CONJUNTOS, RELACIONES Y GRUPOS

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1 CONJUNTOS, RELACIONES Y GRUPOS. CONJUNTOS. Cojuto U ojuto está ie defiido udo se posee u riterio que permit firmr si u elemeto perteee o o diho ojuto.. Ilusió U ojuto B está iluido e u ojuto A si o hy igú elemeto e B que o perteez tmié A. Se die etoes que B es u suojuto de A. Se esrie B A U posile proedimieto pr demostrr que dos ojutos so igules es ompror que todo elemeto del primer ojuto perteee l segudo y que todo elemeto del segudo ojuto perteee A B l primero. Es deir, plir que: A = B B A. Cojuto Vío Es el que ree de elemetos. Se esrie Ø. Se le osider iluido e ulquier ojuto: Ø A.. Crdil de u ojuto Se deomi rdil del ojuto l º de sus elemetos, y se die que el ojuto es fiito. Es usul utilizr l otió (A) pr idir el rdil del ojuto A. Por ejemplo: ( voles) = 5. Si tiee ifiitos elemetos se die que el ojuto es ifiito..5 Uió de ojutos Se deomi uió de dos ojutos l ojuto formdo por los elemetos perteeietes l meos uo de los ojutos. Se esrie A B.6 Iterseió de ojutos Se deomi iterseió de dos ojutos l ojuto formdo por los elemetos omues perteeietes mos ojutos. Se esrie A B.7 Cojutos disjutos So quellos uy iterseió es el ojuto vío. Es deir, que o tiee elemetos omues. A B = Ø A B.8 Complemetrio (o otrrio) de u ojuto Prtiedo de u ojuto E (que se suele llmr uiverso) y de uo de sus suojutos A, llmremos omplemetrio de A l ojuto formdo por todos los elemetos de E que o perteee A. Se esrie Ā (Tmié se utiliz el póstrofe: A ) Ovimete umplirá A A = E y A A = Ø E A Ā.9 Diferei de ojutos Se deomi diferei de dos ojutos l ojuto formdo por los elemetos del primer ojuto que o perteez l segudo ojuto. Coiide o l iterseió del primero o el omplemetrio del segudo A B. Se esrie A B (tmié A \ B ) A A B B

2 .0 Diferei Simétri Se deomi diferei Simétri de dos ojutos l ojuto formdo por los elemetos de l uió de mos ojutos y que o perteez su iterseió. Coiide o l uió de sus dos difereis y se puede expresr de vris forms: ( A B) ( B A) = ( A B) ( B A) = ( A B) ( A B). Se esrie A B. Propieddes de ls operioes de ojutos: Comuttivs A U B = B U A A B = B A Asoitivs A U (B U C) = (A U B) U C A (B C) = (A B) C Distriutivs A U (B C) = (A U B) (A U C) A (B U C) = (A B) U (A C) Idempotetes A U A = A A A = A Simplifitivs A U (A B) = A A (A U B) = A De Morg A B = A B A B = A B Ests y otrs propieddes se puede demostrr gráfimete medite digrms de Ve. Vemos por ejemplo, l ª de De Morg : A B = A B Est viñet muestr el otrrio de A A B A B A B Est viñet muestr el otrrio de B Est viñet muestr l zo omú del otrrio de A o el otrrio de B L viñet muestr l uió de A o B, que es otrri de l terior Ests propieddes puede demostrrse tmié utilizdo ls tls de verdd de l lógi de predidos. Pr ello st o iterpretr el lásio verddero / flso omo u: perteee / o perteee Por ejemplo, l tl de verdd de l ª de De Morg A B = A B es l que sigue: A B A B A B A B A B v v f f f v f v f f v f v f f v v f f v f f f v v v f v L propiedd qued demostrd l ompror l iguldd etre ls olums de A B y A B Vemos ómo se ostruye est tl rzodo o el ª de los utro sos. Se u elemeto que perteee A pero o perteee B. Perteeerá etoes l otrrio de B pero o l otrrio de A, por lo que o perteee su iterseió. Por otro ldo, l perteeer A (uque o perteez B), perteeerá B perteeerá su otrrio. A B A B A B A B A B v f f v f v f A y por lo tto o Los resttes sos se rzorí de modo similr.

3 Por último, her ver que los utro sos de est tl de verdd se orrespode ls utro zos e que quedd dividido el uiverso l represetr dos ojutos. So ls que se ve e el siguiete diujo umerds e el mismo orde de l tl. Pr tres ojutos, resultrí oho sos, omo muestr el diujo siguiete:. Suojutos de u ojuto Ddo u ojuto, podemos ostruir otro formdo por todos sus suojutos. Si el ojuto es fiito y otiee elemetos, el úmero totl de suojutos será otdo desde el ojuto vío hst el propio ojuto ddo psdo por suojutos o u úio elemeto, o dos elemetos, et. Por ejemplo, prtiedo del ojuto = {,,, } A sus = 6 suojutos será: Ø, {}, {}, {}, {}, {,}, {,}, {,}, {,}, {,}, {,}, {,,}, {,,}, {,,}, {,,}, {,,,}

4 . RELACIONES ENTRE DOS CONJUNTOS. Produto rtesio de ojutos Es el ojuto formdo por todos los pres ordedos posiles emprejdo u elemeto del primer ojuto o otro del segudo ojuto. Se esrie: A x B A =, e, i, o, u Por ejemplo, ddos estos ojutos: Su produto rtesio serí: A B = B = { } {,} {(,),(,),( e,),( e,),( i,),( i,),( o,),( o,),( u,),( u,) } Slvo ofusió, se puede suprimir los prétesis y oms de d prej, queddo sí: A B = {,, e, e, i, i, o, o, u, u} E muhos sos hremos el produto rtesio de u ojuto por sí mismo, es deir A x A. Relió etre dos ojutos Se llm relió etre dos ojutos u suojuto de su produto rtesio. Es deir, que elegimos o u ierto riterio lgus prejs de etre tods ls posiles. R =, e, i, o, u represetrí l distiió etre voles ierts () y Ejemplo. El suojuto { } errds (). U relió se puede visulizr o lridd medite flehs y digrms de Ve. L relió terior se verí sí: E est relió, R expresrí que y está reliodos mietrs que o l R thd R os idirí que o lo está y. U relió etre dos ojutos o u úmero fiito de elemetos puede tmié idirse medite u tl de dole etrd e l que e d eld se expres medite u que dihos elemetos está reliodos y medite u 0 si o lo está. Por ejemplo, l relió terior se verí sí: 0 e 0 i 0 o 0 u 0. Relió de equivlei Dd u relió de u ojuto osigo mismo, se die que es de equivlei si umple ls tres propieddes siguietes: e i o u Reflexiv x xrx Es deir, que todo elemeto, dee estr reliodo osigo mismo Simétri Trsitiv x, y x, y, z xry yrx xry xrz yrz Es deir, que, si existe u relió etre dos elemetos, dee drse tmié e el orde otrrio. Es deir, si u primer elemeto está reliodo o u segudo, y éste lo está o u terero, dee existir relió etre el primero y el terero E ls relioes de equivlei se suele utilizr el símolo. Es deir, que e lugr de esriir xry podrímos x y idido l relió (equivlei) existete etre dihos elemetos.

5 Por ejemplo l relió R = {,,,, } umple ls tres propieddes. Mietrs que S = {,,, } iumple l simétri, y que l prej oligrí que existier l prej. R S Si, e u ojuto fiito, expresásemos l relió de equivlei medite u tl, podrímos ver rápidmete el umplimieto de dos de ls tres propieddes. Oservdo si e tods ls elds de l digol priipl está esrito u, omprorímos l propiedd reflexiv y oservdo l simetrí de ls resttes elds respeto de est digol omprorímos l propiedd simétri. Ls siguietes tls so ls orrespodietes ls relioes teriores. Los uos de l digol priipl os segur que ms relioes umple l propiedd reflexiv mietrs que l simetrí mrd e rojo e l tl S os idirí el iumplimieto de l propiedd simétri e dih relió. R S Pr ompror l propiedd trsitiv se puede empler el produto de mtries y oservr l oloió de los eros.. Clses de equivlei Tod relió de equivlei estlee u prtiió del ojuto e vrios suojutos, formdo d uo de ellos por los elemetos que está reliodos etre sí. Cd uo de estos suojutos se llm lse de equivlei. Por ejemplo l terior relió R se verí sí:.5 U ejemplo de lses de equivlei: Clses de restos U ejemplo lásio de lsifiió de los úmeros eteros es el de ls lses de restos. Elegido u ierto úmero turl omo módulo, se orde todos los úmeros eteros e tts fils omo diho módulo. Los ifiitos úmeros eteros que forme d fil formrí u lse de equivlei. Por ejemplo, ls lses de restos módulo : Clse Clse Clse Pr ser rápidmete qué lse perteee u ierto elemeto se us el resto de su divisió eter (o deiml) etre el módulo elegido. Si el resto es ero, o se que el úmero es múltiplo del módulo, perteeerí l fil superior, l llmd lse ero. E otro so, el resto (que estrá etre uo y el módulo meos uo) idirí l fil l que perteee. Si úmero fuese egtivo se tú igul pero dividiedo de mer que el oiete se egtivo pero el resto positivo. El úmero 57 perteee l lse y que l dividirlo etre result dos de resto y -5 perteee l lse y que: 5 = ( ) +. 5

6 Se puede ompror que, dds dos lses, idepedietemete de los úmeros elegidos de ms lses, su sum y su produto perteee u lse determid. Por ejemplo, si elegimos el 0 omo represette de l lse y el 8 de l lse, vemos que su sum perteee l lse 0 y su produto l lse. Si repetimos el experimeto mido por el y el 0, vemos que ls lses de su sum y de su produto so ls misms de tes. 0 Clse = 8 Clse 0 8 Clse 0 8 = 80 Clse Estos hehos os llevrí esriir que, e módulo : Clse + 0 = Clse 0 0 Clse 0 = 60 Clse lse+ lse = lse0 lse lse = lse y os permite defiir dos operioes uevs: sum y produto de lses de restos módulo. Sus tls de sumr y multiplir serí: + C0 C C x C0 C C C0 C0 C C C0 C0 C0 C0 C C C C0 C C0 C C C C C0 C C C0 C C Estudios similres se puede relizr e otros módulos ddo lugr distits sums y multipliioes si etrr e otrdiió etre ells. Por ejemplo: lse lse = lse(e módulo 5) lse lse = lse (e módulo ).6 Relió de orde Dd u relió de u ojuto osigo mismo, se die que es de orde si umple ls siguietes tres propieddes: Reflexiv Atisimétri Trsitiv x xrx Es deir, que ulquier elemeto, dee estr reliodo osigo mismo x, y xry Es deir, que o puede existir dos elemetos distitos que esté x = y yrx reliodos e los dos órdees posiles x, y, z xry xrz yrz Es deir, si u primer elemeto está reliodo o u segudo, y éste lo está o u terero, dee existir relió etre el primero y el terero Culquier ejemplo e el que ordeemos elemetos se trtrá si seguro de u relió de orde. El orde de los úmeros reles o el lfétio de ls letrs lo so. E ls relioes de orde se suele utilizr el símolo. Es deir, que e lugr de esriir R podremos idido l relió (orde) existete etre dihos elemetos. Ls tres propieddes teriores quedrí etoes esrits sí: Reflexiv x x x Es deir, que ulquier elemeto es meor o igul que sí mismo. De heho es igul. Atisimétri x, y x y Es deir, que o puede existir dos elemetos distitos que siedo el x = y primero meor o igul que el segudo, éste se meor o igul que el y x primero Trsitiv x, y, z x y Es deir, si u primer elemeto es meor o igul otro y éste es x z meor o igul que u terero, el primero deerá ser meor o igul l y z terero 6

7 . FUNCIÓN (o APLICACIÓN) ENTRE DOS CONJUNTOS. Defiiió de fuió (o pliió) etre dos ojutos Se trt de u relió etre dos ojutos que umple l odiió de que todo elemeto del primer ojuto dee estr reliodo o uo y sólo uo del segudo ojuto. Al primer ojuto se le llm domiio de l fuió y l segudo ojuto odomiio. A los elemetos que iii u relió fuiol los llmremos orígees y los que l filiz imágees. Tods ls imágees form u suojuto del ojuto fil llmdo reorrido. A l fuió f etre los ojutos A y B se l puede represet simólimete sí: f : A B Ejemplos: No es u fuió, y que está reliodo o más de u elemeto del segudo ojuto. No es u fuió, y que o está reliodo o igú elemeto del segudo ojuto. Sí es u fuió. Que el elemeto del º ojuto o esté reliodo o igú elemeto del º o iumple l defiiió de fuió. Domiio = {,,} Codomiio = {,, } Reorrido = {, } Sí es u fuió. Domiio = {,,} Codomiio = {,, } Reorrido = {,, }. Tipos de fuioes Segú que umpl o o u serie de propieddes defiiremos tres tipos de fuioes: Iyetivs, Soreyetivs y Biyetivs... Fuioes Iyetivs U fuió se die iyetiv si igú elemeto del odomiio tiee más de u orige. E l práti se suele empler u demostrió por reduió l surdo prtiedo de dos orígees que omprt l mism imge pr oluir que l úi opió es que de ser igules. Así: f iyetiv [ f ( x ) = f ( x x = x ] ).. Fuioes Soreyetivs (Tmié se les llm exhustivs o tmié supryetivs) U fuió se die soreyetiv si todo elemeto del odomiio tiee l meos u orige. Implirí que el reorrido ouprí todo el domiio. Su defiiió etoes es: f soreyetiv [ y B x A f ( x) = y].. Fuioes Biyetivs U fuió se die Biyetiv si es Iyetiv y soreyetiv. Tmié se les llm Biuívos. Es iyetiv, pero o soreyetiv ( o tiee orige). Es soreyetiv, pero o es iyetiv ( tiee más de u orige). No es soreyetiv ( o tiee orige) i iyetiv ( tiee más de u orige). Es iyetiv. 7

8 . Composiió de fuioes Si teemos dos fuioes f : A B g : B C e ls que el ojuto fil de l primer fuió oiide o el iiil de l ª, se puede rer u uev fuió que se deomi ompuest de ms y que se ostruye elzdo los orígees de l primer o ls imágees de l segud. Se esrie simólimete sí: Ejemplo: g o f : A C α β α β α β L omposiió de fuioes o es omuttiv, es deir que, o ráter geerl, o se umple que:. Vemos qué distits irustis se podrí dr: f o g = g o f Si el ojuto A es distito del ojuto C, sólo estrá defiid l omposiió e u ierto orde. Si A = C podrá ompoerse e los dos setidos, pero o podrí oiidir por estr defiid l fuió ompuest e u so sore A y e el otro so sore B. Si A = B = C mos omposiioes podrá herse y estrí defiids sore el mismo ojuto. Pero i siquier e este so está segurdo que oiid ls dos omposiioes.. Fuió reípro de u fuió iyetiv Dd u fuió f iyetiv, se deomi reípro (tmié ivers) quell e l que hemos itermido el ojuto iiil (o los orígees) por el ojuto fil (o ls imágees) y vievers. L uev fuió, que ovimete es tmié iyetiv, se esrie sí: f -. Ejemplo: f f - Si se ompoe u fuió o su reípro se otiee l fuió idetidd, es deir l que pli d elemeto sore sí mismo. f f - 8

9 . OPERACIONES BINARIAS. Defiiió de operió iri Siedo A, B dos ojutos o víos, se deomi operió iri ulquier fuió f : A A B Est fuió relio u prej orded de elemetos de A o u ierto elemeto de B. Este heho lo podemos eteder omo que hemos heho u operió etre los elemetos de l prej ddo omo resultdo el elemeto que idique su imge. Si los dos ojutos A, B so igules, se die que l operió está errd. Por ejemplo l sum de úmeros plid l ojuto de los úmeros turles pres es u operió errd (pr + pr = pr), pero si l pliásemos l ojuto de los úmeros turles impres, dihs sums (impr + impr = pr) o perteeerí l ojuto de los impres, y o estrí l operió ie defiid. Por ejemplo (,) 6 sigifirí que l operió relizd etre el y el, e este orde, result 6. Pr gr e lridd, el símolo fleh se sustituye por u símolo operiol: *, #, +, x et. (si o us ofusió, si igú símolo, omo suede o el produto de úmeros reles). De ser el steriso, u operió podrí visulizrse sí: * = 6. Y o hy que olvidr que, l trtrse de u fuió, dee estr defiido el resultdo de ulquier operió y ser úio. Si A {, } = el siguiete digrm de Ve muestr u posile operió iri e A : Si A es u ojuto fiito, se visuliz muho mejor l operió dádole form de tl etediedo (por si l operió o fuese omuttiv) que el primer elemeto de d prej es el de l ª olum y se oper o el de l ª fil que será etoes el segudo elemeto de l prej: *. Propieddes de ls operioes iris U operió iri puede umplir lgu de ests propieddes: omuttiv, soitiv, elemeto eutro, elemeto simétrio y, si estuviese defiids dos operioes distits e el mismo ojuto, l distriutiv... Propiedd Comuttiv Cumplirá est propiedd si pr tod prej el resultdo de l operió o depede del orde de los elemetos, es deir que * = *. Por ejemplo, si omprmos ls siguietes operioes: Sí es omuttiv, y que * = * No es omuttiv, y que * = mietrs que * = Si, e ojutos fiitos, vemos l operió e form de tl, su omuttividd se oserv por l simetrí de l mism respeto de l digol priipl. Co ojutos ifiitos, hrí que demostrr l omuttividd prtiedo de ómo esté defiid l operió. Cooidos ejemplos de operioes omuttivs so l sum de úmeros, el produto de úmeros, l uió de ojutos y l iterseió de ojutos. 9

10 .. Propiedd Asoitiv Cumplirá est propiedd si ddos tres elemetos ulesquier umple: *( *) = ( *) * Cooidos ejemplos de operioes soitivs so l sum de úmeros, el produto de úmeros, l uió de ojutos o l iterseió de ojutos. No siempre es fáil ompror l soitividd de u operió, ormlmete tedremos que pror o todos los tríos posiles y ompror los resultdos, o demostrrl trvés de l defiiió de l operió. Por ejemplo, l primer operió represetd e.. y que er omuttiv, result ser o soitiv. Vése ómo se otiee distitos resultdos segú se soie los elemetos, y : *( *) = * = mietrs que ( *) * = * =.. Propiedd Distriutiv Si dos operioes distits (* y #) está defiids sore u mismo ojuto, se die que umple l propiedd distriutiv de l primer (*) sore l segud (#) si ddos tres elemetos ulesquier umple: *( # ) = ( *) # ( *) U ejemplo lásio es el de l distriutividd del produto respeto de l sum de úmeros reles: ( +) = ( ) + ( ) pero reuerde que e los úmeros reles o se umple l distriutividd de l sum respeto del produto. + ( ) ( +) ( +) Si emrgo, e el álger de Boole de los ojutos, se umple tto l distriutividd de l uió respeto de l iterseió omo l distriutividd de l iterseió respeto de l uió. No es fáil demostrr l distriutividd etre dos operioes, ormlmete tedremos que pror todos los tríos posiles y ompror los resultdos, o demostrrl trvés de l defiiió de ls operioes... Propiedd del Elemeto Neutro Se die que u ojuto tiee u elemeto eutro (ormlmete represetdo o l letr e, ó o el úmero uque o se trte de u úmero) pr u iert operió * si operdo o todos los resttes elemetos del ojuto tto por l dereh omo por l izquierd se otiee omo resultdo el elemeto o el que opermos. Es deir: A e = e = U operió iri o tiee eesrimete elemeto eutro uque ls operioes trdiioles sí lo tiee (0 e l sum y e el produto de úmeros reles, Ø e l uió y E e l iterseió de ojutos). Ejemplos: es elemeto eutro, y que: * = * = y tmié * = o es elemeto eutro, y que: * (y tmié * ) tmpoo es elemeto eutro, y que * Pr est operió este ojuto o tiee elemeto eutro. Teorem de l Uiidd del Elemeto Neutro: Si existe, el elemeto eutro es úio. Demostrió: Si existiese dos elemetos eutros (e y e ) suederí que: e e (por ser e elemeto eutro) = e (por ser e elemeto eutro) e y omo el resultdo dee ser úio, se umplirá: e = e 0

11 ..5 Propiedd del Elemeto Simétrio Prtiedo de u ojuto que teg elemeto eutro pr u iert operió, se die que umple l propiedd de u elemeto simétrio si pr todo elemeto del ojuto podemos eotrr otro (e lgú so puede ser el mismo elemeto), que llmremos su simétrio, de mer que operdos tto por l dereh omo por l izquierd resulte el elemeto eutro. Se esrie sí: Es deir: A A = = e siedo e el elemeto eutro De l simetrí de l defiiió se dedue que el simétrio del simétrio de u elemeto es el propio elemeto. Es deir que: ( ) =. U operió iri o tiee eesrimete simétrios uque e ls operioes trdiioles sí existe. (A y A so simétrios e l uió de ojutos; -5 es el simétrio (opuesto) del 5 e l sum y /5 simétrio (iverso) e el produto de úmeros reles. Si emrgo, reuerde que o existe el iverso del úmero ero. Ejemplos: * d d d d d d E est tl vemos que es el elemeto eutro. El simétrio de serí (siempre suede o el elemeto eutro) y el de d serí d El simétrio de es y el simétrio de es (se puede deir que y so simétrios) * d d d d d d d E est operió vemos que es el elemeto eutro. El simétrio de es El simétrio de d es d Ni i tiee simétrio Teorem de l uiidd del Elemeto simétrio: Si l operió umple tmié l soitiv, el simétrio de d elemeto dee ser úio. Demostrió: Si, pr u ierto elemeto, existiese dos simétrios (s y s ) suederí que: () () () () () s = s * e = s *( * s ) = ( s * )* s = e* s = s Los dos simétrios so el mismo elemeto. (): Por ser e el elemeto eutro (): Por ser s simétrio de (): Por l propiedd soitiv (): Por ser s simétrio de L simplifiió que hemos e el ojuto de los úmeros reles es posile gris l existei de elemetos simétrios. Por ejemplo, si teemos l iguldd x = y, simplifimos rápidmete los treses / x = / y y oluimos que x = y. Si dros uet, estmos utilizdo ls siguietes propieddes: () () () () x = y ( x) = ( y) ( ) x = ( ) y x = y x = (): multiplimos mos miemros por el simétrio de (): plimos l propiedd soitiv (): plimos l propiedd del elemeto simétrio (): plimos l propiedd del elemeto eutro Si emrgo, siedo x e y dos úmeros reles, semos que de l iguldd x = y. L rzó lgeri es que 0 o tiee simétrio. 0 x = 0 y, o se oluye que E u ojuto que umpl, omo le suede los úmeros reles, ests misms propieddes, se puede her est simplifiió. De mer que si es u elemeto o simétrio, podrímos her: Simplifiió: () () () () * x = * y *( * x) = *( * y) ( * )* x = ( * )* y e* x = e* y x = y Atudo de form similr, tmié se podrí elimir u elemeto que preier e l dereh de los dos miemros de u iguldd y teg simétrio. Es deir, x * = y * x = y. Si emrgo, slvo que l operió se omuttiv, de * x = y *, o se dedue que x e y se igules. y

12 5. TEORÍA DE GRUPOS 5. Defiiió de grupo. U ojuto G o vío e el que está defiid u operió *, situió que resumiremos sí: (G, *), se die que tiee estrutur de grupo si umple ls siguietes odiioes: L operió * está errd e el ojuto G Cumple l propiedd soitiv Tiee elemeto eutro que perteee G Todos los elemetos de G tiee u simétrio que perteee G L operió * o eesit ser omuttiv, si lo fuese se die que (G, *) es elio. L tl de operr de u grupo fiito se llm tl de Cyley. Ejemplo: G =, i, -, -i respeto del produto de úmeros omplejos tiee estrutur de grupo. i - -i L operió está errd, y que se otiee resultdos perteeietes l i - -i mismo ojuto G. i i - -i es el elemeto eutro i, -i so simétrios el uo del otro - - -i i, - so simétrios de sí mismos -i -i i - L soitiv se umple e el produto de ulquier trío de úmeros omplejos. Ovimete se trt de u grupo elio porque el produto de úmeros omplejos es omuttivo Ejemplo: El grupo o elio o meor úmero de elemetos es el que muestr l siguiete tl de l operió * pr seis elemetos: G = e,,,, d, f * e d f e e d f e d f e f d f d e d d f e f f d e El produto está ie defiido, y que se otiee resultdos perteeietes l mismo ojuto G. e es el elemeto eutro, so simétrios el uo del otro e,, d, f so simétrios de sí mismos Eligiedo todos los tríos posiles, se demostrrí que se umple l propiedd soitiv. No se umple l propiedd omuttiv: vése ómo * = d mietrs que * = f 5.. Orde de u grupo fiito. Si u grupo o tiee ifiitos elemetos, el úmero de los elemetos que lo form se deomi orde del grupo y se die que el grupo es fiito. E otro so se die que el grupo es ifiito. 5.. Orde de u elemeto de u grupo. Si operdo u elemeto osigo mismo m vees, se lleg oteer por primer vez el elemeto eutro, este úmero m reie el omre de orde del elemeto. Por ejemplo, el orde del grupo del epígrfe 5. es 6. Es usul utilizr u otió expoeil pr idir u operió repetid utilizdo el mismo elemeto: Por ejemplo, * * se esriirí omo ³. Si el grupo fuese ifiito podrí sueder que lgú elemeto tuviese orde fiito pero tmié serí posile que operdo idefiidmete u elemeto osigo mismo u se otuvier el elemeto eutro y que dispodrímos de ifiitos resultdos distitos posiles, y que de her repetido lgú resultdo, simplifido, sigifirí que y huiese preido tes el elemeto eutro: Por ejemplo: Teorem: E u grupo fiito, todos sus elemetos tedrá orde fiito. Demostrió: () () j k k j G j, k N = = e El orde de fiito 8 5 = = e (): Como G tiee u úmero fiito de elemetos, operdo osigo mismo repetids vees deerá repetirse eesrimete lgú j k resultdo, por ejemplo y (k > j) (): Simplifido e mos miemros j vees el elemeto, vemos que eesrimete lguo de estos resultdos es el elemeto eutro.

13 Ejemplo: ll el orde de los elemetos del grupo del epígrfe 5.: El orde de e es (ovio) ² = * = ³ = ² * = * = e Luego el orde de es (este mismo orde lo tiee ) * = e Luego el orde de es (este mismo orde lo tiee d y f) 5.. Grupos ílios Se llm grupo ílio l que otiee u elemeto, llmdo geerdor, que operdo osigo mismo repetids vees, egedr todos los elemetos del grupo. Es deir, que si llmmos g l geerdor, el grupo será G = g, g, g,..., g etediedo por expoete l úmero de vees que opermos g osigo mismo: g = g *g *g et. Si el úmero de elemetos es eesrimete el elemeto eutro será l últim potei g. Ovimete l operió es errd y el simétrio de g k es g -k. E form de tl se visuliz muy ie los grupos ílios. Por ejemplo, l tl del grupo ílio de orde 5 llmdo g su geerdor y siedo que g 5 = e serí: * g g g g e g g g g e g g g g e g g g g e g g g g e g g g g e g g g g e Teorem: Los grupos ílios so siempre elios Demostrió: Curiosmete se s e l propiedd soitiv. G j N = g G k N = g j j k j+ k k+ j = g g = g = g k = g k g j = 5. Sugrupos Prtiedo de u grupo (G, *) y de u suojuto, deimos que (, *) es u sugrupo de (G, *) si tiee estrutur de grupo respeto de l mism operió * Puesto que e G se umple l soitiv, tiee elemeto eutro y todos los elemetos tiee simétrios, sólo quedrí ompror que: l operió * está errd e el elemeto eutro de G tmié perteee todos los simétrios de los elemetos de tmié perteee Todo grupo siempre otedrá l sugrupo formdo exlusivmete por el elemeto eutro. Tmié se osiderrá omo sugrupo l mismo grupo. Estos dos sugrupos se deomi impropios, los resttes sugrupos, de existir, se les deomi propios. E grupos grdes o siempre es fáil usr sugrupos, pero operdo u elemeto osigo mismo repetids vees y oservdo los resultdos, sremos o qué elemetos formrá u sugrupo. Ejemplo de Sugrupos: El grupo estudido tes G =, i, -, -i respeto del produto de úmeros omplejos tiee tres sugrupos: E primer lugr, los sugrupos impropios = y G =, i, -, -i El úio sugrupo propio es =, - y que oservdo l tl que result: Vemos que: l operió está errd, otiee l elemeto eutro y los simétrios de sus elemetos Culquier otro suojuto o es sugrupo. Por ejemplo, oservdo l tl que result esogiedo sólo los elemetos, i: i i i i - Vemos que: l operió o está errd y que pree que o perteee l ojuto, i Además i, que es simétrio de i o perteee l ojuto, i

14 5.. Codiió eesri y sufiiete pr que u suojuto de u grupo se sugrupo Ddos u grupo (G, ) y u suojuto o vío de G: (, ) es sugrupo de ( G, ) (, ) remos l demostrió e dos fses: primero veremos que el umplimieto del euido de l izquierd impli eesrimete el umplimieto del euido de l dereh y después que el de l dereh impli el de l izquierd, o omo se suele deir, que pr que se umpl el de l izquierd es sufiiete que se umpl el de l dereh. Demostrió eesri ( ) Utilizremos omo puto de prtid que (, ) es sugrupo de ( G, ) () () (): Al ser (, ) u sugrupo, tedrá estrutur de grupo, por lo que pr ulquier elemeto de su simétrio tmié perteeerá (): Al teer estrutur de grupo, l operió estrá errd e, por lo que, ddos dos elemetos de, el resultdo de su operió tmié perteeerá Demostrió sufiiete ( ) Utilizremos omo puto de prtid, Puesto que e G se umple l propiedd soitiv y los elemetos de lo so de G, se umplirá l soitiv e. Semos que G tiee elemeto eutro (e) y que todos sus elemetos tiee simétrios e G, flt demostrr que el elemeto eutro tmié perteee y que todos los simétrios de los elemetos de tmié perteee. Elemeto eutro de : Simétrios e : () () e (5) (6) e e Sólo flt demostrr que l operió está errd e. (7) Operió errd e : (8) (9 ( ) ) (): Es l odiió de prtid utilizdo u prej o dos elemetos igules ( y ) (): Propiedd de los elemetos simétrios, que se umple e G por teer estrutur de grupo. (5): Es l odiió de prtid utilizdo omo primer elemeto de l prej l elemeto eutro e (6): Propiedd del elemeto eutro, que se umple e G por teer estrutur de grupo. (7): Amos de demostrr que los simétrios de los elemetos de, perteee. (8): Es l odiió de prtid utilizdo omo segudo elemeto de l prej l elemeto simétrio de (9): El simétrio del simétrio de ulquier elemeto, oiide o el propio elemeto. 5.. Codiió eesri y sufiiete pr que u suojuto de u grupo fiito se sugrupo Siedo G u ojuto fiito. Ddos u grupo (G, ) y u suojuto o vío de G: (, ) es sugrupo de ( G, ) es errdo respeto de Demostrió eesri ( ) Que (, ) se u grupo eesit que l operió esté errd e. Demostrió sufiiete ( ) Utilizremos omo puto de prtid que es errdo respeto de Al ser G u grupo fiito, el orde de sus elemetos es fiito, se u elemeto de de orde m. () m () () () (, ) es u grupo. m (): es u operió de m- elemetos de, su resultdo dee perteeer l ser errdo respeto de. m m m (): Como = = e el simétrio de será (): es errdo respeto de (): Teorem terior

15 5.. Sugrupo geerdo por u ierto elemeto e u grupo fiito: Si esogemos ulquier elemeto e u grupo fiito y lo opermos osigo mismo repetids vees hst llegr por primer vez (orde m) l elemeto eutro, el suojuto { m,,...,, e} formdo por el elemeto de prtid y todos estos resultdos umplirá los requisitos de grupo, por lo que será sugrupo del grupo k m k iiil. Ovimete l operió está errd, tiee elemeto eutro y los simétrios so: ( ) 5.. Teorem de Lgrge Si teemos u grupo fiito o elemetos, eesrimete sus sugrupos otedrá u úmero de elemetos divisor de. Teorem de Lgrge : G grupo fiito orde m es divisor de sugrupo orde m Ejemplos: u grupo de orde 6 podrá teer sugrupos de,,, 6 elemetos pero u o ó 5. U grupo de orde podrá teer sugrupos de,,,, 6, elemetos. E oseuei, u grupo o u úmero primo de elemetos sólo tedrá sugrupos impropios. Corolrio del Teorem de Lgrge: Demostrió: G grupo fiito de orde m es divisor de G elemeto de orde m Si es u elemeto de orde m, tedremos el sugrupo { m,,...,, e} será divisor de, por pliió del teorem de Lgrge. 5.. Grupos elios ditivos de los vetores del Plo El ojuto formdo por todos los vetores del plo o l sum trdiiol de vetores tiee estrutur de grupo elio e el que el elemeto eutro es el vetor ulo y el simétrio de u vetor es su opuesto. El suojuto formdo por los vetores prlelos uo ddo es u sugrupo. 5 = que tiee orde m, por lo que m 5..5 Clses Lterles Se (G, ) u grupo, se uo de sus elemetos y se u sugrupo de G. Este sugrupo os permitirá defiir dos suojutos del grupo G que llmremos: lse lterl izquierd de e G y lse lterl dereh de e G medite los resultdos que resulte de operr diho elemeto o todos los elemetos del sugrupo : Clse lterl izquierd de e G = { h h } Se le omr ó + si l operió es l sum. = h h Se le omr ó + si l operió es l sum. Clse lterl dereh de e G { } Lógimete, si el elemeto perteee, ls dos lses lterles oiide o el sugrupo. Ejemplo: Prtiedo del grupo multiplitivo de los siguietes úmeros omplejos: G =, i, -, -i y del sugrupo =, -, vemos ls lses izquierds que geer d elemeto de G: = = = i i = = ( ) = i ( i) { h h } = {, ( ) } = {, } = { i h h } = { i, i ( ) } = { i, i} = { h h } = {, ( ) } = {, } = { i h h } = { i, i ( ) } = { i, i} = Al trtrse de u operió omuttiv, ls lses derehs so idétis ls izquierds. Ejemplo: Prtiedo del grupo ditivo de los vetores del plo: G = { x, y) x, y R} por los vetores prlelos u vetor oreto (, ): = { t, t) t R} siguiete lse izquierd (que, por l omuttividd, es idéti l lse dereh): ( y del sugrupo formdo (, d vetor v de G geer l {( x, y ) + ( t, t) t R} = {( x + t, y + t) R} v = x, y ) v + = t ( Este ejemplo tiee u iterpretió gráfi itereste. G es todo el plo, el sugrupo serí u ret que psse por el orige y ls lses lterles de e G serí rets prlels. 5. Ejemplos de grupos ifiitos Veremos otiuió ejemplos ooidos de grupos ifiitos:

16 5.. Grupos elios ditivos de úmeros (Z, +) el ojuto de los úmeros eteros, o l sum, tiee estrutur de grupo elio o 0 de elemeto eutro y los opuestos omo simétrios. Cotiee, etre otros sugrupos, los formdos por los múltiplos de u determido úmero etero. (Q, +) el ojuto de los úmeros rioles, o l sum, tiee estrutur de grupo elio o 0 de elemeto eutro y los opuestos omo simétrios. Cotiee, etre otros sugrupos, (Z, +). (R, +) el ojuto de los úmeros reles, o l sum, tiee estrutur de grupo elio o 0 de eutro y los opuestos omo simétrios. Cotiee omo sugrupos, etre otros, (Q, +) y (Z, +). (C, +) el ojuto de los úmeros omplejos, o l sum, tiee estrutur de grupo elio o 0 de elemeto eutro y los opuestos omo simétrios. Cotiee omo sugrupos, etre otros, todos los grupos teriores: (Q, +) (Z, +) y (R, +). (N, +) o es grupo por reer de simétrios (o otiee los úmeros egtivos). 5.. Grupos elios multiplitivos de úmeros (Q, ) - 0 el ojuto de los úmeros rioles, o el produto, tiee estrutur de grupo elio o de elemeto eutro y los iversos omo simétrios. Se exluye el 0 por reer de iverso. Cotiee, etre otros sugrupos, los formdos por ls poteis de expoete etero de u determido úmero riol. (R, ) - 0 el ojuto de los úmeros reles, o el produto, tiee estrutur de grupo elio o de elemeto eutro y los iversos omo simétrios. Se exluye el 0 por reer de iverso. Cotiee omo sugrupo, etre otros, (Q, ) - 0 (C, ) - 0 el ojuto de los úmeros omplejos, o el produto, tiee estrutur de grupo elio o de elemeto eutro y los iversos omo simétrios. Se exluye el i por reer de iverso. Cotiee omo sugrupos, etre otros, (Q, ) - 0y (R, ) - 0 (N, ) (Z, ) o so grupos por reer de simétrios (o otiee los úmeros friorios). 5.. Grupo de ls fuioes ivertiles El ojuto formdo por tods ls fuioes iyetivs f : A A defiids e u mismo ojuto o l omposiió de fuioes omo operió, tiee estrutur de grupo o elio e el que l fuió idetidd i (x) = x es el elemeto eutro y el simétrio de d fuió es su fuió reípro (tmié llmd ivers) Grupos elios ditivos de ls mtries o u mismo orde El ojuto formdo por tods ls mtries de u mismo orde (mx) o l sum de mtries tiee estrutur de grupo elio e el que l mtriz ul de orde (mx) es el elemeto eutro y el simétrio de d mtriz será su opuest Grupo multiplitivo de ls mtries udrds regulres o u mismo orde El ojuto formdo por tods ls mtries udrds de u mismo orde (x) que se regulres, esto es, que por teer determite distito de ero tiee ivers, o el produto de mtries tiee estrutur de grupo o elio e el que l mtriz idetidd I es el elemeto eutro y el simétrio de d mtriz será su ivers. 5. Ejemplos de grupos fiitos 5.. Grupos de ls ríes de l uidd Al relizr ls ríes udrds, úis,... eésims del úmero, se otiee úmeros omplejos que form u grupo respeto del produto. Result grupos ílios geerdos por π/. Reie el omre de C Ls ríes udrds: C =, - o omo geerdor. (-) = (-) = Ls ríes úis: C =, π/, π/ o π/ omo geerdor. Ls ríes urts: C =, i, -, -i que es u grupo y visto tes y tiee omo geerdor i = π/ : i = i i = - i = -i i = L tl que pree e el epígrfe de grupos ílios es el grupo de ls ríes quits, geerdo por g = π/5. Ls ríes eésims C =, π/, π/,..., π(-)/ o π/ omo geerdor. Los sugrupos de estos grupos depede de los divisores de. Por ejemplo, C 6 otiee omo sugrupos propios C y C. 6

17 5.. Grupos elios ditivos de ls lses de restos módulo m Pr ulquier vlor de m el ojuto de ls lses de restos módulo m form siempre u grupo ditivo. Por ejemplo ls lses de restos módulo 5: El grupo es G = 0,,,, e que d ifr represet l lse l que perteee diho úmero L tl está ostruid operdo e módulo 5. Por ejemplo: + = 7 e l sum trdiiol lse lse 7 lse (dividiedo 7 etre 5, el resto es ) Etoes: lse + lse = lse y lo resumimos o: + = Se trt de u grupo y que 0 es elemeto eutro, se umple l soitiv (por umplirse e Z) y todos los elemetos tiee simétrio ( y simétrios, y simétrios 0 simétrio de sí mismo). Es elio por ser omuttiv l sum e Z. 5.. Grupos elios multiplitivos de ls lses de restos módulo m E todos los sos exluiremos l lse 0 y que ree de simétrio. Pero esto y suedí e los grupos multiplitivos de los ojutos de úmeros rioles, reles o omplejos. A diferei de los ditivos, o tods ls lses de restos e u ierto módulo m form u grupo. Depederá de que m se o o u úmero primo. Vemos ls lses de restos módulo 5 y módulo 6 omo ejemplos de m primo y ompuesto: E módulo 5 teemos G =,,, (ótese que hemos exluido l lse 0) E est operió vemos que es el elemeto eutro. y so simétrios y so simétrios de sí mismos L soitiv se umple por umplirse e Z Luego (G, ) es u grupo multiplitivo. Al ser omuttiv l multipliió e Z el grupo será elio. E módulo 6 teemos G =,,,, 5 (ótese que hemos exluido l lse 0) serí el elemeto eutro. Vemos que l operió o está errd y que pree el 0, y o tiee simétrios Luego G o form u grupo Curiosmete, 5 sí form u grupo multiplitivo e módulo Grupos de ls simetrís de u figur pl Covedremos e llmr e geerl simetrís de u figur pl los movimietos propios (giros e toro u puto) e impropios (reflexioes e toro u ret) que ovierte l figur e otr superpoile l origil, es deir, que l dej ivrite. Se puede estudir pr multitud de figurs pls e ls que exist lgú etro o eje de simetrí. Ls más hitules so ls siguietes: 5... Grupo de ls simetrís del retágulo: D Los elemetos del grupo so los movimietos que podemos her l retágulo mteiédole superpoile su posiió origil. So utro: Giro de 80º (lo llmremos g) Giro de 60º (ó tmié 0º) (lo llmremos ) Reflexió e toro l eje de simetrí vertil (lo llmremos v) Reflexió e toro l eje de simetrí horizotl (lo llmremos h) v g h 7

18 Pr estudir d movimieto deemos idetifir los vérties y señlr ómo qued después del movimieto, l posiió iiil será l mism siempre. g 80 v h L operió del grupo será l omposiió de movimietos. Compoer dos movimietos sigifirá relizr el primero pr, otiuió, oter el segudo. Si se he u seguimieto de ómo qued los vérties l fil, deduiremos que dih omposiió equivle u movimieto simple. Por ejemplo, g *h sigifirá her primero el giro de 80º y después l reflexió horizotl. Visto que el resultdo fil es el mismo que el de l reflexió v, se dedue que g *h = v g h v Relizds tods ls omposiioes se otiee l siguiete tl: * g v h g v h g g h v v v h g h h v g El elemeto eutro es el giro de 60º que por omodidd hemos llmdo. Vemos que result u grupo elio llmdo grupo diédrio D Cotiee los siguietes sugrupos propios:, g, v, h Slvo isomorfismos los úios grupos o utro elemetos so D y C 5... Grupo de ls simetrís del triágulo equilátero: D Los elemetos del grupo so los movimietos que podemos her l triágulo equilátero mteiédole superpoile su posiió origil. So seis: Giro de 0º (lo llmremos g) Giro de 0º (lo llmremos g ) Giro de 60º (ó tmié 0º) (lo llmremos ) Reflexioes e toro ls tres meditries:,, 8

19 Relizds tods ls omposiioes se otiee l siguiete tl: * g g g g g g g g g g g g g g g g El elemeto eutro es el giro de 60º que por omodidd hemos llmdo. Vemos que result u grupo llmdo grupo diédrio D Este es el grupo o elio o el meor úmero de elemetos y es isomorfo l que pree e el epígrfe 5. Cotiee los siguietes sugrupos propios:,,,, g, g (éste último es ílio isomorfo C ) 5... Grupo de ls simetrís del udrdo: D Los elemetos del grupo so los movimietos que podemos her l udrdo mteiédole superpoile su posiió origil. So oho: Giro de 90º (lo llmremos g) Giro de 80º (lo llmremos g ) Giro de 70º (lo llmremos g ) Giro de 60º (ó tmié 0º) (lo llmremos ) Reflexioes e toro ls dos meditries: v, h Reflexioes e toro ls dos digoles: D, d D v d h Relizds tods ls omposiioes se otiee l siguiete tl: * g g g h v d D g g g h v d D g g g g D d h v g g g g v h D d g g g g d D v h h d v D g g g v V D h d g g g d D v D h g g g D D h d v g g g El elemeto eutro es el giro de 60º que por omodidd hemos llmdo. Vemos que result u grupo llmdo grupo diédrio D Es u grupo o elio. Cotiee los siguietes sugrupos propios:, h, v, d, D, g, g, g, g, g, d, D, g, v, h 5..5 Grupos de ls permutioes de ojetos: S Del estudio de estos grupos es de dode h prtido l teorí de grupos moder. Ls permutioes de úmeros os yudrá idir ómo so los movimietos, pero o so propimete los elemetos del grupo. Los elemetos de estos grupos será los movimietos que reordee lists de ojetos. Ls permutioes ls esriiremos siempre prtiedo de u mismo orde (el umério o el lfétio) idido dejo l uev ordeió. Por ejemplo l permutió idi que, prtiedo de tres elemetos, se mtedrí l posiió del segudo ojeto mietrs que se itermirí ls posiioes del primero y terero. L permutió que o modifi el orde iiil se deomi idetidd y jugrá el ppel de elemeto eutro.... e =... Pr d permutió, se podrá hllr su ivers, que serí quell que devolvier l orde origil los elemetos ordedos. Lógimete si edeásemos ms permutioes se otedrí l permutió idetidd. E l estrutur de grupo diremos que so elemetos simétrios. 9

20 Por ejemplo, omo e l permutió = 5 5 p el primer elemeto ps l terer posiió, e l permutió ivers el terer elemeto deerá psr l primer posiió; y omo el segudo elemeto de p ps l últim posiió, e l permutió ivers el último elemeto deerá psr l segud posiió; estudido de est form tods ls ordeioes se otiee: p = 5 5! = ( ) ( ) K Como es sido, el úmero totl de ls permutioes de elemetos es, por lo que estudir el so de utro elemetos mejrí permutioes, grupo que result demsido volumioso pr her u estudio ompleto, lo otrrio que le ourre el so de dos elemetos, l resultr u grupo de úimete permutioes. El estudio deudo es el de ls 6 permutioes de tres elemetos: El grupo G = e,,,, d, f estrá formdo o ests 6 permutioes: e = = = = d = f = L operió será l omposiió (oteió) de movimietos. Es deir que movimieto fil reorderá los ojetos tl omo hy queddo ordedos o el movimieto iiil. Por oveio se empiez o l permutió que se esrie e segudo lugr. Vemos por ejemplo l operió *d. Empezdo o l permutió d, el elemeto etrl mtedrá su posiió itermiádols los extremos. Por lo que hst hor tedrímos: Ahor se relizrí el movimieto de l permutió. Co ést, el primer ojeto ps l etro, el º l fil. y el último l iiio. Como los ojetos que euetr so ( ) los reorderá omo ( ) Como l permutió = Todo este proeso se visuliz sí: *d = es l que reliz este movimieto deduimos que *d = Relizds tods ls omposiioes result l tl: * e d f e e d f e d f e f d f d e d d f e f f d e * = = L operió está errd, y que se otiee resultdos perteeietes l mismo ojuto G. e es el elemeto eutro, so simétrios uo del otro e,, d, f so simétrios de sí mismos Eligiedo todos los tríos posiles, se demostrrí que se umple l propiedd soitiv. El grupo reie el omre de grupo simétrio S No se umple l propiedd omuttiv, vése ómo * = d mietrs que * = f Result u tl similr l del grupo diédrio de 6 elemetos o elio y visto. Se die etoes que S es isomorfo l grupo diédrio D Cotiee los sugrupos de orde dos: e, e, d e, f y l sugrupo de orde tres e,,. Ls permutioes e,, reie el omre de permutioes pres y ls resttes, d, f impres. De form similr, se puede estudir ls permutioes de elemetos resultdo los grupos simétrios S, que tiee ovimete! elemetos. Cd uo de ellos otiee, etre otros, l sugrupo ílio! formdo por los elemetos pres, l que se deomi grupo lterdo. 0

21 5..5. Notió de ilos Existe otr otió más ompt de ls permutioes, llmd otió de ilos. U ilo de logitud L es u permutió que itermi ílimete L elemetos y fij los resttes. Etre prétesis preerá esritos vrios elemetos, se etederá etoes que el segudo elemeto es l imge del primero, el terero l imge del segudo, y seguimos sí hst el último uy imge es el primero. Si hy otros elemetos que o pree esritos e el ilo, se etederá que so imágees de sí mismos. Est otió revel mejor l estrutur iter de l permutió. Por ejemplo, el ilo ( 5 6) equivle l permutió: Es posile que u permutió oteg más de u ilo. De ser sí, se esrie, uos otiuió de otros, vrios ilos etre prétesis, y se turí de l mism mer. Por ejemplo, l otió íli ( 5 6)( ) equivle l permutió: y vievers. Si queremos desompoer u permutió e ilos disjutos, empezrímos o ulquier elemeto. Lo esriimos, su dereh esriimos su imge, l dereh de est, l imge de su imge, y seguimos sí hst que se omplete u ilo. Luego ogemos ulquier elemeto o oteido e el primer ilo, volvemos esriir su imge su dereh, y otiumos hst ompletr el segudo ilo. El proeso otiú hst que l permutió eter h queddo desrit omo produto de ilos disjutos. Si lgú elemeto fuese imge de sí mismo, o es eesrio expliitrlo omo ilo de u elemeto. Por ejemplo, l permutió: equivle l otió íli: ( 5)( ) L desomposiió relizd por el proedimieto terior o es úi e priipio, pues de her empezdo por otros elemetos, podrímos her oteido otros resultdos equivletes: Por ejemplo, l permutió: tmié equivle l otió íli: ( )(5 ) L desomposiió ói de u permutió omo produto de ilos se otiee olodo e primer lugr de d ilo el úmero más pequeño del mismo. Posteriormete se proede l oloió de los ilos, olodo primero el ilo uyo primer elemeto se meor. Freuetemete, suele omitirse los ilos de logitud. Así l permutió ( )()( 5) se esrie simplemete omo ( )( 5). Si quisiésemos hllr el orde de determid permutió, es deir, el míimo úmero de vees que tuviésemos que ompoer u permutió osigo mism pr oteer l permutió idetidd, se puede plir el siguiete teorem: Si llmmos l,...,l orde ( p ) = m.. m.( l,..., l m ) m l logitud de los ilos e que esté desompuest l permutió, su orde oiidirá o su míimo omú múltiplo. Ejemplo: ll el orde de l permutió: p = Primero oteemos su otió íli: ( )( 5 6 ). El primer ilo tiee logitud y el segudo. Por lo tto su orde es. Esto sigifi que p result el elemeto eutro. L otió de ilos es tmié útil pr hllr fáilmete l ivers de u permutió: Ejemplo: ll l permutió ivers de Primero overtirímos dih permutió e ilos: p = ( )( 6 ) Su ivers, e ilos, es ovimete: = ( )( 6 5 ) p = p, de dode: p = 6 5

22 5.5 omomorfismo de Grupos emos visto hst hor ejemplos de grupos e los que se podí oservr gr preido etre sus tls de Cyley reooiedo l mism estrutur plid elemetos y operioes distits. E primer lugr defiiremos el homomorfismo de grupos, pr termir o lo que se deomi isomorfismo. L defiiió de homomorfismo es l que sigue: ( G, ) es homomorfo (, o ) f : G x, x G f ( x x ) = f ( x ) o f ( x ) L fuió f reie el omre homomorfismo etre los grupos G y El homomorfismo se ostruirá de mer distit segú se los grupos fiitos o ifiitos. De ser fiitos el homomorfismo será simplemete u tl mietrs de ser ifiitos defiirímos u fuió. Ejemplo: Demuestr que l fuió defiid etre el grupo ditivo de los úmeros reles y el grupo x f : R, + R 0, o f ( x) = e, es u multiplitivo de los úmeros reles exluido el ero ( ) ( { } ) homomorfismo. f ( x + x ) = e = e e = f ( x ) f ( x ) x + x x x Ejemplo: Demuestr que el grupo multiplitivo de los úmeros omplejos exluido el ero es homomorfo l grupo multiplitivo de los úmeros reles exluido el ero. Es sido que l multiplir dos úmeros omplejos e form polr se multipli sus módulos (y se sum sus rgumetos, pero est prte o l eesitremos) por lo que l fuió { } f ( z) x y = + o z x yi ( ) ( { } ) f : 0, + 0, = + umplirá l odiió de homomorfismo: f ( z z) = f ( z) f ( z) 5.5. Defiiió de Núleo e imge de u homomorfismo Todos quellos elemetos de G uy imge medite el homomorfismo f se el elemeto eutro de (l que llmremos e ) form u suojuto de G llmdo úleo del homomorfismo y se esrie Ker(f). { x G f ( x } Ker ( f ) = ) = Todos quellos elemetos de que se imge de lgú elemeto de G medite el homomorfismo f form u suojuto de llmdo imge del homomorfismo y se esrie Im(f). e { y x G, f ( x y} Im( f ) = ) = 5.5. Propieddes de los homomorfismos pr el elemeto eutro y los elemetos simétrios Teorem: E todo homomorfismo, l imge del elemeto eutro G de (, o). Es deir, que f ( e G ) = e. Demostrió: x G, f ( x e ) = f ( x) o f ( e ) f ( x) = f ( x) o f ( e ) f ( e ) = e G () G () (): Defiiió de omomorfismo (): Propiedd del elemeto eutro e G (): Al ser u grupo, podemos simplifir f(x) G () G e de ( G, ) es el elemeto eutro e Teorem: E todo homomorfismo, l imge del simétrio de ulquier elemeto de G es simétri de l imge de diho elemeto. Es deir, que ( ) f ( x ) Demostrió: so simétrios. () f ( x) o f ( x ) = f ( x x ) = f ( eg ) = e x G, () () () f ( x ) o f ( x) = f ( x x) = f ( e ) = e () (): Defiiió de omomorfismo (): Propiedd de los elemetos simétrios e G (): Aterior demostrió G () f ( x ) = f ( x ). O, diho de otr form, que (x) f (x) y f ( x ) so simétrios f y

23 5.5. Teorem: El Núleo de u homomorfismo es sugrupo del grupo iiil ( G, ) Demostrió: Demostrremos que el úleo de u homomorfismo umple l odiió eesri y sufiiete de los sugrupos: ( Ker( f ), ) es sugrupo de ( G, ) ( x, x Ker( f ) x x Ker( )) f x, x () f ( x Ker( f ) f ( x x ) = () f ( x ) o ) = e f ( x f ( x ) = e () f ( x ) = e o e ) = e (5) = e () = e () x () x (6) Ker( f ) ( Ker( f ), ) es sugrupo de ( G, ) (): Defiiió de Núleo de u homomorfismo (): Defiiió de omomorfismo (): Aterior demostrió sore simétrios (5): Propiedd del elemeto eutro (): Los elemetos eutros so simétrios de sí mismos (6): Codiió eesri de los sugrupos 5.5. Teorem: L Imge de u homomorfismo es sugrupo del grupo fil (, o) Demostrió: Demostrremos que l imge de u homomorfismo umple l odiió eesri y sufiiete de los sugrupos: ( Im( f ), o ) es sugrupo de (, o) ( y, y Im( f ) y o y Im( )) y, y () f ( x Im( f ) x x ) = () f ( x ) o G f ( x f ( x x G f ( x ) = y ) = y ) = y o y () (): Defiiió de Imge de u homomorfismo (): Aterior demostrió sore simétrios (): Defiiió de omomorfismo (): Codiió eesri de los sugrupos f ( x () f ) = y y o y () () Im( f ) ( Im( f ), o) es sugrupo de (, o) Todos estos teorems puede ser útiles pr ostruir u homomorfismo etre dos grupos o pr demostrr que u grupo o es homomorfo otro. Ejemplo: Costruye u homomorfismo etre Z 6, el grupo ditivo de ls lses de restos módulo 6, y C, el grupo multiplitivo que ls ríes úis de l uidd. Teemos etoes: Z { 0,,,,, 5} y C {,, } 6 = = siedo = π y = π Semos que l imge del elemeto eutro de Z 6 dee ser el elemeto eutro de C. Por lo tto: f ( 0) = Como es simétrio de sí mismo e 6 0, es sugrupo de Z 6, por lo que podrí jugr el ppel de úleo del homorfismo f. Por lo tto: f ( ) = Z, { } Como y 5 so simétrios, sus respetivs imágees dee ser tmié simétris. Si optmos porque f ( ) =, os oligrí que f ( 5) =. Algo similr suede o y, que tmié so simétrios. Si deidimos que f ( ) =, os oligrí que f ( ) =. Quedrá etoes: Z 6 C x f (x) 0 5 Úimete qued ompror que es u homomorfismo. Es deir que: f ( x + x ) = f ( x ) f ( x ) pr tods ls prejs de elemetos de Z 6. Al ser l sum u operió omuttiv, sólo hremos l mitd de los álulos. Además, se puede trtr de u sol vez tods ls prejs e ls que uo de los elemetos es el eutro. Vemos todo ello:

24 f (0 + x) = f ( x) f (0) f ( x) = f ( x) = f ( x) f ( + ) = f (5) = f () f () = = f ( + ) = f (0) = f () f () = = f ( + 5) = f () = f () f (5) = = f ( + ) = f () = f () f () = = f ( + 5) = f (0) = f () f (5) = = Por lo tto, ( Z + ) es homomorfo ( G, ) 6, f ( + 5) = f () = f () f (5) = = f ( + ) = f () = f () f () = = f ( + ) = f () = f () f () = = f ( + ) = f () = f () f () = = f ( + ) = f (0) = f () f () = = f ( + 5) = f () = f () f (5) = = f ( + ) = f () = f () f () = = f ( + ) = f (5) = f () f () = = f ( + ) = f () = f () f () = = f (5 + 5) = f () = f (5) f (5) = = 5.6 Isomorfismo de Grupos Y hímos eotrdo ejemplos de grupos e los que se podí oservr gr preido etre sus tls de Cyley. Este preido se puede sistemtizr de tl mer que podmos teer estudidos de mer strt todos los grupos posiles, de mer que, udo eotremos ulquier ejemplo de grupo o elemetos y operió orets, tedrá l mism form que uo de los grupos y estudidos de mer strt. Pr dos grupos fiitos ormlmete se visulizrá los emprejmietos medite u tl (o u digrm de Ve), de ulquier mer los emprejmieto será uo-uo (es deir, u iyeió) de los elemetos de mos grupos de tl mer que si e l tl de Cyley del primer grupo sustituyésemos d elemeto por su respetiv prej, preiese l mism tl de Cyley del º grupo. E resume, llmremos isomorfismo u homorfismo iyetivo y, de existir, diremos que los grupos so isomorfismo. Si los grupos fuese ifiitos, el isomorfismo será u fuió iyetiv o expresió lgeri que relioe mos ojutos. Pr dos grupos isomorfos o existe u úio isomorfismo posile, ormlmete se podrá ostruir de diverss forms. Ls distits vrites tedrá e omú lo y visto pr los homorfismos: que preerá emprejdos los elemetos eutros y que, teiedo emprejdos dos elemetos, estrá emprejdos sus simétrios respetivos. Tmié, omo demostrremos después, preerá emprejdos elemetos o el mismo orde. L defiiió es l que sigue: ( G ) es isomorfo (, ), o f (iyetiv) : G x, x G f ( x x ) = f ( x) o f ( x ) L fuió f reie el omre de isomorfismo etre los grupos G y Ejemplo de Isomorfismo de grupos ifiitos: Se puede demostrr fáilmete que el ojuto G = { Z} divisiles etre o l sum trdiiol de úmeros reles tiee estrutur de grupo ditivo: { G, + } formdo por todos los úmeros eteros Tmié se puede demostrr si difiultd que el ojuto = { Z} formdo por tods ls poteis de se y expoete etero o el produto trdiiol de úmeros reles tiee estrutur de grupo multiplitivo: {, } Amos grupos so isomorfos, lo demostrremos ostruyedo l siguiete fuió: f : ( G, + ) (, ) o ( ) = f o Z Vemos que umple l odiió de omomorfismo: + f + = f + = = o ( ) ( ( )) Vemos que es Iyetiv: f = f =, Z ( ) ( ) = = 0 = Vemos que es Soreyetiv: Pr d elemeto Por lo tto ( G, + ) y (, ) o, Z de, se puede eotrr u elemeto de G que se su orige, es ovimete: so isomorfos.

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