después de 6 trimestres haya generado un interés de 360?

4 MATEMATICAS FINANCIERAS 4 i = I x 100 C x n i = 360 x 100 : i = 6% trimestral 1000 x 6 i = 6 x 4 = 24 % anual Durante cuántos trimestres se invirtió un capital de $1,000 para que a una tasa de interés anual del 24% haya producido 360 de intereses? n = I C x I n = 360 = 6 trimestres 1000 x.24/4 nota: El capital en operación de interés se conoce también como el valor presente del dinero.

5 MATEMATICAS FINANCIERAS 5 MONTO O VALOR FUTURO EN INTERES SIMPLE El monto o valor futuro en operaciones financieras es la suma del capital inicial o valor presente más los intereses que se generaron durante un cierto tiempo y a una tasa de interés. M = C + I Donde: C = M - I I = M - C Si se desea calcular directamente el monto o valor futuro de una inversión sin calcular primero los intereses, se puede usar la siguiente fórmula integral. M = C + I Donde: M = C+ Cin Factorizando con C M = C(1 + in) Ejemplo.: Cuál será el monto o valor futuro de una inversión de $1000 que se coloca en una institución bancaria durante 9 meses al 24 % anual en interés simple? M = C [ I + (in) ] M = 1000 [ I + (.24/12 X 9 ) ] = $1,180 Sobre la fórmula de monto o valor futuro se puede determinar el capital, el tiempo y la tasa de interés efectiva para el periodo. M = C [ 1 + (in) ]

6 MATEMATICAS FINANCIERAS 6 En nuestro Ejemplo. Qué capital se invirtió para que después de 9 meses y a una tasa del 24 % anual, haya dado un monto de $1,180? C = M = 1180 = 1,000 [1 + (in) ] [1 + 24/12 x 9 ] Para hacer más sencillo el despeje de el tiempo (n) y de la tasa de interés efectiva (y) para el periodo use la fórmula de monto sin factorizar. M = C + C i n M - C = i Cn Donde: i = M - C x 100 C x n En nuestro ejemplo el planteamiento quedaría de la siguiente forma: A que tasa de interés anual colocó un capital de $1,000 para que después de 9 meses haya dado un monto de $1,180. i = M - C x 100 C x n i = 1,180-1,000 x 100 = 2% mensual 1,000 x 9 Para convertirla en tasa nominal anual, se multiplica por 12 meses.

7 MATEMATICAS FINANCIERAS 7 i = 2 / x12 = 24 % anual Para despejar n de la fórmula de monto: M = C +C i n Donde: M - C = Cin M - C = n C x i n = M - C C x i El resultado será el número de periodos que se colocó la inversión. En el Ejemplo: Durante cuantos meses se colocó un capital de $1,000 para que a una tasa de interés del 24% anual haya dado un monto de $1,180? n = M - C C x i n = 1,180-1,000 = 9 meses 1,000 x.24/12

8 MATEMATICAS FINANCIERAS 8 DESCUENTO FINANCIERO Existen algunos préstamos o instrumentos de inversión que se manejan bajo el régimen de descuento financiero. El descuento financiero consiste en cobrar los intereses al inicio de la operación a diferencia del régimen de intereses donde se cobran al final. Descuento Financiero Descuento Bancario Descuento Racional En el descuento bancario que es el que más se usa, el interés se cobra o se paga sobre el monto o valor nominal de la operación (valor final) esta modalidad se usa en Préstamos Bancarios a corto plazo, factoraje, cetes, papel comercial, etc. En el descuento racional el interés se cobra sobre el capital o valor inicial de la operación. Es poco usado en los Mercados Financieros y las fórmulas matemáticas que se usan son las de interés simple, con la única modalidad que los intereses por descuento se cobran al principio de la operación. Para esta modalidad de descuento. Intereses por descuento = ID = Cin M =C (1 + in) C = M [ 1 + (in) ]

9 MATEMATICAS FINANCIERAS 9 DESCUENTO BANCARIO Como los intereses se cobran al principio, sobre el monto, el interés por descuento se calcula con la siguiente fórmula: ID = M x (in) Donde: ID = Interés que se va a descontar M = Monto o valor nominal de la operación I = Tasa efectiva del periodo n = Número de periodos que va a durar la inversión Ejemplo: La Cía. Espejos Pintados, S.A. solicita un préstamo de $10,000 por 12 meses y se le concede por el régimen de descuento bancario. Si la tasa de interés que le cobra el banco es de 36% anual, Cuánto se le descontará por intereses y cuánto recibirá la empresa? ID = M (in) ID = 10,000 (.36 x 12 ) = El descuento por intereses que le hará el banco será de $3,600, por lo que la empresa recibirá $6,400 (10,000-3,600). C = M- Y C = 10,000-3,600 = 6,400 En los problemas de descuento se pueden determinar 2 tasas: * La tasa de rendimiento *La tasa de descuento La Tasa de Rendimiento comparará el rendimiento que generó el capital sobre el capital

10 MATEMATICAS FINANCIERAS 10 disponible, y la tasa de descuento, el rendimiento o descuento sobre el monto. En nuestro problema la tasa de rendimiento nominal anual por el año para el banco y por lo tanto, tasa de costo efectivo para el cliente será: Tasa de Rendimiento Nominal = 3,600 x 100 = % 6,400 Mientras que la tasa de descuento sería: Tasa de Descuento Nominal = 3,600 x 100 = 36% 10,000 Dé la fórmula general de descuento bancario: ID=M (in) se puede despejar M= ID in i= ID x 100 Mn n= ID Mi Para comprobar las fórmulas usemos un Ejemplo: 1) La empresa X solicita un préstamo de $ 10,000 a diez meses a una tasa anual del 36% bajo el régimen de descuento bancario. A cuánto ascenderán los intereses por descuento?. ID= M(in) ID= 10,000 x (.36/12x10)= $3, ) Cual será el monto de un préstamo a 10 meses al 36% por el régimen de descuento,

11 MATEMATICAS FINANCIERAS 11 si se descontaron $ 3,000.00? M = ID in M = 3,000 = $10,000 (.36/12x10) 3) A qué tasa de interés por descuento se recibió un préstamo de $10,000 en diez meses para que el banco haya descontado $ 3,000? y= ID x 100 MN i = 3000 x 100 = 3% mensual 10,000 x 10 i = 3% x 12 meses = 36% anual 4) A cuantos meses se concedió un préstamo de $ 10,000 para que el banco haya descontado $ 3,000 si la tasa de interés nominal fue del 36% anual. n= ID M x i n= 3,000 = 10 meses 10,000 x (.36/12) En las operaciones financieras por descuento bancario se puede calcular el capital al que se le han descontado los intereses.

12 MATEMATICAS FINANCIERAS 12 C = M - ID Donde: M = C + ID ID = M - C En el Ejemplo anterior C = M -ID C = 10,000-3,000 = $ 7,000 M = C + ID M = 7, ,000 = $ 10,000 ID = M - C ID = 10,000-7,000 = $ 3,000 Si el capital se quiere obtener directamente se puede usar la siguiente fórmula: M = C - ID de donde: C = M - ( M i n) factorizando con M C = M [ (1 - i n) ] En nuestro ejemplo. C = 10,000 [ 1 -(.36/12 x 10) ] = 7,000 De la fórmula anterior C = M [ (1 - i n) ] Se puede despejar el monto: M = C (1 - (i n)) También se pueden despejar las variables i y n y para hacerlo se recomienda tomar la fórmula antes de factorizar.

13 MATEMATICAS FINANCIERAS 13 C = M - ID C = M - M i n de donde: Para despejar la i: M i n = M -C i = M - C x 100 M x n Para despejar n: C = M -M i n M i n = M -C n = M - C M x i Para entender las fórmulas anteriores supongamos el siguiente ejemplo: Si el valor nominal de un cete a 28 días es de $ y tiene una tasa de descuento de 30%. 1) Cuánto deberá pagar por cada título? C = M x ( 1 - ( i n) C = 10 x ( 1 - (.30/ 360 x 28) = 9.77

14 MATEMATICAS FINANCIERAS 14 2) Si la cantidad que se pagó por un cete a 28 días es de 9.77 y la tasa de descuento es del 30%, Cuál es el valor nominal del título? M = C = 9.77 [1 - (i n] [1 - (.30 /360 x 28)] M = $ ) A qué tasa de descuento se adquirió un cete a 28 días si se pagó por él $9.77? i = M -C x 100 M x n i = x 100 = % en un día. 10 x 28 i = Nominal Anual x 360 = 30% 4) A cuánto tiempo de vencimiento se adquirió un cete por el que se pagó 9.77 si la tasa de interés es del 30%? n= M - C M x i n = = 28 días [10 x (.30/ 360) ]

15 MATEMATICAS FINANCIERAS 15 DESCUENTO RACIONAL En el Descuento Racional los intereses se calculan sobre el capital y se descuentan del monto o valor nominal al principio de la operación. Las fórmulas a usar son las mismas de interés simple, así es que sólo ilustraremos esta modalidad con un ejemplo: El Sr. Rodríguez consigue un préstamo por $ 10,000 con base de descuento racional si la operación se concerta a una tasa de descuento del 36% a 10 meses. A cuánto ascenderá la cantidad que va a recibir el Sr. Rodríguez y a cuánto los intereses que le descontó el banco? Datos: Monto = 10,000 Capital =? i = 36% anual n = 10 meses Fórmula: C = M 1 + (i n) C = 10,000 = $ 7, (1 + (.36/12 x 10) Capital o cantidad disponible = $ 7, Intereses por descuento = 10,000-7, Intereses por descuento = $ 2, Para comprobar que los intereses se calculan sobre el capital. I = C i n de donde: I = 7, x.36/12 x 10 = $ 2, Monto = C ( 1 + i n) = M = 7, x (1 +.36/12 x 10) = $ 10,000 Si se comparan los intereses por Descuento Racional contra los intereses por Descuento Bancario resultan menores bajo esta última modalidad, por lo tanto conviene más la

16 MATEMATICAS FINANCIERAS 16 modalidad de descuento bancario para el inversionista, y más el descuento racional para el que solicita un préstamo. Ejemplo: Determine el importe de intereses por descuento bancario y racional para un instrumento financiero de $ 20,000 a 60 días, al 30% anual. Datos: M = 20,000 i = 30% n = 60 días Interés =? Cálculo de Interés por Descuento Bancario fórmulas Racional fórmulas ID = M i n C = M /( 1 + (i n) ID = 20,000 x (.30 /360 x 60) C = 20,000/ [ 1 + (.30/360 x60) ] ID = $ 1,000 C = $ 19, C = M ( 1 - (i n) ID = M - C C = 20,000 ( / 360 x 60) ID = 20,000-19, C = $ 19,000 ID = $ o bien: o bien. C = M - ID I = C i n C = 20,000-1,000 I = 19, x (.30/360 x 60) C = $ 19,000 I =

17 MATEMATICAS FINANCIERAS 17 INTERES COMPUESTO Existen Instrumentos de Inversión y Financiamiento que se concertan con base en interés compuesto, también llamado interés capitalizable. En el interés compuesto o capitalizable el interés que genera un capital se va acumulando a éste y se convierte en capital; de tal manera que los intereses se van acumulando sobre una nueva base a medida que se capitalizan. En el interés compuesto entonces las variables que intervienen para determinar el rendimiento son: CAPITAL, TASA DE INTERES, TIEMPO Y FRECUENCIA DE CAPITALIZACION. El capital es la cantidad que se invierte o se pide prestada. La tasa de interés es el porciento del capital que se va a cubrir o se va a pagar nominalmente sobre el capital. El tiempo es el número de períodos que se va a usar un capital o se va a invertir (años, semestres, trimestres, meses, días, etc.). La Frecuencia de Capitalización es el número de veces que durante un año se van a acumular los intereses al capital. (una vez al año, semestralmente, mensualmente, etc.) La Frecuencia de Capitalización es, sin lugar a dudas la variable más interesante en el interés compuesto, ya que de ella depende un mayor o menor rendimiento sobre un mismo capital, a un mismo lapso de tiempo y a una cierta tasa. La Frecuencia de Capitalización puede ir desde una vez al año (anual), hasta una frecuencia infinita llamada capitalización continua. Para entender mejor la mecánica del interés compuesto, supóngase que usted invierte $ 1,000 al 20% capitalizable anualmente y los deja 3 años. INVERSION PERIODOS C. INICIAL INTERES C. FINAL 1 $ 1,000 $ 200 $ 1,200 2 $ 1,200 $ 240 $ 1,440 3 $ 1,440 $ 288 $ 1,728 Como se puede observar en el cuadro anterior inicialmente se colocaron $ 1,000 al final

18 MATEMATICAS FINANCIERAS 18 del 1er año, los intereses que generó este capital fueron de $ 200 ( 1,000 x.20 x 1) y éstos se incorporaron al mismo, dando como resultado un nuevo capital. Como resultado un nuevo capital de $ 1,200 con lo que se inició el segundo ejercicio. Sobre este nuevo capital se aplicó la tasa de interés dando como resultado intereses por $ 240 ( 1200 x.20 x 1) y así sucesivamente. Si los cálculos anteriores los hacemos usando fórmulas matemáticas tendríamos: VF 1 = 1000 (1.20) = 1,200 VF 2 = 1000 (1.20) (1.20) = 1,440 VF 3 = 1000 (1.20) (1.20) (1.20) = 1,728 Lo anterior significa que al capital se le va a multiplicar (1 + i) uno más la tasa de interés efectiva (decimal) tantas veces como se vaya capitalizando los intereses. VF = VP (1 + i) (1 + i) (1 + i)... (1 + i) dando como resultado la fórmula de valor futuro de una inversión en interés compuesto. VF = VP (1 + i) n de donde: VF es el importe final de una inversión que incluye capital más intereses después de un tiempo 1 Es la unidad aritmética i Es la tasa efectiva para el período (anual, semestral, diaria, etc.) n Es la frecuencia de capitalizaciones en el año. En el interés compuesto la tasa de interés efectiva debe estar relacionada con la frecuencia de capitalización; es decir, si la capitalización es anual, la tasa efectiva será anual, si la capitalización es mensual, la tasa efectiva debe ser mensual. Ejemplo: Determine el valor futuro de $ 100 que se invierten durante 3 años a una tasa del 10% con

19 MATEMATICAS FINANCIERAS 19 capitalización anual. Solución: Capital o Valor Presente: $ 100 Tiempo: 3 años Tasa Nominal: 10% Capitalización: anual VF = VP ( 1 + i) n VF = 100 ( ) 3 $ VP VF De lo anterior se desprende que si usted invirtió $100 durante 3 años al 10% anual y al final recibe , la diferencia entre el valor del capital final y el valor del capital inicial son los intereses que generó la inversión. En interés compuesto entonces los intereses se conocen sacando la diferencia entre el valor futuro y el valor presente de una inversión. No existe una fórmula matemática para determinar los intereses debido a que el capital varía cada vez que se le acumulan los intereses. Si se desea comprobar las cifras de la inversión anterior, puede hacerse un cuadro. Inversión: $100 al 10% a 3 años con capitalización anual. PERIODO CAP. INICIAL INTERES CAP. FINAL Supongamos ahora una capitalización semestral para esta misma inversión: C= 100 i = 10% n = 3 años : 6 semestres

20 MATEMATICAS FINANCIERAS 20 Capitalización semestral (dos veces al año) VF = VP ( 1 + i) n VF= 100 (1 +.10/2) 6 = Obsérvese, que aquí la tasa nominal se divide entre 2 porque la tasa efectiva debe ser semestral, ya que el número de veces que los intereses se van a incorporar al capital son dos. La potencia a que se eleva la expresión es 6 (3 años por 2 veces de capitalización). Observése también que el capital final o valor futuro de la inversión fue mayor y por lo tanto los intereses más elevados, debido a la incorporación más rápida de los mismos al capital. Supongamos ahora una capitalización trimestral: Capital: 100 i: 10% n : 3 años : 12 trimestres Con capitalización trimestral ( 4 veces al año) VF = VP ( 1 + i) n VF = 100 (1 +.10/4) 12 = Con capitalización mensual: VF = VP ( 1 + i) n VF = 100(1 +.10/12) 36 = Con capitalización diaria (año comercial): VF = VP ( 1 + i) n VF =100 (1 +.10/ 360) 1080 = Con capitalización 2 veces al día: VF = VP ( 1 + i) n VF = 100 (1 +.10/720) 2160 = Observese que en este momento la frecuencia de capitalización dejó de ser importante para el rendimiento de la inversión ya que el valor futuro de la misma fue el mismo que en el caso de capitalización diaria, y aunque la capitalización se lleve hasta el infinito el resultado final de la inversión no cambiará considerablemente. Por ejemplo, supongamos $ ,000 de capitalización al año. VF = 100 ( / ,000) 30,000,000 =

21 MATEMATICAS FINANCIERAS 21 El valor futuro de la inversión no cambio. Debido a esto, podemos hablar de lo que se denomina capitalización continua ( n puede hacerse arbitrariamente grande hasta el infinito), es decir efectuar la capitalización con una frecuencia infinita durante el año. Para resolver problemas con capitalización continua se usa el factor dado por el logaritmo natural llamado e, cuyo valor es (aparece en las calculadoras financieras); y la fórmula para determinar el valor futuro de una inversión con capitalización continua es: VF = VP x e i x n En nuestro ejemplo: VF = 100 x( ) 3 x.10 VF = Ahora bien, si se desea saber como se encontró el valor logaritmo e determine el valor futuro de 1.00 a diferentes capitalizaciones hasta llevarlo a un número arbitrariamente alto de capitalización. PERIODO DE (1 + I/P) P VALOR CAPITALIZACION 1 (1 + 1/1) (1 + 1/2) (1 + 1/10) (1 + 1/100) ,000 (1 + 1/1000) ,000 (1 + 1/10,000) 10, ,000 (1 + 1/100,000) 100, ,000 (1+ 1/1 000,000) 1 000,

22 MATEMATICAS FINANCIERAS 22 VALOR PRESENTE EN INTERES COMPUESTO Existen operaciones financieras donde se conoce el valor futuro o monto de la operación y se desea conocer el valor presente de la misma, por ejemplo cuando se descuenta un documento, o se quiere reestructurar una deuda, en un momento dado, o bien cuando se quiere saber cuanto se quiere invertir en este para ahorrar cierta cantidad que se necesita en el futuro. El valor presente en una operación financiera es el importe de un capital en cierto momento. Para determinar el valor presente de un capital conociendo su valor futuro basta con despejar de la fórmula del valor futuro el valor presente. VF = VP ( 1 + i) n de donde: VP = VF/ (1 +i) n Ejemplo: Supongamos que la Cía. Libros Rotos descuenta una factura con valor de $1,000 que vence en 3 meses a una tasa de interés del 32% con capitalización mensual. Cuánto recibirá en este momento por su factura? VP =? VF = 1,000 i = 32% con capitalización mensual n = 3 meses Fórmula: VP= VF/(1 + i) n de donde: VP = 1000/(1 +.32/12) 3 = El resultado anterior significa que el valor de la factura en este momento es de $

23 MATEMATICAS FINANCIERAS 23 TIEMPO EN INTERES COMPUESTO Para determinar el tiempo necesario para que el valor presente de un capital se convierta en un cierto valor futuro con determinada tasa de interés, de la fórmula general de valor futuro hay que despejar la n. Fórmula: VF = VP X (1+I) n Como n es un exponente en la fórmula para resolver la operación hay que usar logaritmos. Logaritmo de un número es el exponente al que está elevada cierta base para obtener como resultado dicho número. La base generalmente es 10 y se llama logaritmo común. Ejemplo: El logaritmo común de 10 es 1: (10) 1 = 10 El logaritmo común de 100 es 2: (10) 2 = 100 El logaritmo común de 1000 es 3: (10) 3 = 1000 El logaritmo común de 25 es : (10) = 25 Los logaritmos se usan para resolver operaciones matemáticas y tienen 4 propiedades fundamentales: Propiedades de los logaritmos: 1) Log (a x b) = log a + log b Ejemplo: a 2 x a 3 =a 2+3 =a 5 2) Log a/b = log a - log b Ejemplo: a 5 /a 2 = a 5-2 = a 3 3) Log 1/a = - log a Ejemplo: 1/a 2 = a -2 4) Log (a) n = n log a Ejemplo: (a 2 ) 4 = a 2x4 = a 8 Ya que se conocen las propiedades de los logaritmos se procede a despejar n de la fórmula de valor futuro.

24 MATEMATICAS FINANCIERAS 24 VF = VP X (1+i) n VF/ VP = (1+i) n log VF- log VP = n log (1 +i) log VF - log VP = n log (1+i) Ejemplo: En cuanto tiempo un capital de $ 1,000 se convierte en $ 1, si la tasa de interés vigente en el mercado es del 30% con capitalización mensual. VP = 1000 VF= 1, i = 30% n =? meses Fórmula: n= log VF - log VP = n log (1+y) n= log 1, log 1000 log ( / 12) n= = 10 meses

25 MATEMATICAS FINANCIERAS 25 TASA DE INTERES Para determinar la tasa de interés efectiva en una operación financiera con interés compuesto se despeja de la formula general de valor futuro y una vez que se conoce ésta para convertirla en nominal basta con multiplicarla por el número de periodos que la tasa efectiva se aplica en un año. Fórmula: n VF = VP x (1 + i ) Donde: n VF/VP = (1 + i) Para eliminar la n de la segunda parte de la ecuación se aplica una raíz n a las dos partes. n VF / VP = n ( 1+ in ) Donde: n VF / VP = 1+i Donde: n VF / VP = - 1 = i [ n i = VF / VP Si no se quiere trabajar con raíz se convierte en potencia. 1/ n i= ( VF/VP) -1)100 A que tasa de interés capitalizable mensualmente se deberá invertir un capital de $10,000

26 MATEMATICAS FINANCIERAS 26 para que después de 2 años se reúnan $20, VF = 20, VP = 10,000 n = 2 años 1/ n i= [(VF/VF) -1] x 100 1/ 24 i = [(20,327.94/10,000) -1]100= 3% Nota: n se describe en meses porque la capitalización es mensual. i = 3 % mensual efectiva Tasa Nominal Anuall: 3% x 12 meses = 36 % anual.

27 MATEMATICAS FINANCIERAS 27 TASA DE INTERES La tasa de interés es una operación financiera, es el porcentaje que sobre un capital se obtiene o se cubre de acuerdo con lo establecido convencionalmente entre el oferente y el demandante de recursos. Dentro de la tasa de interés hay varias formas de considerarla y calcularla TASA NOMINAL: Es la tasa de interés pactada entre los usuarios del dinero, su expresión es anual, siempre indica el plazo al cual se refiere la operación. Ej. Pagaré a 28 días 32% TASA EFECTIVA: Es la tasa de interés que va a operar para cada período. Es la que efectivamente se recibe o se paga periódicamente y al capitalizarla anualmente da un rendimiento efectivo. Su expresión es con base al plazo y se puede calcular en forma anual. Ej. 3% mensual o [(1.03) 12-1] 100= 42.57% anual Para entender mejor la expresión de tasa efectiva, supóngase que una señora deposita en un Banco un capital de $6,000 a una tasa del 24% con capitalización mensual y lo deja durante un año. 1. Cuánto ganó por su inversión? 2. Cuál fue el rendimiento efectivo sobre su inversión? 3. Cuál es la tasa efectiva? solución VF= VP (1+I) n VF = 6000 (1 +.24/12) 12 = $7, Si el valor futuro de la inversión es de $7, y el Capital invertido fue de $6,000, el interés ganado es de $1, % Rendimiento = Interés ganado X100 Capital Invertido

28 MATEMATICAS FINANCIERAS 28 % Rendimiento = 1, X 100 = 26.82% Anual 6, % es el rendimiento que efectivamente ganó la señora por su inversión, y representa la tasa efectiva para un 24% con capitalización mensual. La tasa efectiva se pudo haber determinado con base en la tasa nominal: Capitalizando la tasa efectiva del periodo. Tasa Nominal = 24% anual con capitalización mensual Tasa Efectiva Mensual = 24/12 = 2% mensual Tasa Efectiva Anual = [ (1.02) 12 ] -1 X100 = 26.82%

29 MATEMATICAS FINANCIERAS 29 TASA REAL: Es aquella tasa efectiva a la cual se le ha descontado la inflación del periodo. La tasa se puede determinar usando cualquiera de las fórmulas siguientes: Tasa Real = 1 + i Efectiva ( ) 1 + Inflación - 1 x 100 Tasa Real = % Efectiva - % Inflación (1+ Inflación Decimal) Ejemplo: Supóngase que la Sra. del ejercicio anterior que invirtió su dinero durante un año al 24% de interés capitalizable mensualmente, desea conocer su Tasa Real de rendimiento ante una inflación anual del 18%. Tasa Real = [ ( ) -1] 100 = 7.47% Tasa Real = [ ] = 7.47% 1.18 Despejando de la fórmula anterior: Tasa efectiva = [1 + i Real) ( 1 + inflación) -1 ] x 100

30 MATEMATICAS FINANCIERAS 30 TASAS EQUIVALENTES Son las tasas de interés que con diferentes periodos de capitalización producen los mismos rendimientos durante un año. Por Ejemplo: La Srita. Álvarez invirtió durante un año 100 pesos al 24% con capitalización mensual y la srita. Anguiano invirtió también 100 al 25.23% con capitalización semestral. Cual de las dos personas obtuvo un rendimiento mayor sobre su inversión. Solución: Srita. Álvarez VF = VP (1 + I) n VF = 100 (1+.24/12) 12 = $ Interés Ganado: = $26.82 % Rendimiento : X 100 = 26.82% 100 Srita. Anguiano VF = VP (1 + I) n VF = 100 ( /2) 2 = $ Interés Ganado: = $26.82 % Rendimiento : X 100 = 26.82% 100 Como se puede observar en el cuadro anterior las 2 personas obtuvieron el mismo rendimiento debido a que la tasa efectiva para ambas tasas nominales fue la misma.

31 MATEMATICAS FINANCIERAS 31 Inversión Señorita Alvarez: Tasa Efectiva anual para 24% mensual T. Efectiva = [ ( 1+.24/12) 12-1] 100 = 26.82% Inversión Señorita Anguiano: Tasa Efectiva para 25.23% semestral T. Efectiva= [( /2) 2-1 ] 100 = 26.82% Para determinar la tasa Equivalente efectiva para cualquier Tasa Nominal existe una fórmula general: T. Efectiva Equivalente = [(1 + i ) m/n -1)] 100 Donde: i = Es la tasa efectiva del periodo para la tasa nominal conocida m = Es el período final o período buscado (mes, año, día, etc.) n = Es el período inicial o dado (mes, año, día, etc.) Si aplicamos la fórmula para encontrar la tasa equivalente al 24% con capitalización mensual, para un cierta tasa con capitalización semestral. i = es igual al.24/12 =.02 mensual m = es un semestre (6 meses) n = es un mes Quedando la fórmula: T. Efectiva Equivalente = [(1 +.24/12) 6/1-1] 100 T. Efectiva Equivalente= % para un semestre Para encontrar la tasa Nominal Anual que corresponde a esta Tasa Efectiva Semestral basta con multiplicarla por 2 semestres. Tasa Efectiva Semestral = X 2 = 25.23% Anual Nominal con capitalización Semestral. Encontremos ahora la tasa Equivalente para:

32 MATEMATICAS FINANCIERAS 32 15% de capitalización Trimestral para cierta Tasa con capitalización diaria. i=.15/4 =.0375 trimestral m= un día n= 90 días ( un trimestre) Tasa Efectiva Equivalente = [( /4) 1/90-1] 100 Tasa Efectiva Equivalente =.0409% por un día Tasa Equivalente Nominal Anual =.0409 X 360 = 14.73% Comprobación: Tasa Efectiva para 15% Trimestral (capitalización) T. Efectiva = [( /4) 4-1] 100 = 15.86% Tasa Efectiva Anual para a 1 día T. Efectiva = [ /360) 360-1] 100 = 15.86% TASA ACUMULADA: Es la tasa de interés efectiva acumulada para un tiempo determinado. Se calcula usando la siguiente fórmula: Tasa Acumulada = [(1+i 1 ) (1+i 2 ) (1+i 3 )... -1] 100 Ejemplo: La Señora Rodriguez manejó una inversión durante 90 días a las siguientes tasa Nominales: 36% en 7 días 30% en 30 dias 28% en 45 días 27% en 8 días Cual fue la tasa efectiva Acumulada para los 90 días? Solución: Tasa efectiva por periodo

33 MATEMATICAS FINANCIERAS 33 36% en 7 días = (.36/360 X 7) =.7% en 7 días 30% en 30 dias = (.30/360 X 30) = 2.5% en 30 días 28% en 45 días = (.28/360 X 45) = 3.5% en 45 días 27% en 8 días = (.27/360 X 8) =.6% en 8 días Tasa Efectiva en 90 días: [(1.007) (1.025) ( 1.035) (1.006) -1] 100 Tasa Efectiva en 90 días = 7.47% TASA PROMEDIO Es aquella tasa de interés que corresponde en promedio a un período específico a partir de una tasa acumulada. Ejemplo: Si en el problema anterior la inversión de una persona le dio una tasa efectiva de por un trimestre, uno se podría preguntar cual fue la tasa promedio para un mes. La tasa promedio se determina: Tasa Promedio = [(1+I) 1/n -1] 100 Donde: i representa la tasa acumulada para un periodo. n representa los periodos contenidos en la tasa acumulada. En nuestro Ejemplo: Tasa Promedio Mensual = [( ) 1/3-1] 100 Tasa Promedio Mensual = 2.43%

34 MATEMATICAS FINANCIERAS 34 Otro ejemplo podría ser el siguiente: Un fondo pagó en un año una Tasa Efectiva del 56% Cuáles fueron las Tasas promedio pagadas en periodo semestral, trimestrales, bimestrales y mensuales? Solución: Tasa Promedio Semestral = [(1.56) 1/2-1] 100 = 24.90% Tasa Promedio Trimestral = [(1.56) 1/4-1] 100 = 11.76% Tasa Promedio Bimestral = [(1.56) 1/6-1] 100 = 7.69% Tasa Promedio Mensual = [(1.56) 1/12-1] 100= 3.78% TASA ANUALIZADA A veces se conoce la tasa de interés para un periodo y se desea saber cual es la tasa anualizada a que corresponde dicha tasa periódica Tasa Anualizada = [(1+I) n -1] 100 La Tasa efectiva mensual de interés que ofrece un instrumento financiero es del 2.5% cual será la tasa efectiva anualizada. Solución: Tasa Anualizada = [(1.025) 12-1] 100 = 34.49% TASA REMANENTE Se usa para determinar la tasa que corresponde a un periodo a partir de una tasa Total Tasa Remanente = [ ( 1+ i final / 1+ i inicial) -1 ] 100 Ejemplo: La tasa de interés efectiva anual de una inversión es del 42% y en el primer trimestre se lleva ganado un 12% Cuanto falta por obtener? Tasa Efectiva Remanente = [(1.42/1.12) -1] 100 = 26.78%

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