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1 CONTENIDO IDENTIFICACIÓN... 2 PLANIFICACIÓN DE LOS ENCUENTROS... 2 PROGRAMA ANALITICO... 3 ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Itroduccó Objetvos Geerales Desarrollo... 9 Prmer ecuetro... 9 Segudo ecuetro... Tercer ecuetro... Cuarto ecuetro Bblografía Cometada Materal Explcatvo Ejemplfcacó Métodos a utlzar Coclusoes Glosaro de térmos téccos TEXTO GUIA... 7 Udad.. Itroduccó a la Matemátca Facera... 7 Udad 2. Captalzacó Smple y Compuesta Udad 3. Aualdad GLOSARIO DE TÉRMINOS TÉCNICOS Práctcos Práctco Iterés Smple Práctco Iterés Compuesto Práctco Ecuacoes de valor Práctco Aualdades Certas ordaras Práctco Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U.

2 Aualdades Atcpadas Práctco Amortzacoes y fodos de amortzacó IDENTIFICACIÓN Modaldad de Estudos Cursos por Ecuetros Gestó Académca Módulo Carreras Área Empresaral Docete Ig. Rubé Toyama U. Día de Ecuetro (Presecal) Sábados Hora Aula Día de Tutoría (Dstaca) Hora PLANIFICACIÓN DE LOS ENCUENTROS PRIMER SEGUNDO TERCER CUARTO ENCUENTRO ENCUENTRO ENCUENTRO ENCUENTRO Udad Udad 2 Udad 3 Udad 4 (Cotuacó) UNIDAD - TEMAS Udad 2 DE AVANCE Evaluacó Evaluacó MATEMATICAS FINANCIERAS Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 2

3 PROGRAMA ANALITICO IDENTIFICACION Carrera : Audtora; Ig. Comercal; Ig. de Sstemas Matera : Matemátcas faceras Sgla : MAT 220 Carga horara : 4 HT 2HP Nvel : Cuarto semestre Requsto : MAT - 22 E vgeca : Marzo I. JUSTIFICACIÓN La presete asgatura cotrbuye a la formacó del profesoal e el setdo de brdar ua base de coocmetos y destrezas para compreder el feómeo de la varacó del dero e el tempo como captalzacó y actualzacó e sus dferetes formas así també como seta las bases para troducr e el ámbto de de la evaluacó de alteratvas ecoómcas o proyectos. II. OBJETIVOS GENERALES. Aplcar co perteca los procedmetos, téccas y herrametas del cálculo facero que permta aalzar y calcular las varacoes de las sumas de dero a través del tempo utlzado modelos de smulacó co setdo crítco y rgor e los resultados III. CONTENIDOS Udad Itroduccó a las matemátcas faceras Objetvo específco. Adqurr los coocmetos matemátcos ecesaros para el apredzaje sgfcatvo de la asgatura. Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 3

4 Cotedo La matemátca facera Aplcacoes de la matemátca facera Progresoes artmétcas y geométrcas - Seres Logartmos Coversoes de udades de tempo, cálculo de fechas Udad 2 Captalzacó y actualzacó, smple y compuesta Objetvos específcos. Coceptuar los térmos: tasa actva y pasva, terés, captal, moto, descueto comercal o bacaro, tasa omal y efectva, perodo de captalzacó, tasa proporcoal y equvalete, ecuacó de valor, captalzacó, actualzacó. 2. Dferecar los procesos de captalzacó e régme de terés smple y compuesto. 3. Aplcar los coceptos y metodologías pertetes e la solucó de terés smple y compuesto. Cotedo Captalzacó smple Cocepto Cálculo de terés. Tasa actva y pasva Relacó etre terés real y comercal Tasa omal atcpada y tasa vecda Descueto smple a tasa de descueto Descueto bacaro Relacó etre el descueto racoal y comercal Captalzacó compuesta Cocepto Tasa omal y efectva e el tempo Cálculo de la tasa y el úmero de perodos a terés compuesto Cálculo del valor actual y el moto a terés compuesto Comparacó etre terés smple y compuesto Comparacó a terés compuestos etre dferetes perodos de captalzacó Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 4

5 Descueto bacaro compuesto Ecuacoes de valor Udad 3 Aualdades y retas Objetvos específcos. Coceptuar los térmos: Aualdades certas cotgetes, vecdas, atcpadas, dferdas y perpetuas 2. Calcular las dferetes varables de ua aualdades la resolucó de problemas aplcado las herrametas adecuadas Cotedo Cocepto y clasfcacó de aualdad Aualdad certa Aualdad cotgete Aualdad ordara o vecda Aualdad atcpada Aualdad dferda Aualdad perpetua Udad 4 Amortzacó Objetvos específcos. Adqurr los coceptos de: Amortzacó, cuotas, teres por perodo, saldo soluto 2. Cofeccoar las tablas de amortzacó para los dferetes sstemas de devolucó de prestamos 3. Utlzar las herrametas computacoales adecuadas para vsualzar los cálculos faceros Cotedo 4.. Cocepto de amortzacó 4.2. Cálculo del valor de la amortzacó 4.3. Vetas a plazo 4.4. Amortzacó de ua deuda Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 5

6 4.5. Sstemas de amortzacó 4.6. Tablas de amortzacó. Udad 5 Evaluacó de alteratvas ecoómcas Objetvos específcos. Coceptuar los térmos: Valor actual eto, tasa tera de retoro, tasa míma atractva de retoro, versó cal, gresos auales, costo aual de operacó, valor de salvameto, vda útl 2. Aalzar las alteratvas ecoómcas que preseta los proyectos de versó utlzado el método adecuado, para la toma de decsó por la alteratva coveete Cotedo Flujo de caja y cálculo de valor presete de flujo de caja Cocepto del valor actual eto Cálculo de valor actual eto e terpretacó de resultados Cálculo de VAN para proyectos de vda utl guales y dsttas Cocepto de tasa tera de retoro (TIR) Cálculo de la Tasa tera de retoro Método de aproxmacó para el cálculo de la TIR IV. METODOLOGIA El presete curso se desarrollará bajo la guía drecta del docete, medate la coceptuacó de las varadas termologías aplcadas e el leguaje de las matemátcas faceras, coceptuacó que será llevada a cabo medate la partcpacó actva de los estudates a través de lluvas de deas, durate el desarrollo del curso se ejecutará bastates ejerccos práctcos que lustre de maera efectva la aplcacó de las metodologías e la varedad de casos aplcables a la realdad a objeto de lograr u apredzaje sgfcatvo para los dferetes tpos de cotedos cotemplados e la asgatura. Para cada tema el alumado resolverá práctcos e los cuales desarrollará sus habldades y competecas a objeto de asmlar de la mejor maera los cotedos procedmetales de la asgatura. Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 6

7 V. SISTEMA DE EVALUACION Matera tpo B. Sstema por ecuetros Examees 60 pts. Actvdades académcas 20 pts. Trabajo de vestgacó 20 pts. TOTAL 00 pts Assteca míma oblgatora del 80 % del total de clases, ota míma de aprobacó 5 pts. VI. BIBLIOGRAFIA. LELAND T. BLANK ANTHONY J. TARQUIN. Igeería ecoómca. Ed. McGraw Hll. Colomba LINCOYAN PORTUS. Matemátcas faceras. Ed. McGraw Hll. Colomba FRANK AYRES. Matemátcas faceras. Ed. McGraw Hll. Méxco CISELL CISELL. FLASPOHLER. Matemátcas faceras Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 7

8 ORIENTACIONES METODOLÓGICAS. - Itroduccó. La matemátca facera es ua dscpla que ca e los estudates haca el estudo del área de las fazas y es e ese setdo que esta asgatura proporcoa a los estudates las bases sóldas y ecesaras para ecarar a futuro el estudo de próxmas asgaturas. El aporte de la presete asgatura a las demás asgaturas de las dferetes mallas currculares es mportate puesto que las competecas adqurdas durate el estudo de las matemátcas faceras, costtuye la base fudametal para materas como Fazas y Fazas 2, así como també de materas como Proyectos. Cabe resaltar que el presete texto guía ha sdo redactado como producto de años de expereca e la eseñaza de la presete asgatura e el sstema modular presecal, e el texto guía se ha utlzado u leguaje claro y secllo s perder el setdo técco propo de la asgatura cuyo leguaje es mposble de eludr. Detro del estudo de las es de vtal mportaca el apredzaje de los sguetes aspectos: a) El domo de palabras téccas propas de las. b) Es desevolvmeto efcaz e lo referete al maejo de formulas. c) La ubcacó acertada e el eje del tempo. d) El cálculo del terés smple y compuesto. e) El maejo adecuado e el cálculo de las aualdades Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 8

9 ..- Objetvos Geerales Asmlar los coceptos utlzados e el cálculo de las y desarrollar el cálculo de varables heretes a los procesos de captalzacó y actualzacó. El objetvo geeral busca que el estudate adquera las competecas ecesaras y sufcetes para lograr el cálculo de las dferetes varables heretes a los procesos de captalzaro y actualzacó a terés smple y compuesto. 2.- Desarrollo La dstrbucó de los temas e los cuatro úcleos temátcos a lo largo del presete curso obedece a u setdo de co-lealdad de los cotedos para el apredzaje adecuado de los msmos y a aspectos de tempo para lograr el alcace de los objetvos y adquscó de las competecas ecesaras de parte del estudate e el estudo de las. Prmer ecuetro Udad Itroduccó a las matemátcas faceras Objetvo específco. Adqurr los coocmetos matemátcos ecesaros para el apredzaje sgfcatvo de la asgatura. Cotedo La matemátca facera Aplcacoes de la matemátca facera Progresoes artmétcas y geométrcas - Seres Logartmos Coversoes de udades de tempo, cálculo de fechas Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 9

10 Udad 2 Captalzacó y actualzacó, smple y compuesta Objetvos específcos. Coceptuar los térmos: tasa actva y pasva, terés, captal, moto, descueto comercal o bacaro, tasa omal y efectva, perodo de captalzacó, tasa proporcoal y equvalete, ecuacó de valor, captalzacó, actualzacó. 2. Dferecar los procesos de captalzacó e régme de terés smple y compuesto. 3. Aplcar los coceptos y metodologías pertetes e la solucó de terés smple y compuesto. Cotedo Captalzacó smple Cocepto Cálculo de terés. Tasa actva y pasva Relacó etre terés real y comercal Tasa omal atcpada y tasa vecda Descueto smple a tasa de descueto Descueto bacaro Relacó etre el descueto racoal y comercal Sítess La udad, es ua udad etamete troductora al mudo de las, esta udad se desarrolla coceptos teórcos báscos y se realza cálculos báscos e los referete a la coversó de udades de tempo, captal y tasas, se espera que todos los estudates haya leído estos cotedos para el º ecuetro. E este prmer ecuetro se hará ua dscusó sobre las dudas surja e los estudates, luego de las lecturas prevas al ecuetro. El cotedo de la udad 2 a desarrollarse durate este prmer ecuetro se hará de modo que el docete explcará de qué maera se realza los cálculos de las dferetes varables e los préstamos a terés smple, así como e el cálculo de descuetos. Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 0

11 E el º ecetro el estudate debe llegar co ua lectura compresva de la º y 2º udad utlzado el ecuetro físco a objeto de aclarar las dudas que pudera exstr, luego cotuará co el desarrollo de la 2º udad de e lo referete al cálculo e prestamos y descuetos a terés smple. Segudo ecuetro Captalzacó compuesta Cocepto Tasa omal y efectva e el tempo Cálculo de la tasa y el úmero de perodos a terés compuesto Cálculo del valor actual y el moto a terés compuesto Comparacó etre terés smple y compuesto Comparacó a terés compuestos etre dferetes perodos de captalzacó Descueto bacaro compuesto Ecuacoes de valor Sítess El 2º ecuetro se cará co el tema de Captalzacó a terés compuesto e el cual tee u lugar mportate e el apredzaje la etapa de coceptuacó adecuada de los térmos para pasar luego al cálculo de las dferetes varables que hace parte de los cálculos a terés compuesto, para falmete pasar al cálculo de las ecuacoes de valor. Tercer ecuetro Udad 3. Aualdades y retas Objetvos específcos Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U.

12 . Coceptuar los térmos: Aualdades certas cotgetes, vecdas, atcpadas, dferdas y perpetuas 2. Calcular las dferetes varables de ua aualdades la resolucó de problemas aplcado las herrametas adecuadas Cotedo a. Cocepto y clasfcacó de aualdad b. Aualdad certa c. Aualdad cotgete d. Aualdad ordara o vecda e. Aualdad atcpada f. Aualdad dferda g. Aualdad perpetua Sítess E el 3º ecuetro, el cotedo a desarrollar será el estudo de las aualdades e sus dferetes formas, e este ecuetro se aalzará la aturaleza de las aualdades, prcpalmete las aualdades certas y dferdas Cuarto ecuetro Udad 4 Amortzacó Objetvos específcos. Adqurr los coceptos de: Amortzacó, cuotas, terés por perodo, saldo soluto 2. Cofeccoar las tablas de amortzacó para los dferetes sstemas de devolucó de prestamos 3. Utlzar las herrametas computacoales adecuadas para vsualzar los cálculos faceros Cotedo 4.. Cocepto de amortzacó Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 2

13 4.2. Cálculo del valor de la amortzacó 4.3. Vetas a plazo 4.4. Amortzacó de ua deuda 4.5. Sstemas de amortzacó 4.6. Tablas de amortzacó Sítess E el 4º ecuetro se hará u rápdo estudo de las dferetes metodologías exstetes para la devolucó de los préstamos de etdades faceras a través de la costruccó de los dferetes sstemas de devolucó de préstamos Nota Para lograr alcazar co éxto los objetvos plateados e la asgatura, así como la adquscó de las competecas plateadas, es mportate tomar e cueta lo sguete: Traer a todos los ecuetros ua calculadora (de prefereca que sea calculadora cetífca). Leer co atcpacó al ecuetro todos los coceptos desarrollados e el texto guía, para aclarar dudas durate la clase presecal. Desarrollar e lo posble (reproducr por cueta propa) los msmos ejemplos resueltos e el texto guía. Estar presete e el aula putualmete Bblografía Cometada. El lbro de, elaborado e su totaldad por el Ig. Rubé Toyama, se costtuye e ua guía práctca para el apredzaje de las y surge como resultado del cojuto de experecas acumuladas durate años de expereca e la eseñaza.. Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 3

14 Se recomeda la realzacó de cada uo de los ejemplos mostrados e el texto; puesto que, de esta maera el partcpate podrá r adquredo las competecas ecesaras e lo referete al cálculo de los estadígrafos que e esta asgatura se desarrolla. Es també mportate e la medda de las posbldades de tempo y de recursos, la lecturas de apoyo de los lbros: Igeería ecoómca de Blak & Tark y de otros más para acompañar el apredzaje Materal Explcatvo El texto guía cotee sufcete materal explcatvo, puesto que, la redaccó de los coceptos está e u leguaje claro y de uso cotdao para mayor compresó pero s perder el setdo técco del msmo; además, e cada ua de los temas exste los ejemplos que e su tegrdad desarrollados paso a paso para su mayor compresó Ejemplfcacó El texto guía ofrece al lector sufcete ejemplfcacó; puesto que, luego de los coceptos exste los ejerccos de aplcacó e los que se detalla paso a paso la forma e que se debe proceder para la solucó de los dferetes problemas plateados Métodos a utlzar E el prmer perodo del ecuetro físco el docete desarrollará los coceptos ecesaros co la partcpacó actva de los partcpates; puesto que, se sobreetede que ellos ha proceddo a la lectura compresva de los coceptos, luego se desarrollará u ejemplo práctco co la partcpacó actva del docete y de los estudates. Para proceder e el segudo perodo a la solucó de ejemplos smlares e grupos ó células, co la guía permaete del docete. E los ecuetros vrtuales se presetará las tareas plateadas co aterordad e las clases Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 4

15 presecales, y se aclarará las dudas que surja durate la solucó de las tareas por parte de los estudates. 3. Coclusoes Para cocretar el apredzaje de los temas el estudate debe desarrollar e su domclo los práctcos plateados e el texto guía, pudedo hacer uso de los ecuetros vrtuales para la aclaracó de las dudas e la resolucó de los msmos Pregutas y ejerccos para realzar e forma dvdual o colectva co respuestas. Los práctcos se ecuetra al fal del Texto Guía, los msmos se ecuetra elaborados de acuerdo a la secueca de avace de la asgatura. 4. Glosaro de térmos téccos El texto guía cotee la coceptuacó de todos los térmos propos de las utlzados e el presete curso, por lo que se recomeda la lectura compresva de cada uo de los títulos y subtítulos desarrollados e el msmo para tercoectar la compresó de los coceptos co la aplcacó práctca e el desarrollo de los problemas de aplcacó. Por la mportaca de varos térmos utlzados la matera, el texto guía cotee u glosaro de térmos téccos; dcho glosaro se ecuetra e la parte fal haga clc aquí Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 5

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17 TEXTO GUIA Udad.. Itroduccó a la Matemátca Facera E esta udad aalzaremos alguos coocmetos prevos al estudo de las matemátcas facera como ser el cálculo del tempo etre fechas y la determacó de fechas a partr de u tempo coocdo. El Tempo El tempo e matemátca facera se expresa e días, meses y años. E matemátca facera utlzaremos el año comercal que costa de 2 meses, de 30 días, u año 360 días. año = 2 meses mes = 30 día Ejemplo a) Cuátos años, meses y días hay e meses 3 año = 36 meses 3.24 meses = 3 meses b) años año 0, mes 30 das año * * 26 das año mes Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 7

18 R. año, 26 das c) meses 9 año = 08 meses 2 mes Determacó del tempo etre Fechas.- Para determar el tempo etre fechas se debe realzar la resta etre la fecha posteror y la fecha ateror. Ejemplo a) Hallar los meses que hay etre 8 de julo del 2006 y el 22 de agosto del / 07/ / 08 / 05 6 /0/ 00 b) 22/05/98 y 23/08/06 Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 8

19 R. 99, 033 meses c) 27/0/92 a 03/04/ mes 3 años * 56 mes año 5 mes 5mes mes 6 días* 0, 2 mes 30 días Total6, 2meses Determacó de ua fecha u tempo después de otra fecha.- Qué fecha es? a) 36 meses y 5 días después de 9 de agosto del 2003 Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 9

20 = b) meses después de 7/09/98 53 meses = 4años y 5 meses 30 días 0,724 meses * 22, 26 días mes = c) meses después de 27/0/99 46 meses Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 20

21 Determar la fecha que está u tempo ates de ua fecha dada a) Qué fecha es 2 años, 3 meses y 24 días ates del 07/05/ b) meses ates del 27/06/0 29,36 meses = 2 años, 5,36 meses 30 días 0,36 meses * 0, 8 días =días mes c) 3.25 años ates del 03/04/ años Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 2

22 Udad 2. Captalzacó Smple y Compuesta Objetvos de la udad Al falzar la preseta udad seré capaz de:. Coceptuar las sguetes térmos: Actualzar, captalzar, captalzacó smple, captalzacó compuesta, captal, terés, tasa de terés, úmero de perodo, descueto racoal, descueto comercal o bacaro, valor omal, valor actual o presete, tasa equvalete, tasa efectva, tasa omal, ecuacó de valor, pto. Focal 2. Calcular las dferetes varables e los préstamos a terés smple y el terés compuesto. 3. calcular las dferetes varables, e los descuetos comercal y racoal. 4. plaear y resolver ecuacoes de valor e problemas. INTRODUCCIÓN E esta udad veremos la varacó del dero a través del tempo, ya sea haca el futuro (captalzacó) o haca el pasado (actualzacó). La captalzacó puede darse e 2 sstemas: a terés smple y a terés compuesto. Varables a cosderar Captal C es el dero que se presta e u préstamo. Iterés I es el dero que se paga por el hecho de haber recbdo prestado u dero. Tasa de Iterés (%) Es el porcetaje del terés co respecto al captal que se paga por udad de tempo. Tasa e tato por uo La tasa de terés suele expresar e tato por uo al dvdr su valor etre 00. Número de Perodos Es el tempo que durará el préstamo, se expresa e udades de: mes, trmestre, semestre, año. Captalzacó a terés smple E los préstamos a terés smple el terés gaado por Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 22

23 udad de tempo se matee costate. Ejemplo S se ha prestado 200 $ a ua tasa de 2% aual sgfca que por cada mes cada 00$ se pagará 2 $ de terés, y e el presete caso por cada 200 $ recbrá 4 $ de terés cada mes. La expresó que relacoa las varables a terés smple es: Moto a terés smple S El moto es la catdad que se debe devolver cuado se ha realzado u préstamo durate u tempo, el Moto es gual a Captal + Iterés. Reemplazado el valor del terés teemos. NOTA Al reemplazar la fórmula se debe teer e cueta que el tempo () y la tasa () tee que estar e el msmo sstema. Ejemplo Calcular cuáto debe devolver do Marco s obtuvo u préstamo de 300$ el 3/0/2005 a ua tasa de.5% mesual y debe devolver hoy 3/04/2006. Datos S =? S C( ) C=300$ S 300( 0.05* 6) % =.5 % = 6 meses Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 23

24 Rta. Debe devolver 327 $ Nota. E muchas oportudades la tasa de terés está expresada e % aual, es decr que so los $ que se gaa por cada 00 $ de captal e u año pero a veces es ecesaro covertr a ua tasa e otro sstema de tempo como ser: mesual, trmestral, etc. Para el cual utlzaremos el sguete cuadro. Para covertr de aual a # Semestral 2 Cuatrmestral 3 Trmestral 4 Bmestral 6 Mesual 2 Para hallar la tasa e tato por uo e la udad de tempo adecuada se utlza la formula: % a #00 Ejemplo. Hoy es 04/04/2006, do Jua prestó 4500$ a ua tasa de 4 %a. Cuáto deberá cobrar el 9 de dcembre de 2006? C % S 4500$ 4% a? 4 2* Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 24

25 S C *8.5 S $ Rta. Deberá cobrar 4346,25 $ 2. Doña María prestó 2500$ el 0/03/2006 a ua tasa del 8% aual. E qué fecha el terés gaado será 00$ Datos C = 2500 $ % = 8%a I = 00 $ I C *00 I c *0.05 Rta. La fecha es el 30 de Mayo de Doña Juaa prestó 700Bs al 20% aual el 5/0/05. Qué moto recbrá el 24/2/06? C % S % a? 20 2* Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 25

26 Rta. El 24 de Dcembre del 2006 recbrá 866,76 Bs. 5. El 5 de Marzo se realzó u préstamo de 800$ que el 30 de Novembre geeró u moto de 856,67$. Determar la tasa aual empleada es este Préstamo. C S % 800 $ 856,67$? meses y 5 días = 8,5 meses De S C( ) despejo S C 856, ,5 0, de: % a despejamos %a=.#.00 #00 %a= = 0 %a Rta. La tasa aual empleada es 0 %a Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 26

27 6. El 04/03/2005 Do Pedro prestó 400 $us al 2% aual, el día 04/0/2005 él cobró el moto correspodete al dcho préstamo y de este dero separó 300 $us para refaccoar su auto, y el resto lo prestó a ua tasa de 0.8% mesual. Calcular: a) E qué fecha el moto de éste préstamo será 300 $us b) Cuál es el total de tereses gaado hasta el día 04/04/2006 Desarrollo a) Prmer Préstamo C = 400 $us %= 2% a a 2% a S = c ( + ) año = 7m* 2m año S = 400 ( + (0.2 * )) S = 498 $us = 98 $us (Apartó 300 $us para refaccoar auto) Iterés I S C I Segudo Préstamo C=98 $us S = c ( + ) % = 0.8% Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 27

28 S=300 $us =? 0.8% s c meses Rta. El moto será de 300 $ el 23 de Agosto de 2005 b) C = 98 I C = I 98*0.008* 6 I =? = 6 m Iterés Total It I I2 It Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 28

29 Del Práctco Nº (Iterés Smple) Nº 7.- Se tee 9000 $us, la tercera parte se presta durate 6,5 meses a ua tasa de 8 % aual, y el resto al 2 % mesual por el msmo tempo, al cabo de este tempo, la suma de ambos motos se presta al 20% aual, e qué tempo de este últmo préstamo el moto fal será de 2000 $us? $ S C( ) C= 3000$ S 3000 ( 0.05 *6.5) = 6,5m S 3292,5 $ %=8% m S=? 8 2* º Préstamo C 6000$ 6. 5meses S 2 C( ) % 2%m S 6000 ( 0.02 *6.5) 2 m 0.02 S $ 00 La suma de S + S2 St º Préstamo % m S C 20% a 20 2* $ Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 29

30 C I I C * meses Rta. El moto del 3º préstamo será de 2000 $ a los meses y 4 días. Nº 9.- El 4 de Septembre de 200 u prestamsta prestó 0000 $us a ua tasa de 20% aual, el 24 de Agosto de 2002 le devolvero el captal y el terés, este moto el lo volvó a prestar e la msma fecha pero a ua tasa de terés de 24 % aual, Cuáto le devolverá el 6 de Febrero de 2003? C % m 0000$ us 20% a 20 2* meses m 0d * d º Préstamo C % a 24 2* Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 30

31 Rta. Le devolverá la suma de 3252,5 $us Nº.- do Roberto dspoía de 200 $us, el de Septembre de 2008 prestó las 2/3 partes a ua tasa de 8% aual, y el resto a 24 % aual. Le devolvero ambos motos el 26 de Julo de 2009 y él cosguó prestarlo a otra persoa el moto total, pero al 6% aual. Cuáto recbrá el 5 de Eero de 200? º préstamo C 800 $us % a , m 0,5 0 meses y 5 días = 0,5 meses S C S 800 0,05 *0,5 926 $us 2º préstamo C 400 $us 24 % a m 24 2*00 0,5 0,02 S 400 0,02 *0,5 484 $us S t S S 2 S t $us Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 3

32 3º préstamo C 40 $us % a , m 5, 6333 meses 9 días y 5 meses = 5,6333 meses S 40 0,03333 *5,63333 = 55,88$ us Rta. El 5 de Eero del 200 do Roberto recbrá 55,88$ us Descueto Racoal Dr S por ua deuda que debe ser pagada e el futuro se decde pagar co atcpacó y se acuerda u descueto, este será depedete de la deuda, de la tasa acordada y el tempo de atcpacó, para etederlo mejor veremos alguos coceptos mportates: Valor Nomal V Es la deuda que se teía que pagar e el futuro. Descueto racoal Dr Es la catdad que se descueta por pagar adelatado. Valor Actual Va Es la catdad que se paga adelatado luego de aplcar el descueto. Tasa de descueto % Es el porcetaje al cual se aplca e descueto, també se puede calcular el tato por uo. Correspodeca terés Smple C Va I Dr S V % % Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 32

33 Ejemplo U pagaré por u valor 68000Bs vece el 8 de Septembre, se descueta el 8 de Juo a ua tasa de 0% aual. Calcular el valor del descueto Racoal y la catdad que se debe pagar por adelatado. V 68000Bs % 0% a 0% a 2* Dr? Va? de: V Va( ) Va , * 3 Va 6634,53 V Dr V Va Dr ,53 658, 47Bs Rta. El valor presete es 6634,53 Bs. y el descueto racoal es 658,47 Bs. Descueto Comercal D El descueto Comercal es el descueto calculado a partr de la deuda pagadera e el futuro medate la expresó: El descueto comercal es també coocdo como descueto bacaro y es el más utlzado porque se calcula a partr de la deuda. Ejemplo Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 33

34 . Cuáto se debe cacelar por u artículo que costaba 200$ s se aplca u descueto comercal de 5% aual por adelatarse el pago u año y medo? Datos. % 5% a 5% a Va? V 200$.5 Rta. Se debe cacelar 0$ Del Práctco Nº (Descueto Comercal a terés Smple) Nº 7.- E qué fecha fue pagado u documeto por 426 Bs que vecedo el 9 de mayo al 8% aual tuvo u descueto de.36bs? Datos. V % D? 426Bs 8% a 8 2* Despejado de la expresó,36 = 4 meses 426 * 0, D V * * teemos D * Rta. Restádole 4 meses a la fecha 9 de Mayo, obteemos que la fecha e que fue pagada la deuda es el 9 de Eero. Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 34

35 Nº 8.- U documeto por 3780 Bs co vecmeto e fecha 4/09/2002 fue descotado a ua tasa de 6% semestral y cacelado co u pago de Bs. E qué fecha se realzó dcha cacelacó? Datos. % 6% *00 Va V 3780 So dos meses y 0,366 meses D D D V 3780 Va 89.46$ D V* * m días 0,366mes * días Etoces so 2 meses y días mes Rta. La cacelacó se realzó el 3 de Julo de 2002 Dferecas etre Captalzacó a terés Smple y a Iterés Compuesto Captalzacó a terés Smple. La captalzacó a terés smple se preseta cuado el terés calculado para cada perodo se calcula a partr del captal prestado y e todos los perodos este terés es costate. Para etederlo mejor veremos el sguete ejemplo. Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 35

36 Captalzacó a Iterés Compuesto Se dce que u préstamo está bajo el régme o sstema a terés compuesto cuado a lo largo del préstamo se produce más de ua captalzacó, es decr que e más de ua ocasó se calcula el terés por perodo, el cual se adcoa al captal para calcular el terés del perodo sguete. Perodo de Captalzacó Es el espaco de tempo a cuya falzacó se produce el cálculo del terés para que forme parte del captal para el cálculo del terés del sguete perodo. Los perodos del captalzacó puede ser: mesual, bmestral, trmestral, semestral, aual etc. Para compreder mejor aalzaremos el sguete ejemplo. Ejemplo. Jua ha prestado 000 $us a terés compuesto a ua tasa de 0 % aual co captalzacó aual, Calcular el moto fal a los 3 años. Datos. Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 36

37 C % S 000$ us 0% aual ? 0, Rta. El moto fal a los 3 años será de 33 $us Perodo C I S=C+I º º º Resolver el problema ateror a terés Smple y emtr ua coclusó. C % S 000$ us 0% 0. 3? S C S * 3 S 300 $ us Coclusó A terés compuesto se geera más terés que a terés smple Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 37

38 Deduccó de la fórmula fudametal Para demostrar la fórmula utlzaremos u cuadro smlar al ateror pero de maera geérca I C (U Perodo) I C Perodo C I S = C + I º C C S C C C( ) S C( ) C( ) 2º C ( ) C ( ) S S 3º 2 2 C ( ) C( ) S C( )( ) C( C( S C( S C( ) ) ) ) ( 2 C( ) ) 2 C ( ) C( ) S C( ). Resolver el problema ateror a terés compuesto y co captalzacó mesual y emtr ua Datos. S C % coclusó. C( 000 tempo ) 36meses 0% aual 0 2*00 3año 0, S C S 000 0, ,8$ us 36 Coclusó Cuado los perodos de captalzacó so más cortos se geera más terés I Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 38

39 2. Qué captal prestado a ua tasa de 20 % aual co captalzacó mesual llega a acumular el moto de 20 $us el de Marzo de 2005 hasta el 24 de Mayo de 2006 Datos. C % S? 20% aual 20 2*00 20$ us 0, S 20 C = 877,53 $us 4,76 0, Rta. El captal es 877,53 $us 3. El 20 de Abrl de 2004 se depostó 500 $us e ua caja de ahorros que paga tereses a ua tasa de terés co captalzacó meusal. Calular esta tasa s el 20 de Octubre de 2004 el moto fal e esta caja de ahorros era de 522,93$us Datos. Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 39

40 6meses S 522,93$ us C 500$ us? % a #*00 % a *#*00 S C despejado teemos: 522,93 6 0, C S %a De despejamos % teemos: % a.#. 00 #.00 % a *2*00 9% aual 4. Ua caja de ahorro paga terés a ua tasa de 2,5 % aual co captalzacó mesual tee el día de hoy 07 de Abrl de 2006 el moto de 235 $us, s desde que fue aberta la caja de ahorro medate u depósto de 2000 $us o se ha efectuado gú movmeto hasta la fecha. Calcular la fecha de apertura. Datos. % C S De 2,5% aual 0, ? C S despejamos obteedo 235 log , 39 meses log 0, S log C log Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 40

41 2 años 7 meses 30das 0,39meses* mes,7 das redodeamos a 2 días Rta: La fecha de apertura es el 24 de Febrero de 2003 Tasas Equvaletes Se dce que dos tasas so equvaletes s para u msmo captal y para u msmo tempo produce el msmo terés pero co dferetes perodos de captalzacó. Para etederlo mejor veremos el sguete ejemplo. Ejemplo Calcular el moto producdo e año co: a) 200 $us al 4 % aual co captalzacó trmestral. b) 200 $us al 4,06 % aual co captalzacó aual. Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 4

42 Nota Las tasas 4% aual co captalzacó trmestral y 4,06% aual co captalzacó aual so 2 tasas equvaletes porque e ambos casos para 200 $us de captal y durate año produce 8,2 $us de Iterés. Tasa Nomal Ua tasa omal es aquella tasa aual co captalzacó dstta de aual e el ejercco ateror la tasa de 4% aual co captalzacó trmestral es ua tasa omal. La tasa omal es ua tasa que o refleja el porcetaje respecto al captal que se geera por cocepto de tereses, por ejemplo co la tasa de 4 % aual co captalzacó trmestral para 200 $us y durate u año geera 8,2 $us de tereses lo cual e porcetaje es 4,06 % como se apreca e los cálculos posterores y o 4 % como dca su ombre. Demostracó E cuáto % se cremetó el captal de 200 $us e año? Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 42

43 200 $us 00% 8,2 $us X X=4,06 % Tasa Efectva La tasa efectva es la tasa efectvamete gaada por u préstamo e u perodo de tempo. Esto se da cuado el % está e el msmo sstema de tempo que los perodos de captalzacó ej % aual co captalzacó aual. E ejemplo ateror la tasa 4,06% aual co captalzacó aual es ua tasa efectva. 200 $us 00% 8,2 $us X X=4,06 % Nota La tasa aual co captalzacó aual es efectva Factor de crecmeto E u proceso de captalzacó a terés compuesto e que deoma factor de crecmeto. S C ) ( el factor ( ) se Cálculo de tasa equvalete Para calcular ua tasa equvalete a otra se guala los factores de crecmeto y se despeja la tasa descoocda. Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 43

44 Ejemplo. Hallar la tasa equvalete co captalzacó trmestral equvalete a la tasa 4,06 aual co captalzacó aual. Trmestral Aual %? % 4,06 trmestral? aual 4, ,0406 ( ) 4 ( 0,0406) 4 ( 0,0406) 4 ( 0,0406) 0, % a #* *00 % a 4(0,009999) *00 % a 4 2. Hallar la tasa aual co captalzacó semestral equvalete a la tasa 6% aual co captalzacó mesual. Semestral Mesual %? % 6 semestral? mesual 6 2*00 0,005 ( ) ( ( 2 ( 0,005) 0,005) 0,005) 0, % a #* *00 % a 2(0,03037) *00 % a 6,07% Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 44

45 Otra forma de calcular la tasa equvalete Para Calcular ua tasa equvalete a otra coocda exste 2 Fórmulas: De Meor A Mayor ma ( me) De Mayor A Meor me ( ma) Dóde es la catdad de perodos pequeños e u perodo grade. Ejemplo. Hallar la tasa aual co captalzacó semestral equvalete a la tasa 6% aual co captalzacó mesual. mesual semestral semestral % a % acs % acs 6 0,005 2*00 6 ( 0,005) 0,03037 #* *00 2*0,03037*00 6,07% 2. Calcular la tasa omal co captalzacó bmestral equvalete a 9% omal co captalzacó semestral. % acs 9% 9 s 2*00 b b % % acb acb 3 ( 0,045) 0, #* *00 8,87% 0,045 6* 0, *00 Valor Actual a Iterés Compuesto C Es també llamado valor presete y es el valor equvalete a ua catdad que se ecuetra e el futuro pero evaluado e el presete a ua tasa. Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 45

46 Captalzar Es hallar el valor equvalete a ua catdad C pero evaluado a ua tasa e ua fecha haca el futuro (Posteror). Actualzar Es hallar el valor equvalete a ua catdad S evaluado a ua tasa e ua fecha haca el pasado (ateror). Ejemplo Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 46

47 . Hallar el preco al cotado de ua bccleta comprada e la sguete codcoes de pago: 80 $us de cuota cal y 20 $us a pagar detro de 3 meses sabedo que el vededor le ha recargado tereses a ua tasa omal de 6 % co captalzacó mesual. Cot %? 6% a 6 2*00 3 0,005 Cot C S Cot ,005 Cot 80 8,22 Cot 98,22$ us Rta. El preco al cotado es 98,22 $us 2. Hallar el preco al cotado de ua coca vedda de la sguete maera: ua cuota cal de 00 $us y 2 cuotas de 00 $us cada ua a los 3 y 6 meses respectvamete sabedo que el vededor le ha recargado tereses a ua tasa omal de 8% co captalzacó mesual. Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 47

48 C ( S ) 3 C % 00$ us 8% a C C ( 98, ,006666) 3 0, C 2 ( S ) 6 C 2 ( 00 0,006666) 6 C 2 96,09 Del Práctco Nº 2 Nº 8.- La Sra. Agélca tee ua deuda que puede saldar co dos opcoes de pago, la prmera cosste e aboar 3000 $us detro de 8 meses y 5000 $us detro de 6 meses. La seguda opcó cosste e pagar 7800 $us detro de 0 meses. Idcar la opcó más vetajosa cosderado ua tasa de terés omal de 2% captalzable mesualmete. Opcó % 2% a V p 3000 ( 0,0) 8 ( ,0) *00 0,0 V V p p 2770, , 7034,56$ us Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 48

49 Opcó 2 V V p2 p2 Rta ( 0,0) 0 706,24$ us La opcó que debe escoger es la opcó por que Vp < Vp2 Ecuacoes de Valor Las ecuacoes de valor so ecuacoes plateadas e las que comparamos dos sstemas de pago evaluados a ua tasa e ua sola fecha e el eje del tempo llamado puto focal (foco). Esta fecha puede ser cualquera, pero se recomeda que sea la fecha e la que se ecuetra la cógta. Puto Focal Es ua fecha e el eje del tempo e la que se hace todas las evaluacoes de los dos sstemas de pago, esta fecha puede ser cualquera pero preferetemete debe cocdr co la fecha de cógta. Plateameto de la ecuacó de Valor Para platear ua ecuacó del valor comezaremos co el símbolo de la gualdad, a la zquerda del msmo colocamos u sstema de pago y a la derecha al otro sstema de pago, todas las catdades evaluadas haca el puto focal de la sguete maera: S el foco se ecuetra a la derecha de ua catdad se debe captalzar es decr se debe multplcar por el factor de crecmeto ( ) y s el foco se ecuetra a la zquerda de ua catdad se debe actualzar, es decr se debe dvdr etre factor de crecmeto ( ). Foco derecha Foco Izquerda fd ( ) parétess arrba f () Falmete se despeja la cógta Ejemplo Parétess abajo. Hallar el preco al cotado de ua bccleta vedda e las sguetes codcoes: 80 $us de cuota cal y 20 $us a pagar detro de 3 meses sabedo que el vededor le ha recargado Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 49

50 tereses a ua tasa omal de 6% co captalzacó mesual. % 6% a 6 2*00 0, X 80 X 80 8, 22 X 98,22$ us 3 0,005 Rta. El preco al cotado es 98,22 $us Resolver el problema ateror co el foco a los 3 meses. X 0, , ,05075X X X 20,2, ,22 8, Doña Juaa teía ua deuda de 200 $us a pagar hace 3 meses y o pagó, otra de 300 $us para hoy y ua deuda de 400 $us a pagar detro de 4 meses ella va a cacelar hoy 200 $us y el saldo detro de 2 meses. Determar el valor del saldo utlzado ua tasa de 9% omal co captalzacó mesual. Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 50

51 % 9% a 0,0075 Rta. El valor del moto para saldar la deuda es 703,8 $us 3. El Sr. Jua teía las sguetes deudas 300 $us para el día de Hoy, 300 $us para detro de 4 meses y 400 $us a pagar e medo año, él desea pagar hoy 400 $us y el saldo detro de 3 meses. Calcular el valor de este pago utlzado para su cálculo ua tasa omal de 0% co captalzacó mesual. % 0% 0, Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 5

52 Rta. El valor del moto para saldar la deuda es 585,0 $us 4. Se ha obtedo u préstamo por la suma de 2000 Bs. el día de hoy al cual debe ser devuelto de la sguete maera 3000 Bs. detro de 4 meses, 3000 Bs. detro de medo año y el saldo detro de 9 meses cosderado que el préstamo realzado a ua tasa de 25% omal co captalzacó bmestral. Hallar el valor del saldo. % 25% a 25 6*00 0,04666 Para platear la ecuacó de valor colocamos e el º membro todos los pagos que se va a hacer para devolver el préstamo, todos estos pagos evaluados haca la ubcacó del foco que e este caso es a los 9 meses y e el 2º membro colocamos el moto del préstamo també evaluado haca la poscó del foco. 2, , ,04666 X, , ,5 3322,33 389,44 X 449,8 Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 52

53 65,77 X X X 449,8 7908,04 449,8 65,75 Rta. El valor del moto para saldar la deuda es 7908,04 $us 5. La Sra. María teía ua deuda de 4000 Bs. a pagar hace 6 meses, otra de 2000 Bs. a pagar e día de hoy además de ua tercer duda de 5000 Bs. a pagar detro de 4 meses, ella puede pagar hoy 2000 Bs. y el saldo detro de 2 meses. Hallar el valor de ese saldo para cacelar todas sus deudas cosderado ua tasa de terés omal de 8% co captalzacó bmestral. % 8% a 0,03333 X , ,03333 X 427, ,2 X 95,84 Rta. El valor del moto para saldar la deuda es 95,84 Bs Del Práctco Nº 2 Nº 7.- El Sr. Carlos debe cobrar 2000 $us detro de 3 meses y 4000 $us detro de u año. S covee co el deudor e recbr u solo pago detro de 5 meses. Cuál será la suma que recbrá s la tasa omal de terés es de 2% captalzable mesualmete? Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 53

54 Rta. El señor Carlos recbrá la suma de 577 $us Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 54

55 Udad 3. Aualdad Objetvo de la Udad Al falzar la presete udad seré capaz de:. Coceptuar los sguetes térmos: Aualdad, Aualdad certa, Aualdad cotgete, Aualdad ordara o vecda, Aualdad atcpada, Aualdad dferda, Valor presete de ua aualdad, Valor futuro de ua aualdad. 2. Calcular los dferetes elemetos de ua aualdad. 3. Determar el úmero de cuotas a partr del valor presete por el valor futuro e ua aualdad. Aualdad Ua aualdad es u cojuto de pagos guales a tervalos guales de tempo. Ejemplo: Los pagos de mesualdad de u colego partcular, el salaro de u trabajador, las cuotas e la devolucó de u préstamo a cuota costate. Clasfcacó Aualdades Certas So aquellas aualdades e las que se tee establecdas su fecha de co y culmacó. Ejemplo: El pago de los alquleres bajo u cotrato, las mesualdades de u colego partcular, devolucó de préstamo a cuota costate. Aualdades Cotgetes So aquellas aualdades e las que se sabe la fecha de co pero o se sabe la fecha de culmacó porque esta fecha depede de u hecho esperado (cotgeca) como por ejemplo la muerte. Etre estas aualdades teemos los pagos a los retstas, pago a las esposas de los beemértos. Aualdades Ordaras o Vecdas So aquellas aualdades e las que los pagos se realza al fal de cada perodo. Ejemplo Los sueldos, devolucó de préstamo a cuota costate. Aualdades Atcpadas So aquellas aualdades e las que los pagos ser realza al prcpo de cada perodo. Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 55

56 Ejemplo: la mesualdad del colego partcular, los alquleres. Aualdades certas y ordaras So aquellas aualdades co fecha de co y el culmacó establecdo y que se paga al fal de cada perodo. Elemeto de ua aualdad. Las Cuotas A.- So los pagos peródcos de gual valor. 2. Número de perodos.- Es la catdad de los perodos que a su vez es gual a la catdad de cuotas. 3. La tasa de terés.- Es la tasa que se cosdera para evaluar a la aualdad, se expresa e tato por certo y por tato por uo. 4. Valor actual o presete de ua aualdad P Es el valor equvalete a toda la aualdad evaluado el prcpo del prmer perodo a ua tasa. 5. Valor Futuro de ua Aualdad F Es el valor equvalete a toda la aualdad evaluada al fal del últmo perodo a ua tasa. Ejemplo Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 56

57 . Hallar el valor presete y el valor futuro de ua aualdad vecda compuesta de 4 cuotas auales de 000 $us cada ua utlzado ua tasa de 5% aual co captalzacó aual. A % P F 000Bs 4 5% a 5 00?? 0,05 Aplcado las formulas: 4 0,05 F ,2$us 0,05 0,05 P ,95$us 0,05 4 Calcular P medate Actualzacó Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 57

58 Calcular F medate Captalzacó 2. El señor Carlos compra u auto cuyo preco al cotado es 350 $us, él acuerda pagar 225 $us de cuota cal y el saldo e 5 cuotas mesuales guales, s el vededor recarga terés a ua tasa de 9% omal co captalzacó mesual. Calcular el valor de las cuotas guales. Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 58

59 % 9% a 0, Cot C P A 5 0,0075 0, A 4,37 A 97,58$ us Rta. El valor de cada ua de las 5 cuotas mesuales e guales es de 97,58 $us 3. El señor Gozáles ha comprado ua máqua de la sguete maera: ua cuota cal de 350 $us, 3 cuotas bmestrales guales de 250 $us la prmera co vecmeto 2 meses después de la etrega y ua últma cuota de 300 $us 8 meses después de la etrega. Calcular el preco al cotado s la tasa de terés aplcada fue de 0% omal co captalzacó bmestral. % m A acm Cot 0% 0, $ us? Cot C P C Cot C A S Cot , , ,06666 Cot ,68 280,8 356,49$us Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 59

60 Rta. El preco al cotado de la máqua es 356,49 $us 4. Do Pedro compró ua computadora cuyo preco al cotado es 450 $us medate el sguete sstema de pago: ua cuota cal de 500 $us, 3 cuotas bmestrales de 200 $us la prmera co vecmeto 2 meses después de la etrega y ua últma cuota 9 meses después de la etrega. Calcular el valor de esta cuota s el vededor recarga terés a ua tasa omal de 6% co captalzacó bmestral. % acb 6% 0,0 Cot 450$ us C 500$ us A 200$ us CotC P C Cot C A x ,0 0,0 3 x 0,0 4, ,8*, ,20 588,20 x x, x, Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 60

61 378,37 x Rta. El valor de la últma cuota es de 378,37 $us 5. Carlos deposta 300 $us e ua caja de ahorro al falzar el mes de Abrl de 2005 e ua caja de ahorro que paga tereses a ua tasa de terés omal de 2% co captalzacó mesual, luego deposta 20 $us al fal de cada mes durate 4 meses a partr de Juo. Calcular cuáto tedrá la caja de ahorro el 3 de Dcembre de % 2% 0,00666 F 20 ( 0,00666) 0, A 20$ us F 48,20$ us Captalzacó Rta. La caja de ahorros tedrá la suma de 787,6 $us 6. U Iqulo a frmado u cotrato de alquler por 250 $us mesuales los cuales se debe cacelar por mes vecdo: a) Cuáto debe pagar adelatado de 4 meses al cal el cotrato? b) S el qulo ha vvdo 5 meses s pagar mes, cuáto debe cacelar por los 5 meses? c) S el qulo ha pagado putualmete 3 meses y o ha pagado los sguetes cuáto deberá cacelar a los 0 meses por la deuda atrasada además de pagar por adelatado hasta cumplr año de cotrato. Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 6

62 a) Nota.- El cotrato específco de que e el caso de atraso deberá pagar tereses a ua tasa de 2% omal co capactacó mesual además se le descotará a esa msma tasa e caso de pagar adelatado. % 2% a 0,0 P 4 =? Rta. El qulo tedrá que pagar por adelatado por los 4 meses la suma de 975,49 $us b) c) Rta. El qulo tedrá que pagar retrasado la suma de 275,25 $us Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 62

63 Rta. El qulo tedría que pagar al décmo mes la suma de 2295,98 $us Del Práctco º 4 Nº 4.- Hermes tee ua deuda de 4000 Bs. a pagar detro de 8 meses, él desea adelatar el pago del msmo medate 4 cuotas bmestrales guales, la prmera detro de 2 meses A cuáto ascederá el valor de cada cuota s el acreedor le va a recoocer ua tasa de terés omal de 8% co captalzacó bmestral para su correspodete descueto? % b F acb 0, % 4000 Rta. Las cuotas bmestrales guales será de 980,22 Bs Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 63

64 Nº 9.- La Sra. Esmeralda desea lqudar ua deuda medate 2 cuotas mesuales de 50 $us cada ua, cosderado ua tasa de terés omal de 3,5% co captalzacó mesual, Calcular: a) S o pagó las prmeras 3 cuotas, cuáto debe pagar al fal de la 4 ta cuota para poerse al día? b) S pagó 4 cuotas y o pagó las sguetes, Cuáto debe cacelar al cumplrse la ovea cuota para poerse al día además de pagar por adelatado las cuotas restates? a) A % 50$ us 3,5% 0, F F F ( A ( ,75 ) 0,00296) 0, Rta. E el 4º mes la sra. Esmeralda debe cacelar la suma de 602,75 $us b) F , , F 5 754,39 P , , P 3 Total Total 447,39 754,39 20,78 447,39 Rta. Al cumplrse el 9º mes la sra. Esmeralda debe cacelar la suma de 20,78 $us Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 64

65 Nota- E alguas oportudades hay que determar el º de cuotas de ua aualdad, etoces debemos despejar de la expresó de P y/o de la expresó de F Despejar de F Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 65

66 Despejar de P Determacó del úmero de cuotas e ua aualdad a partr del valor futuro F Para determar el úmero de cuotas a partr del valor futuro se utlza la fórmula: F log A, el resultado puede ser u úmero co decmales, se debe redodear al etero log( ) mayor y co este valor de calcular F co la expresó: F A ( ) Luego se calcula el exceso Exceso= F F y este valor se le resta a la últma cuota. Ejemplo. Se desea acumular la suma de 2200 $us co depóstos guales de 200 $us cada uo e ua caja de ahorro que paga tereses a ua tasa omal de 4% co captalzacó mesual. Calcular el úmero de depóstos guales y el valor del últmo depósto. Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 66

67 % F 4% 0, log F A log( ) A 200? 2200* 0, log 200 log( 0,003333) 0,82 etoces redodeamos a F A ( ) F 200 0, , F 2237,04 Exceso Exceso Exceso F F 2237,04 37,04$ us 2200 Últma Cuota=200-37,04=62,96 $us Rta. So 0 depóstos guales de 200 $us y u últmo depósto de 62,96 $us. 2. Para comprar ua motoccleta que cuesta 400 $us al cotado Roberto puede ahorrar 50 $us mesuales e ua caja de ahorro que paga tereses a ua tasa omal de 3,5% co captalzacó mesual. Cuáto meses tee que depostar los 50 $us y cuál es el valor del últmo depósto para teer acumulado los 400 $us y poder comprar la motoccleta al cotado. % 3,5% 0,00296 A 50 F 400 Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 67

68 F log A log( 0 ) 400* 0, log 50 log( 0,002966) redodeamos al etero 9,22 mayor F 50 ( 0,002966) 0, F 59,84 Exceso 59, ,84 Últma Cuota= 50 9,84 = 30,6 Rta. So 9 depóstos guales de 50 $us y u últmo depósto de 30,6 $us Determacó de úmero de cuotas a partr del valor presete P Para determar el úmero de cuota a partr del valor presete se utlza la fórmula: el P: P log A, se debe redodear al etero meor y co este valor redodeado se determa log( ) P A ( ) Segudamete se determa la catdad faltate co la expresó: Falta= P P, y esta catdad se debe captalzar hasta u perodo posteror al ultmo. Ejemplo. El Sr. Jua obtuvo u préstamo de 3000 $us hoy a ua tasa omal de 8% co captalzacó mesual, el va a devolver este dero cacelado 200 $us mesuales a partr del próxmo mes. Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 68

69 Determar el º de cuotas guales y el valor de la ultma cuota. P 3000 % acm 0,05? 8% a log P A log( ) 3000* 0,05 log 200 log( 0,05) 7,2 se redodea al etero meor es decr a 7 P P Falta Falta Falta ,53 P ,48 ( 0,05) 0,05 P 298,52 7 Se calcula la catdad que falta 8 Captalza r 8,48( 0,05) 24,6$ us Rta. So 7 depóstos guales de 200 $us y u últmo depósto de 24,6 $us 2. U automóvl tee u preco al cotado 5500 $us y va a ser veddo de la sguete maera: 000 $us de cuota cal y el saldo e cuotas guales de 200 $us cada mes, Determar el úmero de cuotas de 200 $us y el valor de la últma cuota s la empresa mportadora recarga tereses a ua tasa omal de 9% co captalzacó mesual. Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 69

70 Cot C P P Cot C p % acm 9% 0,0075 A 200? 4500 log P A log( ) 4500* 0,0075 log 200 log( 0,0075) 24,7 se redodea al etero meor es decr a 24 P P ,83 ( 0,0075) 0, Falta ,83 Falta 22,7$ us Captalzar 22,7( 0,0075) 25 47,26 Rta. So 24 depóstos guales de 200 $us y u últmo depósto de 47,26 $us Del Práctco º 4 Nº 5 Ua moto cuyo preco al cotado es de 800 $us va a ser cacelada e cuotas guales de 20 $us al fal de cada mes, s la mportadora recarga ua tasa de terés omal de 2% co captalzacó mesual, Cuátas cuotas se debe cacelar y cuál es el moto de la últma cuota para lqudar la deuda? Cot 800 P A 20$ us % 2% 0,0? Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 70

71 log P A log( ) 800* 0,0 log 20 log( 0,0) 6,3 se redodea al etero meor es decr a 6 P P ,4 ( 0,0) 0,0 6 Falta Falta ,4 33,86$ us Captalzar 33,86( 0,0) 7 40,0 Rta. So 6 cuotas guales de 200 $us y ua últma cuota de 40,0 $us Aualdades Atcpadas Como ya mecoamos aterormete ua aualdad atcpada es ua aualdad cuyas cuotas se ecuetra al prcpo de cada perodo El cálculo del valor presete y del valor futuro de ua aualdad atcpada se realza medate las sguetes fórmulas: Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 7

72 Ejemplo. U qulo tee u cotrato de alquler de 200 $us por mes adelatado. a) S él o ha pagado ada por 4 meses, Calcular cuáto debe pagar al falzar el 4º mes por estos 4 meses s la propetara le recarga tereses a ua tasa omal de 2% co captalzacó mesual. A % ,0 F F 4 ( 0,0) 200 0,0 820,20$ us 0,0 Rta. El qulo debe pagar la suma de 820,20 $us Otra Forma Otra forma de calcular es determado el valor futuro co la expresó F A y luego captalzar por u perodo Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 72

73 F 200 ( 0,0) 0,0 4 F 82,08 Captalzado 82,08( 0,0) 820,20$ us b) S al car el cotrato él desea pagar por adelatado de 4 meses. Hallar el valor de este pago cosderado la msma tasa. P 4? 4 P 200 0,0 ( 0,0) 0,0 (4 ) A 200 0,0 P 788,20 Rta. So 7 depóstos guales de 200 $us y u últmo depósto de 24,6 $us Otra Forma Actualzar los 820,20 $us 820,20 C 788,20 4 ( 0,0) Rta. El qulo debe pagar la suma de 788,20$us Otra Forma Ua tercera forma de calcular sería separar la º cuota y calcular el valor presete de las tres restates para sumarlo A pagar= P ( 0,0) 0, ,20 788,20 $us Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 73

74 Aualdad Dferda Las aualdades dferdas so aualdades e las que el prmer perodo o se ca e el presete so e ua fecha posteror, e otras palabras el presete P de la aualdad o se ecuetra hoy. El valor presete de estas aualdades se calcula co la expresó: * P P' Dode: P'' * P =Valor presete de la aualdad evaluada e el presete (Hoy) P = Valor presete de la aualdad desde el presete hasta la falzacó (fctca) P =Valor presete de los perodos e que o hay pagos. Ejemplo Calcular el valor presete e el presete de ua aualdad compuesta de pagos semestrales de 5000 $us C/u sedo el prmero detro de 2 años y el últmo detro de 6 años cosderado ua tasa de terés omal de 8% covertble semestralmete. Solucó Datos A 5000 $us 9 %acs s 8 8 2*00 0,04 Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 74

75 Cálculos P 5000* 0,04 0, ,37 P " 5000* 0,04 0, ,45 P P * * P' P'' 46925, , ,92 Otra forma Otra forma de calcular el valor presete de ua aualdad dferda es calculado el valor presete de la aualdad certa y ordara y actualzar este resultado hasta el presete co la tasa dada. Para el ejemplo ateror. P 50000* 0, ,66 Este valor presete se ecuetra u perodo ates de la º cuota o sea que se ecuetra u año medo después del presete, etoces debemos actualzar por 3 semestres co la expresó de S actualzacó C C 3776,66 0, ,9 Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 75

76 Udad. 4. Devolucó de Préstamo 0bjetvo de la Udad Al falzar la presete udad seré capaz de:. Coceptual los térmos amortzar, amortzacó, terés por perodo, cuota peródcas, saldo. 2. Recoocer los dferetes sstemas de devolucó de préstamo. 3. Costrur los cuadros de devolucó de préstamo e los dferetes sstemas de devolucó. Amortzar Es dsmur ua deuda pagado ua amortzacó. Amortzacó Es ua parte de la deuda. Iterés por perodo Es el terés que se debe cacelar por u perodo de tempo defdo etre pago y pago de ua devolucó de préstamo. El terés se calcula a partr del saldo medate la expresó: Cuota La cuota es la suma de la amortzacó y el terés e u perodo Saldo rresoluto Es la catdad de la deuda que queda luego de cacelar ua amortzacó. Se calcula co la formula S Sa A Sstema de Devolucó de Préstamo Exste 2 sstemas de devolucó de préstamo que so Amortzacó costate y a cuota costate. Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 76

77 A amortzacó Costate A Cuota Costate Devolucó de préstamo a Amortzacó Costate E este caso las amortzacoes peródcas se calcula medate la expresó A C Dode: C= Es la deuda = Es el º de perodos El Iterés I.- I se calcula medate la fórmula La cuota peródca.- Co la fórmula El saldo del perodo Ejemplo. U clete ha obtedo u préstamo de 6000 $us el 24 de Abrl de 2009 co captalzacó bmestral, el cual debe ser devuelto e 6 cuotas bmestrales a Amortzacó costate costrur u cuadro de devolucó que muestre la fecha, amortzacoes, Itereses, cuotas y saldos Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 77

78 % fecha C A 2 0, Perodo Fecha A I Cu S 24/06/ /08/ /0/ /2/ /02/ /04/ Totales Ua empresa obtuvo u préstamo de 6000 $us el 3 de Marzo de 2009 a ua tasa de 24% omal co captalzacó bmestral va a comezar a devolver la amortzacoes costates el 3 de Septembre de 2006 co 6 cuotas bmestrales, hasta esa fecha sólo pagará tereses bmestrales. Costrur u cuadro de devolucó. % fecha C A acb 0, / 03/ Perodo Fecha A I Cu S 03/05/ /07/ /09/ // /0/ /03/ /05/ /07/ Totales U gobero mucpal a recbdo u préstamo para versó mucpal el 5/04/2006 a ua tasa de terés omal de 5% co captalzacó semestral por el moto de $us este préstamo cueta co u año de graca y debe ser devuelto medate 7 cuotas semestrales a amortzacó costate. Costrur u cuadro de devolucó Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 78

79 % C fecha A , % 5/ 04/ ,28 Perodo Fecha A I Cu S 5/0/ , , ,7 2 5/04/ , , , ,43 3 5/0/ , , , ,5 4 5/04/ ,28 357, , ,87 5 5/0/ , , , ,59 6 5/04/ ,28 785, , ,3 7 5/0/ ,28 892, ,378 0 Totales Devolucó de préstamo a cuota costate E este sstema las cuotas peródcas so guales. Etoces costtuye ua aualdad, para determar el valor de la cuota el valor de la aualdad: Cu C ( ) Dode C = Captal prestado. Cálculo de Iterés peródco I S * Cálculo de la Amortzacó peródca A Cu I Cálculo del Saldo Su Sa A. El Señor Jame obtuvo u préstamo de 3000$us el 03/09/08 a ua tasa de terés omal de 24% co captalzacó bmestral, este préstamo debe ser devuelto e 6 cuotas bmestrales guales costrur el cuadro de devolucó que muestre las fechas, amortzacoes, tereses, cuotas y saldos. Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 79

80 C 3000 % 24% 0,04 6 Cu C ( ) Cu 0, ( 0,04) Cu 572,28 I 3000(0,04) 20 6 º Fecha A I Cu S 03// , , , /0/ ,37 0,9 572, , /03/ ,7 83,09 572,28 588,4 4 03/05/ ,57 63,52 572,28 079, /07/ , 43,7 572,28 550, /09/ ,27 22,0 572,28 0 Totales , ,68 2. La empresa costructora El hormgó ha recbdo u préstamo de $us el 20 de Julo de 2008 a ua tasa de terés omal de 5% co captalzacó trmestral, y se compromete a pagar tereses trmestrales y comezar a amortzar desde los 9 meses e 5 cuotas guales, elaborar u cuadro de devolucó del préstamo. C $us %act act 5 5% 5 00* 4 0,0375 Cu 0, * 5 0, ,63 Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 80

81 º Fecha A I Cu S 20/0/ /0/ /04/ , ,63 570, /07/ ,70 237,93 563, , /0/ ,04 632,59 563, , /0/ ,33 08,30 563, , /04/ ,28 564,35 563,63 0 Totales ,7 8338,5 Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 8

82 GLOSARIO DE TÉRMINOS TÉCNICOS Actualzar Es hallar el valor equvalete a ua catdad S evaluado a ua tasa e ua fecha haca el pasado (ateror). Aualdad Ua aualdad es u cojuto de pagos guales a tervalo guales de tempo. Ejemplo Los pagos de mesualdad de u colego partcular, el salaro de u trabajador, las cuotas e la devolucó de u préstamo a cuota costate. Aualdades Atcpadas El cálculo del valor presete y del valor futuro de ua aualdad atcpada se realza medate las sguetes fórmulas: Aualdad Certa Es ua aualdad que tee establecda su fecha de co y culmacó. Ejemplo: El pago de los alquleres bajo u cotrato, las mesualdades de u colego partcular, devolucó de préstamo a cuota costate. Aualdades certas y ordaras Elaborado por: Ig. Rubé Toyama U. 82

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