Técnicas Financieras. Programas de Estudio a Distancia. Esperanza Paredes Hernández Rectora

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1 Programas de Estudio a Distancia Técnicas Financieras Esperanza Paredes Hernández Rectora María Eugenia Velasco Espitia Decana Facultad de Estudios a Distancia

2 PROLOGO Este libro de fundamentos y aplicaciones de las matemáticas financieras tiene como propósito principal, presentar diferentes herramientas de evaluación del dinero en el tiempo utilizado para este fin un, lenguaje sencillo que el estudiante con pocos conocimientos sobre el tema, los pueda abordar con facilidad otro propósito es que para el desarrollo de algunos temas, se utiliza el uso de la calculadora HEWLETT PACRARD como también la hoja electrónica Excel, herramientas que ayudan y facilitan y hacen más sencillo los procedimientos para solucionar los diferentes problemas y casos de la Matemáticas Financiera. Es de aclarar que este libro no pretende desarrollar modelos Matemáticos, ni explicar detalladamente de donde y como resultan las fórmulas, lo que buscan es saber las aplicaciones y el uso de las fórmulas en la vida cotidiana de las personas como de las empresas con el único objetivo que es el de tomar decisiones de tipo económico. Cada capitulo tiene su objetivo general, desarrollando los contenidos en una forma clara y sencilla explicando los ejercicios paso a paso y con el uso de las diferentes herramientas como la calculadora H.P., el Excel y sobre todo elaborando los ejemplos con situaciones reales que se presentan en el diario vivir de un, ciudadano o empresa. Este libro va dirigido a los estudiantes de administración de empresas, contaduría y carreras afines que les proporciona conceptos básicos y fundamentales para el desempeño de sus funciones y para utilizar mejor en todos los casos el Valor del dinero en el tiempo.

3 CAPITULO 1. INTERÉS SIMPLE OBJETIVO Al finalizar el estudio de éste capitulo, el estudiante podrá: Definir los conceptos de interés, interés simple, valor presente, valor futuro, tasa de interés, tiempo o periodos de pago. TEMAS 1.1 Introducción y conceptos básicos. 1.2 Cálculo de intereses. 1.3 Representación gráfica o diagrama de tiempo. 1.4 Cálculo de valor Presente. 1.5 Cálculo de plazo o tiempo. 1.6 Cálculo de tasa de interés INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS

4 Introducción. En toda actividad comercial y financiera se acostumbra pagar un interés por uso del dinero prestado. La gran fuente de ingresos de las Entidades Financieras es originada por los intereses de los usuarios. CONCEPTOS O DEFINICIONES INTERÉS Es el precio que se paga por usar el dinero de otro en un tiempo determinado. Valor del dinero en el tiempo. Utilidad o ganancia que genera un capital o rendimiento de una Inversión. Por un dinero que se presta es necesario pagar un precio. Este precio está representado por una suma que se debe pagar en el plazo estipulado, este valor se denomina interés. Cuando se invierte un capital en un negocio o inversiones se espera recuperar un mayor valor de la suma invertida, esta utilidad del capital o de la inversión, se llama tasa de retorno que la podemos asimilar a la tasa de interés, en otras palabras, la utilidad de la inversión es igual al interés del capital aportado. INTERÉS SIMPLE Se dice que una operación comercial o financiera se maneja con interés simple cuando los intereses no generan intereses. CARACTERÍSTICAS DEL INTERÉS SIMPLE El capital inicial no varía durante el tiempo de la operación ya Que los intereses no se suman al capital. Los intereses solo se aplican al capital inicial. Los intereses serán siempre iguales para cada uno de los Periodos. Para dar claridad a las definiciones anteriores se expone el siguiente ejemplo:

5 El Señor Carvajal, prestó $ de pesos al Señor Cañas, para que le devuelva $ de pesos dentro de dos meses. Aquí se aprecia que el Señor Carvajal se gana $ por prestarle él $ al Señor Cañas. Los $ pesos son los intereses que se ganó en los dos meses o sea $ cada mes. Del ejemplo anterior se deduce lo siguiente: 1. Él $ del Señor Carvajal representa el capital invertido. Esto también se llama valor presente y lo representamos en este libro con la palabra P, también se denomina C= Capital Invertido o prestado. 2. Él $ pagados por el Señor Cañas representa el dinero y lo representamos con la letra F que significa valor futuro. 3. $ representan los intereses ganados por el Señor Carvajal en los dos meses y lo representamos con la letra I De aquí resulta la siguiente fórmula: I = F P I = Interés P= Valor Presente F= Valor Futuro I = I = Si en los dos meses los intereses fueron de $ esto quiere decir que $ son los de un mes. Si queremos conocer el porcentaje se ejecuta la siguiente operación: Esto corresponde al índice porcentual que para Expresarlo en porcentaje lo multiplicamos por 100 o sea, 0.05x100 equivale al 5%.Otra forma de calcular los intereses es aplicar la fórmula aprendida en la secundaria que es aplicar fórmula siguiente: I = CxRxT (2)

6 Donde: I = Interés C = Capital = r = Rata o Tasa de Interés = 5% = 0.05 T = Tiempo = 2 meses Con base en el ejemplo anterior I = x0.05x2 I = Representación Gráfica. Una de las técnicas para la solución de problemas de Matemáticas financieras o del valor del dinero a través del tiempo es la representación gráfica que consiste en trasladar la información del problema o sus datos, a un diagrama que nos permita visualizar y controlar la solución que le estamos dando. La representación gráfica se inicia trazando una línea horizontal que nos permite ver el tiempo que dura la transacción. Hoy Mañana Presente Futuro Si las operaciones se realizan mensual, bimestral, trimestral, etc. Dividirá esa línea horizontal en el número de veces que dura la operación. Ejemplo: Si una operación dura 8 trimestre la línea horizontal estará dividida en 8 partes Las flechas hacia arriba en una línea de tiempo representan los ingresos a caja. Las flechas hacia abajo en una línea de tiempo representan los egresos de caja. Si representamos el ejemplo del Señor Carvajal en una línea de tiempo quedará así: F = I = 0.05

7 1 2 0 P = Meses Volviendo a retomar la formula (2) I = CxRxT (2) Podemos cambiar algunos términos como son: C = Capital por P valor Presente r = Rata por i tasa de interés n = Número de periodos i = Interés Nos quedaría entonces así: I Pni Despejamos P nos queda así: P I ni i I Pn n I Pi Para calcular el valor futuro volvemos a la fórmula (1) que es I = F P; despejando F = P + I. Pero como I es igual Pni; F= P+Pni; Entonces factorizando nos queda: f p( 1 ni) ( 3 ) De la fórmula (3) podemos calcular P y nos queda: I f ni De la formula (3) despejamos I :

8 i 1 ( n f 1 ) p De la formula (3) despejamos n n 1 ( i f 1 ) p Ahora para dar mayor claridad definimos cada uno de los componentes de la formula 3. Valor Presente: Es la suma de dinero que toma o se entrega en préstamo hoy. El valor presente indica una cantidad de dinero ubicado en el periodo cero, y se representa con la letra P, en otros libros con las letras VP. Valor Futuro: Es la suma de dinero recibida o pagada por un préstamo en un futuro, está ubicado al final de un periodo n y se representa con la letra F y en otros libros con las letras VF. Tasa de Interés: Es la relación entre el interés y el valor presente. Generalmente se expresa en porcentaje y se representa con la letra i. Periodo de Pago: Son los intervalos de tiempo durante los cuales el valor presente gana interés. Los periodos pueden ser anuales, semestrales, trimestral, mensuales, etc. NOTA: Es importante que el n y el i o sea tasa de interés y periodos de pago, se expresen en el mismo tiempo, en otras palabras los periodos de pagos son mensuales, la tasa de interés debe estar expresado también en meses. PROBLEMAS RESUELTOS... Ejemplo 1.1 Luisa Cañas, deposita hoy $ en el Banco que reconoce el 2% mensual. Cuánto retirará al final del primer año? P =

9 N = 12 MESES I = 2% F =? F =? MESES F = P ( 1 + ni) F = ( X0.02 ) F = (1.24) F = Ejemplo 1.2. Cuánto tengo que depositar hoy, si dentro de 8 trimestres quiero tener $ y el banco reconoce el 8% trimestral? i = 0.08 trimestrales p? f p ( 1 ni) p (1 8*0.08) p 1.64 p ,29 Ejemplo 1.3. Hoy deposité $ en un Banco y dentro de 12 meses recibo la suma de $ Qué interés mensual me reconocieron? i 1 F ( ) 1 n P

10 P = i = (1.36-1) f = i ( ) i = (0.36) n = 12 meses i = 0.03 I =? 0.03 x 100 = 3% Mensual Los multiplicamos por 100 para expresarlo en Porcentajes Ejemplo 1.4. Con base en el ejemplo anterior decimos, hoy deposito $ en un Banco que reconoce el 3% En cuantos meses tendré $ ? 1 F P = n ( 1) i P F = n =? n ( 1) i = 0.03 n = ( ) n = 12 meses Ejemplo 1.5. Rubén Cañas deposita $ , por un año en el banco que reconoce una tasa de Intereses trimestrales del 5%, el interés es cancelado trimestralmente. Que suma recibe Rubén trimestralmente? P = I =? I =? I =? i = 0.05 n = 01 4 I =? TRIMESTRE Lo podemos hacer de dos formas: Primera: Como habíamos definido que interés era capital por rata por tiempo; I = c x r x t esto es lo mismo que I = P x i x n. I = x 0.05 x 1 I = Esto significa que cada trimestre Rubén puede retirar $ pesos. Segunda: Calculando el valor futuro para un periodo. F = P ( 1 + ni ) I = F P

11 F = ( X 1 ) I = F = I = Ejemplo 1.6. El Señor Rangel recibe mensualmente $ de intereses Cuánto dinero depositaría s la tasa es del 36% mensual? P =? I = i = 36% = 3% mensual n = 1 mes I = P x i x n; despejando P nos queda: P = I P = = P = i x n 0.02 x 1 EL DIAGRAMA DE ESTE EJERCICIO QUEDARÍA ASÍ: Ejemplo 1.7. Si por depositar $ en una cuenta de ahorros pagan $ trimestral por concepto de intereses, Qué tasa de interés reconoce el Banco?

12 P = i =? n = Trimestre I = P x i x n; despejemos I nos queda: I i p * n i *1 i i 0.03 Ejemplo 1.8 Si hoy deposito $ en una Institución financiera que paga el 2.5% mensual Cuántos meses tengo que dejarlo para obtener el doble? n P = i = meses Hay dos formas para desarrollarlo: Primera: I = P x i x n Si decimos que va a obtener el doble, eso quiere decir que si deposito $ , los intereses serán $ , despejando la formula anterior. n I p * i n 40Meses * Segunda: Si P = F será el doble $ i = y el n no se conoce. n 1 ( i f p 1)

13 n ( n 40(2 1) n 40 1) Ejemplo 1.9 Hoy vendemos mercancías por valor de $ , con el compromiso de cancelarla en un solo pago dentro de 5 meses. Si cobramos una tasa del 24% anual, Cuánto dinero recibiremos en el momento del cobro? P = n = 5 meses i = 24 anual F =? F =? MESES I = 0.08 El interés que es del 24% anual lo dividimos en 12 meses y nos da un interés mensual de 0.24/12 = 0.02 o sea el 2%. F = P (1+ ni) F = (1 + 5 x 0.02) F = (1.10) F = RECIBIMOS LA SUMA DE $ ,00

14 PROBLEMAS PROPUESTOS 1.1 Hoy deposito $ en una cuenta que reconoce el 22% anual Cuánto dinero tendré dentro de 2 años?. Respuesta $ Si deseo tener dentro de 3 años $ , Cuanto tengo que ahorrar hoy, si el Banco reconoce el 18% anual? Respuesta $ Qué capital produce un interés mensual de $ sí él Banco reconoce el 1.5% mensual? Respuesta $ Luisa Mojica prestó la suma de $ y recibe trimestralmente $ por concepto de intereses A qué tasa trimestral prestó el dinero? Respuesta 6% Trimestral. 1.5 Hoy presté $ y me entregaron un tiempo después $ Si la tasa de interés que me pagaron fue del 1.5% mensual, Cuánto días tuve que dejar el dinero? Respuesta 265 días. 1.6 Un inversionista estima que dentro de 2 años una casa puede costar $ Cuánto puede pagar hoy si el interés es del 20% anual? Respuesta Un inversionista debe elegir entre las siguientes alternativas: a- Comprar una casa de contado por $ , esperando venderla dentro de 3 años en $ b- Prestar los $ a un amigo que paga el 30% anual. Respuesta Alternativa a. 1.8 El 01 de enero consigna $ en una cuenta de ahorros, el 15 de abril consigne $ y el 01 de Julio $ Si el Banco reconoce el 2% mensual Cuánto dinero puedo Retirar el 30 de diciembre? Respuesta

15 CAPITULO 2 INTERÉS COMERCIAL Y REAL DESCUENTOS OBJETIVOS Al finalizar el estudio de éste capitulo, el estudiante podrá: Explicar los conceptos y diferencias entre interés comercial e interés real. Calcular los días comerciales y exactos. Distinguir, explicar la diferencia entre descuento comercial y racional. descuento Plantear y resolver problemas sobre los temas antes Mencionados. TEMAS 2.1 Interés Comercial. 2.2 Interés Real.

16 2.3 Determinación de Tiempo. 2.4 Descuentos Bancarios Descuentos Comerciales o Bancarios Descuentos Racional o Matemáticos. 2.5 Problemas Resueltos 2.6 Problemas propuestos 2.1 INTERÉS COMERCIAL El interés Comercial es también llamado ordinario y es el que se calcula para años de 360 días. EJEMPLO. Calcular el interés ordinario de $ al 18% anual durante 125 días. I = P.n.i I = x P = n = 125 días i = 18% anual I = INTERES REAL Es aquel que se calcula sobre los días exactos, o sea, sobre años de 365 días o 366 días si es año bisiesto. Ejemplo. Calcular el interés real de $ al 18% durante 125 días. I = P x n x i I = x 125 x I = , DETERMINACIÓN DEL TIEMPO Existen varias maneras de medir el tiempo que interviene en el cálculo de los intereses. En el cálculo del tiempo transcurrido entre la fecha inicial y la fecha terminal, se acostumbra excluir el primer día e incluir el último, pero en algunos casos se incluyen ambos, o sea, las fechas inicial y final.

17 Ejemplo. Un préstamo otorgado el 10 de marzo y pagado el 25 de marzo, el tiempo transcurrido es de 15 días, porque el es igual a 15, en este caso se excluye la fecha inicial. En otras partes se toma la fecha inicial y final y sería entonces 16 días. Una de las maneras para calcular los días es el siguiente: Siempre colocamos la fecha final en el numerador y le restamos la fecha inicial o sea, el denominador, restando años con años, meses con meses y días con días. Ejemplo. Cuantos días hay entre el 15 de abril de 1995 de 30 de junio del Fecha Final Fecha Inicial 15 días 2 meses 6 años 6 años x 360 días = Meses x 30 días = días Pero qué sucede cuando el numerador de los meses o días es menor que el denominador? En ese caso, como se puede ver, los años tienen 12 meses, los meses tienen 30 días. Cuando el numerador de los meses es menor que el denominador, se le quita un año al numerador de los años y se le suma los 12 meses del numerador de los meses, si el numerador de los días es menor, se le quita un mes al numerador de los meses y se le suman 30 días al numerador de los días y así puedo proceder a la resta. Ejemplo. Cuántos días hay del 30 de noviembre de 1997 al 15 de Marzo del 2000.?

18 Fecha Final Fecha Inicial Aquí observamos que al 2000 se le puede restar 1997; al 03 no se le puede restar 11 ni a 15 se le puede restar 30. Entonces, el año 2000 queda convertido en 1999 y los meses que son 03 se le suman los 12 meses que se le restaron al año 2000, quedando 15 meses en el numerador y así se le puede restar los 11 del denominador. Como a 15, que es el numerador de los días, no se le puede restar 30 días, que es el denominador, entonces los meses le prestan un mes a los días, o sea, 30 días quedando convertido El numerador en 45 días y así se puede restar. Entonces queda así: NUMERADOR días 3 Meses 2 años 2x360 = 720 3x30 = días Otra forma para calcular los días es a través de las tablas de tiempo, para este caso el año se toma de 365 días y los meses de 30 y de 31 días respectivamente, por lo tanto, el cálculo es más exacto, o sea, los verdaderos días calendarios transcurridos entre 2 fechas. Tabla No 1. Número exacto de días entre dos fechas (año no bisiesto) Desde el día del mes inicial Al mismo día del mes terminal ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC

19 ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC La tabla fue tomada del libro de matemáticas financieras Linconyan Poetus G Cuando la fecha inicial, ejemplo 6 de marzo, es igual a la fecha final, ejemplo 6 de noviembre, se mira la intersección de los meses de marzo y noviembre dándonos como resultado 245 días, es de anotar que la fecha inicial es la primera columna (vertical) y la fecha final es la fila (horizontal) y 245 es la intersección de las dos. Cuando la fecha inicial, ejemplo 5 de julio, es menor que la fecha, ejemplo 20 de diciembre, se toma la diferencia entre la fecha final y la fecha inicial y el resultado se le suma a la intersección = 15 La intersección de Julio - Diciembre es de 153 días, entonces = 168 días. Cuando la fecha inicial, ejemplo 20 de abril, Es mayor que la fecha final, 8 de octubre, se toma la diferencia entre la fecha inicial y final 20 8 = 12 y este resultado se le resta al número de la intersección.

20 Intersección = 171 días Ejemplo. Calcular los días que hay entre el 6 de junio y el 10 de febrero del año siguiente 10 6 = 4 Intersección = = 249 días Ejemplo Calcular los días entre el 16 de mayo de 1998 y el 10 de enero del = 6 Intersección = = 239 días 2años x 356 = = 969 días 2.4 DESCUENTOS BANCARIOS BOGOT Á El descuento es una operación de crédito que consiste en comprar o vender una obligación hoy, que se vence en un futuro, descontando intereses que devengaría el documento entre la fecha de compra o venta y la fecha de vencimiento. En los descuentos se usan algunas expresiones que es necesario definir: Valor Nominal de un Pagaré: Es el que está inscrito en la obligación, para el comerciante en general se trata de capital. Descontar un pagaré: Es la acción de recibir o pagar hoy un dinero, a cambio de una suma mayor comprometida en una fecha futura.

21 Descuentos: Es el valor que le restamos al valor nominal en el momento de pagar el pagaré, en otras palabras, es la diferencia entre el valor nominal y el valor que se recibe o se paga en el momento de descontar el documento. Valor Liquido: Es la diferencia entre el valor nominal y el descuento, en otras palabras es el dinero que se recibe o se paga al vender o comprar un documento DESCUENTOS COMERCIAL O BANCARIO Es aquel que se calcula sobre el valor nominal del documento. De la formula I = P.n.i. se reemplaza y nos queda: Dc = S.n.d. LETRA CAMBIO Dc = Descuento Comercial S = Valor pagaré o valor nominal d = Tasa de descuento n = Tiempo Ejemplo. Una letra de $ que vence dentro de 90 días se compra hoy con un descuento del 18% anual. Cuál es el valor del descuento y el valor líquido Dc = S.n.d. S = n = 90 días d = 0.18 anual, lo dividimos en 360 días. Dc = x 90x D 360 Descuento = $ Valor Líquido = S D Valor Líquido = Valor Líquido =

22 Esto significa que la letra que se vencía dentro de 90 días me la cancelaron hoy por un valor de $ Otra forma de calcular el valor líquido (VL)... VL = VN (1-nd) Con base en el ejemplo anterior: VL = ( 1-90x 0.18 ) 360 VL = ( ) VL = DESCUENTO RACIONAL O MATEMÁTICO Es la diferencia entre lo que se pagará en el futuro y lo que se va a pagar hoy, valor presente, o sea, calcular sobre el valor efectivo del documento. Dc Dr 1 ni Dr = Descuento Racional Dc= Descuento Comercial Con base en el ejemplo anterior el descuento racional será: Dr = x Dr = = El valor líquido será entonces: VL = Vn Dr VL = VI =

23 Otra forma de calcular el valor líquido directamente es : Vn VL 1 ni * Si comparamos el descuento comercial con el descuento real, vemos que en tiempos iguales y a una misma tasa de interés, el descuento comercial o Bancario, siempre será mayor al descuento racional o matemático y por consiguiente, el valor liquido en el descuento comercial, siempre será menor que el racional. 2.5PROBLEMAS RESUELTOS Calcular, el interés comercial y el interés real de un depósito de $ , que el Banco reconoce el 14% para 180 días. Para el interés comercial tomamos loa años de 360 días y nos quedó así: I = P.n.i I = x 180 x I = $ Para el interés real tomamos los años de 365 días y nos queda así: I = x 180 x I = $ Cuantos días hay entre el 6 de marzo y el 14 de septiembre.?

24 Miremos la intersección en la tabla 1 que es 184 días, a la fecha final 14 le restamos la inicial que es 6 y el resultado 8 se lo sumanos a la intersección = 192 días Cuántos días hay entre el 20 de mayo y el 5 de diciembre Miramos la intersección en la tabla que es 214 días y a la fecha inicial 20 le restamos la final que es 5 y nos da como resultado 15 y a la intersección le restamos esa cantidad = 199 días Calcular el descuento comercial y el descuento racional como también sus valores líquidos de una letra por $ descontando 200 días antes de su vencimiento a una tasa del 12% anual. Descuento Comercial Dc = S.n.d. Valor Líquido VL = S D Dc = x VL = Dc = VL = Descuento Racional Valor Líquido Dr = Dc (1+ni) VL = Vn-Dr Dr = VL = x VL = Dr = Dr =

25 2.5.5 Un comerciante compra dos pagares con un interés del 18% anual, el primero son $ que vence en 90 días y otro por $ que vence a los 60 días. Cuánto pagó el comerciante? Primer Pagaré Segundo Pagaré VL ( 1 90* ) VL ( 1 60* ) VL (0.9550) VL (0.97) VL VL Hallar el valor líquido con descuento racional de un pagaré por $ con vencimiento a 90 días y un interés del 24% anual. VL = Vn 1+ni VL = x VL = VL = Un comerciante presta a un cliente la suma de $ con vencimiento a 180 días y un interés del 24% anual, el cliente firma una letra por los $ más los intereses. 30 días después el comerciante vende la letra un banco, que descuenta un interés del 18% anual. a. Por cuánto firma la letra el cliente? b. Cuánto recibe el comerciante al descontarle el Banco? a. Teniendo $ como valor presente cálculo un valor futuro para los 180 días. F = P 1+ni F = x 0.24

26 F = (1.12) 360 F = Valor que firma la letra el cliente b. La letra se firmó a 180 días, eso quiere decir que 30 días después faltan para vencerse 150 días. VL = Vn =(1-nd) VL = x VL = (0.9250) VL = Valor que recibió el comerciante Calcular los días en que se descuenta un pagaré por valor de $ si se recibió $ y el interés es del 36% anual. VL = Vn (1-nd) VL 1 n VN d VL = (1 nd) Vn Reemplazando nos queda nd = 1- VL 0.36 Vn n = 0.50 años; lo multiplicamos por x 0.50 años = 180 días Un pagaré por $ se descuenta por la suma de $ en 90 días. Cuál fue la tasa de descuento anual?.

27 d d VL 1 VN n d 0.036*100 36%anual 2.6 PROBLEMAS PROPUESTOS Calcular el interés Comercial de $ al 24% anual para 120 días Respuesta $ Calcular el interés real con base en el problema anterior. Respuesta $ , Cuántos días hay entre el 20 de septiembre y el 18 de febrero del año siguiente?. Respuesta 151 días Cuántos días hay entre el 5 de mayo y el 5 de noviembre? Respuesta 214 días Cuántos días hay entre el 16 de abril y el 29 de noviembre?? Respuesta 227 días El Señor Pérez compra una letra de $ que vence dentro de 6 meses y la descuenta con un interés del 3% mensual a. Cuál es el descuento comercial? Rta b. Cuál es el valor liquido? Rta El Banco compra un pagaré por $ con un descuento del 2.5% mensual y faltan 150 días para su vencimiento.

28 a. Cuál es el descuento racional? Rta: $ b. Cuál es el valor líquido.? Rta: $ Un comerciante compra un pagaré de $ que vence dentro de 180 días con un descuento del 3% mensual, 60 días, después lo vende a un inversionista que cobra el 3.2% mensual. a. Cuál fue el valor liquido que pago el comerciante?? Rta: $ b. Cuál fue el valor líquido que pago el inversionista.? Rta $ c. Cuánto dinero ganó el comerciante.? Rta: $ d. Cuánto dinero gana el inversionista?. Rta $ Calcular la fecha en que se descuenta un pagaré con vencimiento el 28 de octubre cuyo valor nominal son $ y su valor líquido es de $ con descuento del 3%. Rta: 30 de Julio Un pagaré por $ se descuenta por la suma de $ en 90 días, Cual fue la tasa de descuento mensual?? Rta: 2.5% mensual.

29 CAPITULO 3 INTERÉS COMPUESTO OBJETIVO Al finalizar el estudio de éste capítulo el estudiante podrá : Definir el interés compuesto y la diferencia con el interés simple. Deducir de un valor presente, valor futuro, períodos y tasa de interés utilizando la calculadora HP y como hoja electrónica Excel. TEMAS 3.1 Introducción 3.2 Valor futuro Utilizando la fórmula Utilizando las tablas Utilizando la HP Utilizando Excel

30 3.3 Valor Presente Utilizando la fórmula Utilizando las tablas Utilizando la HP Utilizando Excel 3.4 Cálculo del número de períodos Utilizando la fórmula Utilizado la HP Utilizando el Excel 3.5 Calculo de la tasa de interés Utilizando la HP Utilizando el Excel 3.6 Problemas resueltos 3.7 Problemas propuestos 3.1 INTRODUCCIÓN El dinero y el tiempo son factores que se encuentran estrechamente ligado con la vida de las personas y de los negocios. Cuando a las personas y negocios le sobran dineros o efectivo, se ahorran o se invierten durante un periodo determinado, con el propósito de ganar un rendimiento o interés y por consiguiente aumentar el capital. Si en caso contrario las personas o los negocios les hace falta efectivo se debe acudir a préstamos y pagar un interés por uso. En el interés simple el capital inicial siempre permanece constante. Mientras que en el interés compuesto los intereses que se van acumulando van aumentando el capital y a su vez, ese nuevo capital va a generar un mayor interés para el siguiente período. En otras palabras, los intereses generan intereses. 3.2 VALOR FUTURO El valor futuro es la suma de dinero recibido o pagado en un futuro,, por un dinero prestado o recibido tiempo atrás, en el interés compuesto está dado por el capital inicial más los intereses que se van capitalizando cada periodo, esto lo podemos ver en el siguiente cuadro, con el siguiente ejemplo: Pedro Carvajal deposita $ en el Banco Bogotá, el cual reconoce una tasa del 24 % anual, con capitalización trimestral, Cuánto recibirá al final del año?. Cómo la capitalización es trimestral,

31 eso quiere decir que el interés que es 24 % anual, se divide en 4 trimestres que tiene el año. Nos da como resultado 0.06 % trimestral. 0,24 = 24% 4 = Trimestres Periodos ( n ) Valor Presente o Capital Inicial ( P ) Intereses de cada Periodo ( i ) ,96 Valor Futuro ( F ) Podemos concluir, que el señor CARVAJAL depositó hoy $ y después de un año retiro $ ,96, porque el banco Bogotá pagó el 24% anual, capitalizado trimestral neto, eso quiere decir, que reconoció la entidad financiera un 6 % de intereses por cada uno de los periodos del años en este caso 4 períodos CÁLCULO DEL VALOR FUTURO UTILIZANDO LA FORMULA El valor futuro se calcula mediante la formula que es: F = P ( 1+ i ) n Donde: F = Valor futuro P = Valor Presente ( Capital depositado, capital tomado en préstamo ) n = Períodos de Capitalización o número de veces que el interés se capitaliza. i = Tasa de interés fijada por períodos de capitalización El ejemplo anterior lo podemos resolverlo así: P = n = 4 trimestres tiene el año i = 0.06 trimestral 24 % = 6 % = 0,06 F =? 4 F = P ( 1 + i ) n F = ( ) 4 F = ( 1,06 ) 4

32 F = ( 1, ) F = , CÁLCULO DEL VALOR FUTURO UTILIZANDO TABLAS El cálculo del valor futuro se puede realizar a través de las tablas que han sido elaboradas con base en la fórmula anterior. Para éste caso se busca la tabla I (Valores del Factor de Valor Futuro a Interés compuesto) en otras tablas la notación estándar sería ( F/P, i %, n ). Para un interés del 6 % y buscamos la intersección del 6 % con un n igual a 4 en este caso es de ( 1, ). Teniendo el valor de la tabla lo multiplicamos por el capital o valor presente ( 1, ) = , CÁLCULO DEL VALOR FUTURO UTILIZANDO LA CALCULADORA HEWLETT - PACKARD Para calcular el valor futuro utilizando la HP. Tomemos nuevamente el ejercicio del señor CARVAJAL PRIMER PASO Estando encendida la calculadora se oprime la tecla pantalla con los siguientes menú o tecla. FIN y nos da una nueva VDT CONVI F.CAJA BONO DEPREC. SEGUNDO PASO Se oprime la tecla VDT y nos da como resultado la siguiente pantalla 12 pagos / año: MODO FINAL N %IA VA PAGO VF OTRO Esta pantalla está dada por la parte superior y por la parte inferior. La parte superior significa que son 12 períodos o capitalizaciones al año o sea mensualmente y MODO FINAL significa vencido, como en el ejemplo la capitalización es trimestral, o sea, 4 períodos en el año, tengo que cambiar a 12 / año por 4 pagos / año y se hace de la siguiente forma.

33 TERCER PASO Se oprime la tecla OTRO de la pantalla inferior y da la siguiente pantalla: P/AÑO INIC FINAL AMRT. CUARTO PASO Se oprime el número 4 seguido de la tecla P/AÑO y la tecla de la calculadora EXIT y da una nueva pantalla: 4 Pagos/Año MODO FINAL N %IA VA PAGO VF OTRO La parte inferior significa lo siguiente N = Número de periodos %IA = Interés anual V.A = Valor Presente o actual PAGO = Esta tecla es para anualidades ( no la usamos ) V.F = Valor Futuro OTRO = Para cambiar los periodos Retomando el ejercicio anterior se tiene lo siguiente: P = n = 4 i = 0,06 Trimestral Cómo en la calculadora pide interés anual, multiplica por 4

34 0,06 x 4 = 0,24 y procede a suministrar la información a la calculadora para pedirle la respuesta o el F o Valor Futuro de la siguiente manera: QUINTO PASO Cómo los períodos son cuatro se oprime el número 4 en la calculadora seguido de la tecla N, como el dinero depositado fue $ y es el valor presente se coloca en números en el tablero más la tecla +/- y luego se oprime, VA, luego como el interés anual es el 24% se coloca el número 24 en la pantalla y oprimo %IA. Hasta acá, se ha suministrado la información necesaria para que nos de la respuesta. Como lo que estamos buscando es el valor futuro se oprime la tecla VF y nos da la respuesta y en este caso la pantalla nos dice que el V F = , CALCULO DEL VALOR FUTURO UTILIZANDO EXCEL Retomando el Ejemplo anterior, queda así: queda así con los siguientes pasos: 1. Construimos el Excel, inicialmente no tiene archivados todos los comandos, para activarlos se hace click en Herramientas de la barra de ese mismo menú, se hace click en complementos y aparece un, cuadro titulado COMPLEMNTOS y se debe activar Herramientas para el análisis y se hace click en la casilla del frente. 2. Construimos la estructura o tabla. 3. Dejamos el cursor en B6 y se hace click en el icono fx. 4. En categoría de función se hace click en financiera y el nombre de función click en VF.

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36 5. Se hace click en aceptar.

37 6. Para introducir la información se hace click en B3, se hacer click en Nper y luego click en B4, se hacer click en VA y luego click en B2. 7. Se hace click en aceptar y aparece la respuesta en B VALOR PRESENTE Es la suma de dinero que se deposita hoy o se entrega en préstamo hoy y se representa con la letra P. Para poder ver más claramente, se hace un ejemplo Sí al cabo de un año quiero tener en el Banco $ , cuánto tengo que depositar hoy, si el Banco reconoce el 30 % anual, capitalizable mensualmente? CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE UTILIZANDO LA FORMULA La formula del valor presente es :

38 P = Conocemos F = N = 12 períodos i = 0,30 /12 = 0,025 F ( 1 i) n P F i (1 ) n ( ) (1,025) 1, ,94 Hoy tengo que depositar $ ,94 para que dentro de 12 meses pueda tener $ si el interés mensual es del 0,025 o 2,5 % CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE UTILIZANDO LAS TABLAS Para el valor presente se busca la tabla II, llamada: valores del factor del valor presente a interés compuesto. O en otras tablas la anotación estándar (P/F, i%, n); se busca en la tabla II el interés 2,5 % para un n = 12; la tabla muestra el factor, que es (0, ); ese factor se multiplica por el valor futuro ($ ) ( ) = $ CALCULO DEL VALOR PRESENTE UTILIZANDO LA H.P. Para calcular el valor presente se hace en el ejercicio anterior, de la siguiente manera: PRIMER PASO Estando encendida la calculadora se oprime la tecla FIN y da una nueva pantalla con los siguientes menú o teclas. VDT CONVI F.CAJA BONO DEPREC. SEGUNDO PASO Se oprime la tecla VDT y da como resultado la siguiente pantalla

39 12 pagos / año : MODO FINAL N %IA VA PAGO OTRO La parte superior de la pantalla 12 PAGOS / AÑO : MODO FINAL significa que los periodos son 12 en el año y como ejercicio de capitalización es mensual se deja así. La parte inferior de la pantalla se describió anteriormente cuando se calculó el valor presente. TERCER PASO Estando en la pantalla anterior procedemos a incluir la información que tenemos : n = 12 F = IA = 30 % A =? Se escribe el número 12 en la pantalla seguido de la tecla N Se escribe 30 y se oprime la tecla %IA Se escribe en la pantalla y oprimo la tecla VF Hasta que el momento se ha suministrado la información; para que de la respuesta, se oprime la tecla VA y la respuesta es $ , CALCULO DEL VALOR PRESENTE UTILIZANDO EL EXCEL Utilizando el ejemplo anterior, queda así: Construimos la estructura o tabla 1. Dejamos el cursor en B6 y se hace click en el icono fx 2. En categoría de función se hace click en financiera y el nombre de función click en VP. 3. Se hace click en aceptar 4. Para introducir la información, se hace click en B3, se hace click en Nper y luego en B4, se hace click en VF y click en B2. 5. Se hace click en aceptar y aparece la respuesta en B6.

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41 3.4 CALCULO DEL NUMERO DE PERIODOS Así como se ha calculado el valor presente y futuro, también se puede calcular el número de períodos n. Es importante resaltar que los intereses pueden pagarse o cobrarse anualmente, semestral, trimestral, mensual, entre otros. Esto se denomina períodos de capitalización. Es de anotar que la tasa de interés está expresada anualmente y los períodos de capitalización están dados en meses, se tiene que dividir el interés anual en 12, para que dé un interés mensual, que es igual al período de capitalización meses. De la Fórmula de F = P ( 1 + i ) n Se despeja n y queda n F Log P Log( 1 i)

42 3.4.1 CÁLCULO DEL NÚMERO DE PERÍODOS UTILIZANDO LA FORMULA Ejemplo: Hoy, deposito $ en un banco y el banco reconoce el 24 % anual capitalizable mensualmente. Cuántos meses tengo que dejar el dinero en el banco para tener $ ?. 24 Como el interés es 24 % y el período de capitalización es mensual = 2% 12 n F Log P Log( 1 i) n Log Log(1,0.2) n Log2, log1,02 0, n 0, n 36 Como el período de capitalización son meses, la respuesta es 36 meses CÁLCULO DEL NÚMERO DE PERÍODOS UTILIZANDO LA H.P. Retomando el ejemplo anterior PRIMER PASO Estando encendida la calculadora, se oprime la tecla FIN y da una nueva pantalla con los siguientes menús.

43 VDT CONVI F.CAJA BONO DEPREC. SEGUNDO PASO Se Oprime la tecla VDT y da como resultado la siguiente pantalla: 12 PAGOS / AÑO: MODO FINAL N %IA VA PAGO OTRO Como en la parte superior de la pantalla aparece 12, pagos eso significa que la capitalización es mensual y se deja así. TERCER PASO Como se conoce P = F = y el interés anual que es 24 % procede a suministrar la información así: Cómo $ es lo que se deposita debe incluir con signo negativo así: se escribe luego oprimimos la tecla +/- y luego la tecla VA. Luego se escribe 24 en la pantalla, que son los intereses anuales y se oprime la tecla, %IA sigue escribiendo y se oprime la tecla VF y para que dé la respuesta se oprime la tecla N y da 36 meses.

44 3.4.3 CÁLCULO DEL NÚMERO DE PERÍODOS UTILIZANDO EXCEL Recurriendo al ejemplo anterior 1. Construimos la estructura o tabla 2. Dejamos el cursor en B6 y hacemos clic en el incono fx 3. En categorías de función clic en FINANCIERA y en el nombre de función clic en Nper. 4. Hacemos clic en aceptar. 5. Para introducir la información hacemos clic en B3, hacemos clic en Va y clic en B2, hacemos clic en VF y clic en B4. 6. Hacemos clic en aceptar y nos aparece la respuesta en B6.

45 3.5 CALCULO DE LA TASA DE INTERÉS CALCULO DE LA TASA DE INTERÉS CON LA FORMULA F i = n - 1 P Ejemplos si hoy deposito y dentro de 3 años obtengo $ ,17 y el banco reconoce los intereses trimestralmente, Que tasa me reconoció?. F Se Aplica la fórmula i = n - 1 P Como la capitalización es trimestral y el año tiene 4 trimestres y el dinero se depositó durante 3 años, entonces 3 x 4 = 12 trimestres será n.

46 i = , i = 2, i = 1,09-1 i = 0,09 = 9% trimestral CALCULO DE LA TASA DE INTERÉS CON LA H.P. Con base en el ejemplo anterior: PRIMER PASO Estando encendida la calculadora se oprime la tecla FIN y da una nueva pantalla con el siguiente menú: VDT CONVI F.CAJA BONO DEPREC SEGUNDO PASO Se oprimo la tecla VDT y da como resultado la siguiente pantalla: 12 PAGOS / AÑO: MODO FINAL N %IA VA PAGO OTRO Como los intereses son trimestrales, eso quiere decir que el año tiene 4 períodos, entonces se procede a cambiar la parte superior de la pantalla así: Se oprime OTRO y se escribe 4 en la pantalla seguido de la tecla P/AÑO y la tecla EXIT y da como una nueva pantalla:

47 4 PAGOS AÑ: MODO FINAL N %IA VA PAGOS OTROS Como conocemos VA = VF = como conocemos n = 12 y no conocemos ia procedemos a meter la información así: Tercer Paso: Escribimos $ en la pantalla, se oprime la Tecla +/- y la tecla VA, Se escribe ,17 mas la tecla N y por último se oprime %IA y nos da como Respuesta 36% anual que es = 9% trimestral CALCULO DE LA TASA DE INTERÉS UTILIZANDO EL EXCEL 1. Construimos la estructura o tabla 2. Dejamos el cursor en B6 y hacemos clic en el incono fx 3. En categoría de función hacemos clic en Financiera y en el nombre de función clic en TASA. 4. Hacemos clic en aceptar

48 5.Para introducir la información se hace clic en B4 y clic en VA, se hace clic en B2 y clic en VF luego se hace click en B3. 5. Se hace clic en aceptar y nos aparece la respuesta en B6. Se oprime OTRO y se escribe 4 en la pantalla, seguido de la tecla P/AÑO y la Tecla EXIT y da una nueva pantalla: 4 PAGOS AÑO: MODO FINAL

49 N %IA VA PAGO OTRO Como se conoce V.A = V.F = ,17, como se conoce n = 12 y no se conoce se procede a suministrar la información así: TERCER PASO Se escribe $ en la pantalla, se oprime la tecla +/- y la tecla VA se escribe ,17 más la tecla VF se escribe 12 en la pantalla más la tecla N y por último se oprime la tecla %IA y da como respuesta 36% anual, que es igual 9% trimestral. 4.5 PROBLEMAS RESUELTOS Hoy se depositan $ en el Banco Superior que reconoce un 18% anual capitalizable trimestralmente. Qué suma se retira al cabo de 3 años?. 4,5 % Trimestral F? Trimestres P = n F = P1 i F = ,045 F = ,

50 F = , Cuánto se debe depositar hoy en una entidad financiera que paga el 24% anual, capitalizable bimestralmente, si quiero tener dentro de 4 años $ ? 2 % Bimestrial F= P =? P = P = P = P = F 1 i n , , , P = , Hace 10 años se depositaron $ y hoy se recibieron $ ; si el banco paga intereses semestralmente Cuál fue la tasa de interés semestral? 10 años corresponden a 20 semestres = n i = n P F - 1

51 i = i = 20 3, 5-1 i = 1, i = 0,0646 i = 0,046 x 100 = 6,46% semestral Un banco reconoce el 23,33% anual capitalizable mensualmente; si hoy deposito $ cuánto tiempo tengo que dejar el dinero si quiero retirar $ ? Como el interés está anual lo dividimos en 12 23,33 12 = 1,944 n = F Log P Log 1 i n = Log Log 1 0,01944 n = Log2 Log1,01944 n = 0, , n = 36 meses Cuál es el valor futuro de $ del 7,8% anual capitalizable mensualmente en 5 años, 6 meses? 5 años x 12 = 60 meses + 6 meses = 66 meses 7,8% anual / 12 meses = 0,65% = 0,0065

52 F = P 1 i n F = , F = Un banco reconoce el 23,33% anual capitalizable mensualmente; si hoy deposito $ cuánto tiempo tengo que dejar el dinero si quiero retirar $ ? Se Puede inventar para este ejemplo, cualquier valor presente. Ejemplo: $ para que se duplique el valor futuro será $ y el n es igual a 12 trimestres y buscamos i. i = n P F - 1 = i = i = 1, i = 0,05946 x 100 = 5,94% trimestral Una persona compra unas mercancías por valor de $ , que le será entregada dentro de un año, hoy tiene que pagar $ y un año después de recibir la mercancía $ El día que recibe las mercancías la vende en $ Si puede invertir el dinero al 10% anual debe hacer el negocio?, cuánto interés ganó?

53 2 años Como los $ los puede invertir al 10% esto significa (1,10) 1 = $ A los $ le restamos el pago de $ y nos queda $ eso significa que $ de pesos que cancele el primer mes se convierten en $ eso quiere decir que si hacen el negocio. 2. Para saber cuánto interés ganó, el valor inicial o valor presente fue $ El valor futuro $ los periodos son 2 años queda entonces: I = n F - 1 i = 2 P I = 2 1, 14-1 I = 1, I = 0, x 100 = 6,77% anual Una corporación me presta $ al 24% anual capitalizable trimestralmente para ser cancelado dentro de 3 años; la misma corporación me presta $ un año después del 24% anual capitalizable semestralmente par ser cancelados dentro de 2 años. Cuánto dinero tengo que pagarle al banco?.

54 años VF? 24 Para el primer $ como la capitalización es trimestral = 6% 4 F = P 1 i F = (1,06) 12 n F = ,47 24 Para los $ como la capitalización es semestral = 12% 12 F = P 1 i F = (1,12) 4 F = ,72 n Tendrá que hacer un solo pago por $ Si para la graduación de mi hijo necesito $ y se gradúa dentro 3 años cuanto tengo que ahorrar hoy si el banco recorre el 12% anual capitalizable mensualmente. F P = 1 i n

55 P = P = , P = , un cliente dentro de 3 años debe pagar $ y dentro de 5 años $ cuándo hace un solo pago en 4 año si la tasa de interés es del 12% capitalizable trimestralmente. Cuál es el valor del pago? Como los $ los tenia que pagar en el año 3 y se van a pagar en el año 4 se lleva a valor futuro. F = P 1 i n 12 4 = 3% trimestral F = (1,03) 4 F = ,43 Como los $ los tenía que pagar en el año 5 y se van a pagar en el año 4 se lleva a valor presente. F P = 1 i n

56 P = (1,03) 4 P = , P = ,48 $ , ,48 = $ ,91 Se hace un solo pago en el cuarto año por $ , PROBLEMAS PROPUESTOS Calcular el valor futuro de un deposito de $ al 9 % de interés anual capitalizable mensualmente durante dos años y 6 meses? Respuesta: $ Un cliente recibe un préstamo un préstamo de $ a 6 años con un interés del 12 % anual capitalizable semestralmente. Calcule cuanto tiene que cancelar al vencimiento?. Respuesta: $ Cuánto tengo que depositar hoy si dentro de 5 años quiero tener $ si el banco reconoce el 16% anual capitalizable trimestralmente?. Respuesta: $ ,46.

57 3.1.4 Si dentro de 18 meses tengo que pagarle al banco $ que reconoce el 14% anual capitalizable mensualmente. Cuánto fue el préstamo?. Respuesta: $ Cuántos semestres hay que dejar un deposito de $ para que se convierta en $ si el banco pago el 8% anual. Respuesta: 17,67 semestres Hoy deposita $ en un banco que reconoce el 12% de interés anual capitalizable trimestralmente si retira $ Cuántos años deja el dinero?. Respuesta: 3,43 años Qué es más conveniente invertir en un CDT que duplica el capital invertido cada 8 años, o depositar en una cuenta de ahorros que ofreced el 8% anual capitalizable trimestralmente?. Respuesta: Invertir en el CDT Hoy se invierten $ en una corporación que reconoce sin sus intereses trimestralmente y al cabo de 3 años se recibe $ Qué interés trimestral reconocieron?. Respuesta: 4% trimestral Un cliente me debe $ que vencen dentro de 1 año y $ que vencen dentro de 5 años si la tasa que cobra es de 12% anual capitalizable trimestralmente. El cliente decide hacerme un solo pago al tercer año. Cuánto dinero tendrá que pagarme?. Respuesta: $ Un cliente tiene la oportunidad de comprar una casa que costo $ hace 20 años y está dispuesto a reconocer un 20% anual. Cuánto debe ofrecer por la casa?. Respuesta: $

58 CAPITULO 4 TASAS NOMINALES, EFECTIVAS Y EQUIVALENTES OBJETIVO Al finalizar el estudio de este capitulo el estudiante podrá definir Qué es una tasa nominal, y una tasa efectiva?. Hacer las diferentes conversiones de las tasas. Desarrollar algunos temas la calculadora H.P. y la hoja electrónica Excel. TEMAS 4.1 Introducción 4.2 Tasa Nominal 4.3 Tasa Efectiva 4.4 Conversión Tasas Nominales

59 4.4.1 Conversión de una tasa nominal a efectiva utilizando la formula Conversión de una tasa nominal a efectiva utilizando la H.P Conversión de una tasa nominal a efectiva utilizando el EXCEL Conversión de una tasa nominal anual a una tasa nominal periódica Conversión de una tasa nominal anual en una tasa efectiva periódica Conversión de una tasa efectiva anual en una tasa nominal anual utilizando la fórmula Conversión de una tasa efectiva anual en una tasa nominal anual utilizando la H.P Conversión de una tasa efectiva anual en una tasa nominal anual utilizando el EXCEL Conversión de tasas efectivas Conversión de una tasa efectiva anual a tasa efectiva periódica Conversión de una tasa efectiva periódica a tasa efectiva anual Conversión de una tasa efectiva periódica a otra tasa efectiva periódica 4.10 Capitalizaciones Anticipadas Conversión de una tasa nominal anual en una tasa efectiva utilizando la formula Conversión de una tasa nominal anual en una tasa efectiva utilizando la H.P Conversión de una tasa efectiva anual en una tasa nominal anual utilizando la formula Conversión de una tasa efectiva anual en una tasa nominal anual utilizando la H.P 4.11 Resumen de formulas Vencidas Anticipadas 4.12 Problemas resueltos

60 4.13 Problemas propuestos 4.1 INTRODUCCIÓN Cuando se realiza cualquier operación financiera, se pacta un interés, y para medir la rentabilidad o el costo de la inversión se hace a través de la tasa de interés efectivo. Por lo general, cuando hablamos de interés, lo hacemos haciendo referencia a la tasa nominal; por eso es necesario calcular la tasa efectiva, que es la que mide la verdadera rentabilidad y el costo de cualquier inversión. 4.2 TASA NOMINAL Es la tasa que por lo general se refieren todas las operaciones financieras y se expresa generalmente sobre la base de un año. Es una tasa aparente, pues si hay varios períodos de capitalización no refleja la realidad. La tasa nominal anual será igual a tasa nominal periódica multiplicado por los números de periodos que tiene el año. Ejemplo: Una tasa nominal de 3% mensual es equivalente a 3 x 12 = 36 al 36% nominal anual.

61 4.3TASA EFECTIVA Cuando la tasa de interés nominal anual se capitaliza en forma semestral, trimestral, mensual, la cantidad que se paga o se gana es mayor si la capitalización es anual.. Cuando esto sucede se denomina tasa efectiva. En otras palabras, es la tasa que se utiliza para determinar el interés periódico, que efectivamente debe sumarse al capital en el momento de la liquidación. El interés efectivo es el que verdaderamente pagamos al utilizar un crédito, o recibimos al invertir un dinero. Cuando la capitalización es anual, la tasa efectiva siempre será igual a la tasa nominal. 4.4 CONVERTIR TASAS NOMINALES CONVERTIR UNA TASA NOMINAL ANUAL EN UNA TASA EFECTIVA ANUAL ( VENCIDA) Utilizando la Fórmula Ejemplo: Si un banco presta $ al 30% anual capitalizable trimestralmente. Cuánto recibirá al final del año? F = P (1+i ) n i = 30 % 7,5 trimestral 4 F = ( 1+ 0,075 ) 4

62 F = Eso significa que $ fueron los intereses que recibió. Eso significa que por el $ ganó intereses por 33,5469% que es la tasa efectiva. Para este ejemplo se puede decir que una tasa del 30% nominal anual capitalizable trimestralmente, equivale a una tasa efectiva anual del 33,5469%. De lo anterior se saca la fórmula y queda así: IN Ie ) n n ( 1-1 Ie = la tasa de interés efectiva anual IN = la tasa de interés nominal anual n = número de capitalización al año Ejemplo: Hallar la tasa efectiva anual equivalente a una tasa nominal del 24% anual capitalizable bimestralmente. 0,24 In = 24% Ie = N = 6 Ie =? Ie = ( 1 + 0,04 ) 6-1 Ie = ( 1,04 ) 6-1 Ie = 1, Ie = 0, = 26,53%

63 Ejemplo: Calcular la tasa efectiva anual equivalente a una tasa del 36% anual capitalizable anualmente. Ie = 0, Ie = (1,36 ) 1-1 Ie = Ie = 0.36 = 36% Por eso se dice que cuando la capitalización es anual, la tasa efectiva anual, siempre será igual a la tasa nominal CONVERTIR UNA TASA NOMINAL ANUAL EN UNA TASA EFECTIVA ANUAL ( VENCIDA ) UTILIZANDO LA H.P PRIMER PASO Estando encendida la calculadora se oprime la tecla FIN y da una nueva pantalla con el siguiente menú VDT CONVI F.CAJA BONO DEPREC.

64 SEGUNDO PASO Se oprime la tecla CONVI y da como resultado la siguiente pantalla. EFECT CONTA Se oprime la techa EFECT y da la Siguiente pantalla. % NOM % EFEC P Esto significa: % NOM = Tasa nominal anual % EFEC = Tasa efectiva anual P = Número de períodos o capitalizaciones TERCER PASO Con base en el ejemplo del 24% nominal anual capitalizable bimestralmente, hallar la tasa efectiva anual.

65 Se Coloca en la pantalla 24 más la tecla %NOM luego el número 6 que son los períodos, más la tecla P oprime la tecla la tecla luego la tecla % EFECT y nos da la respuesta % EFE= 26,531902% CONVERTIR UNA TASA NOMINAL ANUAL EN UNA TASA EFECTIVA ANUAL ( VENCIDA ) UTILIZANDO EXCEL. Antes de empezar hay que activar todos los comandos; para activarlos haga clic en Herramientas de la barra de herramientas y haga clic en complementos y luego: 1 Se construye la tabla o estructura. 2 Se deja el cursor en B5 y se hace ckick en el icono fx 3 En categorías de función se hace click en financieras y en nombre de función se hace click en INT EFECTIVO

66 4.4.4 CONVERTIR UNA TASA NOMINAL ANUAL EN UNA TASA NOMINAL PERIÓDICA (VENCIDA) IN INP = n INP = Interés nominal periódico

67 IN = Interés nominal anual n = número de periodos o capitalización Ejemplo: una tasa nominal del 36% anual a que tasa nominal periódica corresponde si la capitalización es mensual. I N P = IN n INP = 0,36 12 INP = 0.03 = 3% CONVERTIR UNA TASA NOMINAL ANUAL EN UNA TASA NOMINAL PERIODICA (VENCIDA) Ejemplo: una tasa del 36% anual capitalizable trimestralmente, hallar la tasa efectiva periódica. I e p = IN n Iep = tasa de interés efectivo periódico IN = tasa nominal anual n= número de periodos o capitalizaciones I e p = 0,36 4 I e p = 0,09 o 9%

68 Una tasa del 36% anual capitalizable trimestralmente, equivale a una tasa efectiva trimestral del 9% CONVERTIR UNA TASA EFECTIVA ANUAL EN UNA TASA NOMINAL ANUAL (VENCIDA) Ejemplo: Una tasa efectiva anual de 19,56% capitalizable mensualmente a qué tasa nominal anual corresponde? IN = Interés nominal Ie = interés efectivo n = Número de periodos o capitalizaciones I N = n 1 Ie 1/n - 1 o IN = n n 1 Ie - 1 In = 12 1, /12-1 In = 12 ( 1,015-1 ) In = 12 ( 0,015 ) In = 18 % CONVERTIR UNA TASA EFECTIVA ANUAL EN UNA TASA NOMINAL ANUAL (VENCIDA) UTILIZANDO LA H.P retomando el ejemplo anterior PIRMER PASO Estando encendida la calculadora se oprime la tecla FIN y da una pantalla con el siguiente menú.

69 VDT CONVI F.CAJA BONO DEPREC. SEGUNDO PASO Se oprime la tecla CONVI y da como resultado la siguiente pantalla: %NOM % EFEC P Que fueron explicados anteriormente TERCER PASO Procedemos a incluir la información que tenemos así: Se escribe 19,5618 en la pantalla y oprimo la tecla, se escribe 12 y se oprime la tecla % EFEC y para obtener la respuesta se oprime la tecla p y para obtener la respuesta % NOM y da como resultado % NOM = 18% CONVERTIR UNA TASA EFECTIVA ANUAL EN UNA TASA NOMINAL ANUAL ( VENCIDA) UTILIZANDO EXCEL. El ejemplo anterior una tasa efectiva del 19,5618% con capitalizaciones mensuales. Hallar la tasa nominal anual.

70 4.4.9 CONVERSION DE TASAS EFECTIVAS EQUIVALENTES ( VENCIDAS)

71 Conversión De Una Tasa Efectiva Anual A Una Tasa Efectiva Periódica (Vencida). Ejemplo: Una tasa efectiva anual del 35% a qué tasa efectiva periódico mensual corresponde? Iep = 1 Ie Iep = ( 1 + 0,35 ) 1/12-1 Iep = ( 1,35 ) 1/12-1 Iep = 1, /n - 1 o Iep = n 1 Ie - 1 Iep = 0, = 2,5324 % Conversión de una tasa efectiva periódica a una tasa efectiva anual (vencida.) Ejemplo: Calcular la tasa efectiva anual equivalente a una tasa efectiva trimestral del 4,5%? Ie = ( 1 + Iep ) n - 1 Ie = Interés efectivo anual Iep = Interés efectivo periódico N = número de periodos o capitalizaciones Ie = ( 1 + Iep ) n - 1 Ie = ( 1 + 0,045 ) 4-1

72 Ie = ( 1,045 ) 4-1 Ie = 1, Ie = 0, = 19,25% Una tasa efectiva trimestral del 4,5% equivale a una tasa efectiva anual del 19,25% Conversión de una tasa efectiva periódica a otra tasa efectiva periódica (vencida). Ejemplo: Cuál es la tasa efectiva semestral equivalente a una tasa efectiva bimestral del 4,04%? Iepo = ( 1 + Iep ) 1/m xn - 1 Iepo = Es el interés efectiva periódico que se busca Iep= Es el interés efectivo periódica que se conoce m = Cuantos meses, bimestres, trimestre, semestres tiene el año del interés efectivo periódico que se busca n = cuántos meses, bimestres, trimestres, semestres, tiene el año del interés efectivo periódico que se conoce?. Iep = ( 1 + Iep ) 1/m xn - 1 Iepo = ( 1 + 0,0404 ) 1/2 x 6-1 Iepo = ( 1,0404 ) 3-1 Iepo = 1,

73 Iepo = 0, = 12,6162% Una tasa efectiva bimestral del 4,04% equivale a una tasa efectiva semestral del 12,61 % CAPITALIZACIONES ANTICIPADAS Se puede pactar el pago de los intereses del final del período durante el cual ellos se causan, caso en el cual se denominarían vencidos como se realizaron en los ejercicios anteriores. O estipular que se paguen al principio del período denominándose en este caso ANTICIPADOS. En Colombia en diferentes operaciones financieras, se cobran intereses por anticipado, sobre todo en los préstamos bancarios y corporaciones financieras. Cuando los intereses se cobran por anticipado esto implica que las tasas efectivas sean mayores. Supongamos que un crédito de $ con una tasa del 25% anual anticipado. En el día inicial del préstamo se calculan los intereses de todo el año, los cuales son $ x 0.25 = $ que deben ser cancelados o descontados de inmediato. Por consiguiente el préstamo de $ menos $ de los intereses anticipados sólo se dan al cliente $ Y al cabo de un año el cliente tendrá que cancelar solo $ de capital por cuanto los intereses ya habían sido pagados desde el primer día.

74 Se observa con detenimiento lo anterior, podemos deducir que realmente el préstamo fue por $ , con estas cifras se calculó la tasa de interés efectivo, = 33,33% El ejemplo anterior permite entender lo que sucede cuando los intereses deben ser pagados por anticipado. - En primer lugar se recibe en préstamo menos dinero que el monto ofrecido, por cuanto se descuentan de antemano los intereses. - En segundo lugar, los intereses comparados con el desembolso efectivo del dinero, representan un porcentaje mayor Convertir una tasa nominal anual en una tasa Efectiva con capitalizaciones (anticipadas) Ejemplo: Con una tasa nominal del 24% hallar la tasa efectiva anual, si la capitalización es trimestre anticipado. IN n FÓRMULA Ie ( 1 ) 1 n Ie= Interés efectivo IN= Interés Nominal n = Número de periodos o capitalizaciones

75 Ie= (1- IN/N) -n 1 Ie= (1 0.24/4) -4 1 Ie= (1 0.06) -4 1 Ie= (0.94) -4 1 Ie= Ie= = 28,08% Una tasa nominal del 24% anual es equivalente a una tasa efectiva del 28,8% si la capitalización es trimestral anticipado Convertir una tasa nominal anual en una tasa efectiva con capitalización (anticipada) utilizando H o B con base en el ejemplo anterior. PRIMER PASO: Estando encendida la calculadora se oprime las tecla Fi4 y da una pantalla con el siguiente menú: VDT CONVI F.CAJA BONO DEPREC. SEGUNDO PASO: Se oprime la fecha CONVI y da como resultado la siguiente pantalla: EFEC CONT y se oprime EFEC y da la siguiente Pantalla: %NOM % EFEC P TERCER PASO:

76 Se Procede a incluir la información que se tiene así: Se escribe en la pantalla 24 más la fecha %NOM para las capitalizaciones anticipadas, los períodos se colocan acompañados de la fecha +/- para este ejemplo se escribe 4 en la pantalla más la fecha +/- más la fecha P y para obtener la respuesta T se oprime la fecha % EFEC y da % EFE = 28, Convertir una Tasa efectiva anual en una tasa nominal con capitalizaciones (anticipadas) Ejemplo una tasa efectiva del 30,84anual, con capitalizaciones trimestrales A que tasa nominal equivale?. FÓRMULA : IN = O IN = - n n 1- ( 1+IE) - 1/n -n 1+Ie -1 IN = Interés Nominal IE = Interés Efectivo n = Número de períodos o capitalizaciones IN = n 1 (1+IE) 1/n

77 IN = 4 1- (1+0,3084) -1/4 IN = 4 1-(0,935007) IN = 4 0, IN = 0, = 26% aproximadamente eso significa que una tasa del 30,84% efectivo anual con capitulaciones trimestrales anticipado equivale a una tasa del 26 % nominal anual. IN= = 26% aproximadamente eso significa que una tasa de 30,804% efectiva anual con capitalizaciones trimestres anticipado equivale a una tasa del 26% Nonimal Anual Convertir una Tasa Efectiva anual en una tasa nominal con capitalizaciones (anticipadas) Utilizando la HP. Con base en el ejemplo anterior PRIMER PASO: Estando encendida la calculadora se oprime la tecla FIN y da una pantalla: SEGUNDO: Se oprime la tecla CONAVI y da como resultado la siguiente pantalla: VDT CONVI y se oprime la techa EFEC y da la siguiente pantalla:

78 % NOM % EFECT P TERCER PASO: Se Procede a incluir la información que se tiene así: Se escribe en la pantalla 30,80 más la fecha % EFE luego se escribe 4 más la tecla +/- más la tecla P y para obtener la respuesta se oprime la fecha % NOMB y da % NOM = 26% Resumen de Fórmulas Vencidas Tasa nominal anual Tasa efectiva anual. Ie = 1+ In n n -1 Tasa nominal anual tasa nominal periódica INp = In n Tasa nominal anual tasa efectiva periódica Iep = In

79 n Tasa efectiva anual tasa nominal anual IN = n 1 + Ie 1/n - 1 Tasa efectiva anual tasa efectiva periódica Iep = 1 + Ie 1/ n -1 Tasa efectiva periódica tasa efectiva anual Ie = 1 + Iep n -1 Tasa efectiva periódica tasa efectiva periódica Iepo = 1 + Iep I X N - 1 MM ANTICIPADOS Tasa nominal anual convertir Tasa efectiva anual Ie = 1- IN n - 1 n Tasa efectiva anual Tasa nominal anual

80 IN 1- (1+IE) -1 / n ó IN = - N -N 1 + IE PROBLEMAS RESUELTOS En un Banco se pacta a una tasa del 18% anual vencido capitalizable mensualmente. Hallar la tasa efectiva. Ie = 1 + In n n -1 Ie = ( ) Ie = 19,56 efectivo anual En dónde debo prestar el dinero: En un Banco que cobra el 26% anual capitalizable trimestralmente, o en una que cobre el 24% con capitalización mensual? Debo prestar en un Banco con la menor tasa efectiva.

81 Ie = ( ) Ie = 28,64% Ie = ( ) Ie = 26,82 % Debo hacer el préstamo donde me cobran el 24% anual capitalizable trimestralmente Una tasa nominal del 36% anual a qué tasa nominal semestral corresponde?. INP = I N N INP = INP = 0.18 = 18% nominal semestral Una tasa efectiva anual del 27,5% a qué tasa nominal anual corresponde, si la capitalización es bimestral?. IN = n ( 1 + Ie ) 1/n -1

82 IN = 6 ( ) 1/ 6-1 IN = 24,79% Nominal anual Calcular la tasa efectiva trimestral equivalente a una tasa efectiva anual del 36.75% Iep = ( 1 + Ie ) 1 / n - 1 Iep = ( ) ¼ - 1 Iep = 8,138 % Tasa efectiva trimestral Calcular la tasa efectiva anual equivalente a una tasa efectiva trimestral del 8,138%. Ie = ( 1 + Iep ) n 1 Ie = ( ) 4-1 Ie = 36.75% anual Calcular la tasa efectiva trimestral equivalente a una tasa efectiva del 2.5% mensual.

83 Iepo = ( 1 + Iep ) 1/mm x n - 1 Iepo = ( 1 + 0,025 ) ¼ x 12-1 Iepo = 7,69% tasa efectiva trimestral Calcular la tasa efectiva mensual equivalente o una tasa efectiva semestral del 32.65%. Iepo = ( 1 + Iep ) 1/mm x n 1 Iepo = ( 1 + 0,3265 ) 1/12x2-1 Iepo = 4.82 % efectiva mensual Calcular el Interés efectivo equivalente a una tasa nominal anual del 28% capitalizable bimestre anticipado. Ie = ( 1 - I N ) n 1 Ie = ( ) Ie = ( 1-0, ) -6-1

84 Ie = 33,2 % tasa efectiva anual Calcular la tasa nominal anual si la tasa efectiva anual es 33,2% capitalizable bimestre anticipado. In = n 1 - ( 1 + Ie ) 1/n In = ( 1 + 0,332 ) 1/ 6 In = 28% anual nominal En dónde debo depositar el dinero, en un Banco que paga el 16% nominal anual capitalizable trimestre vencido, o el 15% nominal anual capitalizable trimestral anticipado? Debo depositarlo donde sea mayor la tasa efectiva anual. A-) Ie = ( 1 + I n ) n 1 n Ie = ( 1 + 0,16 ) 4-1 Ie = 16,98 Tasa efectiva anual B-) Ie = ( 1 - I n ) - n 1

85 n Ie = ( 1-0,15 ) 4-1 Ie = 16,51% 4 Debo depositar el dinero al 16% anual capitalizable trimestral anticipado PROBLEMAS PROPUESTOS Convertir una tasa nominal anual del 24% en efectivo anual con capitalizaciones : a) anual, b) semestral, c) trimestral, d) mensual. Respuesta: a-) 24% b-) 25.44% c-) 26,24% d-) 26,82% Convertir una tasa nominal anual del 36% a una tasa nominal mensual? Respuesta: 3% Nominal mensual Convertir una tasa efectiva del 46% anual, en una tasa nominal anual con capitalización a) Mensual b) Bimestral c) trimestral. Respuesta: a) 38,44 b) 39,06% c) 39, Convertir una tasa efectiva anual del 26.84% en una tasa efectiva bimestral? Respuesta: 4,042163% efectiva bimestral.

86 Convertir una tasa efectiva bimestral del 4,042163% en una tasa efectiva anual? Respuesta: 26,84% efectiva anual Convertir una tasa efectiva bimestral del 4,83% en una tasa efectiva semestral? Respuesta 15,20 % efectiva semestral Convertir una tasa efectiva semestral del en una tasa efectiva Bimestral. Respuesta: 4.83% Convertir una tasa nominal del 28% anual en una tasa efectiva anual si la capitalización es: a) mensual b) bimestral c) trimestral d) semestrales anticipadas? Respuesta: a) 32,75% b) 33,20% c) 33.68% d) 35,20% Convertir una tasa efectiva anual del 30% en una tasa nominal anual con capitalización a) mensual b) bimestral c)trimestral d) semestral e) anual (anticipada. Respuesta: a) 25,95% b) 25,67% c) 25,39 d) 24,58% e) 23,07%.

87 CAPITULO 5 ANUALIDADES ANUALIDADES OBJETIVO Al finalizar el estudio de este capitulo el estudiante podrá definir que es una anualidad como también distinguir los diferentes tipos de anualidad, calcular valor presente y futuro, también plantear e identificar situaciones de la vida real en que se apliquen como también utilizar herramientas como la calculadora H.P.y la hoja de calculo Excel. importante es poder determinar donde colocar o prestar dinero con mayor beneficio pero el usuario.

88 TEMAS 5.1 Introducción 5.2 Clasificación 5.3 Representación gráfica 5.4 Anualidades ciertas a término vencidas Valor presente de una anualidad Utilización formula Utilización Tablas Calculadora H.P Utilizando Excel Calcular la anualidad conociendo el valor presente Utilizando formula Utilizando Tabla Utilizando H.P Utilizando Excel Calculo del numero de periodos conociendo el valor presente y la Anualidades Utilizando formula Calculo de la tasa de interés conociendo el valor presente y la anualidades Interpelando Ensayo error Utilizar la calculadora HP Utilizar Excel Valor Futuro De Una Anualidad Utilizando fórmula

89 Utilizando tablas Utilizando Calculadora HP Utilizando Excel Cálculo de la anualidad teniendo un futuro Utilizando formula Utilizando Tablas Utilizando HP Utilizando Excel Calculo del numero de periodos conociendo la anualidad Utilizando la fórmula Utilizando la calculadora HP Utilizando Excel Calculo del interés conociendo la anualidad y el valor futuro Interpelando Utilizando la calculadora HP Utilizando el Excel Resumen de las fórmulas Problemas resueltos Problemas propuestos

90 5.1 INTRODUCCIÓN Una de las principales modalidades más utilizadas por los usuarios del dinero es pagar o ahorrar por cuotas constantes que son llamadas anualidades. La anualidad no significa pagos anuales sino pagar o intervalos iguales. libros anualidad lo cambia por la de renta o serie de pagos uniformes. Algunos Definición: Anualidad es una serie de pagos periódicos e iguales de dinero que pueden ocurrir al comienzo o al final de cada periodo y se representa con la letra A. 5.2 CLASIFICACIÓN DE LA ANUALIDAD. Las anualidades se clasifican según el tiempo, según la forma como se estipule el pago, pero principalmente se dividen en dos grandes grupos: Anualidad cierta y anualidad eventual o contigente. Anualidad Ciertas Las anualidades ciertas son aquellas en la cual la fecha de iniciación y culminación se conocen o están definidos previamente. Anualidad Eventual o contingente Las anualidades eventuales son aquellas en que su fecha de iniciación y/o culminación no se conocen o dependen de que ocurra algún suceso. Un ejemplo las pensiones de Jubilación, se conoce cuando

91 inicia pero no cuando termina por que no se sabe hasta cuando va a vivir el jubilado. Las anualidades ciertas y las anualidades eventuales se subdividen en anualidades a término y anualidades perpetuas. Anualidades a Término Son aquellas anualidades que tienen un plazo preciso. Anualidades Perpetuas Son aquellas anualidades cuyo plazo es ilimitado. Según la forma como se estipula el pago de la anualidad y las anualidades a termino y las anualidades perpetuas se subdividen en : Vencidas Anticipadas Diferidas vencidas Diferidas anticipadas. Anualidades Vencidas Se llama así porque el pago de la cuota se cancela al final de cada periodo. Anualidades Anticipadas Se llama así porque el pago de la cuota se cancela al comienzo de cada periodo. Anualidades Definida vencida Se llama así cuando la serie de pagos no comienza al final del primer periodo sino al final de un periodo futuro. Anualidades Deferido anticipado

92 Se llama así cuando la serie de pagos no comienza del iniciar el primer periodo sino del iniciar un periodo futuro Anualidades Ciertas Termino Vencidas Anticipadas Diferidos vencidas Diferidos Anticipadas Perpetuas Vencidas Anticipadas Diferidos vencidas Diferidos Anticipadas Anualidades Eventuales ó Contingentes Termino Perpetuas Vencidas Anticipadas Diferidas vencidas Diferidas anticipadas Vencidas Anticipadas Diferidas vencidas Diferidas anticipadas.

93 5.3 Representación Gráfica P F n Periodos A A A A A A A A A A 5.4 Anualidad Ciertas A Término Vencidas. Son aquellas anualidades donde conocemos la fecha de iniciación como el de terminación pero principalmente que los pagos de las cuentas se hacen al final del periodo. SIMBOLOGIA UTILIZADA. A = Anualidades F = Valor futuro P = Valor Presente n = Número de periodos o capitalización i = Tasa efectiva por periodos de capitalización Valor Presente De Una Anualidad Podemos definirla como la cantidad de dinero recibido hoy equivalente a una serie de pagos uniformes UTILIZANDO LA FÓRMULA P =? n3 n2 n A A A A A A A A

94 Formula P = Presente o valor presente n = Numero de periodos 1 n P = A ( 1 + i ) n i ( + i ) A = Anualidad i = Tasa de interés Ejemplo Cuál es el valor actual de una renta mensual de $ ,00 depositados al final de cada mes durante 24 meses al 3% mensual (primero la gráfica). P = A (1+i ) n -1 i (1+i ) n P=? 3% ,00 P = ,00 ( 1 + 0,03 ) ,03 ( 1+0,03 ) 24

95 P = ,00 2, ,03 ( 2, ) P = ,00 1, , P = ,00 ( 16, ) P = ,81 Ahorrar $ ,00 durante 24 meses equivale a hacer un solo deposito hoy por valor de $ , UTILIZANDO LAS TABLAS. El cálculo del valor presente de una anualidad la podemos realizar a través de las tablas que han sido elaboradas con base en la formula anterior. Para este caso buscamos la tabla VI (valor del factor presente de una anualidad ordinaria) en otras tablas la notación estándar (P/a, i%,n), para un interés del 3% y para un n igual a 24 buscamos la intersección que es ( 16, ) Anualidad que son $ ,00 la multiplicación por el factor de la tabla (16, ). P = , 00 x 16, = ,60 Con el ejemplo anterior nos da una pequeña diferencia debido a que las tablas están constituido con más decimales.

96 TILIZANDO LA CALCULADORA H.P. (con base con el ejemplo anterior) Tenemos: Primer paso: Estando encendida la calculadora se oprime la tecla FIN resultado la nueva pantalla con las siguientes menú. y nos da como VDT CONVI F.CAJA BONO DEPREC. Segundo Paso: Se oprime la tecla VDT y nos da como resultado la siguiente pantalla 12 pagos/añ: Modo final. N %IA VA PAGO VF OTRO Tercer paso: Estando en la pantalla anterior incluimos los datos conocidos así: Nota: Los ingresos siempre los coloco con signo positivo y los egresos o salidas con signos negativos. Como los $ ,00 en la pantalla más tecla +/- y la tecla PAGO luego se escribe 24 en la pantalla mas la techa N luego 36 que es el interés anual más la tecla % IA para pedir el resultado se oprime la tecla V.A. y me da $ ,53.

97 UTILIZANDO EL EXCEL Con base en el ejemplo anterior tenemos : 1 Se construye la tabla o estructura 2 Se deja el cursor en B6 3 Se hace click en Fx 4 En categorías de función se selecciona Financieras y en nombre de función se selecciona VA y luego aceptar. 5 Se incluye la información haciendo click en B4, SE HACE CLICK EN Nper y luego click en B3, se hace click en Pago y luego click en B2 se hace click en aceptar y aparece la respuesta en b

98

99 5.4.2 CALCULAR UNA ANUALIDAD CONOCIENDO EL VALOR PRESENTE Este caso es por ejemplo cuando nos otorga un determinado préstamo y queremos saber el valor de la cuota. n i(1 i) UTILIZANDO LA FORMULA A P n (1 i) 1 Ejemplo hoy el banco de Bogotá me presta $ ,00 para ser cancelado en 3 años en cuotas periódicas trimestrales y cobra un interés del 36% anual Cuál será el valor de la cuota o anualidad? P= ,00 9% Trimestral

100 Trimestres A = P i ( 1+i) (1+i) n -1 n 36% = 9% Trimestral 4 trimestrales 4 AÑOS 12 trimestrales = A = ,00 0,09 ( 1+0,09) 12 ( 1+0,09) 12-1 A = ,00 0, , A = ,00 0, A = ,00 Por el préstamo de $ ,00 se van a pagar 12 cuotas trimestrales de $ , UTILIZACIÓN DE TABLAS Para calcular la anualidad busca la notación estándar ( A/P,i % n) para un interés del 9% y un n = 12 ver tabla x = , UTILIZANDO LA CALCULADORA HP

101 Primer Paso: (con el ejemplo anterior) Estando encendida la calculadora se oprime la tecla resultado la nueva pantalla con el siguiente menú: FIN y nos da como VDT CONVI F.CAJA BONO DEPREC. Segundo Paso: Se oprime la tecla VDT y nos da como resultado la siguiente pantalla. 12 pagos/año: Modo Final. N %IA VA PAGO VF OTRO NOTA: Como el ejemplo está en cuotas trimestrales tenemos que cambiar la parte superior de la pantalla así: Se Oprime OTRO se escribe 4 en la pantalla más P/AÑO y EXIT da una nueva pantalla: y 4 pagos/año: MODO FINAL N %IA VA PAGO VF OTRO Tercer paso: Estando en la pantalla anterior incluimos los datos así:

102 Se escribe $ en la pantalla y oprimo V.A. como en tres años a 12 trimestrales se escribe 12 en la pantalla y se oprime N Luego se escribe 36 y se oprime %IA y para pedir el resultado se oprime PAGO y aparece el resultado en la pantalla PAGO = , UTILIZANDO EL EXCEL (como en el ejemplo anterior) Con base en el ejemplo anterior tenemos 1 Se construye la estructura o tabla 2 S e deja el cursor en B6 3 Se hace clic en Fx 4 En categorías de función se selecciona Financieras y en nombre de función se selecciona PAGO y luego aceptar.

103 5 Se incluye la información haciendo click en B4, Se hace click en Nper y luego click en B3, se hace click en VA y luego click en B2. 6 Se hace click en aceptar y aparece la respuesta en B6

104 5.4.3 CALCULO DEL NÚMERO DE PERIODOS CONOCIENDO EL VALOR PRESENTE Y LA ANUALIDAD UTILIZANDO LA FÓRMULA Ejemplo: El Banco Popular me presta $ ,00 para ser canceladas en cuotas trimestrales de $ ,00 con interés trimestral del 9% cuántas cuotas debo pagar? Como los intereses son trimestrales, la respuesta da en trimestres y como se hizo con base en el ejemplo anterior sabemos que la respuesta son 12 trimestrales.

105 ( A) Log A pi n = Log(1 i) ( ) Log ( * 0.09 Log(1 0,09) = ( ) Log Log(1,09) Log(2, n = Log(1,09) = 0, , = 12 Trimestrales. Como no es muy común calcular n se deja que el estudiante investigue como se calcula con la calculadora HP y con la hoja electrónica Excel CALCULO DE LA TASA DE INTERÉS CONOCIENDO EL VALOR PRESENTE Y LA ANUALIDAD. Generalmente cuando una persona utiliza un crédito bancario o compra bienes o plazos, ignora que tasa de interés le están cobrando. Por eso es de gran importancia conocer cual es la tasa de interés. La importancia de este tema radica en buscar donde tiene menos costo el valor del dinero. Un ejemplo sencillo sería si se va comprar una nevera a 24 meses de plazo donde es más económico, hacer un préstamo en un Banco a 24 meses y comprarla de contado, o pagar las 24 cuotas fijadas por la empresa que me vende la nevera, sin saber la tasa de interés. Es muy difícil calcular la tasa de interés utilizando una fórmula, existen otras formas como son: Interpolando Ensayo y error Calculadora financieras Excel

106 INTERPOLANDO Ejemplo: el banco me presta $ ,00 para ser cancelados en 24 cuotas mensuales de $ ,80 qué tasa de interés me cobraron? Hay dos formas de hacerlo a-) Utilizando la formula del calculo de A teniendo P b-) Utilizando las tablas UTILIZAMOS LA FÓRMULA Para calcular una anualidad teniendo en presente utilizamos la siguiente formula. A = P i (1+i) n ( 1 +i) n -1 Como sé que la anualidad es de $ invento una tasa de interés y vuelvo a calcular la anualidad. Para este caso me invento una tasa del 3% mensual y tenemos entonces: P = A = P 0,03 ( 1.03) 24 n = 24 i = 0.03 (1.03) 24-1 A =? A= , , A = ,42

107 Aquí se ve que para un interés del 3% mensual, la anualidad es de $ ,42 lo que se deduce que la tasa de interés para que la anualidad sea igual a $ ,80, tienen necesariamente que ser menor. Luego hago el mismo procedimiento para una tasa del 2% mensual. A = (1,02) 24 A = , (1,02) , A = ,11 Esto significa que para una tasa del 2 %, la anualidad es de $ ,11 lo que me demuestra que para que la anualidad sea $ ,80 la tasa de interés debe ser superior al 2% e inferior al 3% entonces para hallar la tasa se interpola así: ,42 i ,80 0, ,11 0, ,11 Luego se procede a restar cada uno de los numeradores con los denominadores ,42 i ,80 0, ,11 0, ,11 0, ,31 i-0, ,69 Luego:

108 0,01 = i - 0, , , ,69 a multiplicar a 0,01 y da 6.176,31 0,01 x 3.041,69 = i-0, ,31 0, = i-0,02 Es lo mismo i-0,02 = 0, dejamos la i sola y el - 0,02 lo pasamos a sumar así: i = 0, ,02 i = 0, lo multiplicamos por 100 2,49% aprox. UTILIZAMOS LAS TABLAS El procedimiento es el siguientes: P = A ( 1 +i) n -1 i (1+i) n REEMPLAZAMOS ,80 P/A, i%24 = 17, P/A, i%24

109 Esto significa que tengo que buscar en la tabla VI. Un valor que esté por encima de 17, y otro por debajo para n=24 y luego se procede a interpolar. Para el 3% = 16, para 2% = 18, Ahora con los datos anteriores se procede a interpolar asi: , i 17, ,02 18, ,02 18, Resultado 0,01-1, i Luego 0,01 = i - 0,02-1, , ,01-1, x ( - 1, ) = i-0,02 0, = i - 0,02 i = 0, ,02 i = 0,25199 x 100 = 2,51 % Aprox ENSAYO Y ERROR Lo que busca este método es encontrar una tasa de interés cualquiera y con base en ella empezar a buscar la tasa que más se acerque al resultado posible. Para el ejemplo anterior se busca el 3% y dio una anualidad de $ ,42 de antemano se sobre entiende que a menos interés menor cuota. Entonces se busca para 2,8% mensual y

110 así sucesivamente hasta que se llegue a una anualidad muy aproximada UTILIZANDO LA CALCULADORA H.P. Retomando el ejemplo anterior tenemos: Primer paso: Estando encendida la calculadora se oprime la tecla FIN y da como resultado la siguiente pantalla con el siguiente menú: VDT CONVI F.CAJA BONO DEPREC. Segundo Paso: Se oprime la tecla VDT y nos da como resultado la siguiente pantalla 12 pagos/añ: Modo Final. N %IA VA PAGO VF OTRO Tercer Paso: Estando en la pantalla anterior incluimos los datos así: Se Escribe ,00 y se oprime VA, se escribo 24 en la pantalla y se oprime PAGO y para pedir el resultado se oprime %IA y aparece en la pantalla %IA = 29,99. Como el interés está anual lo divido entre 12 y me da el interés mensual que es % aproximadamente UTILIZANDO EXCEL 1. Construimos la estructura como lo muestra la gráfica siguiente.

111 2. Dejamos el curso en B6 y se hace clic en el icono fx. 3. Se Hace clic en FINANCIERA en la ventana izquierda y TASA en la ventana derecha gráfica anterior. 4. Se Hace clic en aceptar 5. Se hace click en B4, se hace click en pago y click en B3, se hace click en VA, y click último traslado B2 haciendo click en va y luego click en B2. 6. Se hace click en aceptar y da la respuesta en la gráfica siguiente.

112

113 5.4.5 VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD El calculo del valor futuro no es otra cosa que el pago de una serie de cuotas que equivalencia tiene al hacer un solo pago en la fecha final UTILIZANDO LA FORMULA F= A (1+i) n -1 i Formula

114 Ejemplo un ahorrador deposita $ mensuales durante 4 años cuánto tendrá al finalizar los 4 años si el banco reconoce el 18% anual capitalizarse mensualmente? F = Valor futuro y no se conoce A = Anualidad y es $ n = periodos que son 4 años y equivale a 48 meses i = Tasa de interés y es 18% anual y equivale a 1,5 % mensual? F = F = A ( 1 + i ) n -1 i F = ( 1,015) ,015 F = ( 69, ) F = 17, ,82 El ahorrador que deposito $ durante 48 meses tendrá al final $ 17, ,82 si el banco reconoce el 1.5% mensual.

115 UTILIZANDO LAS TABLAS. El valor futuro se puede calcular con base en las tablas que han sido elaboradas utilizando la formula anterior, para este caso buscamos en la tabla, cálculo del factor futuro teniendo una anualidad, en otras tablas la notación estándar ( F/A,i%,n) para un interés del 1.5 % mensual para 48 periodos, buscamos la intersección, el factor es (69, ) x = $ , UTILIZANDO LA CALCULADORA HP. (con base en el ejemplo anterior) Primer paso: Estando encendido la calculadora se oprime la techa FIN y nos da como resultado la nueva pantalla con los siguientes menús: VDT CONVI F.CAJA BONO DEPREC Segundo Paso: Se prime la tecla VDT y da como resultado la siguiente pantalla 12 Pago/añ : Modo Final N %IA VA PAGO VF OTRO Tercer paso: Estando en la pantalla anterior incluimos los datos así:

116 Se escribe y oprimo +/- luego la tecla PAGO se escribe 48 y se oprime la tecla %IA y para pedir la respuesta se oprime F y aparece el restultado en la pantalla VF = , UTILIZANDO EL EXCEL 1. Se construye la Tabla o estuctura 2. Dejamos el cursor en B6 se hace clic en el icono fx. 3. Se selecciona financiera y VA aceptar. 4. Se hace clic en B2, luego se hace clic en NPER y clic en B4, luego se hace clic en PAGO y clic en B3 y aceptar, se deja el cursor en B7. 5. Se hace nuevamente clic en fx y se selecciona finaciera y VF y luego aceptar. 6. Se hace clic en B2, luego clic en Nper y clic en B4, clic en pago y clic en B3 y aceptar.

117 7. Y aparece la respuesta en B7.

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