Dinero, tiempo y Relaciones de Equivalencia

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1 Capitulo2 Contenido Dinero, tiempo y Relaciones de Equivalencia BIENVENIDOS AL CAPITULO 2 CONTENIDO 2. DINERO, TIEMPO Y RELACIONES DE EQUIVALENCIA 2.1. DIAGRAMAS DE FLUJO DE CAJA 2.2. VALOR DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPO Relaciones entre cantidades de dinero situadas entre diferentes períodos de tiempo 2.3. SERIE UNIFORME (A) Relación de equivalencia entre una serie uniforme (A) y un valor futuro (F) situado exactamente al final de la serie (PERIODO n) Relación de equivalencia entre una serie uniforme (A) y un valor presente (P) situado un periodo atrás del primer flujo de la serie Otra forma de notación de las relaciones de equivalencia 2.4. GRADIENTE Gradiente Aritmético Relación de equivalencia entre un Gradiente Aritmético (G) y un valor futuro (F) Relación de equivalencia entre un Gradiente Aritmético (G) y un valor presente (P) Relación de equivalencia entre un Gradiente Aritmético (G) y una Serie Uniforme (A) Gradiente Aritmético Decreciente (negativo) Gradiente Geométrico Relación de equivalencia entre un Gradiente Geométrico (C,D) y un valor futuro (F) Relación de equivalencia entre un Gradiente Geométrico (C,D) y un valor presente (F) 2.5. SERIES UNIFORMES CONSECUTIVAS CON CRECIMIENTO GEOMÉTRICO 2.6. SERIES GEOMÉTRICAS CONSECUTIVAS CON CRECIMIENTO GEOMÉTRICO Acerca de

2 Diagramas de flujo de caja DIAGRAMAS DE FLUJO DE CAJADINERO, TIEMPO Y RELACIONES DE EQUIVALENCIA Un diagrama de flujo de caja es la representación gráfica de los ingresos y egresos ocasionados durante la vida de un proyecto. Se emplean en estos diagramas flechas verticales, que señalando hacia arriba representan un flujo de caja positivo (INGRESO), y señalando hacia abajo representan un flujo de caja negativo (EGRESO). Cada flecha parte de una línea horizontal que representa el tiempo, y está subdividida en periodos (días, meses, etc.). Esta representación gráfica será utilizada a lo largo de este tutorial para ilustrar cualquier proyecto de inversión o endeudamiento. VALOR DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPO Este concepto significa que cantidades iguales de dinero no tienen el mismo valor si se encuentran en puntos diferentes en el tiempo y si la tasa de interés es mayor que cero. Es importante reconocer que un peso que se recibe en el futuro valdrá menos que un peso que se tenga actualmente, debido a que el dinero puede ganar un cierto interés cuando se invierte por un periodo determinado. RELACIONES ENTRE CANTIDADES DE DINERO SITUADAS ENTRE DIFERENTES PERIODOS DE TIEMPO

3 Diagramas de flujo de caja Existe hoy (momento cero) una cantidad de dinero P, sobre la cual se genera un interés compuesto i en cada periodo de tiempo (días, meses, bimestres, trimestres, año, etc.). Se desea conocer el monto total acumulado en un tiempo determinado. Sea: P : Valor presente F : Valor futuro n : número de periodos entre P y F i : tasa de interés por periodo (%) La cantidad final acumulada "F" depende del número de periodos "n" así: Si n = 1. Cuando ha transcurrido un periodo tenemos la cantidad inicial (P) más el interés generado en ese periodo ("P" multiplicado por la tasa de interés "i"). Utilizando la nomenclatura definida se tendría : F = P + P * ( i ) = P * (1+i) Cuando ha transcurrido un periodo tenemos la cantidad inicial más el interés generado en ese periodo. Si n = 2. Cuando han transcurrido dos periodos tenemos la cantidad obtenida hasta el primer periodo (P(1+i)), más el interés generado por esa cantidad en el segundo periodo. De forma que el monto acumulado al final del segundo

4 Diagramas de flujo de caja periodo será: F = P * ( 1+i ) + P * ( 1+i ) * i = P * (1+i) ^ 2 Si n = 3. Para un tercer periodo tenemos la cantidad acumulada hasta el segundo periodo (P(1+i)2) más el interés generado por dicha cantidad en el nuevo periodo. F = P * ( 1+i ) ^2 + P * ( 1+i ) ^2 * i = P * ( 1+i ) ^3 En forma general podemos deducir la relación para n periodos de tiempo: [ 1 ] e inversamente, [ 2 ] En la relación básica desarrollada F= P(1+i)n existen cuatro variables P, F, i, n. Ver Ejemplos

5 Diagramas de flujo de caja Relación de Equivalencia entre Intereses de Diferentes PeríodosINTERES : MODALIDADES, PERIODOS Y EQUIVALENCIAS Hasta ahora debe estar claro que invertir un millón de pesos al 3% mensual es diferente a invertirlo al 36% anual (3%*12=36%) pero no nos hemos detenido a examinar una relación que exprese equivalencia entre tasas de interés mensuales respecto a anuales o en general equivalencias entre cualquier tipo de periodos. Esta sección se ocupa de ello. Supongamos que deseamos encontrar el interés equivalente para dos periodos de tiempo de diferente duración. Al periodo de tiempo mayor lo llamaremos "periodo mayor" y el otro será entonces "periodo menor". Denotemos: i : Interés efectivo del periodo menor ii : Interés efectivo del periodo mayor m : Número de periodos Si el interés del periodo menor (i), equivale al interés del periodo mayor (ii), entonces F debe ser igual si se parte del mismo P: F = P ( 1+i ) ^m = P (1+ii) Por lo tanto: ( 1+i ) ^m = ( 1+ii )

6 Diagramas de flujo de caja Entonces se obtiene: [27] ii = ( 1+i ) m - 1 e inversamente: [28] i = ( 1+ii ) 1/m - 1

7 Serie uniforme (A) SERIE UNIFORME (A)DINERO, TIEMPO Y RELACIONES DE EQUIVALENCIA Es un flujo uniforme que se presenta durante n periodos de tiempo (mes, trimestre, semestre, etc.) consecutivos, cada uno de ellos con un valor A. Gráficamente se representa de la siguiente forma: RELACIÓN DE EQUIVALENCIA ENTRE UNA SERIE UNIFORME (A) Y UN VALOR FUTURO (F) SITUADO EXACTAMENTE AL FINAL DE LA SERIE (PERIODO n) Sea: P: Valor presente A: Valor de la serie uniforme n: número de flujos de la serie uniforme i: tasa de interés periódica El valor futuro podría ser expresado como la suma de cada uno de los flujos individuales "A" trasladados hacia el periodo "n", así: Supongamos que cada A es un valor presente ubicado en su respectivo periodo. En la expresión básica F= P (1+i)n ; P representa un monto situado atrás con relación a F y n es el número de periodos que separan a P de F. Análogamente: Para el valor presente A situado en el periodo 1 : F = A(1+i)^(n-1) Para el valor presente A situado en el periodo 2 : F = A( 1+i)^(n-2) Para el valor presente A situado en el periodo 3 : F = A(1+i)^(n-3) Para el valor presente A situado en el periodo n-1 : F = A(1+i) ^(n - (n-1)) = A (1+i) Para el valor presente A situado en el periodo n : F = A(1+i)^(n-n) = A Para obtener el valor futuro de la serie uniforme, se deben sumar los valores futuros generados por cada A en los diferentes periodos: (1) F= A(1+i)^(n-1) + A(1+i)^(n-2) + A(1+i)^(n-3) A(1+i) + A

8 Serie uniforme (A) Multiplicando (1) por (1+i) se obtiene : (2) F(1+i)= A(1+i)^n + A(1+i)^(n-1) + A(1+i)^(n-2) A(1+i)^2 + A(1 +i) Y al hacer la substracción (2) - (1) se obtiene: F(i)= A(1+i)^n - A Finalmente se obtiene la expresión: [ 3 ] e inversamente [ 4 ] RELACIÓN DE EQUIVALENCIA ENTRE UNA SERIE UNIFORME (A) Y UN VALOR PRESENTE (P) SITUADO UN PERIODO ATRÁS DEL PRIMER FLUJO DE LA SERIE

9 Serie uniforme (A) Combinando la expresión [4] con la expresión [1] F=P(1+i)n se obtiene: [ 5 ] inversamente: [ 6 ] Ver Ejemplos OTRA FORMA DE NOTACIÓN DE LAS RELACIONES DE EQUIVALENCIA Las relaciones de equivalencia que hemos obtenido hasta el momento tienen la forma: donde: Y : Valor buscado X : Valor conocido ( Y / X, i, n ) : Factor de equivalencia que se lee : "Dado un X, hallar un Y, al i % en n periodos". Con esta forma de notación las relaciones de equivalencia son:

10 Serie uniforme (A) [1] F = P ( F / P, i, n ) [2] P = F ( P / F, i, n )

11 Serie uniforme (A) [3] F = A ( F / A, i, n ) [4] A = F ( A / F, i, n ) [5] A = P ( A / P, i, n )

12 Serie uniforme (A) [6] P = A ( P / A, i, n ) Una forma simple y rápida de hallar los factores de equivalencia es realizando programas sencillos de calculadora que pida los valores de i y de n, obteniéndose un resultado muy preciso. Otra forma (la tradicional) es utilizando las tablas de factores. Sin embargo las tablas jamás podrán presentar todas las combinaciones para los posibles valores de tasas de interés y número de periodos, requiriéndose en muchos casos de interpolaciones que conducen a resultados inexactos. Ver Ejemplos

13 Gradiente GRADIENTEDINERO, TIEMPO Y RELACIONES DE EQUIVALENCIA En ocasiones se pueden presentar flujos periódicos que cambian periodo a periodo en una determinada cantidad o porcentaje; en éstos casos se dice que existe un GRADIENTE. Analizando la forma de aumento (o disminución) del flujo podemos clasificar el gradiente como Gradiente Aritmético o Gradiente Geométrico. GRADIENTE ARITMÉTICO (G) Un gradiente, a diferencia de una serie uniforme, es un flujo que varia cada periodo. Si la variación periodo a periodo es un valor constante G se dice que es un gradiente aritmético y si dicha variación fuere porcentual tomaría el nombre de gradiente geométrico. Tomemos inicialmente el caso del gradiente aritmético y específicamente del gradiente aritmético positivo (o creciente) que se presenta cuando el flujo crece tal como se observa en la siguiente gráfica.

14 Gradiente Relación de equivalencia entre un Gradiente Aritmético (G) y un valor futuro (F) Donde: G : Valor del Gradiente F: Valor futuro i : Tasa de interés compuesto por periodo n : número de periodos Analicemos cada uno de los flujos: Para el segundo periodo en el que se presenta el primer flujo (G) y tomando este G como un valor presente, el valor futuro generado sería: F = G * ( 1+i )^( n-2 ) (n-2 es el número de periodos entre el primer flujo G y el periodo final n). Para el tercer periodo en el que se presenta un flujo de valor 2G; el valor futuro generado sería: (1) F = 2 * G * ( 1+i )^( n-3 ) (n-3 puesto que el interés se genera a partir del periodo 3). Para el periodo n-1 el flujo es (n-2)g, por tanto, el valor futuro generado es: (2) F = (n-2) * G * (1+i)^(n - (n-1)) = (n-2) * G * (1+i) En el periodo n, el flujo (n-1)g es el mismo valor futuro puesto que no genera interés.

15 Gradiente El valor futuro generado por el Gradiente Aritmético es la suma de cada uno de los valores futuros generados por el flujo de los diferentes periodos. Obtendremos: (3) F= G * ( 1+i )^(n-2) + 2G * (1+i)^(n-3) (n-2)g * (1+i) + (n-1) * G Multiplicando por el factor (1+i) (4) F(1+i)= G(1+i)^(n-1) + 2G(1+i)^(n-2) (n-2)g(1+i)^2 + (n-1)g(1+i) Restando (3) de (4) se obtiene: (5) F(i) = [G(1+i)^(n-1) + G(1+i)^(n-2) G(1+i)^2 + G(1+i) + G] - ng Obsérvese que la parte señalada (con letra inclinada) es similar a la ecuación (1) obtenida en el análisis de la serie uniforme cuya fórmula general es [3]. Podemos escribir: (6) finalmente despejamos [7] e inversamente [8]

16 Gradiente Relación de equivalencia entre un Gradiente Aritmético (G) y un valor presente (P) Recordemos que [2] : F = P * (1+i) ^n Reemplazando [2] en [7] tenemos: P * (1+i) ^n = G * [ (1+i)^n -1 - n * i] / i^2 Luego, [9] e inversamente [10]

17 Gradiente Relación de equivalencia entre un Gradiente Aritmético (G) y una Serie Uniforme (A) De la relación [3] r Reemplazando [3] en [7] [11] Ejemplos

18 Gradiente Gradiente Aritmético Decreciente (negativo) En algunos casos el flujo (ingresos ó egresos), presenta una disminución constante G en cada periodo. Por ejemplo, observemos el siguiente flujo de egresos: Como en cada periodo disminuye una cantidad G (en este caso G= ) respecto al periodo anterior a partir del primer flujo, se dice que es un GRADIENTE ARITMÉTICO DECRECIENTE ó NEGATIVO. La evaluación de éste tipo de flujo es: Tomar una serie uniforme con el primer valor del flujo y a ésta, restarle un Gradiente Aritmético (G) para quitar el exceso de la siguiente forma:

19 Gradiente P= (P/A, i%,4) (P/G, i%,4) El mismo tratamiento se dará para un flujo de ingresos: P= (P/A, i%,4) (P/G, i%,4)

20 Gradiente GRADIENTE GEOMÉTRICO (C) Este tipo de gradiente se presenta cuando el flujo crece cada periodo un porcentaje constante (Delta : D), siendo C el flujo inicial.

21 Gradiente Relación de equivalencia entre un Gradiente Geométrico (C,D ) y un valor futuro (F) Donde: C : Valor inicial del Gradiente Geométrico D : Porcentaje compuesto de crecimiento por periodo i : Tasa de interés compuesto por periodo n : Número de periodos F : Valor futuro Analicemos cada uno de los flujos: Para el primer periodo se presenta el flujo inicial C, tomando este C como un valor presente, el valor futuro generado sería: F = C (1+i)^(n-1) Para el periodo (n-1), el flujo es C(1+D )^(n-2) y el valor futuro correspondiente: F= C (1+i)(1+D )^(n-2) En el periodo n, el flujo es C(1+D )^(n-1) y no genera interés puesto que es el último periodo. El valor futuro generado por el gradiente geométrico es la suma de cada uno de los valores futuros generados por el flujo de los diferentes periodos. Efectuando esta suma se obtiene:

22 Gradiente (5) F = C (1+i)^(n-1) + C(1+D )(1+i)^(n-2) C(1+D )^(n-2)(1+i) +C(1+D )^(n-1) Tratando de que cada elemento en la serie equivalga al anterior multiplicamos por el factor (1+i) y dividimos por el factor (1+D ): (6) F = C + C(1+i)n C(1+D )n-3(1+i)2 + C(1+D )n-2(1+i) Restando (5) de (6): F = C - C(1+D )n-1 [13] para todo i ¹ D [14] para todo i ¹ D (1:Diferente) Si i = D, la ecuación (5) se convertiría en: F= C(1+i)^(n-1) + C(1+i)(1+i)^(n-2) C(1+i)^(n-2)(1+i) + C(1+i)^(n-1)

23 Gradiente luego, [15] para i = D [16] para i = D Teniendo en cuenta que F=P(1+i)n obtenemos las fórmulas: [17] [18]

24 Gradiente Relación de equivalencia entre un Gradiente Geométrico (C,D ) y un valor presente (P) Reemplacemos [2] en [13] P(1+i)n= C *(1+i)n - (1+D )n/(i-d ) luego, [19]

25 Gradiente [20] De manera similar, es decir, haciendo los reemplazos necesarios, podemos encontrar relaciones de equivalencia entre: - Gradiente Geométrico y Serie Uniforme [21] [22] Ver ejemplos

26 Series Uniformes Consecutivas con crecimiento Geométrico Series Uniformes Consecutivas con Crecimiento Geométrico DINERO, TIEMPO Y RELACIONES DE EQUIVALENCIA En nuestro medio es común encontrar casos en los que durante un año se presentan flujos mensuales constantes y anualmente el flujo mensual crece un porcentaje D. Tal es el caso de ciertas modalidades de pago para prestamos de vivienda y en general del comportamiento de los salarios. A continuación se desarrolla un modelo general para este tipo de flujos. NOTA: Por facilidad cuando se hable de periodos mayores piense en años y cuando se hable de periodos menores piense en meses; pero en general el modelo se desarrolla para cualquier tipo de periodo menores y mayores. Si: n : Número de periodos mayores ó número de series uniformes. m : Número de periodos menores de cada serie uniforme que hay en un periodo mayor ó número de periodos en los cuales la cuota es constante P : Valor presente equivalente del modelo D : Porcentaje compuesto de crecimiento por series de (m) periodos. b : Valor Inicial de la primera serie uniforme. i : Tasa de Interés de uno de los periodos menores.(im) ii : Tasa de interés de uno de los periodos mayores (in) n * m : Número total de periodo del modelo. (a)

27 Series Uniformes Consecutivas con crecimiento Geométrico (b)

28 Series Uniformes Consecutivas con crecimiento Geométrico Cada serie uniforme consta de (m) periodos menores con un interés (i) y si cada una de ellas la convertimos en un futuro relativo equivalente, entonces se obtendrán (n) flujos en forma de gradiente geométrico, con un incremento relativo de D, (figura (b)) así la expresión para el primer flujo generado por la serie uniforme inicial es: La expresión para el segundo flujo y para el tercer flujo, considerando el incremento (D ) relativo es: Y así sucesivamente hasta el enésimo (n) flujo futuro de expresión. que no genera intereses por ser el último periodo mayor. Determinando todos los anteriores (n) flujos el gradiente geométrico de (n) periodos mayores con un interés (ii) donde ii = (1+i) m - 1 Expresión final para el interés de cada periodo mayor. De tal forma que si los flujos relativos se llevan a un flujo total futuro se puede hallar el equivalente al C del gradiente.

29 Series Uniformes Consecutivas con crecimiento Geométrico Entonces : Cgrad = Permitiendo ya esta expresión y utilizando las anteriores expresiones para hallar un P y un F de un gradiente geométrico, obtener las expresiones similares para este modelo. Así de la anterior expresión : P = Cgrad Se halla la similar quedando así: [23]

30 Series Uniformes Consecutivas con crecimiento Geométrico [24] De igual forma se da la expresión =Cgrad F Se encuentra la análoga para este modelo: [25]

31 Series Uniformes Consecutivas con crecimiento Geométrico [26] Las fórmulas [23], [24], [25] y [26] no solo son de gran utilidad (puesto que es el modelo más usado en las Corporaciones de Ahorro y Vivienda) sino que se pueden considerar como el modelo general en el cual las fórmulas anteriores para las relaciones de equivalencia entre P, F, A, y C son casos específicos de dicho modelo general. Ver ejemplos Series Geométricas Consecutivas con Crecimiento Geométrico Existen sistemas en nuestro medio en los cuales es común encontrar casos en los que durante un año se presentan flujos mensuales que aumentan un porcentaje (X) y a su vez anualmente aumentan otro porcentaje (Y). Tal es el caso de ciertas modalidades de pago para prestamos de vivienda y prestamos en el extranjero. A continuación se desarrolla un modelo general para este tipo de flujos.

32 Series Uniformes Consecutivas con crecimiento Geométrico NOTA: Por facilidad cuando se hable de periodos mayores piense en años y cuando se hable de periodos menores piense en meses; pero en general el modelo se desarrolla para cualquier tipo de periodo menores y mayores. Si: n : Número de periodos mayores ó número de series uniformes. m : Número de periodos menores de cada serie uniforme que hay en un periodo mayor ó número de periodos en los cuales la cuota aumenta un porcentaje X P : Valor presente equivalente del modelo Y : Porcentaje compuesto de crecimiento por series de (m) periodos. c : Valor Inicial de la primera serie uniforme. i : Tasa de Interés de uno de los periodos menores.(im) ii : Tasa de interés de uno de los periodos mayores (in) n * m : Número total de periodo del modelo. (c)

33 Series Uniformes Consecutivas con crecimiento Geométrico Cada serie geométrica consta de (m) periodos menores con un interés (i) y si cada una de ellas la convertimos en un futuro relativo equivalente, entonces se obtendrán (n) flujos en forma

34 Series Uniformes Consecutivas con crecimiento Geométrico de gradiente geométrico, con un incremento relativo de Y, (figura (c)) así la expresión para el primer flujo generado por la serie geométrica inicial es: La expresión para el segundo flujo y para el tercer flujo, considerando el incremento (D ) relativo es: Y así sucesivamente hasta el enésimo (n) flujo futuro de expresión. que no genera intereses por ser el último periodo mayor. La expresión quedaría como una serie geométrica con C :

35 Series Uniformes Consecutivas con crecimiento Geométrico Para hallar F quedaría así: Para hallar P quedaría así: Para hallar C dado un F quedaría así: Para hallar C dado un P quedaría así:

36 Ejercicios Atrás EJERCICIOS DESARROLLADOS EJERCICIOS DINERO, TIEMPO Y RELACIONES DE EQUIVALENCIA Valor del Dinero a través del Tiempo Ejemplo 1. Se dispone de 1' de pesos el cual se deposita en una entidad financiera que le pagará un interés mensual del 2.5% sobre la cantidad inicial acumulada cada mes. Cuánto se tendrá al final de 1 año? DATOS : P=1' i= 2.5% mensual n= 12 meses F=? Aplicando la fórmula F = P * ( 1+i )^n F=1' ( )^12 F = 1' ,82 Ejemplo 2. Cuánto deberá depositarse hoy en una entidad financiera que paga un interés trimestral del 8.5%, para tener $4' dentro de 2 años? DATOS : F= $4' i= 8.5% trimestral n= 8 trimestres (2 años) P=? P = F * (1+i)^(-n) P= 4' ( )^(-8) P= 2' ,79 Ejemplo 3. Una entidad financiera ofrece que, por cualquier monto que se le entregue, devolverá el doble al cabo de 30 meses. Qué interés está pagando? DATOS : P = Cantidad inicial

37 Ejercicios F = 2P (Cantidad final) n = 30 meses i =? Utilizando la fórmula i = (F/P)^(1/n) - 1 2P = P (1+i)^30 2 = (1+i)^30 i= (2.3% mensual) Ejemplo 4. Cada cuánto se duplica el dinero invertido al 2%? DATOS : P= Cantidad inicial F= 2P (cantidad duplicada) n=? n = [ log(f/p) ] / ( log(1+i) ) 2P = P * (1+0.02)^n log 2 = n*log(1.02) n = 35 periodos de tiempo Atrás Relación de Equivalencia entre una Serie Uniforme (A) y un valor Presente (P) situado un Periodo atrás del primer flujo de la serie. Ejemplo 5. Usted decide ahorrar mensualmente $ los cuales depositará al final de cada mes en una entidad financiera que paga un interés del 2.5% mensual. Cuánto habrá acumulado al cabo de 2 años? A = $ i = 2.5% mensual n = 24 meses F =?

38 Ejercicios F= $ ,38 Ejemplo 6. Cuánto debe ahorrar mensualmente un estudiante que desea reunir $2' al final de sus 5 años de carrera con el fin de montar su propia empresa, si los ahorros le rentan el 3% mensual? A =? F = 2' n = 60 meses i = 3% mensual A= ,92

39 Ejercicios Ejemplo 7. Usted va a comprar un carro que vale $5' bajo las siguientes condiciones: cuota inicial: 40% Saldo financiado a 5 años al 2% mensual con cuotas mensuales iguales. Cuánto pagará mensualmente? P = $3' n = 60 meses i = 2% mensual A =? A= $86.303,90 Ejemplo 8. Usted asume una hipoteca a 25 años por $ , con una tasa de interés mensual del 2%. Piensa ser propietario de la casa durante 4 años y luego venderla, liquidando el préstamo con un pago final. Cuál será el monto de este pago al final de 4 años?. Las cuotas son fijas y deberán ser pagadas mensualmente. Primero hallamos el valor de la mensualidad: A = P [ ( 1 + i ) n i ] / [ ( 1 + i ) n - 1 ]

40 Ejercicios A = [ ( 1 + 0,02 ) 300 ( 0,02 ) ] / [ ( ) ] A = $ ,521 Ahora hallamos cuánto se ha pagado durante los primeros 4 años: F = A [ ( 1 + i ) n - 1 ] / i F = ,52 [ ( 1 + 0,02 ) 48-1 ] / 0,02 F = $ ,6 Al final de los primeros 4 años se han pagado $ ,6 Si llevamos el valor de la hipoteca al periodo 48, podemos restar estos dos valores F = P ( 1 + i ) n F = $ ,5 El pago que se debe hacer para cancelar la hipoteca es: $ ,5 - $ ,5 = $ Ejemplo 9. Una empresa requiere $2' , los cuales va a recibir como préstamo bancario con las siguientes condiciones: Plazo: 1 año interés: 8% trimestral Forma de pago: cuotas trimestrales iguales vencidas, las cuales incluyen intereses y abonos a capital. a. Determine el valor de la cuota. n = 4 trimestres i = 8% trimestral P = 2' A =? A= $ ,61

41 Ejercicios b. Ilustre mediante un cuadro periodo a periodo los siguientes conceptos: - Saldo inicial - Intereses causados - Cuota a pagar - Abono a capital - Saldo final PERIODO SALDO INICIAL INTERES CAUSADO CUOTA A PAGAR ABONO A CAPITAL SALDO FINAL I 2' ' II 1' ' III 1' IV ' Los intereses son causados por el saldo inicial de cada periodo. Los abonos a capital se calculan como la cuota a pagar menos los intereses causados. El saldo final se obtiene restando el abono a capital del saldo inicial. Este saldo final será el saldo inicial para el próximo periodo. c. Compruebe que el total de los abonos a capital es exactamente el préstamo recibido, y que el saldo al final del año es exactamente cero. El cuadro nos muestra que la suma de abonos a capital nos da exactamente los $2' recibidos, y que el saldo al final del año (cuarto periodo) es cero. d. Analice los saldos periodo a periodo y la relación interés-abono a capital durante los diferentes periodos. Los saldos van disminuyendo cada periodo más rápidamente, dado que el abono a capital aumenta periodo a periodo, mientras que los intereses sobre el saldo inicial del periodo correspondiente van disminuyendo.

42 Ejercicios Posibles formas de pago: * P= A(P/A,2.5%,24) = A(P/A,2.5%,18) = A(14,353363) A= $8.360,41 Reemplazando el valor de A en *: P = 8.360,41(P/A,2.5%,24) P = $ ,81 Ejemplo 15. Un almacén vende cualquiera de sus electrodomésticos de contado o a crédito. Si es de contado, el valor pagado es el precio de lista menos un 30% de descuento. Si es a crédito, debe cancelarse como cuota inicial el 20%, y el resto se pagará en 10 meses con cuotas iguales cada una de ellas por un valor igual al 80% del precio en lista dividido por 10. Cuál es el interés real mensual de comprar a crédito?

43 Ejercicios Existen dos formas de resolver este problema: a. Utilizando la relación de equivalencia entre la serie uniforme ($ ) y un valor presente situado un periodo atrás del primer flujo de la serie, en este caso en el periodo 6. Hasta el momento: P '= A ( P/A, i, n ) [6] donde: P ' : Es el valor equivalente a la serie uniforme A en el punto 6. A : $ P : Es P' i : 8% trimestral n : 4 (porque la serie uniforme es de 4 flujos) Dado que la serie uniforme queda convertida en un valor presente situado en el periodo 6 (P'), es necesario llevarlo ahora al periodo cero que es el momento en el cual hacemos el depósito. Para hacer este traslado consideramos a P' como un valor futuro (F) con respecto a P (en el periodo cero), por lo tanto tenemos: P= P' (P/F,i,n) [2] donde: P : Valor equivalente a la serie uniforme A en el periodo cero P' = A(P/A,i,n) F = P' i = 8% trimestral n = 6 (porque P' está situado exactamente en el periodo 6 y es necesario llevarlo al periodo cero).

44 Ejercicios En definitiva: P = A ( P/A, i, n ) ( P/F, i, n ) P = $1' ,867 b. Utilizando la relación de equivalencia entre la serie uniforme ($ ), y un valor futuro situado exactamente al final de la serie, en este caso en el periodo 10. Hasta el momento: F = A ( F/A, i, n ) [3] donde: F : Es el valor equivalente a la serie uniforme A en el periodo 10 A : $ i : 8% trimestral n : 4 (porque la serie es de 4 flujos) Dado que la serie uniforme queda convertida en un valor futuro situado en el periodo 10 (F), es necesario llevarlo al periodo cero, siendo F un valor futuro respecto a P (en el periodo cero). Entonces : P = F ( P/F, i, n ) donde: P : Valor equivalente a la serie uniforme A en el periodo 0 F : Valor equivalente a la serie uniforme A en el periodo 10 i : 8% trimestral n : 10 (porque F está situado en el periodo 10 y es necesario llevarlo a cero) En definitiva : P = A ( F/A, i, n ) ( P/F, i, n )

45 Ejercicios P = $1' ,867 Atrás Ejemplo 12. Usted recibe un préstamo de $2' , el cual deberá pagar de la siguiente forma: Plazo : 2 años Interés : 2.5% mensual Pagos mensuales vencidos por un valor A durante el primer año, y por un valor 2A durante el segundo año. Determine el valor de la cuota. a. Primera forma de solución: * Llevamos la serie A al periodo cero (P1) P1= A(P/A,i,n) [6] P1= A(P/A,2.5%,12) * Llevamos la serie 2A al periodo 12 P2= 2A(P/A,i,n) P2= 2A(P/A,2.5%,12) * Llevamos el valor P2 al periodo cero (P2'). P2 es con respecto a P2' un valor futuro, por tanto: P2'= P2(P2/F,i,n) [2] P2'= 2A(P/A,2.5%,12)(P/F,2.5%,12) * Hacemos P igual al valor equivalente de la serie A (retiros hechos en el primer año) en el periodo cero

46 Ejercicios (P1), más el valor equivalente de la serie 2A (retiros hechos en el segundo año) en el periodo cero. P= P1+P2' P= A(P/A,2.5%,12)+2A(P/A,2.5%,12)(P/F,2.5%,12) 2' = A(10, )+2A(10, )(0, ) A= $78.393,84695 b. Segunda forma de solución Tenemos dos series, cada una de valor A, la primera con 24 flujos (del 1 al 24), la cual llamaremos serie I y la segunda con 12 flujos (del 13 al 24), que llamaremos serie II. * Llevamos la serie I al periodo 24 (F1) F1= A(F/A,i,n) F1= A(F/A,2.5%,24) * Llevamos la serie II al periodo 24 (F2) F2= A(F/A,i,n) F2= A(F/A,2.5%,12) * Llevamos F1 al periodo cero (P1) P1=F1(P/F,i,n) P1=A(F/A,2.5%,24)(P/F,2.5%,24) * Llevamos F2 al periodo cero (P2) P2=F2(P/F,i,n) P2=A(F/A,2.5%,12)(P/F,2,5%,24) * Hacemos P igual al valor equivalente de la serie I en el periodo cero (P1), más el valor equivalente de la serie II en el periodo cero (P2) P=P1+P2 P=(A(F/A,2.5%,24)+A(F/A,2.5%,12))(P/F,2.5%,24) 2' =A(17.885)+A(7.627) A = $78.394,48 c. Tercera forma de solución Aplicando el mismo procedimiento, pero esta vez llevando cada una de las series a un valor presente, es decir, llevar la serie I al punto cero; la serie II al punto 12 y luego a valor presente cero. Debemos obtener el mismo resultado. * Llevando la serie I al periodo cero (P1) P1=A(P/A,2.5%,24) P1=17,885A

47 Ejercicios * Llevando la serie II al periodo 12 (P2) P2=A(P/A,2.5%,12) P2=10,2577 * Llevando P2 (tomándolo como F y llevándolo al periodo cero) P2=F(P/F,2.5%,12) P2=7,627A * Hacemos P igual al periodo equivalente de la serie I en el periodo cero(p1),mas el valor equivalente de la serie II en el periodo cero (P2) P=P1+P2 2' =A(17.885)+A(7.627) A = $78.394,48 Ejemplo 13. Usted requiere saber de cuánto dinero debe disponer hoy Enero 1 de 1997, generando un interés del 2% mensual para poder hacer retiros mensuales vencidos durante 1998 de $ cada uno, al final del 98 $ adicionales; durante 1999 $ mensuales, y al final del 99 $ adicionales. P=[ (F/A,2%,12)](P/F,2%,24)+ [ (F/A,2%,12)](P/F,2%,36) P = $ ,79 Ejemplo 14. Usted va a comprar un equipo de sonido en un almacén de electrodomésticos, el cual ofrece un crédito cooperativo al 2.5% mensual. La forma de pago será cuotas mensuales vencidas iguales durante 2 años. Al cabo de 6 meses se podría finalizar la deuda cancelando el saldo, el cual sería de $ Cuál es el valor de compra del equipo de sonido?

48 Ejercicios Posibles formas de pago: * P= A(P/A,2.5%,24) = A(P/A,2.5%,18) = A(14,353363) A= $8.360,41 Reemplazando el valor de A en *: P = 8.360,41(P/A,2.5%,24) P = $ ,81 Ejemplo 15. Un almacén vende cualquiera de sus electrodomésticos de contado o a crédito. Si es de contado, el valor pagado es el precio de lista menos un 30% de descuento. Si es a crédito, debe cancelarse como cuota inicial el 20%, y el resto se pagará en 10 meses con cuotas iguales cada una de ellas por un valor igual al 80% del precio en lista dividido por 10. Cuál es el interés real mensual de comprar a crédito?

49 Ejercicios PL: Precio de lista Hallando el flujo neto equivalente a la diferencia entre las dos formas de pago tenemos: Donde 0.5 PL representa el dinero que realmente esta siendo financiado ya que a crédito de todas formas debe darse 0.2 PL como cuota inicial y si el comprador dispusiera de 0.5 PL adicionales completaría el precio de compra de contado que es 0.7 PL y se evitaría el pago de las diez cuotas adicionales. En otras palabras, el comprador paga diez cuotas mensuales equivalentes al 8% del precio de lista a cambio de no tener que pagar hoy un 50% del precio de lista (precio de contado menos cuota inicial), lo que puede ser interpretado como un préstamo. 0.7PL=0.2PL PL(P/A,i%,10) 0.5PL=0.08PL(P/A,i%,10) (P/A,i%,10)=6,25 Debemos hallar un valor de i despejando la fórmula y con calculadora hallamos que : i = 9,6140% Luego el comprador esta pagando un interés mensual cercano al 10% Atrás Gradiente Aritmético Ejemplo 16. Usted va a depositar dentro de 6 meses $50.000, dentro de 9 meses $ , dentro de 1 año $ , y así sucesivamente hasta que hace el último depósito dentro de 4 años. Cuánto tendrá en ese entonces acumulado, si los depósitos ganan un interés del 8% trimestral? G = $ i = 8% trimestral

50 n = 16 trimestres F =? F= * (1+0,08) (0,08)/(0,08)2 F= $8' ,90 Ejemplo 17. Cuánto debería invertir hoy para hacer los siguientes retiros: Dentro de 4 trimestres $ Dentro de 5 trimestres $ Dentro de 6 trimestres $ y así sucesivamente hasta el décimo segundo trimestre, con un interés del 7.5% trimestral? Separemos el flujo en 2 partes: Una serie uniforme con A= $ y un gradiente aritmético de valor G=$

51 Ejercicios El valor P puede calcularse de diferentes formas. Debe tenerse en cuenta que sólo pueden sumarse cantidades si éstas se encuentran en el mismo punto. Podemos resolver el problema de diversas formas: a. Primera Solución: Llevando cada flujo a presente (periodo 3) y luego el total al punto cero P= [ (P/A,7.5%,9) (P/G,7.5%,9)] (P/F,7.5%,3) P=1' ,22 b. Segunda Solución: Llevando cada flujo a futuro (periodo 12) y después trasladarlo a presente P= [ (F/A,7.5%,9) (F/G,7.5%,9)] (P/F,7.5%,12) P= (2' , ,511)*(P/F,7.5%,12)=$1' ,22 c. Tercera Solución: Obteniendo el A equivalente para G y así tener una única serie uniforme P= {[10.000(A/G,7.5%,9) ] (P/A,7.5%,9)}(P/F,7.5%,3) P=1' ,508*(P/F,7.5%,3) P=1' ,22 Gradiente Aritmético Decreciente (Negativo) Ejemplo18. Cuánto debería depositarse hoy al 10% mensual para obtener los siguientes flujos?

52 Ejercicios Un posible planteamiento con su solución sería: P = 1' (P/A,10%,12) (P/G,10%,5)(P/F,10%,3) (P/A,10%,4)(P/F,10%,8) +[1' (P/A,10%,7) (P/G,10%,7)](P/F,10%,12) P = $8' ,705 Otro planteamiento podría ser: P = 1' (P/A,10%,4)+[ (P/G,10%,4)+1' (P/A,10%,9)]* (P/F,10%,4) + [ (P/ A,10%,4)*(P/F,10%,8)] (P/A,10%,6) (P/G,10%,6)]*(P/F,10%,13) P= $8' ,05

53 Ejercicios Atrás Gradiente Geométrico Ejemplo estudiantes recién ingresados piensan asociarse y crear un fondo de ahorros mensuales de tal forma que al culminar sus 5 años de estudio posean un capital de $10' con el propósito de fundar su propia empresa. Sus ingresos les permiten incrementar el ahorro mensual en un 2% y la entidad financiera les ofrece un interés mensual del 2.5%. Cuánto deberá ser el ahorro mensual inicial de cada uno de los estudiantes? F = $10' D = 2% mensual i = 2.5% mensual n = 60 meses C =?

54 Ejercicios C= = $44.692,3795 Cuota individual inicial = C/10 = $4.469,24 Ejemplo 20. El montaje de una empresa requiere hoy una inversión de $100' En dicha empresa se producirán y venderán mensualmente unidades de un producto "J". Producir cada "J" cuesta el primer mes $200 y éste valor crecerá mensualmente 2%. Dicho producto se podrá vender el primer mes por un valor $V y reajustar su precio en 1.5% mensual. Si el producto "J" tiene una vida de 5 años, cuál será el precio de venta que hace que el proyecto genere una rentabilidad bruta mensual del 3%? Tenemos : P=$100' C=10.000V C'=$2' P=C (P/C,3%,1.5%,60) - C'(P/C',3%,2%,60) 100' =10.000V*((1,03)60-(1,015)60)/(1,03)60(0,03-0,015)-2' *((1,03)60-(1,02)60)/ (1,03)60(0,03-0,02) 100' =10.000V (39, )-2' (44,31) V= $483,40

55 Ejercicios Ejemplo 21. El señor Carlos Suarez decide comprar una pequeña parcela por valor de $ , la cual deberá pagar de la siguiente manera : cuota inicial 20% ( de contado ) y el 80% financiado por una corporación de ahorro y vivienda durante 15 años. Si el interés es del 2,5% mensual, determine el valor de la cuota a pagar en los siguientes casos : Cuota fija mensual vencida Cuota mensual creciente Cuota variable mensual creciendo mensualmente en 0,7% El objetivo de este ejemplo es de carácter ilustrativo, por lo tanto se muestra el comportamiento en una gráfica del interés causado y del abono a capital de cada uno de los tres casos mencionados anteriormente durante el periodo establecido. CUADRO COMPARATIVO DE LAS DIFERENTES MODALIDADES DE PAGO Valor Presente $ Tasa de interés 2,5% Número de Periodos 180 Delta 0,70% La anualidad es ,47 Cuota Gradiente Aritmético ,830 Cuota Gradiente Geométrico ,97

56 Ejercicios

57 Ejercicios Series Uniformes Consecutivas Ejemplo 22. Una modista entra a trabajar en una fábrica de confección, pero su deseo es crear su propia empresa dentro de 10 años. Para ello piensa utilizar las cesantías acumuladas al final, y además ahorrar semestralmente la prima de servicios (medio salario cada semestre) en una entidad financiera que paga un interés efectivo anual del 35%. Si en salario del primer año es de $ y crecerá anualmente al ritmo de la inflación esperada (20% anual ), determine: a. Capital acumulado al final de 10 años de trabajo?. Cap acum = Ces acum + F primas (1) Cesantías acumuladas: F = P ( 1 + i ) n F = ( 1 + 0, 20 ) 10 F = $ ,10 Ces acum = ( ,10 ) ( 10 ) Ces acum = $ El valor futuro de las primas de servicio generan un gradiente geométrico, pues el salario aumenta en un delta igual a la inflación: F = B ( i / ii ) [ ( 1 + i ) n - ( 1 + D ) n ] / ( i - D ) ii = 35% anual B = D = 20% n = 10 años m = 2 semestres i = ( 1 + ii ) (1/m) - 1 i = (1 + 0,35 ) (1/2) - 1 i = 0,1619 = 16,19% semestral. F = ( 0,35 / 0,1619 ) [ ( 1 + 0,35 ) 10 - ( 1 + 0,20 ) 10 ] / ( 0,35-0,20 ) F = $ ,53 Reemplazando los valores en (1): Cap acum = ,53 Cap acum = $ ,53 b. El patrimonio (capital) de la empresa equivale a un capital actual de cuanto?. P = [ F / ( 1 + i ) n ) donde: F = Cap acum i = 20% anual n = 10 años

58 Ejercicios P = [ ,53 / ( 1 + 0,20 ) 10 ] P = $ ,84 Ejemplo 23. Usted decide comprar un apartamento por $20' el cual deberá ser pagado así: 30% contado y 70% financiado por una Corporación de Ahorro y Vivienda durante 15 años. Cuál sería la cuota a pagar en cada uno de los siguientes casos, dado un interés del 2% mensual. a)cuota fija mensual vencida n =1 m =180 meses D = 0 P = $14' i = 2% mensual ii = [(1+0.02) 180-1] entonces ii= % Aplicamos b = 14' b = $ ,32

59 Ejercicios b) Cuota fija mensual creciendo anualmente en un 10% D =10% anual i=2% mensual ii=(1+0.02)12-1= n=15 años m=12 meses Aplicando la formula de la parte a) obtendremos: b = 14' b = $ ,55 c) Cuota variable mensual creciendo mensualmente en 0.75%: D = 0.75% mensual i = 2% mensual ii = 2% mensual n = 180 meses m = 1

60 Ejercicios b = 14' b = $ ,12 Ejemplo 24. En una empresa, con el beneplácito de los trabajadores y con el propósito de acumular una buena jubilación, se decide depositar en un solo fondo individualizado para cada empleado los siguientes montos: Mensualmente el 10% del salario, semestralmente las primas (½ salario) y anualmente las cesantías. Cuánto recibiría mensualmente como jubilación en el 2027 (expresado como porcentaje del salario que tendría en dicho año), un trabajador que ingresa al inicio de 1997 con un salario de $ y recibe incrementos anuales del 20%, si el dinero depositado obtiene una rentabilidad anual del 32% y la pensión de jubilación se recibirá durante 15 años con incrementos anuales del mismo 20%. El problema se puede interpretar como un conjunto de tres tipos de flujo: Series uniformes con crecimiento geométrico (para el 10% del salario):

61 Ejercicios B= ii= 0.32 D = 0.2 m= 12 n=30 i= (1+ii) 1/m -1 = (1+0.32) 1/12-1 = Hallando el futuro de esta serie al final del año 2026 F 1 = (F/B, D = 0.2, i= , ii= 0.32, (12*30)) F 1 = $ Series uniformes con crecimiento geométrico, para las primas: b= D = 0.2 n= 30 ii=0.32 i= (1+0.32) ½ -1 = file:///d /tutoringeconomica/capitulo2_ejercicios.htm (26 de 31) [26/08/ :55:04 a.m.]

62 Ejercicios Calculando el futuro para el final del 2026: F 2 = (F/b, D = 0.2, i= , ii= 0.32, (2*30)) F 2 = $ ,81 Un gradiente geométrico para las cesantías: c= D = 0.2 n= 30 i= 0.32 F 3 = (F/C, D = 0.2, i= 0.32, 30) F 3 = $ El total acumulado al final año 2026 es: F= F 1 + F 2 + F 3 = $ El salario en ese momento sería: S F = (1+0.2) 30 S F = $ ,80 Para el tiempo que recibe la jubilación: Series uniformes con crecimiento geométrico: b=? P= m=12 n=15 D = 0.2 ii= 0.32 i= b= (b/p, D = 0.2, i= , ii= 0.32, (12*15)) b= $ Þ Primera jubilación, en el Expresado como porcentaje del salario de ese año: b % =

63 Ejercicios b % = % EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Usted deposita $ en una cuenta de ahorro que rinde el 2% mensual, si no hace ningún otro depósito en la cuenta, cuánto tiempo debe pasar para que la cuenta llegue a $ ?. R / 20,4753 meses. 2. Tras un examen cuidadoso de la finanzas personales, usted decide que el pago máximo mensual que puede pagar en una hipoteca es de US$630. Puede ofrecer un pago inicial de US$ y la tasa de interés mensual es del 1%. Si asume una hipoteca de 30 años, cuál es el precio máximo que puede pagar R / , Se abre una cuenta de jubilación el 15 de Abril de 1985 con un depósito de $ Desde entonces, ha depositado $ en la cuenta cada mes. Si la cuenta devenga interés mensuales del 15%, cuánto dinero tendrá en la cuenta el 15 de Abril del año 2.000?. R / $ ,4 4. Usted está financiando la compra de un nuevo auto con un préstamo a 3 años, con un interés mensual del 1.8%. El precio de compra del auto es de $ y la financiación es del 70%. Cuánto valor deben tener los pagos mensuales?. Qué tasa interés tendría que

64 Ejercicios obtener para reducir el pago mensual en $10.000?. R / $ ,8229; 1,5667% mensual. 5. Hallar el valor presente de 15 pagos que decrecen aritméticamente en $400, si el primer pago es de $5.000 con un interés del 4%. Rta. $27.697,74 6. Hallar $X del siguiente flujo de caja con un interés del 20% 7. Hallar el primer pago de un gradiente aritmético creciente en $300, que tenga 50 pagos y que sea equivalente a 50 pagos que crecen un 20%, con un primer pago de $1.000 suponga una tasa del 20%. R/ $6.835,90 8. La compañía de tejados ha ofrecido a una pequeña firma dos opciones para pagar reparaciones necesarias en los tejados. La opción 1 implica un pago de $2.500 tan pronto como el trabajo termine, por ejemplo hoy. La opción 2 concede a la firma diferir el pago

65 Ejercicios durante 5 años, al cabo de los cuales debe hacer un pago único de $ Si la tasa de interés es del 10% anual, calcule el valor presente para cada opción y seleccione la que tenga el menor valor de P. R/ P1 = $2.500; P2 = $3104,60 9. Un gerente está tratando de decidir si compra una máquina nueva hoy o espera y compra una similar dentro de 3 años. La máquina a la fecha le costaría $25.000, pero dentro de 3 años espera que su costo sea de $ Si la compañía usa una tasa de interés del 20% anual, Debería el gerente comprarla hoy o dentro de 3 años?. R/ P después = $22.569,20;debe comprar más tarde. 10.Una compañía planea hacer depósitos de manera que cada uno sea un 12% mayor que el anterior. Cuál será el valor del primer depósito ( al final del año 1 ) si la compañía desea acumular $ al final del año 16? Suponga que la tasa de interés de la compañía es del 12% anual. R/ P = $3.425,10; D = 239, Un trabajador opta por la modalidad de retiro programado con renta vitalicia diferida para su jubilación. En la cual el afiliado contrata con una aseguradora una renta vitalicia con el fin de recibir pagos mensuales a partir de una fecha determinada, reteniendo en su cuenta individual de ahorro pensional, los fondos suficientes para obtener un retiro programado, durante el periodo que medie entre la fecha en empiece a ahorrar y la fecha en que la renta vitalicia diferida comience a ser pagada por la aseguradora. Si el trabajador ingresa al sistema cuando cumple 25 años con un salario de $ de los cuales aporta el trabajador y el empleador el 3.5% con destino a gastos de administración y el 10% con destino a la cuenta de ahorro individual y adicionalmente, el trabajador decidiera aportar trimestralmente otro 10% de su salario y anualmente $ por cada año de edad que tenga. Determine bajo el supuesto de que el obtendrá una rentabilidad del 30% anual en el fondo y que el salario crece anualmente un 24%. a. Cuánto habrá acumulado en su cuenta de ahorro individual cuando cumpla 55 años, en pesos y en número de salarios? b. Si el trabajador contrata con una aseguradora el pago mensual, a partir de cuando cumpliera 65 años de una cifra equivalente al 25 % del salario que hubiera tenido si hubiera seguido trabajando y la aseguradora le cobra por eso lo que ella necesitara

66 Ejercicios para que, suponiendo una rentabilidad de sus fondos del 30% y descontando una décima parte de dicha rentabilidad como comisión, se generará lo suficiente para pagarle la cifra contratada hasta su vida esperada 80 años. Cuánto le quedaría en su cuenta para cubrir el retiro programado entre los 55 y los 605 años. 12. En el sistema pensional el patrono aporta mensualmente un 10% del salario de cada trabajador y este último aporta un 3.5% adicional. La edad propuesta para jubilarse es 65 y 60 años respectivamente para hombres y mujeres. Los aportes entran aun fondo donde serán administrados para obtener una rentabilidad atractiva sobre los aporte s recibidos. Una vez obtenida la jubilación cada trabajador recibirá mensualmente una pensión por un valor que podría ser superior o inferior a lo que recibiría de salario si hubiera continuado trabajando dependiendo del tiempo que permaneció aportando al fondo. Dado que el sistema está montado para que el valor esperado de la pensión recibida por el trabajador una vez jubilado sea equivalente a lo aportado y suponiendo que : Tanto el salario como la pensión de jubilación se incrementaría anualmente en un 25%. La Entidad Administradora del fondo de pensiones lograra una rentabilidad anual del 32%. El trabajador aportará al fondo durante 30 años y luego recibirá la pensión de jubilación durante 13 años. Determine que porcentaje del salario ( que recibiría si hubiera continuado trabajando ) recibirá el trabajador una vez se jubile. R/ 544,34% ESCUELA DE ESTUDIOS INDUSTRIALES Y EMPRESARIALES Carrera 27 Calle 9. Ciudad Universitaria. Bucaramanga (Colombia) Teléfono: (57)(7)( ) Ext Última modificación: 10 de Abril de 2007

67 Acerca de Atrás Créditos: DISEÑO Y DESARROLLO Brezhnev Joya Miranda Wilson Muñoz Camelo César A. Jaimes Tarazona Prof. Carlos Enrique Vecino Arenas Universidad Industrial de Santander Bucaramanga 2000 ESCUELA DE ESTUDIOS INDUSTRIALES Y EMPRESARIALES Carrera 27 Calle 9. Ciudad Universitaria. Bucaramanga (Colombia) Teléfono: (57)(7)( ) Ext

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