LECCIÓN Nº 01 y 02 CONCEPTOS BASICOS, TERMINOS Y GRAFICAS

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1 UNIVERIDAD JOE ARLO MARIATEGUI LEIÓN Nº 0 y 0 ONEPTO BAIO, TERMINO Y GRAFIA OBJETIVO: El objetivo es que el estudiante trate de entender el significado, rol, enfoque y conceptos básicos de la ingeniería económica. alcular el interés simple y compuesto para uno o mas periodos de interés. Realizar cálculos relacionados con el interés y con las tasas de interés. Identificar los símbolos comunes de ingeniería económica. Entender el flujo y efectivo y como representarlo gráficamente. ÁLULO DE INTEREE La manifestación del valor del dinero en el tiempo se conoce con el término interés, que es el incremento entre una suma original de dinero prestado y la suma final debida, o la suma original poseída (o invertida) y la suma final acumulada. e hace referencia a la inversión original o al monto del préstamo como el principal. i una persona invirtió dinero en algún momento en el pasado, el interés será: Interés = monto total ahora principal original i el resultado es negativo, la persona ha perdido dinero y no hay interés. Por otra parte, si obtuvo en préstamo dinero en algún momento del pasado, el interés será: Interés = monto debido ahora principal original En cualquier caso, hay un aumento en la cantidad de dinero que se invirtió o prestó originalmente y el incremento por encima de la suma original es el interés. uando el interés se expresa como un porcentaje de la suma original por unidad de tiempo, el resultado es una tasa de interés. Esta tasa se calcula como: Interés causado por unidad de tiempo Tasa porcentual de interés = X 00% suma original El periodo de tiempo más común en el cual se expresa una tasa de interés es año. in embargo, dado que las tasas de interés pueden estar expresadas en periodos de tiempo menores de año, por ejemplo, % mensual, la unidad de tiempo utilizada al expresar 8

2 UNIVERIDAD JOÉ ARLO MARIATEGUI una tasa de interés también debe ser identificada. Este periodo se denomina el periodo de interés. Los siguientes ejemplos ilustran cálculos de interés. Ejemplo. La firma Inversiones el Trome invirtió $00,000 el de mayo y retiró un total de $ 06,000 exactamente un año más tarde. alcule (a) el interés obtenido y (b) la tasa de interés sobre la inversión. Al aplicar la ecuación. Interés = monto total ahora principal original (a) Interés = $ 06,000 00,000 = $ 6000 (b) Interés causado por unidad de tiempo Tasa porcentual de interés = X 00% uma original Tasa de interés = $6000 anuales $ 00,000 X 00% = 6% anual. omentario uando se trata de dinero prestado, los cálculos son similares a los que aparecen arriba excepto que el interés se calcula mediante las ecuaciones. Por ejemplo, si el Trome lo hubiera obtenido en préstamo $00,000 ahora y hubiera reembolsado $0,000 después de año, el interés es $0,000 y la tasa de interés a través de la ecuación es $0,000/$00,000 X 00% = 0% anual. Ejemplo Equipos DT. Hooter.A. planea obtener un préstamo bancario de $0,000 durante año a un interés del 9% para adquirir un nuevo equipo de grabación. alcule (a) el interés y (b) el valor total adeudado después de año. (c) onstruya una gráfica que muestre los números que serian utilizados para calcular la tasa de interés del préstamo del 9% anual. (a) Mediante la ecuación, calcule el interés total causado. Interés = $0,000(0.09) = $800 (b) La cantidad total a pagar es la suma del principal y el interés. Total a pagar = $0, = $,800 9

3 UNIVERIDAD JOE ARLO MARIATEGUI (c) $,800 Interes = $,800 $ 0,000 antidad original del prestamo Tasa de interés $,800 x 00% $ 0,000 = 9% Ahora Año Después El período de interés es año En la Figura Muestra los Valores utilizados para calcular una tasa de interés del 9% anual. omentario Observe que en la parte (b), la cantidad total a pagar puede calcularse también como: Total = principal ( + tasa de interés) = $0,000(.09) = $,800 Ejemplo (a) alcule la suma de dinero que debe haber sido depositada hace año para tener ahora $000 a una tasa de interés del 5% anual. (b) alcule los intereses ganados durante este periodo de tiempo. (a) La cantidad total acumulada es la suma del depósito original y el interés ganado. i X es el depósito original. Total acumulado = original + original (tasa de interés) $000 = X + X (0.05) = X (l ) =.05X El depósito original es 000 x = = $ (b) Aplique la ecuación, para determinar el interés ganado. Interés = $ = $47.6 LA EQUIVALENIA uando se consideran juntos, el valor del dinero en el tiempo y la tasa de interés ayudan a desarrollar el concepto de equivalencia, el cual significa que sumas diferentes de dinero en momentos diferentes son iguales en valor económico. Por ejemplo, si la tasa de 0

4 UNIVERIDAD JOÉ ARLO MARIATEGUI interés es de 6% anual, $00 hoy (tiempo presente) serían equivalentes a $06 en un año a partir de hoy. antidad causada = (0.06) = 00 (l ) = $06 Entonces, si alguien ofreciera a un amigo un obsequio de $00 hoy o de $06 dentro de un año a partir de hoy, no habría diferencia entre cuál oferta se aceptaría. En cualquier caso se tendrá $06 dentro de un año a partir de hoy. Las dos sumas de dinero son equivalentes entre sí cuando la tasa de interés es el 6% anual. in embargo, a una tasa más alta o más baja de interés, $ 00 hoy no equivaldrán a $ 06 dentro de un año. Además de la equivalencia futura, se puede aplicar la misma lógica para determinar equivalencia para años anteriores. i se tienen $00 hoy, tal cantidad es equivalente a $00/.06 = $94.4 hace un año a una tasa de interés de 6% anual. De estas ilustraciones se puede afirmar lo siguiente: $94.4 hace un año, $00 hoy y $ 06 dentro de un año son equivalentes entre sí a una tasa de interés del 6% anual. El hecho de que estas sumas sean equivalentes puede establecerse calculando las dos tasas de interés para periodos de interés de un año. Hace un año $ 06 $ 00 =.06 ( 6% anual) Tasa de interés del 6% anual $94.4 $5.66 $ 6.00 $00.00 $ 6.00 $ Hace un año Ahora un año a partir de ahora Ejemplos. $ 00 $ 94.4 =.06 ( 6% anual) Haga los cáculos necesarios a una tasa de interés del 5% anual para mostrar cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas y cuáles son falsas.. (a) $98 hoy equivalen a $05.60 dentro de un año. (b) $00 hace un año equivalen a $05hoy. (c) $000 hoy equivalen a $50 dentro de un año. (d) $000 hoy equivalen a $887.4 hace un año. (e) El interés acumulado en año en una inversión de $000 es $00. Respuesta: a) Falso.

5 UNIVERIDAD JOE ARLO MARIATEGUI b) Falso. c) Verdadero. d) Falso. e) Verdadero. INTERÉ IMPLE Y OMPUETO Los términos interés, periodo de interés y tasa de interés son útiles para el cálculo de sumas equivalentes de dinero para un periodo de interés en el pasado y un periodo en el futuro. in embargo, para más de un periodo de interés, los términos interés simple e interés compuesto resultan importantes. El interés simple se calcula utilizando sólo el principal, ignorando cualquier interés causado en los periodos de interés anteriores. El interés simple total durante diversos periodos se calcula como: Interés = (principal) (número de periodos) (tasa de interés) en donde la tasa de interés está expresada en forma decimal. Ejemplo i Julián obtiene $000 en préstamo de su hermana mayor durante años a un interés simple del 5% anual, cuánto dinero pagará él al final de los años? Tabule los resultados. El interés para cada uno de los años es: El interés total durante años es: El monto adeudado después de años es: Interés anual = 000 (0.05) = $50 Interés total = 000() (0.05) = $50 $ = $50 Los $50 de intereses acumulados durante el primer año y los $50 causados en el segundo año no gana interés. El interés causado cada año se calcula solamente sobre el principal de $000. Los detalles del pago de este préstamo se tabulan en la tabla siguiente. La cifra de cero en la columna de final del año representa el presente, es decir, en el momento en el cual el dinero es prestado. El prestatario no realiza pago alguno hasta el final del año, de manera que la suma adeudada cada año aumenta uniformemente en $50, puesto que el interés simple se calcula sólo sobre el principal del préstamo.

6 UNIVERIDAD JOÉ ARLO MARIATEGUI álculos de interés simple ( ) Final del año ( ) antidad obtenida En préstamo ( ) Interés ( 4 ) uma a pagar ( 5 ) uma Pagada 0 $ 000 $ $ $ Para el interés compuesto, el interés acumulado para cada periodo de interés se calcula sobre el principal más el monto total del interés acumulado en todos los periodos anteriores. Por tanto, el interés compuesto significa un interés sobre el interés, es decir, refleja el efecto del valor del dinero en el tiempo también sobre el interés. Ahora, el interés para un periodo se calcula así: Interés = (principal + todo el interés causado) (tasa de interés) Ejemplo. i arlos obtiene, de su hermana, en préstamo $000 al 5% de interés anual compuesto en lugar del interés simple, como en el ejemplo anterior, calcule la suma total a pagar después de años. Elabore gráficas y compare los resultados de este ejemplo y del anterior. La tasa de interés y la cantidad total a pagar cada año se calcula separadamente mediante la ecuación: Interés año : $000(0.05) = $50.00 uma total causada después del año : $ = $ Interés año : $050(0.05) = $5.50 uma total causada después del año : $ = $0.50 Interés año : $0.50 (0.05) = $55. uma total causada después del año : $ = $57.6 Los detalles se muestran en la tabla siguiente. El plan de pago es el mismo que aquel del ejemplo de interés simple; no se hacen pagos hasta que el principal más el interés acumulado sean causados al final del año. álculos de interés compuesto.

7 UNIVERIDAD JOE ARLO MARIATEGUI ( ) Final del año ( ) antidad obtenida En préstamo ( ) Interés ( 4 ) uma a pagar ( 5 ) uma Pagada 0 $ 000 $ $ $ La figura siguiente muestra la suma a pagar al final de cada año durante años. Para el caso del interés compuesto se reconoce la diferencia adeudada al valor del dinero en el tiempo. e paga un interés extra de $57.6 $50 = $7.6 comparado con el interés simple durante el periodo de años. La diferencia entre interés simple y compuesto crece cada año. i se continúan los cálculos durante más años, por ejemplo, 0 años, la diferencia es $8.90; después de 0 años, el interés compuesto es $65.0 más que el interés simple. i $ 7.6 no parece una diferencia significativa en años solamente, recuerde que la suma inicial aquí es $000. i se hacen estos mismos cálculos para una suma inicial de $ 00,000 ó $ millón se esta hablando de una suma importante. Todo esto indica que el poder del cálculo compuesto es de vital importancia en todos los análisis de tipo económico. omparacion de calculos de interes simple y compuesto. $57.6 $50 $0.50 $00 $050 $050 Interesimple Total a pagar $ Interes ompuesto $ 55. Total a pagar $ $ 50 $ 50 $ 50 $ 5.50 $ 50 Final del año 4

8 UNIVERIDAD JOÉ ARLO MARIATEGUI Ejemplo Demuestre los conceptos de equivalencia utilizando los diferentes planes de reembolso de préstamos descritos a continuación. En cada plan se rembolsa un préstamo de $5000 en 5 años al 8% de interés anual utilizando el interés simple o compuesto. Plan : Interés simple; se paga todo al final. No se efectúa pago alguno del interés o principal hasta el final del año 5. El interés se acumula cada año sobre el principal solamente. Plan : Interés compuesto; se paga todo al final. No se efectúa pago alguno del interés o del principal hasta el final del año 5. El interés se acumula cada año sobre el total del principal y sobre todo el interés causado. Plan : Interés simple pagado a medida que se causa; el principal se paga al final. El interés acumulado se paga cada año y todo el principal se rembolsa al final del año 5. Plan 4: El interés compuesto y una porción del principal se pagan anualmente. El interés causado y una quinta parte del principal (o $000) se paga cada año. El saldo vigente del préstamo se reduce anualmente, de manera que el interés de cada año disminuye. Plan 5: Pagos iguales efectuados anualmente del interés compuesto y del principal. ada año se efectúan pagos iguales; una porción que va hacia el reembolso del principal y la cantidad restante cubre los intereses acumulados. Dado que el saldo del préstamo disminuye a una tasa más lenta que en el plan 4, debido a los pagos iguales de fin de año, el interés merma pero a una tasa más lenta. La tabla siguiente presenta el interés, la cantidad del pago, el total adeudado al final de cada año y la cantidad total pagada durante el periodo de 5 años (totales de la columna D). Tabla 0. 5

9 UNIVERIDAD JOE ARLO MARIATEGUI Esquema de reembolsos diferentes para $5000 obtenidos en préstamo o prestados en el tiempo o durante 5 años al 8% de interés anual. A Final del año B Interés a pagar por el año Total a pagar al final del año D Pago de final del año E Total a pagar después del pago Plan : Interés simple, se paga todo al final O 4 5 $ 400,00 $5400, ,00 600, , ,00 $ $ , ,00 600, ,00 Totales $7000,00 Plan : Interés compuesto, se paga todo al final O 4 5 $400, $5400, , $ $5000, , Totales $ Plan : Interés simple pagado a medida que se causa; el principal se paga al final O 4 5 $ $ $ 5 $ Totales $

10 UNIVERIDAD JOÉ ARLO MARIATEGUI Plan 4: El interés compuesto y la porción del principal se pagan anualmente O 4 5 $ $ $ $ Totales $ Plan 5: Pagos iguales efectuados anualmente del interés compuesto y del principal. O 4 5 $ $ $ $ Totales $66.4 el procedimiento no se concentra ahora en la forma como se calculan todas las sumas de la columna, los valores del interés (columna B) se determinan de la siguiente manera: Plan. Interés simple = (principal original) (0.08). Plan. Interés compuesto = (total debido el año anterior)(0.08) Plan. Interés simple = (principal original)(0.08) Plan 4. Interés compuesto = (total debido el año anterior)(0.08) Plan 5. Interés compuesto = (total debido el año anterior)(0.08) Observe que los montos de los pagos anuales son diferentes para cada esquema de reembolso y que las sumas totales rembolsadas en la mayoría de los planes son diferentes, aunque todos éstos requieran exactamente 5 años. La diferencia en las sumas totales rembolsadas puede ser explicada () por el dinero en el tiempo, () por el interés simple o compuesto y () por el reembolso parcial del principal con anterioridad al año 5. Los planes y tienen sumas totales pagadas de $7000, ya que el interés simple no causa interés sobre el interés anterior, como es el caso en planes que utilizan interés compuesto. Qué puede establecerse sobre la equivalencia para estos planes al 8% de interés anual? e puede plantear: La tabla 0 muestra que $5000 en el tiempo O equivale a cada una de las siguientes cantidades: 7

11 UNIVERIDAD JOE ARLO MARIATEGUI Plan. $7000 (interés simple) al final del año 5. Plan. $ (interés compuesto) al final del año 5. Plan. $400 anual (interés simple) durante 4 años y $5400 al final del año 5. Plan 4. Pagos decrecientes de] interés compuesto y parciales del principal en los años ($400) hasta 5 ($080). Plan 5. Pagos anuales de $ 5.8 durante 5 años. LO ÍMBOLO Y U IGNIFIADO EN INGENIERIA EONOMIA. En ingeniería económica, las relaciones comúnmente incluyen los siguientes símbolos y es (muestra): P = F = = R = A = n = i = t = valor o suma de dinero en un momento denotado como el presente, denominado el valor presente; moneda, dólares. valor o suma de dinero en algún tiempo futuro, denominado valor futuro; dólares. serie de sumas de dinero consecutivas, iguales de fin de periodo, denominadas valor equivalente por periodo o valor anual: dólares por año, dólares por mes número de periodos de interés; años, meses, días. número de periodos; años, meses, días. tasa de interés por periodo de interés; porcentaje anual, porcentaje mensual. tiempo expresado en periodos; años, meses, días. Los símbolos P y F representan ocurrencias de una vez: R ocurre con el mismo valor una vez cada periodo de interés durante un número específico de periodos. Debe quedar claro que un valor presente P representa una sola suma de dinero en algún punto anterior a un valor futuro F o un monto equivalente de la serie A. Es importante anotar que el símbolo A siempre representa una suma uniforme (es decir, la suma debe ser la misma cada periodo), la cual debe extenderse a través de periodos de interés consecutivos. Ambas condiciones deben existir antes de que el valor en dólares pueda ser representado por A. La tasa de interés compuesto i es expresada en porcentajes por periodo de interés, por ejemplo, % anual. A menos que se indique lo contrario, se debe suponer que la tasa se aplica durante todos los n años o periodos de interés. En los cálculos de ingeniería económica se utiliza siempre el equivalente decimal para i. Todos los problemas de ingeniería económica contienen el elemento tiempo y, por consiguiente, el símbolo t. De los cinco símbolos restantes, P, F, A. n, e i, cada problema contendrá al menos cuatro en donde al menos tres de ellos se conocen. Ejemplo Un estudiante universitario próximo a graduarse piensa obtener en préstamo $000 ahora, la totalidad del principal del préstamo más el interés causado al 0% anual en 5 años. Enumere los símbolos de ingeniería económica involucrados y sus valores si el estudiante desea conocer la suma total a pagar después de 5 años. En este caso se utiliza P y F pero no A, puesto que todas las transacciones son pagos sencillos. El tiempo t se expresa en años. 8

12 UNIVERIDAD JOÉ ARLO MARIATEGUI P = $000 i = 0% anual n = 5 años F =? La suma futura F se desconoce. Ejemplo uponga que una persona obtiene $000 en préstamo al % anual durante 5 años y debe rembolsar el préstamo en pagos anuales iguales. Determine los símbolos involucrados y sus valores. El tiempo t está en años. P = $000 A =? anual durante 5 años i = % anual n = 5 años No hay valor futuro F involucrado. En ambos ejemplos, el valor de P $000 es una entrada (para el prestatario) y F o A es un desembolso (una salida del prestatario). Es igualmente correcto utilizar estos símbolos en los papeles inversos. Ejemplo El de mayo de 998, una persona depositó $500 en una cuenta que pagaba interés del 0% anual y retiró una suma anual equivalente durante los 0 años siguientes. Enumere los símbolos y sus valores. El tiempo t está en años; las sumas de P (el depósito) y A (diez retiros) son: P = $500 A =? anual i = 0% anual n = 0 años omentario El valor de $500 del depósito P y los retiros A es indicado por los mismos nombres de símbolos antes mencionados, pero se consideran en un contexto diferente. Ejemplo arlos depositó $00 cada mes durante 7 años a una tasa de interés del 7% anual compuesto mensualmente y retiró una sola suma después de 7 años. Defina los símbolos y sus sumas. Los depósitos mensuales iguales están en una serie A y el retiro es una suma futura o valor F. Los periodos de tiempo t se dan en meses. A = $00 mensuales durante 84 meses (7 años) F =? después de 84 meses i = 7% anual n = 84 meses Ejemplo 9

13 UNIVERIDAD JOE ARLO MARIATEGUI uponga que una persona planea realizar un depósito de suma global de $5000 ahora en una cuenta que paga 6% anual y piensa retirar una suma igual de $000 al final del año durante 5 años empezando el año próximo. Al final del año sexto, el ahorrador piensa cerrar la cuenta y retirar el dinero restante. Defina los símbolos de ingeniería económica involucrados. El tiempo t esta expresado en años. P = $5000. A = $000 anual durante 5 años. F =? al final del año 6. i = 6% anual. n = 5 años para la serie A y 6 para el valor F. FLUJO DE AJA. Un paso inicial en los problemas de evaluación de alternativas técnicoeconómicas, es el de resolver dos o las alternativas en sus consecuencias favorable o desfavorables. Hay una forma de medir consecuencias en términos comunes y típicos, aunque no siempre, en términos monetarios, es el flujo de caja, ella muestra las consecuencias monetarias en el tiempo. Por ejemplo, un simple problema podría ser las consecuencias de adquirir una comprensora usada, tal como se muestra a continuación: Año Flujo de caja Inicio del primer año Fin del primer año. Fin del segundo año Fin del tercer año. Fin del cuarto año. 0 4 $ 4, ,000 La compra de la comprensora es un desembolso de dinero, por ello el signo negativo ($ 4,500). El costo de mantenimiento de $ 50 es también un desembolso (cantidad negativa). La comprensora del cuarto año, es vendida en $,000. El signo (+) significa ingreso. Este mismo flujo de caja puede representarse gráficamente: Este mismo flujo de caja puede representarse graficamente 000 Año 4 Ingreso de dinero desembolso de dinero

14 UNIVERIDAD JOÉ ARLO MARIATEGUI Ejemplo. En enero del 005, La Empresa Villanueva compra un soplador a $ 500. Los dos primero años, los costos de reparaciones son ceros. A partir del tercer, cuarto y quinto año, estos costos fueron: $85, $0, $40. uál seria el flujo de caja si al final del quinto año el soplador se vende a $00? : Todo desembolso de dinero por la compra de un equipo es asumido a inicios de año, seguidos de ingresos o retiros al final de cada año. Al final del último año se realiza la reventa, lo que se le denomina VALOR DE REUPERAION del equipo. Entonces el flujo de caja (forma descriptiva) seria: Año Flujo de caja Note usted que (+ $40) representa el gasto de reparación ( $ 60) más el costo de reventa (+$00). Recuerde que el año cero es el comienzo del año, año es el final del año, año es el final del año, y así sucesivamente. Graficamente sería: 00 Año Ejemplo: A principios de año un taller invierte en la adquisición de un horno eléctrico la cantidad de $ 6,000: los tres primeros años el costo de mantenimiento es el % de su costo y a partir del cuarto año su costo por mantenimiento aumenta al 5%. Para una vida útil de 0 años. uál seria el flujo de caja si al final de su vida útil se vende dicho horno en $,000?. : El flujo de caja seria: Año alculo Flujo de caja 0 6,000 6,000

15 UNIVERIDAD JOE ARLO MARIATEGUI 0.0 (6,000) (6,000) (6,000) (6,000) (6,000) (6,000) (6,000) (6,000) (6,000) (6,000) ,000 +,000 Graficamente sería: 000 Año AO DE EMPREA AO : OMPRA DE REIDENIA EN URBANIZAION ILO. e pone a la Venta un Departamento ubicado en Urbanización Ilo, para lo cual se plantean las siguientes alternativas: a) $ 7,800 al contado. b) $ 0,000 al contado y el saldo a 60 días con una letra de $ 7,700. c) $ 8,000 al contado y el saldo con dos letras, una de $ 6,000 a 0 días y otra de $,680 a 60 días. d) $ 6,000 al contado y el saldo con tres letras de $ 4,000 con vencimientos a 0, 60 y 90 días cada una respectivamente. i la empresa Master.com dispone del efectivo para efectuar la compra al contado y por su capital puede percibir una tasa anual de interés simple del 4%. uál es la oferta más conveniente? Explique.

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